空間直線及其方程好

1、一、空間直線的一般方程二、空間直線的對(duì)稱式方程與參數(shù)方程三、兩直線的夾角四、直線與平面的夾角五、雜例 7.8 空間直線及其方程上頁(yè)下頁(yè)鈴結(jié)束返回首頁(yè)上頁(yè)下頁(yè)鈴結(jié)束返回首頁(yè)分析： 點(diǎn)m在直線l上點(diǎn)m同時(shí)在這兩個(gè)平面上, 點(diǎn)m的坐標(biāo)同時(shí)滿足這兩個(gè)平面的方程. 一、空間直線的一般方程 空間直線可以看作是兩個(gè)平面的交線. 設(shè)直線l是平面1和2的交線, 平面的方程分別為 a1x+b1y+c1z+d1=0和a2x+b2y+c2z+d2=0, 這就是空間直線的一般方程. =+=+0022221111dzcybxadzcybxa 來(lái)表示. 那么直線l可以用方程組首頁(yè)上頁(yè)下頁(yè)鈴結(jié)束返回首頁(yè)二、空間直線的對(duì)稱式方

2、程與參數(shù)方程 如果一個(gè)非零向量平行于一條已知直線, 這個(gè)向量就叫做這條直線的方向向量. v方向向量 直線上任一向量都平行于該直線的方向向量. 當(dāng)直線l上一點(diǎn)m0(x0, y0, x0)和它的一方向向量s=(m, n, p)為已知時(shí), 直線l的位置就完全確定了. v確定直線的條件 下頁(yè)上頁(yè)下頁(yè)鈴結(jié)束返回首頁(yè)v直線的對(duì)稱式方程 求通過(guò)點(diǎn)m0(x0, y0, x0), 方向向量為s=(m, n, p)的直線的方程. (x-x0, y-y0, z-z0)/s , 從而有這就是直線的方程, 叫做直線的對(duì)稱式方程. pzznyymxx000-=-=-. 直線的任一方向向量s的坐標(biāo)m、n、p叫做這直線的一組

3、方向數(shù). 向量s的方向余弦叫做該直線的方向余弦. 則從m0到m的向量平行于方向向量: 設(shè)m(x, y, z)為直線上的任一點(diǎn),下頁(yè)注上頁(yè)下頁(yè)鈴結(jié)束返回首頁(yè)通過(guò)點(diǎn)m0(x0, y0, x0), 方向向量為s=(m, n, p)的直線方程:v直線的參數(shù)方程 設(shè)pzznyymxx000-=-=-=t, 得方程組 +=+=+=ptzzntyymtxx000. 此方程組就是直線的參數(shù)方程. 下頁(yè)pzznyymxx000-=-=-. =t, 得方程組 上頁(yè)下頁(yè)鈴結(jié)束返回首頁(yè)提示： 先求直線上的一點(diǎn), 再求這直線的方向向量s. 提示：當(dāng) x=1 時(shí), 有=+-=+232zyzy, 此方程組的解為 y=-2,

4、 z=0. 提示：kjikjikjikjis34 312 111 )32()(-=-=+-+=. 提示：令tzyx=-=-+=-31241, 有 x=1+4t, y=-2-t, z=-3t . 于是(1, -2, 0)是直線上的一點(diǎn). 在直線的一般方程中令x=1, 解 以平面x+y+z=-1和2x-y+3z=4的法線向量的向量積作為直線的方向向量 s:=4i-j-3k.s=(i+j+k)(2i-j+3k) 可得y=-2, z=0. 所給直線的對(duì)稱式方程為下頁(yè) 例1 1 用對(duì)稱式方程及參數(shù)方程表示直線=+-=+4321zyxzyx. 31241-=-+=-zyx. 所給直線的參數(shù)方程為 x=1+

5、4t, y=-2-t, z=-3t . 上頁(yè)下頁(yè)鈴結(jié)束返回首頁(yè)三、兩直線的夾角 兩直線的方向向量的夾角(通常指銳角)叫做兩直線的夾角. 設(shè)直線l1和l2的方向向量分別為 s1=(m1, n1, p1)和s2=(m2, n2, p2), 那么l1和l2的夾角j滿足下頁(yè)| ) ,cos(|cos21ss=j 222222212121212121|pnmpnmppnnmm+=. 上頁(yè)下頁(yè)鈴結(jié)束返回首頁(yè)方向向量分別為(m1, n1, p1)和(m2, n2, p2)的直線的夾角余弦:2 求直線 l1:13411+=-=-zyx和 l2:1222-=-+=zyx的夾角. 例2 解 兩直線的方向向量分別為

