隨機(jī)過(guò)程隨機(jī)分析推薦課件

1、2021/8/221第六章第六章 隨機(jī)分析隨機(jī)分析2021/8/222 隨機(jī)分析簡(jiǎn)介隨機(jī)分析簡(jiǎn)介 微積分中普通函數(shù)的連續(xù)、導(dǎo)數(shù)和積分微積分中普通函數(shù)的連續(xù)、導(dǎo)數(shù)和積分等概念推廣到隨機(jī)過(guò)程的連續(xù)、導(dǎo)數(shù)和等概念推廣到隨機(jī)過(guò)程的連續(xù)、導(dǎo)數(shù)和積分上即隨機(jī)分析積分上即隨機(jī)分析2021/8/223 隨機(jī)分析簡(jiǎn)介隨機(jī)分析簡(jiǎn)介 一、均方收斂一、均方收斂 定義定義6.4 設(shè)有二階矩隨機(jī)序列設(shè)有二階矩隨機(jī)序列Xn和二和二階矩隨機(jī)變量階矩隨機(jī)變量X，若有若有成立，則稱成立，則稱Xn均方收斂于均方收斂于X。記作記作 或或0|lim2XXEnnXXnnl.i.mXXnm.s(mean square) (limit in

2、 mean) 2021/8/224隨機(jī)分析簡(jiǎn)介隨機(jī)分析簡(jiǎn)介定理定理6.2（柯西收斂定理）（柯西收斂定理） 二階矩隨機(jī)序列二階矩隨機(jī)序列Xn收斂于二階矩隨機(jī)收斂于二階矩隨機(jī)變量變量X的充要條件是的充要條件是0|lim2,mnmnXXE2021/8/225隨機(jī)分析簡(jiǎn)介隨機(jī)分析簡(jiǎn)介定理定理6.2 設(shè)設(shè)Xn, Yn, Zn,都是二階矩隨機(jī)都是二階矩隨機(jī)序列，序列，U是二階矩隨機(jī)變量，是二階矩隨機(jī)變量，cn為常數(shù)為常數(shù)序列，序列，a,b,c為常數(shù)，令為常數(shù)，令則則(1) (2) (3),l.i.mXXnn,l.i.mYYnn,l.i.mZZnnccnnlimcccnnnnliml.i.mUUnl.i.m

3、cUUcnnl.i.m2021/8/226隨機(jī)分析簡(jiǎn)介隨機(jī)分析簡(jiǎn)介(4)(5)(6)bYaXbYaXnnnl.i.mnnnnXEEXEXl.i.mlimnnnnnnnYXEXYEYXEl.i.ml.i.mlim222l.i.mlimnnnnXEXEXE2021/8/227隨機(jī)分析簡(jiǎn)介隨機(jī)分析簡(jiǎn)介 定理定理6.4 設(shè)設(shè)Xn 為二階矩隨機(jī)序列，為二階矩隨機(jī)序列，則則Xn均方收斂的充要條件是下列極限均方收斂的充要條件是下列極限存在存在mnmnXXE,lim2021/8/228隨機(jī)分析簡(jiǎn)介隨機(jī)分析簡(jiǎn)介 二、均方連續(xù)二、均方連續(xù) 定義定義6.6 設(shè)有二階矩過(guò)程設(shè)有二階矩過(guò)程X(t),t T，若若對(duì)每一個(gè)

