數(shù)學(xué)建模-人口增長(zhǎng)模型(共7頁(yè))

1、精選優(yōu)質(zhì)文檔-傾情為你奉上人口增長(zhǎng)模型摘要本文根據(jù)某地區(qū)的人口統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)，建立模型估計(jì)該地區(qū)2010年的人口數(shù)量。首先，通過直觀觀察人口的變化規(guī)律后，我們假設(shè)該地區(qū)的人口數(shù)量是時(shí)間的二次函數(shù)，建立了一個(gè)二次函數(shù)模型，并用最小二乘法對(duì)已有數(shù)據(jù)進(jìn)行擬合得到模型的具體參數(shù)，從而可以預(yù)測(cè)2010年的人口數(shù)為333.8668百萬(wàn)。 然后，我們發(fā)現(xiàn)從1980年開始該地區(qū)的人口增長(zhǎng)明顯變慢，于是我們假設(shè)人口增長(zhǎng)率是人口數(shù)的線性減函數(shù)，即隨著人口數(shù)的增加，人口的增長(zhǎng)速度會(huì)慢慢下降，從而我們建立了阻滯增長(zhǎng)模型，利用此模型我們最后求出2010年的人口預(yù)報(bào)數(shù)為296.3865。關(guān)鍵字：人口預(yù)報(bào)，二次函數(shù)模型，阻滯增長(zhǎng)

2、模型問題重述：根據(jù)某地區(qū)人口從1800年到2000年的人口數(shù)據(jù)（如下表），建立模型估計(jì)出該地區(qū)2010年的人口 ，同時(shí)畫出擬合效果的圖形。表1 該地區(qū)人口統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)年 份1800181018201830184018501860人口7.213.817.217.624.733.636.2年 份1870188018901900191019201930人口48.658.173.389.8105.6125.9149.1年 份1940195019601970198019902000人口172.2189.8230.5246.7262.1271.2280.3符號(hào)說明 時(shí)刻的人口數(shù)量 初始時(shí)刻的人口數(shù)量 人口增長(zhǎng)

3、率 環(huán)境所能容納的最大人口數(shù)量，即問題分析首先，我們運(yùn)用軟件1編程（見附件1），繪制出1800年到2000年的人口數(shù)據(jù)圖，如圖1。圖1 1800年到2000年的人口數(shù)據(jù)圖從圖1我們可以看出1800年到2000年的人口數(shù)是呈現(xiàn)增長(zhǎng)的趨勢(shì)的，而且類似二次函數(shù)增長(zhǎng)。 所以我們可以建立了一個(gè)二次函數(shù)模型，并用最小二乘法對(duì)已有數(shù)據(jù)進(jìn)行擬合得到模型的具體參數(shù)。 于是我們假設(shè)人口增長(zhǎng)率是人口數(shù)的線性減函數(shù)，即隨著人口數(shù)的增加，人口的增長(zhǎng)速度會(huì)慢慢下降,從而我們可以建立一個(gè)阻滯增長(zhǎng)模型。模型建立模型一：二次函數(shù)模型我們假設(shè)該地區(qū)時(shí)刻的人口數(shù)量的人口數(shù)量是時(shí)間的二次函數(shù)，即：我們可以根據(jù)最小二乘法，利用已有數(shù)據(jù)

4、擬合得到具體參數(shù)。即，要求、和，使得以下函數(shù)達(dá)到最小值：其中是時(shí)刻該地區(qū)的人口數(shù)，即有：令，可以得到三個(gè)關(guān)于、和的一次方程，從而可解得、和。我們用編程（見附件2），解得0.，,，即：從而我們可以預(yù)測(cè)2010年的人口數(shù)為百萬(wàn)。圖2 二次函數(shù)模型的擬合效果圖圖2是所得到的二次函數(shù)模型和原數(shù)據(jù)點(diǎn)的擬合效果圖。 從圖2可以看出擬合的效果在1950年之前還可以，但是對(duì)后期的數(shù)據(jù)擬合的不好。模型二：阻滯增長(zhǎng)模型我們假設(shè)人口增長(zhǎng)率是人口數(shù)的線性減函數(shù)，即隨著人口數(shù)的增加，人口增長(zhǎng)速度會(huì)慢慢下降：人口數(shù)量最終會(huì)達(dá)到飽和，且趨于一個(gè)常數(shù)，當(dāng)時(shí)，增長(zhǎng)率為0：由上面的關(guān)系式可得出：把上式代進(jìn)指數(shù)增長(zhǎng)模型的方程中，并

