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文檔簡介

1、初中數(shù)學“應用性問題”總復習要過好“三關”初中數(shù)學新課程標準指出,學生要會應用所學知識解決實際問題,能適應社會日常生活和生產勞動的基本需要。初中數(shù)學的學習目的之一,就是培養(yǎng)學生解決實際問題的能力,要求學生會分析和解決生產、生活中的數(shù)學問題,形成善于應用數(shù)學的意識和能力。從各省市近幾年的中考數(shù)學命題來看,也更關注學生靈活運用數(shù)學知識解決實際問題能力的考查,可以說培養(yǎng)學生解答應用題的能力是使學生能夠運用所學數(shù)學知識解決實際問題的基本途徑之一。 一、當前“應用性問題”教學存在的不足。一些教師常常在應用題教學時,抱怨“應用題我都講了千百遍,學生的應用意識一點也不見增強,遇到應用題總是一籌莫展”,“學生

2、對應用題的閱讀理解能力太差了”。長期以來,由于受傳統(tǒng)的教學模式影響,出現(xiàn)了學生重課本、輕生活,加上學生的生活閱歷有限,對應用題的背景和情境不熟,另外,很多學生遇到文字比較長的應用題不知道怎樣去分析,去尋找題中的數(shù)量關系,不知道怎樣把實際問題化成一個數(shù)學問題,建立數(shù)學模型。有教師曾做過一次調查,針對所教的初一兩個班的學生,入學后的第一次期中考試應用題的得分情況進行統(tǒng)計分析,結果是這樣的:  考試中遇到應用題,有信心,可以很快找到解題方法的只占21;信心不足,但會盡力去想辦法解決,爭取多得分的占42.1;沒有信心,根本不知道應用題該如何下手的占36.9。我們在下校聽課調研中也發(fā)現(xiàn),越是到

3、初中二年級以后,學生應用題解題能力越產生極大的兩極分化。由于一些學生覺得解應用題,要用到代數(shù)的計算,會很復雜,難于計算。從上述的調查、調研結果看,大多數(shù)學生對解應用題存在畏難情緒,信心嚴重不足。二、解決“應用性問題”要過好“三關”。針對以上分析的教學現(xiàn)狀和存在的不足,我們在進行初中數(shù)學“應用性問題”總復習時,要讓學生過好如下“三關”。(一)閱讀理解關。在應用題的閱讀、審題、理解題意時,要注意“三讀”。一是“粗讀”。應用題實際上就是一篇說明文,文字較多,信息量較大,需要快速地瀏覽一遍,了解題目的大意,講述的是什么事件,屬哪一類問題(如利率問題、行程問題、工程問題等)。條件是什么,要求是什么。同時

4、要求學生手腦結合在一起,一邊讀、一邊記、一邊畫出相應的示意圖。便于查看,防止信息的遺漏。二是“細讀”。在細讀中抓住題目中的關鍵詞和重要語句,將其畫出來。要求學生在粗讀的基礎上逐字、逐詞、逐句進行細讀,弄清含義及相互聯(lián)系。對一些字詞在解題中往往起到關鍵作用,務必抓住、用準,比如“增加了”、“增加到”、“至多”、“至少”、“都是”、“都不是”等。另外,還要注意到題目中提供的信息,弄清其內涵和外延。三是“精讀”。閱讀應用題重在領會,精讀的關鍵就是把應用題的抽象內容轉化為具體內容,把圖像、符號轉化為文字表述,把文字表述的關系轉化為圖表、符號,使大腦建立起靈活的轉化機制。例1:某學校組織八年級學生參加社

5、會實踐活動,若單獨租用35座客車若干輛,則剛好坐滿;若單獨租用55座客車,則可以少租一輛,且余45個空座位。(1)求該校八年級學生參加社會實踐活動的人數(shù);(2)已知35座客車的租金為每輛320元,55座客車的租金為每輛400元。根據(jù)租車資金不超過1500元的預算,學校決定同時租用這兩種客車共4輛(可以坐不滿)。請你計算本次社會實踐活動所需車輛的租金。對于本題的“三讀”可這樣進行:先“粗讀”:把題目快速的瀏覽一遍,了解到題目的大意是:八年級的學生坐客車去參加社會實踐活動。 條件是:單獨租用35座客車,剛好坐滿,且每輛租金320元。單獨租用55座客車,則可以少租一輛,且余45個空座位,每輛租金40

6、0元。同時租用這兩種客車共4輛(可以坐不滿)。要求的是:八年級學生的人數(shù)。本次社會實踐活動所需車輛的租金。再“細讀”:找關鍵詞:“剛好坐滿”、“少租一輛”、“空座位”、“不超過”、“坐不滿”。重要語句:若單獨租用35座客車若干輛,則剛好坐滿;若單獨租用55座客車,則可以少租一輛,且余45個空座位。租車資金不超過1500元的預算。兩種客車共4輛(可以坐不滿)后“精讀”:把文字表述轉化為數(shù)學語言:若單獨租用35座客車若干輛,則剛好坐滿;若單獨租用55座客車,則可以少租一輛,且余45個空座位,轉化為:用35座客車所載的學生數(shù)=用55座客車所載的學生數(shù)。 租車資金不超過1500元,轉化為:租用35座客

