發(fā)電機組的優(yōu)化配置問題數(shù)學建模論文

1、A題院系_參賽隊員_聯(lián)系電話_題目發(fā)電機組的優(yōu)化配置摘要本文針對不同種類發(fā)電機，不同時段的實際用電情況，建立了如何合理安排發(fā)電機使用的模型。對于問題（一） ，該模型靈活運用二次規(guī)劃，整體考慮一天中的各個階段，并利用lingo求得一天中最小費用為997790( 元 ) 。在問題（二）中，應用經(jīng)濟學模型和統(tǒng)計學中線性回歸分析的原理，并利用excel中豐富的統(tǒng)計函數(shù)和lingo軟件求得結(jié)果。問題（三），仿照問題（一）的方法，但發(fā)現(xiàn)最小費用沒變。正文一、問題重述電是我們生活中不可缺少的一部分，現(xiàn)考慮發(fā)電機組優(yōu)化配置問題。某發(fā)電廠負責某地區(qū)的供電任務，已知該地區(qū)夏季一天的電力需求如下：段（時）0-66-

2、99-1515-1818-24需求（兆瓦）1500030000250004000027000現(xiàn)電廠有三種類型發(fā)電機可投入運轉(zhuǎn)：一型 12 臺；二型 6 臺；三型 5 臺；各個型號機組相關數(shù)據(jù)如下：輸出最低水輸出最高水輸出最低水平費用（元）每臺機組開動類型準備費用（元）平（兆瓦）平（兆瓦）（每小時）（每兆瓦）1850200010002200021250175026001.3100031500400030003500正常情況下，在滿足估計的負荷要求之外，每一時刻運轉(zhuǎn)的發(fā)電機組應足夠多，使得當負荷增加不超過15%時，能夠通過調(diào)高運轉(zhuǎn)的發(fā)電機組的輸出來滿足增載的要求。請你建立該問題的數(shù)學模型，通過求解

3、模型回答以下問題：（ 1） 在一天中各個時間段應安排使用那些發(fā)電機組運轉(zhuǎn)可以使得在滿足負荷要求的情況下總的費用最低？總的費用為多少？（ 2） 在一天中每段時間，電力生產(chǎn)的邊際費用是多少？即應為用電定什么價格？（ 3） 將后備輸出保障的 15%降低為 10%，運轉(zhuǎn)費用節(jié)省的情況如何？可以降為多少？二、問題的基本假設1假設每個階段不會變更設備。2不考慮設備需要維護與修理。3假設用電需求相對穩(wěn)定，不會發(fā)生突變。4關閉和啟動發(fā)電機時均是瞬時完成，不計相應使用的時間。5發(fā)電機輸出過程其功率始終保持不變。三、符號說明名稱符號階段i種類j發(fā)電機的臺數(shù)n （i,j）每臺每小時實際的電量p （i,j）第 j臺單

4、位時間最低電量minpj第 j臺單位時間最高電量maxpj名稱符號第 i階段用時t i第 i階段用電需求wi第 j種啟動費bj第 j種輸出最低水平費用aj第 j種每小時超出的費用f j第 j種最多臺數(shù)nj一天總費用Q第 j階段邊際費用cj邊際成本MC四、模型建立與求解問題（一）模型分析此題研究的是每天在第 j 個階段如何合理分配各種類型的發(fā)電機，使每日的成本 Q最低的數(shù)學模型， 建立如下二次規(guī)劃模型3 。發(fā)電機組運轉(zhuǎn)的費用可以分成兩部分：第一部分與其輸出功率和運行時間緊密相連，即：53( p( i , j )min pj )* fia j )* n(i , j ) * t ；i 1j1第二部分

5、與 其輸出功率和運行時間無關，即開機時費用bj * g(n(i , j )n( i 1, j ) )其中g ( x )x , x0 ，0, x0還有當 i=1時， n(i 1, j )n(5, j ) 。模型的建立確定目標函數(shù)在滿足需求量的情況下， 為了使每天發(fā)電成本最低，我們建立如下目標函數(shù)53( p( i , j )min p j )* fia j )* n( i , j ) * ti b j * g ( n( i , j )n( i 1, j ) )i 1j 1其中x , x0g ( x )0, x0約束條件3wip( i , j )* n( i , j ) * t iwi*1.15(i

