2022年數(shù)學(xué)分析教案_(華東師大版)第一章實(shí)數(shù)集與函數(shù)

1、學(xué)習(xí)必備歡迎下載第一章 實(shí)數(shù)集與函數(shù)導(dǎo)言數(shù)學(xué)分析課程簡(jiǎn)介 2學(xué)時(shí) 一、數(shù)學(xué)分析 mathematical analysis簡(jiǎn)介:1. 背景:從切線、面積、運(yùn)算sin 32、實(shí)數(shù)定義等問題引入 .2. 極限 limit 變量數(shù)學(xué)的基本運(yùn)算：3. 數(shù)學(xué)分析的基本內(nèi)容： 數(shù)學(xué)分析以極限為基本思想和基本運(yùn)算討論變實(shí)值函數(shù). 主要討論微分 differential和積分 integration兩種特殊的極限運(yùn)算 , 利用這兩種運(yùn)算從微觀和宏觀兩個(gè)方面討論函數(shù),并依據(jù)這些運(yùn)算引進(jìn)并討論 一些非初等函數(shù) .數(shù)學(xué)分析基本上是連續(xù)函數(shù)的微積分理論.微積運(yùn)算是高等數(shù)學(xué)的基本運(yùn)算.數(shù)學(xué)分析與微積分 calculus

2、的區(qū)分.二、數(shù)學(xué)分析的形成過程：1. 孕育于古希臘時(shí)期：在我國(guó)，很早就有極限思想 .紀(jì)元前三世紀(jì) , archimedes 就有了積分思想 .2. 十七世紀(jì)以前是一個(gè)漫長(zhǎng)的醞釀時(shí)期 , 是微積分思想的進(jìn)展、成果的積存時(shí)期.3. 十七世紀(jì)下半葉到十九世紀(jì)上半葉 微積分的創(chuàng)建時(shí)期 .4. 十九世紀(jì)上半葉到二十世紀(jì)上半葉 分析學(xué)理論的完善和重建時(shí)期：三、數(shù)學(xué)分析課的特點(diǎn) :規(guī)律性很強(qiáng) ,很細(xì)致,很深刻;先難后易 ,是說開頭四章有肯定的難度 ,倘能努力學(xué)懂前四章 或前四章的,后面的學(xué)習(xí)就會(huì)簡(jiǎn)潔一些 ;只要在課堂上用心聽講 ,一般是可以聽得懂的 ,但即便能聽懂 ,習(xí)題仍是難以順當(dāng) 完成.這是由于數(shù)學(xué)分析

3、技巧性很強(qiáng) ,只明白基本的理論和方法 ,不輔以相應(yīng)的技巧 ,是很難順當(dāng)應(yīng)用理論和方法的 .論證訓(xùn)練是數(shù)學(xué)分析課基本的 , 也是重要的內(nèi)容之一 ,也是最難的內(nèi)容之一 .一般懂得了證明后 ,能把證明精確、嚴(yán)密、簡(jiǎn)練地用數(shù)學(xué)的語(yǔ)言和符號(hào)書寫出來，好像是更難的一件事 .因此,懂得證明的思維方式 ,學(xué)習(xí)基本的證明方法 ,把握表達(dá)和書寫證明的一般語(yǔ)言和格 式,是數(shù)學(xué)分析教學(xué)貫穿始終的一項(xiàng)任務(wù) .有鑒于此 ,建議的學(xué)習(xí)方法是 :預(yù)習(xí),課堂上仔細(xì)聽講 ,必需記筆記 ,但要留意以聽為主 ,力爭(zhēng)在課堂上能聽懂七、八成 .課后不要急于完成作業(yè) , 先仔細(xì)整理筆記 ,補(bǔ)充課堂講授中太簡(jiǎn)或跳過的推導(dǎo) ,閱讀教科書 ,學(xué)

4、習(xí)證明或推導(dǎo)的表達(dá)和書寫 .基本把握了課堂教學(xué)內(nèi)容后 ,再去做作業(yè) .在學(xué)習(xí)中 , 要養(yǎng)成多想問題的習(xí)慣 .四、課堂講授方法 :1. 關(guān)于教材及參考書 : 這是高校與中學(xué)教學(xué)不同的地方 ,本課程主要從以下教科書中取材 :1 華東師范高校數(shù)學(xué)系編，數(shù)學(xué)分析，高等訓(xùn)練出版社，2001；2 劉玉璉 傅沛仁 編，數(shù)學(xué)分析講義，高等訓(xùn)練出版社，1992；3 謝惠民，惲自求 等 數(shù)學(xué)分析習(xí)題課講義，高等訓(xùn)練出版社，2003；4 馬振民，數(shù)學(xué)分析的方法與技巧選講，蘭州高校出版社， 1999；5 林源渠，方企勤 數(shù)學(xué)分析解題指南，北京高校出版社， 2003.2. 本課程按 1 的規(guī)律次序并在其中取材 . 本課

