流體力學(xué)中的三大基本方程PPT課件

1、1 1 連續(xù)性微分方程連續(xù)性微分方程 理論依據(jù)理論依據(jù)：質(zhì)量守恒質(zhì)量守恒定律在微元體中的應(yīng)用定律在微元體中的應(yīng)用 數(shù)學(xué)描述數(shù)學(xué)描述： 單位時(shí)間流出的質(zhì)量單位時(shí)間流出的質(zhì)量-單位時(shí)間流入的質(zhì)量單位時(shí)間流入的質(zhì)量+單單位時(shí)間質(zhì)量的累積位時(shí)間質(zhì)量的累積oror增量增量=0=0第1頁(yè)/共33頁(yè) 假定流體連續(xù)地假定流體連續(xù)地 充滿(mǎn)整個(gè)流場(chǎng)，從中充滿(mǎn)整個(gè)流場(chǎng)，從中 任取出以任取出以 點(diǎn)為中心的微小六面點(diǎn)為中心的微小六面 體空間作為控制體如體空間作為控制體如 右圖。控制體的邊長(zhǎng)右圖?？刂企w的邊長(zhǎng) 為為dxdx，dydy，dzdz，分別，分別 平行于直角坐標(biāo)軸平行于直角坐標(biāo)軸x x，zyxo，公式推導(dǎo)：公式推

2、導(dǎo)：（1 1）單位時(shí)間內(nèi)流入、流出微元體流體總質(zhì)量變化）單位時(shí)間內(nèi)流入、流出微元體流體總質(zhì)量變化第2頁(yè)/共33頁(yè) y y，z z。設(shè)控制體中心點(diǎn)處流速的三個(gè)分量為。設(shè)控制體中心點(diǎn)處流速的三個(gè)分量為 , ,液體密度為液體密度為 。將各流速分量按泰勒級(jí)數(shù)展開(kāi)，并略。將各流速分量按泰勒級(jí)數(shù)展開(kāi)，并略去高階微量，可得到該時(shí)刻通過(guò)控制體六個(gè)表面中心點(diǎn)去高階微量，可得到該時(shí)刻通過(guò)控制體六個(gè)表面中心點(diǎn)的流體質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)速度。例如：通過(guò)控制體前表面中心的流體質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)速度。例如：通過(guò)控制體前表面中心點(diǎn)點(diǎn)M M的質(zhì)點(diǎn)在的質(zhì)點(diǎn)在x x方向的分速度為方向的分速度為通過(guò)控制體后表面中心點(diǎn)通過(guò)控制體后表面中心點(diǎn)N N的質(zhì)

3、點(diǎn)在的質(zhì)點(diǎn)在x x方向的分速度為方向的分速度為 zyxvvv，dxxvvxx21dxxvvxx21第3頁(yè)/共33頁(yè)因所取控制體無(wú)限小，故認(rèn)為在其各表面上的流速均勻分因所取控制體無(wú)限小，故認(rèn)為在其各表面上的流速均勻分布。所以單位時(shí)間內(nèi)沿布。所以單位時(shí)間內(nèi)沿x x軸方向軸方向dydzdxxvvxx21dydzdxxvvxx21流出控制體的質(zhì)量為流出控制體的質(zhì)量為于是，單位時(shí)間內(nèi)在于是，單位時(shí)間內(nèi)在x x方向流出與流入控制體的質(zhì)量差方向流出與流入控制體的質(zhì)量差為dxdydzxvdydzdxxvvdydzdxxvvxxxxx2121流入控制體的質(zhì)量為流入控制體的質(zhì)量為第4頁(yè)/共33頁(yè) 同理可得在單位時(shí)

4、間內(nèi)沿同理可得在單位時(shí)間內(nèi)沿y y，z z方向流出與流入控制體的方向流出與流入控制體的質(zhì)量差為質(zhì)量差為 dxdydzyvydxdydzzvz故單位時(shí)間內(nèi)流出與流入微元體流體質(zhì)量總變化為：故單位時(shí)間內(nèi)流出與流入微元體流體質(zhì)量總變化為：xyzdxdydzxyz（）（）（）和和第5頁(yè)/共33頁(yè)控制體內(nèi)質(zhì)量變化：控制體內(nèi)質(zhì)量變化：因控制體是固定的，質(zhì)量變化是因密度變化引起的，因控制體是固定的，質(zhì)量變化是因密度變化引起的，dtdt時(shí)間內(nèi)時(shí)間內(nèi)：dtdxdydzdxdydzdtdxdydztt（）單位時(shí)間內(nèi)，微元體質(zhì)量增量：?jiǎn)挝粫r(shí)間內(nèi)，微元體質(zhì)量增量：dxdydztdtdtdxdydzt/ （微團(tuán)密度在單

