2022年貴陽(yáng)市花溪第二中學(xué)九年級(jí)數(shù)學(xué)競(jìng)賽講座第三講充滿活力的韋達(dá)定理

1、第 1 頁(yè)（共 10 頁(yè)）第三講 充滿活力的韋達(dá)定理一元二次方程的根與系數(shù)的關(guān)系，通常也稱為韋達(dá)定理，這是因?yàn)樵摱ɡ硎怯?6 世紀(jì)法國(guó)最杰出的數(shù)學(xué)家韋達(dá)發(fā)現(xiàn)的韋達(dá)定理簡(jiǎn)單的形式中包含了豐富的數(shù)學(xué)內(nèi)容，應(yīng)用廣泛，主要體現(xiàn)在：運(yùn)用韋達(dá)定理，求方程中參數(shù)的值；運(yùn)用韋達(dá)定理，求代數(shù)式的值；利用韋達(dá)定理并結(jié)合根的判別式，討論根的符號(hào)特征；利用韋達(dá)定理逆定理，構(gòu)造一元二次方程輔助解題等韋達(dá)定理具有對(duì)稱性，設(shè)而不求、整體代入是利用韋達(dá)定理解題的基本思路韋達(dá)定理，充滿活力，它與代數(shù)、幾何中許多知識(shí)可有機(jī)結(jié)合，生成豐富多彩的數(shù)學(xué)問(wèn)題，而解這類問(wèn)題常用到對(duì)稱分析、構(gòu)造等數(shù)學(xué)思想方法【例題求解】【例 1】 已知、是

2、方程012xx的兩個(gè)實(shí)數(shù)根，則代數(shù)式)2(22的值為思路點(diǎn)撥所求代數(shù)式為、的非對(duì)稱式，通過(guò)根的定義、一元二次方程的變形轉(zhuǎn)化為( 例【例 2】如果a、b都是質(zhì)數(shù)，且0132maa，0132mbb，那么baab的值為 ( ) a22123b22125或 2 c22125d22123或 2 思路點(diǎn)撥可將兩個(gè)等式相減， 得到a、b的關(guān)系，由于兩個(gè)等式結(jié)構(gòu)相同，可視a、b為方程0132mxx的兩實(shí)根，這樣就為根與系數(shù)關(guān)系的應(yīng)用創(chuàng)造了條件注：應(yīng)用韋達(dá)定理的代數(shù)式的值，一般是關(guān)于1x、2x的對(duì)稱式，這類問(wèn)題可通過(guò)變形用1x+2x、1x2x表示求解，而非對(duì)稱式的求值常用到以下技巧：(1) 恰當(dāng)組合；(2) 根

3、據(jù)根的定義降次；(3) 構(gòu)造對(duì)稱式精品學(xué)習(xí)資料 可選擇p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 1 頁(yè)，共 10 頁(yè) - - - - - - - - -第 2 頁(yè)（共 10 頁(yè)）【例 3】 已知關(guān)于x的方程：04)2(22mxmx (1)求證：無(wú)論m取什么實(shí)數(shù)值，這個(gè)方程總有兩個(gè)相異實(shí)根 (2)若這個(gè)方程的兩個(gè)實(shí)根1x、2x滿足212xx，求m的值及相應(yīng)的1x、2x思路點(diǎn)撥對(duì)于 (2) ，先判定1x、2x的符號(hào)特征，并從分類討論入手【例 4】 設(shè)1x、2x是方程02324222mmmxx的兩個(gè)實(shí)數(shù)根，當(dāng)m為何值時(shí)，2221xx有最小值 ?并求出這個(gè)最小值思路點(diǎn)撥利

4、用根與系數(shù)關(guān)系把待求式用m的代數(shù)式表示，再?gòu)呐浞椒ㄈ胧?，?yīng)注意本例是在一定約束條件下 ( 0)進(jìn)行的注：應(yīng)用韋達(dá)定理的前提條件是一元二次方程有兩個(gè)實(shí)數(shù)根，即應(yīng)用韋達(dá)定理解題時(shí)，須滿足判別式0 這一條件，轉(zhuǎn)化是一種重要的數(shù)學(xué)思想方法，但要注意轉(zhuǎn)化前后問(wèn)題的等價(jià)性精品學(xué)習(xí)資料 可選擇p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 2 頁(yè)，共 10 頁(yè) - - - - - - - - -第 3 頁(yè)（共 10 頁(yè)）【例 5】 已知：四邊形abcd中，abcd，且ab、cd的長(zhǎng)是關(guān)于x的方程047)21(222mmxx的兩個(gè)根(1) 當(dāng)m 2和m2 時(shí)，四邊形abcd分別是哪種四

5、邊形?并說(shuō)明理由(2) 若m、n分別是ad、bc的中點(diǎn)，線段mn分別交ac、bd于點(diǎn)p，q，pq1，且abbc) 的長(zhǎng)是關(guān)于x 的方程的兩個(gè)根(1) 求rn的值；（2）若e是ab上的一點(diǎn)，cfde于f，求be為何值時(shí)， cef的面積是ced的面積的31，請(qǐng)說(shuō)明理由16 設(shè)m是不小于1的實(shí)數(shù)，使得關(guān)于 x 的方程工033)2(222mmxmx有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根1x、2x(1) 若62221xx，求m的值(2) 求22212111xmxxmx的最大值精品學(xué)習(xí)資料 可選擇p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 6 頁(yè)，共 10 頁(yè) - - - - - - - - -

6、第 7 頁(yè)（共 10 頁(yè)）17如圖，已知在abc中，acb=90，過(guò)c作cdab于d，且adm，bd=n，ac2：bc2 2：1；又關(guān)于x的方程012)1(24122mxnx兩實(shí)數(shù)根的差的平方小于192，求整數(shù)m、n的值18設(shè) a、b、 c為三個(gè)不同的實(shí)數(shù)，使得方程和012axx和02cbxx有一個(gè)相同的實(shí)數(shù)根，并且使方程02axx和02bcxx也有一個(gè)相同的實(shí)數(shù)根，試求cba的值精品學(xué)習(xí)資料 可選擇p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 7 頁(yè)，共 10 頁(yè) - - - - - - - - -第 8 頁(yè)（共 10 頁(yè)）參考答案精品學(xué)習(xí)資料 可選擇p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 8 頁(yè)，共 10 頁(yè) - - - - - - - - -第 9 頁(yè)（共 10 頁(yè)）精品學(xué)習(xí)資料 可選擇p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 9 頁(yè)，共 10 頁(yè) - - -