5、程為適應(yīng)教學(xué)改革的要求， 只介紹數(shù)學(xué)分析最基本的內(nèi)容， 并加強(qiáng)實(shí)踐環(huán)節(jié)， 留意同學(xué)的創(chuàng)新才能的培育； 帶星號(hào)的內(nèi)容略講或刪去，相應(yīng)的內(nèi)容作為選修課將在數(shù)學(xué)分析選講課開設(shè).3. 內(nèi)容多, 課時(shí)緊:高校課堂教學(xué)與中學(xué)不同的是 ,這里每次課介紹的內(nèi)容許多,因此,內(nèi)容重復(fù)的次數(shù)少 ,講課只留意思想性與基本思路 ,具體內(nèi)容或推導(dǎo),特殊是同類型或較簡(jiǎn)的推理論證及推導(dǎo)運(yùn)算,可能講得很簡(jiǎn) ,留給課后的學(xué)習(xí)任務(wù)一般很重 .4. 講解的重點(diǎn) : 概念的意義與懂得 , 幾何直觀 , 理論的體系 , 定理的意義、條件、結(jié)論 . 定理證明的分析與思路 , 具有代表性的證明方法 , 解題的方法與技巧 . 某些精細(xì)概念之間

6、的本質(zhì)差別 .五. 要求、輔導(dǎo)及考試：1. 學(xué)習(xí)方法 : 盡快適應(yīng)高校的學(xué)習(xí)方法 ,盡快進(jìn)入角色 .課堂上以聽為主 , 但要做課堂筆記 . 課后肯定要仔細(xì)復(fù)習(xí)消化 ,補(bǔ)充筆記 . 一般課堂教學(xué)與課外復(fù)習(xí)的時(shí)間比例應(yīng)為: 3 ；對(duì)將來從事數(shù)學(xué)教學(xué)工作的師范高校本科生來說 , 課堂聽講的內(nèi)容應(yīng)當(dāng)更為豐富: 要仔細(xì)評(píng)判老師的課堂教學(xué) , 把老師在課堂上的勝利與失敗變?yōu)樽约旱捏w會(huì) . 這對(duì)將來的教學(xué)工作是很有用的 .2. 作業(yè):作業(yè)以練習(xí)題中劃線以上的部分習(xí)題為主要內(nèi)容.大體上每周收一次作業(yè) ,一次收清 .每次重點(diǎn)檢查作業(yè)總數(shù)的三分之一 .作業(yè)的收交和完成情形有一個(gè)較具體的登記 ,缺交作業(yè)將直接影響學(xué)

7、期總評(píng)成果 . 作業(yè)要按數(shù)學(xué)排版格式書寫工整 .3. 輔導(dǎo):大體每周一次 ,第一學(xué)期要求輔導(dǎo)時(shí)不缺席 .4. 考試:按教學(xué)大綱的要求 ,只以最基本的內(nèi)容進(jìn)行考試 ,大體上考課堂教學(xué)和所布置作業(yè)的內(nèi)容 ,包括1 中的典型例題 .考試題為標(biāo)準(zhǔn)化試題， 理論證明題逐步增多 .第一章 實(shí)數(shù)集與函數(shù)教學(xué)目的：1. 使同學(xué)把握實(shí)數(shù)的概念， 建立起實(shí)數(shù)集確界的清楚概念； 2. 使同學(xué)深刻懂得函數(shù)的概念， 熟識(shí)與函數(shù)性態(tài)有關(guān)的一些常見術(shù)語(yǔ)； 要求同學(xué)： 懂得并嫻熟運(yùn)用實(shí)數(shù)的有序性、 稠密性與封閉性； 把握鄰域的概念； 牢記并嫻熟運(yùn)用實(shí)數(shù)肯定值的有關(guān)性質(zhì)以及幾個(gè)常見的不等式；懂得實(shí)數(shù)確界的定義及確界原理， 并在

8、有關(guān)命題證明中正確地加以應(yīng)用； 深刻懂得函數(shù)的定義以及復(fù)合函數(shù)、 反函數(shù)、有界函數(shù)、單調(diào)函數(shù)和初等函數(shù)的定義， 熟識(shí)函數(shù)的各種表示方法； 牢記基本初等函數(shù)的定義、性質(zhì)及其圖象，會(huì)求函數(shù)的定義域，會(huì)分析函數(shù)的復(fù)合關(guān)系；教學(xué)重點(diǎn)： 函數(shù)、確界的概念及其有關(guān)性質(zhì)；教學(xué)時(shí)數(shù)： 10 學(xué)時(shí)§ 1實(shí)數(shù)（2 學(xué)時(shí)） 教學(xué)目的： 使同學(xué)把握實(shí)數(shù)的基本性質(zhì) 教學(xué)重點(diǎn)：1. 懂得并嫻熟運(yùn)用實(shí)數(shù)的有序性、稠密性和封閉性；2. 牢記并嫻熟運(yùn)用實(shí)數(shù)肯定值的有關(guān)性質(zhì)以及幾個(gè)常見的不等式（它們是分析論證的重要工具）教學(xué)難點(diǎn)： 實(shí)數(shù)集的概念及其應(yīng)用 教學(xué)方法： 講授（部分內(nèi)容自學(xué)） 一復(fù)習(xí)引新：1. 實(shí)數(shù)集： 回憶