6、 設(shè)兩直線的夾角為j , 則 (1, -4, 1)和(2, -2, -1). 下頁(yè)222222212121212121|cospnmpnmppnnmm+=j. 2221) 1() 2(21) 4(1| ) 1(1) 2() 4(21 |cos222222=-+-+-+-+-+=j所以4j=. 2221) 1() 2(21) 4(1| ) 1(1) 2() 4(21 |cos222222=-+-+-+-+-+=j, 上頁(yè)下頁(yè)鈴結(jié)束返回首頁(yè)v兩直線垂直與平行的條件 設(shè)有兩直線 l1 l2m1m2+n1n2+p1p2=0; 則首頁(yè)方向向量分別為(m1, n1, p1)和(m2, n2, p2)的直線

7、的夾角余弦:222222212121212121|cospnmpnmppnnmm+=j. l1:111111pzznyymxx-=-=-, l2:222222pzznyymxx-=-=-, l1 l2212121ppnnmm=. 上頁(yè)下頁(yè)鈴結(jié)束返回首頁(yè)提示：四、直線與平面的夾角 當(dāng)直線與平面不垂直時(shí), 直線和它在平面上的投影直線的夾角j稱為直線與平面的夾角, 當(dāng)直線與平面垂直時(shí), 規(guī)定直線與平面的夾角為90. 設(shè)直線的方向向量為s=(m, n, p), 平面的法線向量為n=(a, b, c), 則直線與平面的夾角j 滿足 下頁(yè)222222|sinpnmcbacpbnam+=j. | ) , (

8、2|ns-=j, | ) , cos(|sinns=j. 上頁(yè)下頁(yè)鈴結(jié)束返回首頁(yè) 方向向量為(m, n, p)的直線與法線向量為(a, b, c)的平面的夾角j 滿足 v直線與平面垂直和平行的條件 設(shè)直線l的方向向量為s=(m, n, p), 平面 的法線向量為n=(a, b, c), 則 l/ am+bn+cp=0. 下頁(yè)222222|sinpnmcbacpbnam+=j. l pcnbma=; 上頁(yè)下頁(yè)鈴結(jié)束返回首頁(yè) 例3 求過(guò)點(diǎn)(1, -2, 4)且與平面2x-3y+z-4=0垂直的直線的方程. 平面的法線向量(2, -3, 1)可以作為所求直線的方向向量. 由此可得所求直線的方程為首頁(yè)

9、 解 143221-=-+=-zyx. 設(shè)直線l的方向向量為s=(m, n, p), 平面 的法線向量為n=(a, b, c), 則 l/ am+bn+cp=0. l pcnbma=; 上頁(yè)下頁(yè)鈴結(jié)束返回首頁(yè) 平面x-4z=3和2x-y-5z=1的交線的方向向量就是所求直線的方向向量 s. 五、雜例 例4 求與兩平面x-4z=3和2x-y-5z=1的交線平行且過(guò)點(diǎn)(-3, 2, 5)的直線的方程. 解 因?yàn)樗? 所求直線的方程為下頁(yè))34( 512 401 )52()4(kjikjikjikis+-=-=-=153243-=-=+zyx. )34( 512 401 )52()4(kjikji

10、kjikis+-=-=-=)34( 512 401 )52()4(kjikjikjikis+-=-=-=, 上頁(yè)下頁(yè)鈴結(jié)束返回首頁(yè) x=2+t, y=3+t, z=4+2t, 代入平面方程中, 得 2(2+t)+(3+t)+(4+2t)-6=0. 解上列方程, 得t=-1. 將t=-1代入直線的參數(shù)方程, 得所求交點(diǎn)的坐標(biāo)為 x=1, y=2, z=2. 解 所給直線的參數(shù)方程為 下頁(yè) 例5 5 求直線241312-=-=-zyx與平面 2x+y+z-6=0 的交點(diǎn). 上頁(yè)下頁(yè)鈴結(jié)束返回首頁(yè) 解 下頁(yè) 例6 的直線的方程. 6 求過(guò)點(diǎn)(2, 1, 2)且與直線241312-=-=-zyx垂直相

