課改區(qū)2011屆高三上學(xué)期第八次檢測（數(shù)學(xué)理）

1、. 高三上學(xué)期理科數(shù)學(xué)單元測試（8）新課標(biāo)人教版 命題范圍 立體幾何初步、空間向量與立體幾何(必修2第一、二章、選修2-1第三章)注意事項(xiàng)：1本試題分為第卷和第卷兩部分，滿分150分，考試時(shí)間為120分鐘。2答第卷前務(wù)必將自己的姓名、考號(hào)、考試科目涂寫在答題卡上?？荚嚱Y(jié)束，試題和答題卡一并收回。3第卷每題選出答案后，都必須用2B鉛筆把答題卡上對(duì)應(yīng)題目的答案標(biāo)號(hào)（ABCD）涂黑，如需改動(dòng)，必須先用橡皮擦干凈，再改涂其它答案。 第卷（選擇題，共60分）一、選擇題：在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的，請(qǐng)把正確答案的代號(hào)填在題后的括號(hào)內(nèi)（本大題共12個(gè)小題，每小題5分，共60分）。1水

2、平放置的正方體的六個(gè)面分別用“前面、后面、上面、下面、左面、右面”表示，如圖是一個(gè)正方體的表面展開圖，若圖中“2”在正方體的上面，則這個(gè)正方體的下面是（ ） A 0 B 7 C快 D樂 2用小立方體搭一個(gè)幾何體，使得它的主視圖和俯視圖如圖所示。這樣的幾何體需要的小立方塊最少與最多分別是 （ ）主視圖俯視圖A 10與15 B9與17 C10與16 D9與16 3設(shè)m,n是兩條不同的直線,是三個(gè)不同的平面，給出下列命題：若m，n，則mn；若則；若m，n，則mn;若，, m則m其中正確命題的個(gè)數(shù)是（ ） A 0 B 1 C 2 D 3 4一個(gè)幾何體的三視圖如圖所示，則該幾何體的體積等于（ ） A 8

3、+ B 4+ C8+4 D 5已知向量，使成立的x與使成立的x分別為（ ）A B-6 C-6, D6,- 6在空間中，有如下命題：互相平行的兩條直線在同一個(gè)平面內(nèi)的射影必然是互相平行的兩條直線；若平面平面，則平面內(nèi)任意一條直線m平面；若平面與平面的交線為m，平面內(nèi)的直線n直線m，則直線n平面其中不正確命題的個(gè)數(shù)為（ ） A 3 B 2 C 1 D 07若A，B，C，則ABC的形狀是（ ）A不等邊銳角三角形 B直角三角形 C鈍角三角形 D等邊三角形8點(diǎn)P在正方形ABCD所在平面外，PD平面ABCD，PD=AD，則PA與BD所成角的度數(shù)為（ ）A30° B45° C60

4、6; D90°9如果一條直線與一個(gè)平面垂直，那么稱此直線與平面構(gòu)成一個(gè)“正交線面對(duì)”在一個(gè)正方體中，由兩個(gè)頂點(diǎn)確定的直線與含有四個(gè)頂點(diǎn)的平面構(gòu)成的“正交線面對(duì)”的個(gè)數(shù)是 （ ）A48 B18 C24 D3610二面角的棱上有A、B兩點(diǎn)，直線AC、BD分別在這個(gè)二面角的兩個(gè)半平面內(nèi)，且都垂直于AB已知AB =4,AC=6，BD = 8，CD=2，則該二面角的大小為（ ） A1500 B450 C600 D120011在三棱柱ABC-A1B1C1中，底面為棱長為1的正三角形，側(cè)棱AA1底面ABC,點(diǎn)D在棱BB1上，且BD=1，若AD與平面AA1C1C所成的角為，則sin的值是（ ）A B