5、利用初始條件，可以得到：解得：我們可以利用已有數(shù)據(jù)擬合求解得（程序見附件4）:, -0.。可以預(yù)測(cè)2010年的人口數(shù)為百萬(wàn)。圖4 阻滯增長(zhǎng)模型的擬合效果圖圖4是阻滯增長(zhǎng)模型的擬合效果圖。 從圖4我們可以看出我們的模型對(duì)該地區(qū)的人口數(shù)據(jù)擬合得很好。可以看出阻滯增長(zhǎng)模型更客觀地反映人口的增長(zhǎng)規(guī)律，基本上都在擬合曲線上，擬合效果好，特別是后期的數(shù)據(jù)非常的吻合，所以次模型對(duì)未來的人口數(shù)預(yù)測(cè)是很適合的，結(jié)果更準(zhǔn)確，對(duì)未來的預(yù)測(cè)比指數(shù)增長(zhǎng)模型更為優(yōu)越。參考文獻(xiàn)1 劉衛(wèi)國(guó), 陳昭平, 張穎. MATLAB程序設(shè)計(jì)與應(yīng)用M, 北京:高等教育出版社, 2002年。2 姜啟源, 謝金星, 葉俊. 數(shù)學(xué)建模(第三版

6、)M, 北京：高等教育出版社, 2004年。附錄附件1：1800年到2000年的人口數(shù)據(jù)圖x=1800:10:2000;y=7.2 13.8 17.2 17.6 24.7 33.6 36.2 48.6 58.1 73.3 89.8 105.6 125.9 149.1 172.2 189.8 230.5 246.7 262.1 271.2 280.3;figure;plot(x,y,'r*');附件2:線性增長(zhǎng)模型的擬合代碼x=1800:10:2000;y=7.2 13.8 17.2 17.6 24.7 33.6 36.2 48.6 58.1 73.3 89.8 105.6 12

7、5.9 149.1 172.2 189.8 230.5 246.7 262.1 271.2 280.3;plot(x,y,'r*'); % 畫點(diǎn)，紅色hold on; % 使得以下圖形畫在同一個(gè)窗口p = polyfit(x,y,2) % 多項(xiàng)式擬合，返回系數(shù)pxn = 1800:5:2010; % 定義新的橫坐標(biāo)yn = polyval(p,xn); % 估計(jì)多項(xiàng)式p的函數(shù)值plot(xn,yn) % 把(x,yn)定義的數(shù)據(jù)點(diǎn)依次連起來% 給圖形加上圖例xlabel('年份');ylabel('人口數(shù)');legend('原始數(shù)據(jù)&#

8、39;,'擬合函數(shù)',2);box on; grid on;x1=2010;y1 = polyval(p,x1) % 估計(jì)多項(xiàng)式p在未知點(diǎn)的函數(shù)值附件3：阻滯增長(zhǎng)模型的擬合代碼clc; % 清屏幕clear; % 清除以前的變量% 數(shù)據(jù)點(diǎn)(t,y)t=1800:10:2000;y=7.2 13.8 17.2 17.6 24.7 33.6 36.2 48.6 58.1 73.3 89.8 105.6 125.9 149.1 172.2 189.8 230.5 246.7 262.1 271.2 280.3;plot(t,y,'b*');% 定義需要擬合的函數(shù)類型m

9、yfun(a,t)，a是參數(shù)列表,t是變量 myfun = (a,t)a(1)./(1+(a(1)./7.2-1)*exp(a(2)*(t-1800); a0=500,1; % 初始值 % 非線性擬合.最重要的函數(shù)，第1個(gè)參數(shù)是以上定義的函數(shù)名，第2個(gè)參數(shù)是初值，第3、4個(gè)參數(shù)是已知數(shù)據(jù)點(diǎn)a=lsqcurvefit(myfun,a0,t,y);disp('a=' num2str(a); % 顯示得到的參數(shù)% 畫出擬合得到的函數(shù)的圖形ti=1800:10:2010;yi=myfun(a,ti);hold on;plot(ti,yi,'r');% 給圖形加上圖例xlabel('年份');ylabel('人口數(shù)'