6、1,2,3, 4,5)j1min p jp( i , j )maxp j( j1, 2,3)模型的求解通過 lingo 編程2（見附錄）得到結(jié)果 Q 為997790.0元在不同時間段對各類型發(fā)電機所需求的數(shù)量，功率如下表所示：階一二三四五段種臺實際功率臺實 際臺實際功率臺實際功率臺實際功率類數(shù)數(shù)功率數(shù)數(shù)數(shù)一12850121625121208.333121958.333121375二3160061750617506175061750三01502.59301500015004150001501.593結(jié)果分析由上述表格可知， 第一種機型在所有階段里全部使用；第二種機型在各階段幾乎全部使用；第三種機

7、型則幾乎沒用 。經(jīng)分析，考慮到需求量與使用成本的關系， 第三種機型不適合用來在該地區(qū)供電。問題（二）模型的分析此題要求一天中每段時間電力生產(chǎn)的邊際費用( 即邊際成本) 。首先給出邊際成本1 的定義： MC是廠商在短期內(nèi)增加一單位產(chǎn)量是所增加的成本。MC limTC(Q)dTCQdQQ0經(jīng)過 lingo試驗， Q 30時 ,發(fā)電機組的類型和數(shù)量都保持不變。所以啟動費不變，不予考慮。模型的建立由問題（一）可知不能直接求出各階段用電價格與需求電量之間的關系，所以不能直接求導。只能通過Q0逐漸逼近才能求出邊際成本。并用線性回歸分析MC與 Q的關系。MC=0 + 1 Q模型的求解本題分別設Q=7,10,

8、 16, 21, 27 兆瓦；通過運行 lingo（程序見附錄）和excel中的INTERCEPT函數(shù)求解擬合直線的截距和LINEST 函數(shù)求解擬合直線的斜率可獲得各階段邊際成本價格 MC(Q) （表格見附錄）0 1y17.799071752.24825E-05y25.99852711.57778E-07y312.0016877-5.6073E-06y46.00085617.46349E-07y511.99706824.44444E-09）14CM（12d1086MC420d（Q）-30-20-100102030模型的結(jié)果由上表格1 相對于 0 為零，每個階段邊際成本逼近于一個常數(shù)，且階段三與

9、階段五的擬合曲線相近，階段二與階段四相近。結(jié)果見下表：階段一二三四五邊際費用（元 /MW）7.7995.99912.0026.00111.997單位時間邊際費用1.3002.0002.0002.0002.000( 元/(MW?h)結(jié)果分析 用影子價格 【5】的方法對上述結(jié)果進行檢驗，可以看出結(jié)果正確。問題（三）模型分析這里的目標函數(shù)同問題一相同，建立單目標最優(yōu)模型。只需在約束條件中將后備輸出保障的15%降低為 10%。目標函數(shù)53( p( i , j )min p j )* fi a j )* n( i , j ) * ti b j * g ( n( i , j ) n( i 1, j ) )

10、i1j1其中x , x0g ( x )0, x0約束條件3wip( i , j ) * n(i , j ) * t iwi *1.1(i1,2,3, 4,5)j1min p jp( i , j )max p j( j1,2,3)模型的結(jié)果通過 lingo編程（見附錄）得到結(jié)果Q 為997790.0元在不同時間段對各類型發(fā)電機所需求的數(shù)量，功率如下表所示：階一二三四段種臺實際功率臺實 際臺實際功率臺實際功率類數(shù)數(shù)功率數(shù)數(shù)五臺實際功率數(shù)一12850121625121208.333121958.333121375二3160061750617506175061750三01502.59301500015

11、004150001501.593結(jié)果分析由上表可知將后備輸出保障的 15%降低為 10%后，總費用 Q 不變，且各階段每種機型的使用臺數(shù)也不變。五、誤差分析發(fā)電機輸出過程其功率始終保持不變是在理想情況下才存在的，有一定的誤差， 還有在開啟以及關閉發(fā)電機時不僅有功率損耗方面的誤差， 而且還有時間方面的誤差， 這些都會對模型的建立有一定程度上的影響。 此外 lingo 的運算結(jié)果只保留小數(shù)點后 3 位數(shù)字，所以也存在無誤差。六、模型評價模型的優(yōu)點：(1) 模型的結(jié)構(gòu)簡潔明了，可移植性好；(2) 問題（一）的模型可操作性強，適用范圍廣；(3) 本模型中使用了 lingo 和 excel 軟件，大大減