5、 C D 12某種游戲中，黑、黃兩個(gè)“電子狗”從棱長為1的正方體ABCD-A1B1C1D1的頂點(diǎn)A出發(fā)沿棱向前爬行，每爬完一條棱稱為“爬完一段”;黑“電子狗”爬行的路線是AA1A1D1，黃“電子狗”爬行的路線是ABBB1，它們都遵循如下規(guī)則：所爬行的第i2段與第i段所在直線必須是異面直線（其中i是正整數(shù)）設(shè)黑“電子狗”爬完2006段，黃“電子狗”爬完2007段后各自停止在正方體的某個(gè)頂點(diǎn)處，這時(shí)黑、黃“電子狗”間的距離是（ ）A 0 B1 C D第卷（非選擇題，共90分）二、填空題：請(qǐng)把答案填在題中橫線上（本大題共4個(gè)小題，每小題4分，共16分）。13已知力=(1,2,3)，(-2,3,-1)

6、，(3,-4,5)，若，共同作用于同一物體上，使物體從M1(0，-2，1)移到M2(3，1，2)，則合力作的功為 14兩個(gè)相同的正四棱錐組成如圖所示的幾何體，可放入棱長為 1的正方體內(nèi)，使正四棱錐的底面ABCD與正方體的某一個(gè)平面平行,且各頂點(diǎn)均在正方體的面上，則這樣的幾何體體積的可能值有 個(gè)15 已知球的半徑為1，三點(diǎn)都在球面上，且每兩點(diǎn)間的球面距離為，則球心到平面的距離為 ,16下列命題：若與共線, 與共線，則與共線；向量、共面，則它們所在直線也共面；若與共線，則存在唯一的實(shí)數(shù)，使=；若A、B、C三點(diǎn)不共線，0是平面ABC外一點(diǎn),則點(diǎn)M一定在平面ABC上，且在ABC內(nèi)部，上述命題中的真命題

7、是 三、解答題：解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟(本大題共6個(gè)大題，共74分)。17（12分）（09浙江理20）如圖，平面平面，是以為斜邊的等腰直角三角形，分別為，的中點(diǎn)， （I）設(shè)是的中點(diǎn)，證明：平面； （II）證明：在內(nèi)存在一點(diǎn)，使平面，并求點(diǎn)到，的距離18在直三棱柱中，且異面直線與 所成的角等于，設(shè) （1）求的值； ABCA1B1C1（2）求平面與平面所成的銳二面角的大小19 (12分)下圖是一幾何體的直觀圖、主視圖、俯視圖、左視圖 （1）若F為PD的中點(diǎn)，求證：AF面PCD; （2）證明BD面PEC; （3）求面PEC與面PDC所成的二面角（銳角）的余弦值20已知為空間的一個(gè)基底

8、，且， ， （1）判斷四點(diǎn)是否共面； （2）能否以作為空間的一個(gè)基底？若不能，說明理由；若能，試以這一基底表示向量21（本小題滿分12分） 數(shù)學(xué)課上，張老師用六根長度均為a的塑料棒搭成了一個(gè)正三棱錐（如圖所示），然后他將其中的兩根換成長度分別為在和的塑料棒、又搭成了一個(gè)三棱錐，陳成同學(xué)邊聽課邊動(dòng)手操作，也將其中的兩根換掉，但沒有成功，不能搭成三棱錐，如果兩人都將BD換成了長為的塑料棒 （1）試問張老師換掉的另一根塑料棒是什么，而陳成同學(xué)換掉的另一根塑料棒又是什么？請(qǐng)你用學(xué)到的數(shù)學(xué)知識(shí)解釋陳成同學(xué)失敗的原因； （2）試證：平面ABD平面CBD； （3）求新三棱錐的外接球的表面積22(14分) (

9、09廣東理18)如圖，已知正方體的棱長為2，點(diǎn)是正方形的中心，點(diǎn)、分別是棱的中點(diǎn)設(shè)點(diǎn)分別是點(diǎn)，在平面內(nèi)的正投影G1E122題圖 （1）求以為頂點(diǎn)，以四邊形在平面內(nèi)的正投影為底面邊界的棱錐的體積； （2）證明：直線平面； （3）求異面直線所成角的正弦值參考答案一、選擇題1B;解析:將展開圖還原成正方體2C;解析:由主視圖可知，它自下而上共有3列，第一列3塊，第二列2塊，第三列1塊。由俯視圖可知，它自左而右共有3列，第二列各3塊，第三列1塊，從空中俯視的塊數(shù)只要最低層有一塊即可因此，綜合兩圖可知這個(gè)幾何體的形狀不能確定并且最少時(shí)為第一列中有一個(gè)三層，其余為一層，第三列一層，共10塊。如圖2-1，最