4、對(duì)每一個(gè)t T ，有，有則稱則稱X(t)在在t點(diǎn)均方連續(xù)，記作點(diǎn)均方連續(xù)，記作若對(duì)若對(duì)T中的一切點(diǎn)都均方連續(xù)，則稱中的一切點(diǎn)都均方連續(xù)，則稱X(t)在在T上均方連續(xù)上均方連續(xù)0| )()(|lim20tXhtXEh)()(l.i.m0tXhtXh2021/8/229隨機(jī)分析簡(jiǎn)介隨機(jī)分析簡(jiǎn)介 定理定理6.5（均方連續(xù)準(zhǔn)則）（均方連續(xù)準(zhǔn)則） 二階矩過(guò)程二階矩過(guò)程X(t),t T，在在t點(diǎn)均方連續(xù)點(diǎn)均方連續(xù)的充要條件為相關(guān)函數(shù)的充要條件為相關(guān)函數(shù)RX(t1,t2)在點(diǎn)在點(diǎn)(t,t)處連續(xù)。處連續(xù)。 推論推論 若相關(guān)函數(shù)若相關(guān)函數(shù)RX(t1,t2)在在(t,t)，t T上連續(xù)，則它在上連續(xù)，則它在T

5、T上連續(xù)。上連續(xù)。),(),(),( ),(| )()(|2ttRthtRhttRhthtRtXhtXEXXXX 2021/8/2210隨機(jī)分析簡(jiǎn)介隨機(jī)分析簡(jiǎn)介 三、均方導(dǎo)數(shù)三、均方導(dǎo)數(shù) 定義定義6.7 二階矩過(guò)程二階矩過(guò)程X(t),t T，若存在若存在隨機(jī)過(guò)程隨機(jī)過(guò)程X (t)，滿足滿足則稱則稱X(t)在在t點(diǎn)均方可微，點(diǎn)均方可微，記作記作并稱并稱X (t)為為X(t)在在t點(diǎn)的均方導(dǎo)數(shù)。點(diǎn)的均方導(dǎo)數(shù)。0)()()(lim20tXhtXhtXEhhtXhtXdttdXtXh)()(l.i.m)()(02021/8/2211隨機(jī)分析簡(jiǎn)介隨機(jī)分析簡(jiǎn)介 若若X(t)在在T上每一點(diǎn)均方可微，則稱上每

6、一點(diǎn)均方可微，則稱X(t)在在T上均方可微。上均方可微。 類似地可定義二階均方導(dǎo)數(shù)類似地可定義二階均方導(dǎo)數(shù) 相關(guān)函數(shù)相關(guān)函數(shù)RX(t1,t2)的廣義二階導(dǎo)數(shù)定義為的廣義二階導(dǎo)數(shù)定義為htXhtXdttXdtXh)()(l.i.m)()(0 21212212121122110021212),(),( ),(),(lim),(21hhttRhttRhhthtRhthtRttttRXXXXhhX2021/8/2212隨機(jī)分析簡(jiǎn)介隨機(jī)分析簡(jiǎn)介 定理定理6.6（均方可微準(zhǔn)則）（均方可微準(zhǔn)則） 二階矩過(guò)程二階矩過(guò)程X(t),t T，在在t點(diǎn)均方可微點(diǎn)均方可微的充要條件為相關(guān)函數(shù)的充要條件為相關(guān)函數(shù)RX(t

7、1,t2)在點(diǎn)在點(diǎn)(t,t)的廣義二階導(dǎo)數(shù)存在。的廣義二階導(dǎo)數(shù)存在。 推論推論1 二階矩過(guò)程二階矩過(guò)程X(t),t T 在在T上均方上均方可微的充要條件為相關(guān)函數(shù)可微的充要條件為相關(guān)函數(shù)RX(t1,t2)在在(t,t)，t T上每一點(diǎn)廣義二階可微。上每一點(diǎn)廣義二階可微。 推論推論2 若相關(guān)函數(shù)若相關(guān)函數(shù)RX(t1,t2)在在(t,t)，t T上每一點(diǎn)廣義二階可微，則上每一點(diǎn)廣義二階可微，則2021/8/2213隨機(jī)分析簡(jiǎn)介隨機(jī)分析簡(jiǎn)介 )()(),(),()4()()()()(),()3()()()()(),()2()()()() 1 (),(,),(,),(,)(21122122121221