7、車所需的資金+租用55座客車所需的資金1500。把文字表述轉化為圖表:(1)設租用35座客車x 輛,則租用55座客車(x-1)輛。列表如下:  35座的客車55座的客車租用車輛 x x-1學生數(shù) 35x55(x-1)-45利用學生數(shù)不變列方程,即35x=55(x-1)-45 解得x=5(2)設租用35座客車x 輛,則租用35座客車(4-x)輛。列表如下:  35座的客車55座的客車租用車輛 x 4-x學生數(shù) 35x55(4-x)租 金320x400(4-x)利用學生可以坐不滿和不超過1500列出下列不等式:35x+55(4-x)175320x+400(4-x)1500 解得

8、:x, 又x為整數(shù),x=2(二)建模能力關。       為了提高學生解應用題的能力,常見許多教師的做法是猜題、押題、抓題型,其結果是面面俱到,但最終卻一無所獲,這種灌輸式的教學模式,可能對于純而又純的數(shù)學題型或許有用,但對問題情景開放的應用題的教學,真正的思想方法是數(shù)學建模。所謂數(shù)學建模就是在閱讀材料、理解題意的基礎上,把實際問題抽象成數(shù)學問題,并對獲取的信息進行分析加工、去粗取精、抽象概括,利用數(shù)學知識建立相應的數(shù)學模型。中學數(shù)學中常見的數(shù)學模型有:對現(xiàn)實生活中普遍存在的數(shù)量關系中抽象成的方程(組)的模型;對現(xiàn)實生活中普

9、遍存在的不等關系中抽象成的不等式(組)的模型;對現(xiàn)實生活中普遍存在的變量關系中抽象成的函數(shù)模型;涉及圖象的位置變化、性質特征的幾何模型等。1、建立方程(組)模型。例2某天,一蔬菜經營戶用60元錢從蔬菜批發(fā)市場批了西紅柿和豆角共40kg到菜市場去賣,西紅柿和豆角這天的批發(fā)價與零售價如下表所示:品名西紅柿豆角批發(fā)價(單位:元/kg)1216零售價(單位:元/kg)1825問:他當天賣完這些西紅柿和豆角能賺多少錢?分析:在完成“三讀”的基礎上,寫出等量關系式:(1)(批發(fā)西紅柿的數(shù)量)+(批發(fā)豆角的數(shù)量)=40(2)( 批發(fā)西紅柿用的錢數(shù))+(批發(fā)豆角用的錢數(shù))=60(3) &#

10、160; 賺的錢數(shù)=(零售收入的總錢數(shù))(批發(fā)用的總錢數(shù))用代數(shù)式表示相關量,建立數(shù)學模型:設批發(fā)西紅柿的數(shù)量為x千克,批發(fā)豆角數(shù)量為y千克,則批發(fā)西紅柿的錢數(shù)為1 .2x,批發(fā)豆角的錢數(shù)1.6y,則可建立如下方程組模型:x+y=40 解得 x=101.2x+1.6y=60 y=30賺的錢數(shù)=1.8×10+2.5×30-60=332、建立不等式(組)模型。例3:某飲料廠開發(fā)了A、B兩種新型飲料,主要原料均為甲和乙,每瓶飲料中甲、乙的含量如下表所示.現(xiàn)用甲原料和乙原料各2800克進行試生產,計劃生產A、B兩種飲料共100瓶.設生產A種飲料x瓶,解答下列問題

11、:(1)有幾種符合題意的生產方案?寫出解答過程;(2)如果A種飲料每瓶的成本為2.60元,B種飲料每瓶的成本為2.80元,這兩種飲料成本總額為y元,請寫出y與x之間的關系式,并說明x取何值時會使成本總額最低.原料名稱飲料名稱甲乙A20克40克B30克20克分析:本題沒有明顯的不等關系的條件,因此很容易誤認為是利用二元一次方程組來解.由于題目中并沒有交代兩種材料必須全部用完,因此只要所用的原料甲、乙不要超過庫存量即可,這就是本題條件所隱含的兩個不等關系,列出不等式組,根據(jù)不等式組即可求出x的取值范圍.解答:(1)設生產A種飲料x瓶,根據(jù)題意得:.解這個不等式組,得20x40.其中正整數(shù)解共有21

12、個,符合題意的生產方案有21種.(2)根據(jù)題意,得y=2.6x+2.8(100x).整理,得y=0.2x+280.k=0.2<0,y隨x的增大而減小.當x=40時,成本總額最低.復習此類問題時,要求學生既要讀懂題意,更要看懂圖表,獲得正確的信息,確定問題中的不等關系,從而把實際問題轉化為不等式組來解決,即通過構建不等式組模型來解決實際應用題.3、建立函數(shù)模型。例4煤炭是萍鄉(xiāng)市主要礦產資源之一,每天有大量的煤炭運往外地。某煤礦現(xiàn)有100噸煤炭要運往外甲、乙兩廠。通過了解獲得甲、乙兩廠的有關信息如下表:(表中運費“元/t·km”表示每噸煤炭運送一千米所需人民幣)廠別運費(元/t&#