5、位時(shí)間內(nèi)的變率與微團(tuán)體積的乘積）（微團(tuán)密度在單位時(shí)間內(nèi)的變率與微團(tuán)體積的乘積） 第6頁(yè)/共33頁(yè)根據(jù)連續(xù)性條件：根據(jù)連續(xù)性條件：0）（）（）（zyxzyxt矢量形式：矢量形式：0t三維連續(xù)性微分方程三維連續(xù)性微分方程第7頁(yè)/共33頁(yè)適用條件：適用條件： 不可壓縮和可壓縮流體不可壓縮和可壓縮流體 理想和實(shí)際流體理想和實(shí)際流體 穩(wěn)態(tài)及非穩(wěn)態(tài)流動(dòng)穩(wěn)態(tài)及非穩(wěn)態(tài)流動(dòng)不可壓縮性流體的連續(xù)性微分方程：不可壓縮性流體的連續(xù)性微分方程：0zyxzyxor 說(shuō)明流體體變形率為零，即流體不可壓縮?；蛄魅胝f(shuō)明流體體變形率為零，即流體不可壓縮?；蛄魅塍w積流量與流出體積流量相等。體積流量與流出體積流量相等。 0div第8

6、頁(yè)/共33頁(yè)穩(wěn)定流動(dòng)時(shí)：穩(wěn)定流動(dòng)時(shí)：所有流體物性參數(shù)均不隨時(shí)間而變，所有流體物性參數(shù)均不隨時(shí)間而變，0t0）（）（）（zyxzyx二維平面流動(dòng)：二維平面流動(dòng)：0yxyx0)(div第9頁(yè)/共33頁(yè)2.2.理想流體的運(yùn)動(dòng)方程理想流體的運(yùn)動(dòng)方程歐拉運(yùn)動(dòng)微分方程歐拉運(yùn)動(dòng)微分方程 理論依據(jù)：理論依據(jù)：是牛頓第二定律在流體力學(xué)上的具體應(yīng)用，它是牛頓第二定律在流體力學(xué)上的具體應(yīng)用，它建立了理想流體的密度、速度、壓力與外力之間的關(guān)系。建立了理想流體的密度、速度、壓力與外力之間的關(guān)系。 17751775年由年由歐拉歐拉推出流體力學(xué)中心問(wèn)題是流速問(wèn)題，流體流推出流體力學(xué)中心問(wèn)題是流速問(wèn)題，流體流速與其所受到外力

7、間的關(guān)系式即是運(yùn)動(dòng)方程。速與其所受到外力間的關(guān)系式即是運(yùn)動(dòng)方程。第10頁(yè)/共33頁(yè)推導(dǎo)過(guò)程：推導(dǎo)過(guò)程：取微小六面控制體取微小六面控制體牛頓第二定律牛頓第二定律oror動(dòng)量定理：動(dòng)量定理：推導(dǎo)依據(jù)：推導(dǎo)依據(jù)：dtmddtdmamF）（即作用力之合力即作用力之合力= =動(dòng)量隨時(shí)間的變化速率動(dòng)量隨時(shí)間的變化速率 第11頁(yè)/共33頁(yè)分析受力：分析受力： 質(zhì)量力：質(zhì)量力： fdxdydz單位質(zhì)量力：?jiǎn)挝毁|(zhì)量力：kfjfiffzyx X X方向上所受質(zhì)量力為：方向上所受質(zhì)量力為： 表面力：表面力： 理想流體，沒(méi)有粘性，所以表面力只有壓力理想流體，沒(méi)有粘性，所以表面力只有壓力 X X方向上作用于垂直方向上作