11、交 所求直線的方向向量為 s=(1, 2, 2)-(2, 1, 2)=(-1, 1, 0), 過(guò)已知點(diǎn)且與已知直線相垂直的平面的方程為 (x-2)+(y-1)+2(z-2)=0, 即x+y+2z=7. 此平面與已知直線的交點(diǎn)為(1, 2, 2). 提示： 求出兩直線的交點(diǎn)是關(guān)鍵, 而交點(diǎn)就是過(guò)已知點(diǎn)且與已知直線相垂直的平面與已知直線的交點(diǎn).上頁(yè)下頁(yè)鈴結(jié)束返回首頁(yè) 解 下頁(yè) 例6 的直線的方程. 6 求過(guò)點(diǎn)(2, 1, 2)且與直線241312-=-=-zyx垂直相交 所求直線的方向向量為 s=(1, 2, 2)-(2, 1, 2)=(-1, 1, 0), 過(guò)已知點(diǎn)且與已知直線相垂直的平面的方程

12、為 (x-2)+(y-1)+2(z-2)=0, 即x+y+2z=7. 此平面與已知直線的交點(diǎn)為(1, 2, 2). 021112-=-=-zyx, 即021112-=-=-zyx 即=-=-021112zyx. 所求直線的方程為上頁(yè)下頁(yè)鈴結(jié)束返回首頁(yè)分析： 因?yàn)閍1、b1、c1與a2、b2、c2不成比例, 所以對(duì)于任何一個(gè)l值, 上述方程的系數(shù)不全為零, 從而它表示一個(gè)平面. 分析： 對(duì)于不同的l值, 所對(duì)應(yīng)的平面也不同, 而且這些平面都通過(guò)直線l, 即這個(gè)方程表示通過(guò)直線l的一族平面. 分析： 另一方面, 任何通過(guò)直線l的平面也一定包含在上述通過(guò)l的平面族中. v平面束 考慮三元一次方程:

13、a1x+b1y+c1z+d1+l(a2x+b2 y+c2z+d2)=0, 即 (a1+la2)x+(b1+lb2)y+(c1+lc1)z+d1+ld2=0,其中l(wèi)為任意常數(shù).下頁(yè)其中系數(shù)a1、b1、c1與a2、b2、c2不成比例. =+=+0022221111dzcybxadzcybxa, 設(shè)直線l的一般方程為上頁(yè)下頁(yè)鈴結(jié)束返回首頁(yè) 上述方程表示通過(guò)定直線l的所有平面的全體, 稱為平面束. 下頁(yè)v平面束 考慮三元一次方程: a1x+b1y+c1z+d1+l(a2x+b2 y+c2z+d2)=0, 即 (a1+la2)x+(b1+lb2)y+(c1+lc1)z+d1+ld2=0,其中l(wèi)為任意常數(shù)

14、.其中系數(shù)a1、b1、c1與a2、b2、c2不成比例. =+=+0022221111dzcybxadzcybxa, 設(shè)直線l的一般方程為上頁(yè)下頁(yè)鈴結(jié)束返回首頁(yè)提示： 我們要在通過(guò)已知直線的平面束中找出與已知平面相垂直的平面, 此平面與已知平面的交線就是所求的投影直線.提示： 這是平面束的法線向量(1+l, 1-l, -1+l)與已知平面的法線向量(1, 1, 1)的數(shù)量積. (x+y-z-1)+l(x-y+z+1)=0, 即 (1+l)x+(1-l)y+(-1+l)z+(-1+l)=0. 為了求得與已知平面x+y+z=0垂直的平面, 令 (1+l)1+(1-l)1+(-1+l)1=0, 解 設(shè)通過(guò)已知直線的平面束的方程為 下頁(yè)的方程. 例7 7 求直線=+-=-+0101zyxzyx在平面 x+y+z=0 上的投影直線 上頁(yè)下頁(yè)鈴結(jié)束返回首頁(yè)即 y-z-1=0. 2y-2z-2=0, 于是得