13、183;km)路程(km)所需的噸數(shù)(t)甲廠1150不超過60乙廠12100不超過80要把100噸煤全部運出,試寫出總運費y(元)與運往甲廠x(噸)煤炭之間的函數(shù)關系式;如果你是該礦的礦主,請設計出合理的運送方案,使所需的總運費最低,并求出最低的總運費。分析:本題是函數(shù)解決策略類問題,可按下面的方法建立數(shù)學模型:步驟一:在完成“三讀”的基礎上,寫出等量關系式:(1) (運往甲廠的煤)+(運往乙廠的煤)=100(2)    總運費=(運往甲廠的煤的費用)+(運往乙廠的煤的費用)(3)   隱含的條件:(運往甲廠的煤

14、)60;(運往乙廠的煤)80步驟二:導入數(shù)學符號或用題目給定的符號列代數(shù)式,建立函數(shù)模型:運往甲廠的煤為x(噸),則由(1)得:運往乙廠的煤為(100x)噸,由(2)得:y=150x+100(100x)×1.2,化簡得y=30x+12000,而由(3)得:x60,100x80。故解不等式組得20x60,因y=30x+12000中,y隨x的增大而增大,故當x=20時運費最低,最低y=30×20+12000=12600元。4、建立幾何模型。例5:(2005年泉州中考題)如圖是某居民小區(qū)的一塊直角三角形空地ABC,一直角邊BC=60米,tanB=?,F(xiàn)要利用這塊空地建一個矩形停車場

15、DCFE,使得D點在BC邊上,E、F分別是AB、AC邊的中點。(1) 求另一條直角邊AC的長度;(2) 求停車場DCFE的面積;(3) 為了提高空地利用率,現(xiàn)要在剩余的BDE中,建一個半圓形的花壇,使它的圓心在BE邊上,且使花壇的面積達到最大,請你在原圖中畫出花壇的草圖,求出它的半徑(不要求說明面積最大的理由),并求此時直角三角形空地ABC的總利用率是百分之幾(精確到1%)?點評:本題以居民小區(qū)要建一個矩形停車場為背景,綜合利用了幾何圖形:三角形、矩形、圓形的一些基本知識和重要性質、定理,來構建幾何模型進行解答。答案:(1)60米,(2)1200米2(3)半徑為米,總利用率約69%5、建立綜合

16、模型。有些應用題,不是只單純利用上面所介紹的某種一模型就能解決的,有時要綜合利用多種模型和各種知識才能解決的。例6:(2009南安·質檢)我市2009年初中畢業(yè)生升學體育考試規(guī)定的考試項目,除必考項目外,考生可在以下項目中任選兩項:.立定跳遠;.一分鐘跳繩;.擲實心球;.一分鐘仰臥起坐(女).(1)請直接寫出男生有哪幾種選報方案(用序號表示);(2)某校初三年(1)班有50名同學,全部按規(guī)定報名參加體育考試,其中30%的男生和50%的女生共19人選報相同的某一種方案.求該班男生、女生各有多少人?若全班選報項目的人數(shù)是選報項目人數(shù)的3倍,選報項目的人數(shù)是選報項目人數(shù)的4倍,選報項目的人

17、數(shù)不超過30人.求選報項目的人數(shù).分析:解答本題要結合“體育考試”的一些基本常識,并綜合利用方程組模型和不等式模型才能解決??疾榱藢W生綜合應用“基本常識”和“書本知識”的能力。解答:(1)男生共有、三種選報方案.(2) 設該班有男生人、女生人,依題意得: ,解得 答:該班有男生30人,女生20人. 設選報項目的有人,則選報項目的有人,選報項目的有人,全班選報的各項目總數(shù)為. 依題意得: ,解得:. 由第題可知,20個女生中至少有10人不選報項目,所以.又是整數(shù),取9或10 . 答:選報項目的人數(shù)為9或10. (三)計算能力關。在應用題教學中,許多老師講題時,只完成一半,即講到建立方程(組)、不等式(組)、函數(shù)模型后,就直接寫出答案,忽略了計算求解過程的指導與方法提示。殊不知,有些計算,學生很容易出錯,有的計算有多種解法,而許多學生沒有采用最簡便的方法,造成計算步驟繁雜、結果出錯,失分嚴重。 例7(2009年泉州中考題27)如圖,等腰梯形花圃ABCD的底邊AD靠墻,另三邊用長為40米的鐵欄桿圍成,設該花圃的腰AB的長為x米.(1)請求出底邊BC的長(用含x的代數(shù)式表示);(2)若BAD=60°, 該花圃的面積為S米2.求S與x之間的函數(shù)關系式(要指出自變量x的取值范圍),并求當S=時x的值;如果墻長為24米,試問S有最大值還是最小值?這個值是多少?分析:在第(1)題中,

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