9、中學(xué)中關(guān)于實(shí)數(shù)集的定義 .2. 四就運(yùn)算封閉性 :3. 三歧性即有序性 :4. rrchimedes 性:5. 稠密性 :有理數(shù)和無理數(shù)的稠密性 ,給出稠密性的定義 .6. 實(shí)數(shù)集的幾何表示 數(shù)軸:7. 兩實(shí)數(shù)相等的充要條件 :8. 區(qū)間和鄰域 :二.講授新課：（一） .幾個(gè)重要不等式 :1. 肯定值不等式 :定義1p3的六個(gè)不等式 .2. 其他不等式 : 均值不等式 :對(duì)記算術(shù)平均值 幾何平均值 調(diào)和平均值 有平均值不等式 :等號(hào)當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)成立. bernoulli不等式: 在中學(xué)已用數(shù)學(xué)歸納法證明過 有不等式當(dāng)且,且時(shí),有嚴(yán)格不等式證： 由且 利用二項(xiàng)綻開式得到的不等式 :對(duì)由二項(xiàng)綻開式有

10、上式右端任何一項(xiàng) .作業(yè)： （）（）、（）§ 2數(shù)集 確界原理 （ 4 時(shí)）教學(xué)目的 ：使同學(xué)把握確界原理，建立起實(shí)數(shù)確界的清楚概念；教學(xué)要求：1. 把握鄰域的概念；2. 懂得實(shí)數(shù)確界的定義及確界原理，并在有關(guān)命題的證明中正確地加以運(yùn)用；教學(xué)重點(diǎn) ：確界的概念及其有關(guān)性質(zhì)（確界原理） ；教學(xué)難點(diǎn) ：確界的定義及其應(yīng)用；教學(xué)方法 ：講授為主；一、區(qū)間與鄰域二、有界數(shù)集與確界原理 :1. 有界數(shù)集 :定義 上、下有界 ,有界 ， 閉區(qū)間、為有限數(shù)）、鄰域等都是有界數(shù)集，集合也是有界數(shù)集 .無界數(shù)集 :定義,等都是無界數(shù)集 ,集合也是無界數(shù)集 .2. 確界: 給出直觀和刻畫兩種定義 .例

11、1就就例 2非空有界數(shù)集的上（或下）確界是唯獨(dú)的.例 3設(shè) 和 是非空數(shù)集，且有就有.例 4設(shè) 和 是非空數(shù)集 .如對(duì)和都有就有證是 的上界,是 的下界,例 5和 為非空數(shù)集 ,試證明:證有或由和分別是和 的下界, 有或即是數(shù)集的下界,又的下界就是的下界,是 的下界,是的下界,同理有于是有. 綜上, 有.3.數(shù)集與確界的關(guān)系 :釋.確界不肯定屬于原集合 .以例 1為例做解4.確界與最值的關(guān)系 :設(shè)為數(shù)集.的最值必屬于,但確界未必 , 確界是一種臨界點(diǎn) .非空有界數(shù)集必有確界 見下面的確界原理 ,但未必有最值 .如存在,必有對(duì)下確界有類似的結(jié)論 .三、確界原理 : th1.1 確界原理 設(shè)s 為

12、非空數(shù)集；如 s 有上界，就 s必有上確界；如 s 有下界，就 s必有下確界；作業(yè)：；§ 3函數(shù)概念 2學(xué)時(shí) 教學(xué)目的 ：使同學(xué)深刻懂得函數(shù)概念；教學(xué)要求 ：1. 深刻懂得函數(shù)的定義以及復(fù)合函數(shù)、反函數(shù)和初等函數(shù)的定義，熟識(shí)函數(shù)的各種表示方法；2. 牢記基本初等函數(shù)的定義、性質(zhì)及其圖象；會(huì)求初等函數(shù)的存在域，會(huì)分析初等函數(shù)的復(fù)合關(guān)系；教學(xué)重點(diǎn) ：函數(shù)的概念；教學(xué)難點(diǎn) ：初等函數(shù)復(fù)合關(guān)系的分析；一、函數(shù) :1.函數(shù):1p10 11 的四點(diǎn)說明 .2. 定義域 :定義域和存在域 .3. 函數(shù)的表示法 :4. 反函數(shù) :一一對(duì)應(yīng) , 反函數(shù)存在定理 .5. 函數(shù)的代數(shù)運(yùn)算 :二、分段函數(shù) :以函數(shù)和為例介紹概念 .例 1去掉肯定值符號(hào) .例 2求例 3設(shè)求答案為 8三、函數(shù)的復(fù)合 :例 4求并求定義域.例 5就a. b.c.d.4p407 e62.四、初等函數(shù) :1. 基本初等函數(shù) :2. 初等函數(shù) :3. 初等函數(shù)的幾個(gè)特例 :設(shè)函數(shù)和都是初等函數(shù) ,就是初等函數(shù) ,由于和都是初等函數(shù) ,由于,.冪指函數(shù)是初等函數(shù) , 由于作業(yè)：p153；4.23； 5. 2； 7: 3；11§ 4 具有某些特性的函數(shù) 2學(xué)時(shí) 教學(xué)目的