[寶典]數(shù)學思想方法在解不等式中的應用(朱木良)

1、解不等式中的數(shù)學思想方法云霄朱木良解不等式幾乎貫穿整個高中數(shù)學的學習過程。解不等式是根據(jù)不 等式的同解原理，逐步代換，化簡不等式的過程。解不等式是研究函 數(shù)和方程的重要工具，我們應掌握各類不等式的特點及其常規(guī)解法和 思路，另外還要注意應用數(shù)學思想方法巧解不等式。數(shù)學思想指的是 數(shù)學意識或數(shù)學思維，也是對數(shù)學規(guī)律的理性認識。而數(shù)學方法是人 們以數(shù)學事實進行探索的一種手段，它們密切相關且不可分割的。所 以我們把它稱為數(shù)學思想方法在解不等式過程中，恰當?shù)倪\用思想 方法，能夠起到事半功倍，化繁為簡的效果。一、函數(shù)與方程思想函數(shù)思想就是合理利用函數(shù)的概念和性質(zhì)分析解決問題。例1. 1 求a, b的值，使

2、得關于x的不等式a疋+bx+/ -1 < 0的 解集分別是：(1) -1, 2; (2) (-oo, -1 u 2, 4-oo)； (3) 2;1, +8).分析：不等式的解集與方程的根、函數(shù)的圖象和性質(zhì)有著密切的 聯(lián)系。本題a, b都是未知的，無法直接確定不等式的解集，要把它與 方程的跟及函數(shù)圖像聯(lián)系起來，互相轉(zhuǎn)化和互相利用。解 由題意可知，&>0且-1, 2是方程ax2+bx+6/2-l < 0的根， 所以a>0>同（d方法婁klcii瞬兒可徐l = 血b = l+.(3) 由題意知，2是方程a/+bx+/_i=o的根，所以4a+2b+a2-l=0.又

3、2是不等式2+bx+d21< 0的解集，所以=b4 -4a(aa -1) = 0.ffa = 2+5/5, b = -8-45(4) 由題意知,a=0. b<0,且-1是方程bx+°2-1=0的根，即 -b+/_i=o,所以a=0, b=-l例1. 2設實數(shù)a> 1 >b> 0,問a, b滿足什么關系時，不等式lg(ax-bx)0 的解集是(1, +8 ).分析：欲使不等式的解集為(1, +8)，只需f (x)= lg(ax-bx)在 其定義域上是增函數(shù)，且f (1)=0.解：設f(x)= lg(ax-bx),先確定x的取值范圍.ax-bx0,即(

4、63; ) x > 1,且£ > 1,0b二x ( 0, +8 ).依題意，只需f(x)是(0, +8)上的增函數(shù)，且f (1 ) =0.alb0,ax和-b'都是(0, +°° )上的增函數(shù).從而ax-bx亦是(0, +8 )上的增函數(shù).故f (x)= lg(ax-bx)是(0, +8)上的增函數(shù).又 f (1) = lg (a-b),令 lg(a-b)0，得 a-b=l因此a, b滿足的關系式為a=b+l說明：用函數(shù)的形式把數(shù)量關系表示出來，加以研究，解決問題。二、分類討論思想解含有參數(shù)的不等式時，需根據(jù)參數(shù)的不同取值情況進行分類討論。 分

5、類討論的實質(zhì)分類討論解題的實質(zhì)，是將整體問題化為部分問題來 解決。分類討論的原則是不重復、不遺漏。分類討論的方法是確定討 論范圍，確定分類標準，逐類進行討論。例2 設函數(shù)f (x) = 10珈尢力+ 2> 0且&工)l + 2ax求f(x)的定義域；(2) b>l時，求使f (x) >0的所有x值。分析：由于x2x + 2>0恒成立，l+2ax>0，下面再討論；(2) 由f (x) >0,得x2 - 2 (1+a) x + 1>0,再分 <0與0討論，或由 =0,得 a= - 2 和 a=0o 下面再分 a< - 2, a= - 2

6、, - 2<a<0, a=0, a>0 討論，這里選用后一種方法討論。解：(1) x2 - 2x + 2= (x - 1)2 + 1>0.l+2ax>0.若a=0,則f(x)的定義域為r;若a>0,則f (x)的定義域為(-丄，2a+ 8 )；若a<0,則f (x)的定義域為(一 8，-丄).2a當b>l時，在f(x)的定義域內(nèi)，f (x) >0等價于x2 - 2x + 2>l+2ax,即 x2 - 2 (1+a) x + l>0.令 z=4a (a+2) =0,得 a= - 2 和 a=0.當a<-2時,a>0.x

7、2 - 2 (1+a) x + 1=0 兩根為xi=l+a-j/ + 2。，x2=l+a+j/ + 2d .xi<x2=l+a+ j/ + 2a =； < 0 < - 丄l + a-a2 + 2a 2a二 x<l+a- j/ + 2° 或 l+a+vtz2 + 2a <x<- 2a 當a=-2時，x丄，且x工-1.4 當-2<a<0 時，<(), x<-丄.2a 當a=0時，x r，且xhl. 當 a>0 時，a >0, x2>xi>0>-丄.2d一<x<l+a-+ 2°