8、用于垂直x x軸方向兩個(gè)面的壓力分別為：軸方向兩個(gè)面的壓力分別為：22MNp dxp dxppppxxX X方向上質(zhì)點(diǎn)所受表面力合力：方向上質(zhì)點(diǎn)所受表面力合力：MNpppdydzdxdydzx （）dxdydzfx第12頁(yè)/共33頁(yè) 流體質(zhì)點(diǎn)加速度流體質(zhì)點(diǎn)加速度 a 的計(jì)算方法：的計(jì)算方法：），（tzyx流速的全導(dǎo)數(shù)應(yīng)是：流速的全導(dǎo)數(shù)應(yīng)是：zyxtdtdazyx當(dāng)?shù)丶铀俣龋寒?dāng)?shù)丶铀俣龋毫鲌?chǎng)中某處流體運(yùn)動(dòng)速度對(duì)時(shí)間流場(chǎng)中某處流體運(yùn)動(dòng)速度對(duì)時(shí)間的偏導(dǎo)數(shù)，反映了流體速度在固定位置處的時(shí)的偏導(dǎo)數(shù)，反映了流體速度在固定位置處的時(shí)間變化特性間變化特性遷移加速度：遷移加速度：流場(chǎng)由于流出、流進(jìn)某一微小區(qū)流場(chǎng)

9、由于流出、流進(jìn)某一微小區(qū)域而表現(xiàn)出的速度變化率。域而表現(xiàn)出的速度變化率。）（tfx ）（tfy）（tfy 第13頁(yè)/共33頁(yè)流體質(zhì)點(diǎn)加速度流體質(zhì)點(diǎn)加速度 a 在三個(gè)坐標(biāo)軸上的分量表示成：在三個(gè)坐標(biāo)軸上的分量表示成：xxxxxxxyzyyyyyyxyzzzzzzzxyzdadttxyzdadttxyzdadttxyz第14頁(yè)/共33頁(yè)代入牛頓第二定律求得運(yùn)動(dòng)方程：代入牛頓第二定律求得運(yùn)動(dòng)方程：得得x x方向上的運(yùn)動(dòng)微分方程：方向上的運(yùn)動(dòng)微分方程： xxdpdxdydzdxdydzf dxdydzdtx 單位體積單位體積流體的運(yùn)動(dòng)微分方程：流體的運(yùn)動(dòng)微分方程：xxdpfdtx 單位質(zhì)量單位質(zhì)量流體

10、的運(yùn)動(dòng)微分方程：流體的運(yùn)動(dòng)微分方程：1xxdpfdtx 第15頁(yè)/共33頁(yè)同理可得同理可得y,zy,z方向上的：方向上的：yz111xxxxxxyzxyyyyyxyzzzzzzxyzdpfdttxyzxdpfdttxyzydpfdttxyzz第16頁(yè)/共33頁(yè)向量形式：向量形式： 1dfgradpdt 式中：式中： pppgradpijkxyZ 理想流體歐拉運(yùn)動(dòng)微分方程理想流體歐拉運(yùn)動(dòng)微分方程 適用條件：適用條件：理想流體，不可壓縮流體和可壓縮流體理想流體，不可壓縮流體和可壓縮流體第17頁(yè)/共33頁(yè)（5 5）連續(xù)性微分方程和運(yùn)動(dòng)方程在求解速度場(chǎng)中的）連續(xù)性微分方程和運(yùn)動(dòng)方程在求解速度場(chǎng)中的應(yīng)用

11、應(yīng)用這里以不可壓縮粘性流體穩(wěn)定等溫流動(dòng)為例：這里以不可壓縮粘性流體穩(wěn)定等溫流動(dòng)為例：連續(xù)性方程：連續(xù)性方程：0zyxzyx 運(yùn)動(dòng)方程：運(yùn)動(dòng)方程： 2222221()xxxxxxxxyzxpftxyzxxyz2222221()yyyyyyyxyzypftxyzyxyz第18頁(yè)/共33頁(yè)1.1. 含有四個(gè)未知量含有四個(gè)未知量 完整的方程組。完整的方程組。2.2. 描述了各種量間的依賴(lài)關(guān)系。描述了各種量間的依賴(lài)關(guān)系。3.3. 通解、單值條件（幾何條件、物理?xiàng)l件、邊界條件、通解、單值條件（幾何條件、物理?xiàng)l件、邊界條件、初始條件）初始條件）特解。特解。即描述流體流動(dòng)的即描述流體流動(dòng)的完整方程組完整方程組