12、少了計算量。模型的缺點：(1) 由于軟件等原因，存在誤差；(2) 問題（二）模型的操作較為復雜。七、參考文獻【1】高鴻業(yè) .西方經(jīng)濟學 .中國人民大學出版社.【2】宋來忠 .數(shù)學建模與實驗 .科學出版社 .【3】姜啟源，謝金星，葉俊.數(shù)學建模 .高等教育出版社 .【4】茆詩松， 程依明，濮曉龍 . 概率論與數(shù)理統(tǒng)計教程. 高等教育出版社 .【5】胡運權(quán) . 運籌學基礎及應用. 高等教育出版社 .附錄程序(問題一 )model :sets:Time_slot/1.5/:t,w;Generator_type/1.3/:a,f,b,minp,maxp;Link(Time_slot,Generator

13、_type):n,p;endsetsdata :t=6,3,6,3,6;w=15000,30000,25000,40000,27000;minp=850,1250,1500;maxp=2000,1750,4000;a=1000,2600,3000;f=2,1.3,3;b=2000,1000,500;enddatamin =sum(Link(i,j):n(i,j)*a(j)*t(i)+n(i,j)*(p(i,j)-minp(j)*t(i)*f(j)+5,1,i+1),j) #gt# n(i,j), n(if(n( ifif (i #eq#(i #eq#5,1,i+1),j)-n(i,j),0)*

14、b(j);for (Time_slot(i):sum(Generator_type(j):n(i,j)*p(i,j)>=w(i););for (Time_slot(i):sum(Generator_type(j):n(i,j)*p(i,j)<=w(i)*1.15;);for (Time_slot(i): for (Time_slot(i): for (Time_slot(i): for (Link(i,j): for (Link(i,j): endbnd(0,n(i,1),12););bnd(0,n(i,2),6););bnd(0,n(i,3),5););bnd(minp(j),p

15、(i,j),maxp(j););gin (n(i,j););程序（問題二）：以 Q=7為例：model :sets:Time_slot/1.5/:t,w,q;Generator_type/1.3/:a,f,b,minp,maxp;Link(Time_slot,Generator_type):n,p;endsetsdata :t=6,3,6,3,6;q=7 ;w=15000,30000,25000,40000,27000;minp=850,1250,1500;maxp=2000,1750,4000;a=1000,2600,3000;f=2,1.3,3;b=2000,1000,500;enddat

16、amin =sum(Link(i,j):n(i,j)*a(j)*t(i)+n(i,j)*(p(i,j)-minp(j)*t(i)*f(j)+if (n(if (i #eq#5,1,i+1),j) #gt# n(i,j), n(if (i #eq#5,1,i+1),j)-n(i,j),0)*b(j);for (Time_slot(i):sum(Generator_type(j):n(i,j)*p(i,j)>=w(i)+q;);for (Time_slot(i):sum(Generator_type(j):n(i,j)*p(i,j)<=(w(i)+q)*1.15;);for (Time

17、_slot(i):for (Time_slot(i):bnd(0,n(i,1),12););bnd(0,n(i,2),6););for (Time_slot(i):bnd(0,n(i,3),5););for (Link(i,j):bnd(minp(j),p(i,j),maxp(j););for (Link(i,j):gin (n(i,j););end程序（問題三）model :sets:Time_slot/1.5/:t,w;Generator_type/1.3/:a,f,b,minp,maxp;Link(Time_slot,Generator_type):n,p;endsetsdata :t=

18、6,3,6,3,6;w=15000,30000,25000,40000,27000;minp=850,1250,1500;maxp=2000,1750,4000;a=1000,2600,3000;f=2,1.3,3;b=2000,1000,500;enddatamin =sum(Link(i,j):n(i,j)*a(j)*t(i)+n(i,j)*(p(i,j)-minp(j)*t(i)*f(j)+if (n(if (i #eq#5,1,i+1),j) #gt# n(i,j), n(if (i #eq#5,1,i+1),j)-n(i,j),0)*b(j);for (Time_slot(i):su

19、m(Generator_type(j):n(i,j)*p(i,j)>=w(i););for (Time_slot(i):sum(Generator_type(j):n(i,j)*p(i,j)<=w(i)*1.10;);for (Time_slot(i):bnd(0,n(i,1),12););for (Time_slot(i):bnd(0,n(i,2),6););for (Time_slot(i):bnd(0,n(i,3),5););for (Link(i,j):bnd(minp(j),p(i,j),maxp(j););for(Link(i,j):gin (n(i,j););end表