8、或 x>l+a+ 2。2a評注:本題中分幾個不同層次討論參數(shù)的變化情況，每一層次的劃分 是在變形或解題過程中，在探明“方向”后再進行分類討論.三. 換元思想由不等式的結(jié)構(gòu)特征，引入一個新的變量替換原來的式子，使式子 由復雜變得簡單，讓復雜的關系變得簡明扼要，讓隱含的關系直觀明 了。例3.1:解不等式丄w年二is丄。12 xvx + 16分析：若試圖將不等式化為基本形式求解，須先去分母，有x < 0j x + 1 - 1 < xyj x + 1 12jx + 1 _ 1 n _ xyx + 16至此，解題難以為繼。若令jx + 1 =t,則x=t2-l. x>t,且xho

9、, t>0且thl,不等 式化為/>o,/1), 即 12 (尸一 1)/ 6v712 (r + l)r 6v76<t(t+l) <12(t>0).解得 2<t<3,從而2<v7tt<3,即4<x+l<9。不等式的解集是3, 8o例3.2：解不等式447 <x2-x-2分析：如果兩邊平方去掉根號，變成有四次方，那就復雜了，考慮用三 角代換化簡，去掉根號.解：設兀=2sin0，o g,則 4-%2=cos2,l 2, 2,j原不等式化為 2cos & < 4s in?-2s in&-2,即(sin&am

10、p;+cos0)(1 一sin0+cos&) < 0.5 一釜sin&+cos&>0, sin&+cos& < 0,即 sin(6>+) < 0.4由此解得-<e < -,24即-2<x <-v2 o評注：引入一個新的變量把無理不等式轉(zhuǎn)化成有理式，可以避免解無 理不等式時需要分類討論造成的復雜運算。數(shù)形結(jié)合是指通過數(shù)和形之間的對應和轉(zhuǎn)化來解決問題，若不等 式的結(jié)構(gòu)能通過某種途徑和圖形建立聯(lián)系，那么可以設法構(gòu)造圖形，把不等式所要表達的抽象的數(shù)量關系轉(zhuǎn)化成圖形來解決。例 4：設 f (x)=7%2+l -

11、ax,其中 a>0,解不等式 f (x) < 1. 解：原不等式等價于77tt <ax+l.在同一坐標系中作出y=vx2+i與y=ax+l的圖像(如圖)。 則研究的問題轉(zhuǎn)化為直線l：y=ax+l位于曲線c: y2-x2=l上半支上方時x的范圍。(1) 當0<al時，直線1與曲線c有兩個交點，其交點橫坐標分別為x=o和x=-v, /.a<x<-cr1 )-x > 0.(2) 當時，直線1與曲線c只有一個交點( 綜合(1)(2)得：當0<a<l時，原不等式的解集為x|0<x二 ;1-a當a>l時，原不等式的解集為x|x>0l五

12、.等價轉(zhuǎn)化思想等價轉(zhuǎn)化思想就是在處理問題時，把那些難以解決的問題，選擇 合適的方法進行變換，歸結(jié)為比較容易解決的問題，找到解決問題的 突破口，避開復雜運算。通過不斷地將問題轉(zhuǎn)化，使問題逐次達到 規(guī)范化、模式化，直至解決問題。例5：當x gr時，不等式m + cos2 x < 3 + 2sinx + 72m + 1恒成立，求 實數(shù)加的取值范圍.分析：原不等式o m - v2m +1 < 3 + 2sin j-cos2 x的解集為r,求加的范圍，從而找到切入口為:m - 72m +1小于函數(shù)/(%) = 3 + 2sin兀一 cos2 %的最小值.解：令.f (%) = 3 + 2si

13、nx-cos2 x = (sinx +1)2 + 1，( x gr )當sin兀=-1時，/(兀)的最小值為1.原命題o解關于in的不等式加-+ < 1 <=> 丁2加+ 1 > m-<=>m <4.-1 <()式 j 加 一 1 n 02/n +1 > 02m + 1 > (m i)2評注：本例通過幾次等價轉(zhuǎn)化，把原本練手的問題轉(zhuǎn)化為顯而易 見的問題，然后利用相關知識來解決，這是等價轉(zhuǎn)化思想的巧妙之處.六.整體思想整體思想就是對問題的整體結(jié)構(gòu)進行分析、改造，把某些式子看成 一個整體，把握好已未知和已知的聯(lián)系，有意識、有目的的整體處理， 達到解題目的。例 6、已知 f (x) =ax2-c,且-4<f (1)(2) <5,求 f 的范圍。解： 令 f (3) =9a-c=mf (1) +nf (2) = (m+4n) a- (m+n) c,5m + 4n = 9 m =m+n=n=3f(3)= |/(2)-|/(l),又-4<f (1)(2) <5,/.-i <f (3) <20。評注：題中 f (l)=ac,f (2)=4ac,且