12、+ +單值性條件單值性條件描述某一特定流動(dòng)。描述某一特定流動(dòng)。），（Pzyx,2222221()zzzzzzzxyzzpftxyzzxyz第19頁(yè)/共33頁(yè)3. 伯努利方程 (Bernoulli)理想流體穩(wěn)定流動(dòng)的伯努利微分方程由由理想流體理想流體歐拉運(yùn)動(dòng)微分方程歐拉運(yùn)動(dòng)微分方程111xxyyzzdpfxdtdpfydtdpfzdt是是穩(wěn)定流動(dòng)穩(wěn)定流動(dòng)，vx,vy,vz，p都只是坐標(biāo)函數(shù)，與時(shí)間都只是坐標(biāo)函數(shù)，與時(shí)間無(wú)關(guān)，方程轉(zhuǎn)換去除無(wú)關(guān)，方程轉(zhuǎn)換去除t項(xiàng)項(xiàng)伯努利（伯努利（D.Bernouli 1700D.Bernouli 170017821782）方程的提出和意義）方程的提出和意義第20頁(yè)/

13、共33頁(yè) 推導(dǎo)得：推導(dǎo)得：1ddpgdz Or 10gdzdpd 伯努利方程微分形式。伯努利方程微分形式。 說(shuō)明：說(shuō)明： 流體質(zhì)點(diǎn)在微小控制體流體質(zhì)點(diǎn)在微小控制體dxdydz范圍內(nèi)，沿任意方向流線(xiàn)流動(dòng)時(shí)的能量平衡關(guān)范圍內(nèi)，沿任意方向流線(xiàn)流動(dòng)時(shí)的能量平衡關(guān)系式。系式。第21頁(yè)/共33頁(yè)適用范圍：適用范圍：理想流體、穩(wěn)定流體、質(zhì)量理想流體、穩(wěn)定流體、質(zhì)量力只有重力且力只有重力且在微小控制體在微小控制體dxdydzdxdydz范圍內(nèi)范圍內(nèi)沿某一根流線(xiàn)；沿某一根流線(xiàn)；物理意義：物理意義：揭示了沿某一根流線(xiàn)運(yùn)動(dòng)著揭示了沿某一根流線(xiàn)運(yùn)動(dòng)著的流體質(zhì)點(diǎn)速度，位移和壓強(qiáng)、密度四者的流體質(zhì)點(diǎn)速度，位移和壓強(qiáng)、密度

14、四者之間的微分關(guān)系。之間的微分關(guān)系。 第22頁(yè)/共33頁(yè)3.1 伯努利方程積分形式 1.沿流線(xiàn)的積分方程：沿流線(xiàn)的積分方程：CdPgz22 設(shè)：設(shè)： const 22pgzCOr 22pzCrg 理想流體微元流束的伯努利方程。理想流體微元流束的伯努利方程。 10gdzdpd 第23頁(yè)/共33頁(yè)適用條件：理想流體、不可壓縮性流體、穩(wěn)定適用條件：理想流體、不可壓縮性流體、穩(wěn)定流動(dòng)、質(zhì)量力只有重力，且沿某一根流線(xiàn)；流動(dòng)、質(zhì)量力只有重力，且沿某一根流線(xiàn)；任選一根流線(xiàn)上的兩點(diǎn)：任選一根流線(xiàn)上的兩點(diǎn)：22112212c22ppzzrgrg （流線(xiàn)變化了則C值變化） 靜止流體：靜止流體：pzCr靜止容器內(nèi)任

15、一點(diǎn)的靜止容器內(nèi)任一點(diǎn)的z z 與與 P/r P/r 之和為常數(shù)。之和為常數(shù)。 靜力學(xué)方程靜力學(xué)方程第24頁(yè)/共33頁(yè)物理意義及幾何意義：物理意義及幾何意義：z z : : 單位重量流體所具有的位能單位重量流體所具有的位能N NM/N M/N ；（可以看成；（可以看成mgz/mgmgz/mg）P/r : P/r : 單位重量流體所具有的壓力能；單位重量流體所具有的壓力能； 物理意義：物理意義：g22：?jiǎn)挝恢亓苛黧w所具有的動(dòng)能；：?jiǎn)挝恢亓苛黧w所具有的動(dòng)能； 三者之和為單位重量流體具有的機(jī)械能。三者之和為單位重量流體具有的機(jī)械能。理解：質(zhì)量為理解：質(zhì)量為m微團(tuán)以微團(tuán)以v 運(yùn)動(dòng)，具有運(yùn)動(dòng)，具有mvm