10、多要16塊如圖2-2圖2-1圖2-23 C;解析:正確4 A;解析:該幾何體頂部是一個(gè)半徑為1的球，底部是一個(gè)邊長為2的正方體5A;解析：若，則；若，則答案選A6B;解析:正確的為、不正確7A;解析:，得為銳角；，得為銳角；，得為銳角；所以為銳角三角形8 C;解析:將圖形補(bǔ)成一個(gè)正方體如圖，則PA與BD所成角等于BC與BD所成角即DBC在等邊三角形DBC中，DBC=60°，即PA與BD所成角為60°9D;解析:正方體一條棱對(duì)應(yīng)著2個(gè)“正交找面對(duì)”，12條梭共對(duì)應(yīng)著24個(gè)“正交線面對(duì)”，正方體的一條面對(duì)角線對(duì)應(yīng)著1個(gè)“正交線面對(duì)”，12條面對(duì)角線對(duì)應(yīng)著12個(gè)“正交線面對(duì)”，共

11、有36個(gè)10 C;解析: 由條件，知+2×6×8cos ，cos ,即1200，w.w.w.k.s.5.u.c.o.m 所以二面角的大小為600，故選C11D;解析：如圖，建立坐標(biāo)系，易求點(diǎn)D(,1)，平面AA1C1C的一個(gè)法向量是=(1,0,0)，所以cos<，>=,即sin=12B;解析：本題考查空間想象能力、異面直線的定義等相關(guān)知識(shí)由題意，黑“電子狗”爬行路線為AA1A1D1D1C1C1CCBBA，即過6段后又回到起點(diǎn)，可以看作以6為周期，同理，黃“電子狗”也是過6段后又回到起點(diǎn)所以黑“電子狗”爬完2006段后實(shí)質(zhì)是到達(dá)第二段的終點(diǎn)D1,黃“電子狗”爬完2

12、007段后到達(dá)第三段的終點(diǎn)C1此時(shí)的距離為|C1D1|=113解析：合力=(2,1,7), 對(duì)物體作的功即為=(2,1,7)·(3,3,1)=2×3+1×3+7×1=16w.w.w.k.s.5.u.c.o.m 14無窮多 解析：本通主要考查學(xué)生能否迅速構(gòu)出一些常見的幾何模型，并不是以計(jì)算為主（解法一）：本題可以轉(zhuǎn)化為一個(gè)正方形可以有多少個(gè)內(nèi)接正方形，顯然有無窮多個(gè)（解法二）：通過計(jì)算，顯然兩個(gè)正四校錐的高均為,考查放入正方體后，面ABCD所在的截面，顯然其面積是不固定的，取值范圍是：,1)，所以該兒何體的體積取值范圍是: ,w.w.w.k.s.5.u.c

13、.o.m 15;解析：球心與三點(diǎn)構(gòu)成正三棱錐 ，如圖所示，已知，由此可得面，由，得16解析：如果=,則與不一定共線,所以錯(cuò)誤;因?yàn)橄蛄靠梢匀我馄揭?可知錯(cuò); 中的這一條件缺少,于是錯(cuò)可以證明中A、B、C、M四點(diǎn)共面等式兩邊同加，則=0,即,則與、共面，又M是三個(gè)有向線段的公共點(diǎn)，故A、B、C、M四點(diǎn)共面故是真命題三、解答題：17證明：（I）如圖，連結(jié)OP，以O(shè)為坐標(biāo)原點(diǎn)，分別以O(shè)B、OC、OP所在直線為軸，軸，軸，建立空間直角坐標(biāo)系O，wwwks5ucom 則，co 3分由題意得，因， 因此平面BOE的法向量為，得，又直線不在平面內(nèi)，因此有平面com 6分 （II）設(shè)點(diǎn)M的坐標(biāo)為，則，因?yàn)槠矫?/p>