8、1212212112112121212221121tXtXEttttRttttRtXtXEttXtXEtttRtXtXEttXtXEtttRtXEdttdEXdttdmTTttttRtttRtttRTdttdmXXXXXXXXX上上存存在在，并并且且有有在在上上在在2021/8/2214隨機(jī)分析簡(jiǎn)介隨機(jī)分析簡(jiǎn)介 四、均方積分四、均方積分 設(shè)設(shè)X(t),t T為二階矩過(guò)程，為二階矩過(guò)程，f(t)為普通函為普通函數(shù)，其中數(shù)，其中T=a,b，用一組分點(diǎn)將用一組分點(diǎn)將T劃分如劃分如下：下：a=t0t1tn=b，), 2 , 1(, )()(,max11111nittttttXtfSttiiiniiii

9、inniini其中其中作和式作和式記記2021/8/2215隨機(jī)分析簡(jiǎn)介隨機(jī)分析簡(jiǎn)介定義定義6.8 如果當(dāng)如果當(dāng) n0時(shí)，時(shí)，Sn均方收斂于均方收斂于S，即即 ，則稱在區(qū)間，則稱在區(qū)間a,b上均方可積，并記為上均方可積，并記為0|lim20SSEnn)()(l.i.m )()(110iiiniibatttXtfdttXtfSn2021/8/2216隨機(jī)分析簡(jiǎn)介隨機(jī)分析簡(jiǎn)介 定理定理6.7（均方可積準(zhǔn)則）（均方可積準(zhǔn)則） f(t)X(t)在區(qū)間在區(qū)間a,b上均方可積的充要條上均方可積的充要條件為件為 存在，存在， 特別地，二階矩過(guò)程特別地，二階矩過(guò)程X(t)在區(qū)間在區(qū)間a,b上上均方可積的充要條

10、件為均方可積的充要條件為RX(t1,t2)在在a,b a,b上可積。上可積。 babaXdtdtttRtftf212121),()()(2021/8/2217隨機(jī)分析簡(jiǎn)介隨機(jī)分析簡(jiǎn)介 定理定理6.8 設(shè)設(shè) f(t)X(t)在區(qū)間在區(qū)間a,b上均方可上均方可積，則有積，則有(1)(2)babababadttEXdttXEdttEXtfdttXtfE)()()()()()(特特別別地地有有 babaXbababaXbabadtdtttRdttXEdtdtttRtftfdttXtfdttXtfE21212212121222111),()(),()()()()()()(特特別別地地有有2021/8/2

11、218隨機(jī)分析簡(jiǎn)介隨機(jī)分析簡(jiǎn)介 定理定理6.9 設(shè)二階矩過(guò)程設(shè)二階矩過(guò)程X(t),t T 在區(qū)在區(qū)間間a,b上均方連續(xù)，則上均方連續(xù)，則在均方意義下存在，且隨機(jī)過(guò)程在均方意義下存在，且隨機(jī)過(guò)程Y(t),t T在區(qū)間在區(qū)間a,b上均方可微，有上均方可微，有Y (t)=X(t)。 推論推論 設(shè)設(shè)X(t)均方可微，且均方可微，且X (t)均方連均方連續(xù)，則續(xù)，則)( ,)()(btadXtYta batadXaXbXdXaXtX )()()()()()( 特別地有特別地有2021/8/2219隨機(jī)分析簡(jiǎn)介隨機(jī)分析簡(jiǎn)介 例例6.7 設(shè)設(shè) X(t),t T 是實(shí)均方可微過(guò)程，是實(shí)均方可微過(guò)程，求其導(dǎo)數(shù)過(guò)程求其導(dǎo)數(shù)過(guò)程X (t),t T的協(xié)方差函數(shù)的協(xié)方差函數(shù)BX (s,t)。解解 由定理由定理6.6推論推論2(1)由定理由定理6.6推論推論2(4)()()()(tmtXEdttdEXd