16、v2 2/2/2動(dòng)能，若用動(dòng)能，若用 重量重量mgmg除之得除之得v v2 2/2g/2g第25頁(yè)/共33頁(yè)理想、不可壓縮流體在重力場(chǎng)中作穩(wěn)定理想、不可壓縮流體在重力場(chǎng)中作穩(wěn)定流動(dòng)時(shí)，沿流線(xiàn)流動(dòng)時(shí)，沿流線(xiàn)or無(wú)旋流場(chǎng)無(wú)旋流場(chǎng)中流束運(yùn)動(dòng)中流束運(yùn)動(dòng)時(shí)，單位重量流體的位能，壓力能和動(dòng)時(shí)，單位重量流體的位能，壓力能和動(dòng)能之和是常數(shù)，即機(jī)械能是守恒的，且能之和是常數(shù)，即機(jī)械能是守恒的，且它們之間可以相互轉(zhuǎn)換它們之間可以相互轉(zhuǎn)換 。物理意義：物理意義：幾何意義：幾何意義：z ：?jiǎn)挝恢亓苛黧w的位置水頭；：?jiǎn)挝恢亓苛黧w的位置水頭； （距離某一基準(zhǔn)面的高度）（距離某一基準(zhǔn)面的高度）P/r : 單位重量流體的壓力

17、水頭，或靜壓頭；單位重量流體的壓力水頭，或靜壓頭； （具有的壓力勢(shì)能與一段液柱高度相（具有的壓力勢(shì)能與一段液柱高度相當(dāng)）當(dāng)）g22: 單位重量流體具有的動(dòng)壓頭單位重量流體具有的動(dòng)壓頭oror速度水頭速度水頭, ,速度壓頭。速度壓頭。物理中：質(zhì)量為物理中：質(zhì)量為m m以以速度速度v垂直向上拋能達(dá)到的垂直向上拋能達(dá)到的最高高度為最高高度為v2/2g三者之和為單位重量流體的總水頭。三者之和為單位重量流體的總水頭。第26頁(yè)/共33頁(yè)理想、不可壓縮流體在重力場(chǎng)中作穩(wěn)態(tài)流動(dòng)時(shí)，沿一根理想、不可壓縮流體在重力場(chǎng)中作穩(wěn)態(tài)流動(dòng)時(shí)，沿一根流線(xiàn)（微小流束）的總水頭是守恒的，同時(shí)可互相轉(zhuǎn)換。流線(xiàn)（微小流束）的總水頭是

18、守恒的，同時(shí)可互相轉(zhuǎn)換。幾何意義：幾何意義：第27頁(yè)/共33頁(yè)3 3.2.2 伯努利方程的應(yīng)用伯努利方程的應(yīng)用 可求解流動(dòng)中的流體可求解流動(dòng)中的流體v v、P P及過(guò)某一截面的流量；及過(guò)某一截面的流量； 以伯努利方程為原理測(cè)以伯努利方程為原理測(cè)量流量的裝置。量流量的裝置。皮托管（畢托管）皮托管（畢托管）：測(cè)量流：測(cè)量流場(chǎng)中某一點(diǎn)場(chǎng)中某一點(diǎn)流速流速的儀器。的儀器。皮托曾用一兩端開(kāi)口彎皮托曾用一兩端開(kāi)口彎成直角的玻璃管測(cè)塞那成直角的玻璃管測(cè)塞那河道中任一點(diǎn)流速。河道中任一點(diǎn)流速。第28頁(yè)/共33頁(yè)A A點(diǎn)為駐點(diǎn)點(diǎn)為駐點(diǎn)）：（0總壓總壓皮托管：皮托管：B B點(diǎn)：點(diǎn)：A A點(diǎn)前選一點(diǎn)不受玻璃管干擾的點(diǎn)；點(diǎn)前選一點(diǎn)不受玻璃管干擾的點(diǎn)；A-BA-B認(rèn)為是一條流線(xiàn)。認(rèn)為是一條流線(xiàn)。列沿流線(xiàn)列沿流線(xiàn)ABAB上兩點(diǎn)的伯努利方程：上兩點(diǎn)的伯努利方程：2222AABBABppzzrgrgzA=zBA=0P PB B總總=P=PA