14、BOE，所以有，因此有，即點(diǎn)M的坐標(biāo)為，com 8分在平面直角坐標(biāo)系中，的內(nèi)部區(qū)域滿足不等式組，經(jīng)檢驗(yàn)，點(diǎn)M的坐標(biāo)滿足上述不等式組，所以在內(nèi)存在一點(diǎn)，使平面，由點(diǎn)M的坐標(biāo)得點(diǎn)到，的距離為wwwks5ucom 12分18解法一：（1），就是異面直線與所成的角，即，（2分）連接，又，則ABCA1B1C1FE為等邊三角形，4分由，；6分 （2）取的中點(diǎn)，連接，過作于，連接，,平面 又，所以平面，即，所以就是平面與平面所成的銳二面角的平面角。8分在中，,，10分因此平面與平面所成的銳二面角的大小為。12分說明：取的中點(diǎn)，連接，同樣給分（也給12分）解法二：（1）建立如圖坐標(biāo)系，于是，（）， 3分由于異

15、面直線與所成的角，A1BCB1C1xyz所以與的夾角為即6分 （2）設(shè)向量且平面于是且，即且，又，所以，不妨設(shè)8分同理得，使平面，（10分）設(shè)與的夾角為，所以依，12分平面，平面，因此平面與平面所成的銳二面角的大小為。14分說明：或者取的中點(diǎn)，連接，于是顯然平面19 解: (1)由幾何體的三視圖可知，底面ABCD是邊長為4的正方形,PA面ABCD,PAEB，PA=2EB=4PA=AD,F為PD的中點(diǎn)，PDAF，又CDDA,CDPA,PADA=A，CD面ADP,CDAF又CDDP=D,AF面PCD 4分 （2）取PC的中點(diǎn)M,AC與BD的交點(diǎn)為N，連結(jié)MN，MN=PA，MNPA，MN=EB,MN

16、EB，故四邊形BEMN為平行四邊形，EMBN，又EM面PEC,BD面PEC 7分 （3）分別以BC,BA,BE為x,y,z軸建立空間直角坐標(biāo)系，則C( 4,0,0)，D(4 ,4 ,0)，E(0,0,2)，A(0,4 ,0)，P(0,4,4)， F為PD的中點(diǎn)，F(xiàn)(2,4,2)AF面PCD，為面PCD的一個(gè)法向量，=(2,0,2)，設(shè)平面PEC的法向量為=(x,y ,z)，則, ,令x=1, 10分與的夾角為面PEC與面PDC所成的二面角（銳角）的余弦值為 12分20解：（1）假設(shè)四點(diǎn)共面，則存在實(shí)數(shù)使，且，即4分比較對(duì)應(yīng)的系數(shù)，得一關(guān)于的方程組解得與矛盾，故四點(diǎn)不共面；6分 （2）若向量，共

17、面，則存在實(shí)數(shù)使，同（1）可證，這不可能，因此可以作為空間的一個(gè)基底，令，由，聯(lián)立得到方程組，從中解得10分所以12分21（1）張老師換掉的另一根塑料棒是CD（或AD、BC、BA），而陳成同學(xué)換掉的另一根塑料棒是AC3分根據(jù)題意作出如圖所示的圖形，其中圖(1)表示陳 成同學(xué)想搭成的三棱錐,取AC中點(diǎn)E，連結(jié)BE、DE，因AB2+CB2=AC2=2a2，所以BE是直角 ABC斜邊上的中線，得BE=，同理， DE=，從而由BE+DE=BD,不能構(gòu)成三角形， 所以圖(1)錯(cuò)誤 5分 （2）如圖(2)，不妨設(shè)張老師換掉的另一根塑料捧是CD，取BD中點(diǎn)F，連結(jié)AF、CF，因ABD是等腰三角形，所以AFBD，又BCD是直角三角形所以CFBFDF又AB=ACAD，所以A