特征值與特征向量1ppt課件

1、矩陣的特征值與特征向量矩陣的特征值與特征向量一一. 特征值與特征向量的求法特征值與特征向量的求法1.利用定義求特征值與特征向量 . 0)( )2( 0| ) 1 (的非零解求對(duì)；求出由步驟：xEAEA. 2)(,33351315 1的特征值及，求設(shè)例AcArcA，因?yàn)榻?22433351315| ccA. 3 0| 2)( cAAr，故，所以又. 9, 4, 0 0| 333351315 321的特征值，得，由此時(shí)AEAA. 3 210010000010010 2的其他特征值及的一個(gè)特征值，求：是，若設(shè)例AyAyA.12)2()1)(1( 1)2)()(1( 2100100001001| 22

2、yyyyEA設(shè)解注：用定義求特征值與特征向量，最重要的是求出特征值. 為此，首先求出矩陣的特征多項(xiàng)式，并將它按降冪陳列，然后經(jīng)過(guò)試根或因式分解將其化為一次式的乘積，從而求出特征值. 求特征向量即求齊次方程組 (A-E)x=0 的根底解系. 1,1,1,3. 1 012)2( 2 012)2( 3 3 22的全部特征值為故，的另一根及的根，由此求得必為的一個(gè)特征值，所以是因?yàn)锳yyyyyA2.利用公式求特征值與特征向量則特征向量的的對(duì)應(yīng)于特征值為的特征值，階方陣為設(shè) .21, ,n,iAAniii. )( , 2 , 1 )( )( )( ) 1 (的多項(xiàng)式為，其中的特征向量為，對(duì)應(yīng)于的特征值為

3、xxfni,ffAfiii., 2 , 1 )2(111n,iAAiii量為的特征向，對(duì)應(yīng)于的特征值為可逆，則設(shè)., 2 , 1 | | * )3(n,iAAAAiii向量為的特征，對(duì)應(yīng)于的特征值為可逆，則設(shè)., 2 , 1, )4(niAiT的特征值為., 2 , 1, )5(11niPBAPPBiii為的特征向量，對(duì)應(yīng)于的特征值為，則若. , 00020002 33242111 3的特征值與特征向量及矩陣相似，求：與設(shè)例AbabBaA ., 2 , 2 , 2 , 2 . bAbBBABA的特征值也為，所以為的特征值又有相同的特征值與，故因?yàn)榻?,1(3)3()2( 33242111| 2

4、aaaEA由于. 6 6 , 2 , 2 6 0) 1(3)3( 5, 2 0) 1(3)3( 2 22bAaaaaa，故為的特征值，即的另一根為并求得代入，得的根，將是所以,0000001113332221112 2 21EA時(shí)當(dāng).) 1 , 1 , 0( ) 1 , 0 , 1 ( 21TT及線性無(wú)關(guān)的特征向量為,0002301031332221156 6 3EA時(shí)當(dāng).)3 , 2 , 1 ( 3T特征向量為. 2*, | 3 2 1 421的特征值及求：，的三個(gè)特征值為已知三階方陣?yán)鼸AAAAAA ; 6) 3()2(1| A解;31,21, 1 1的特征值為：A; 2, 3, 6 *的

5、特征值為：A. 4 , 1 , 4 1) 3(2) 3( , 1)2(22)( , 1121 22222，即的特征值為：EAA. 32 )0( 51特征向量的一個(gè)特征值及對(duì)應(yīng)的，求的每行元素之和均為階可逆陣設(shè)例EAaaAn.111 32 32 , 0 111111 1特征向量為的一個(gè)特征值，對(duì)應(yīng)的為從而的一個(gè)特征值且為，所以由題設(shè)知解EAaaAaaA二二. A 與對(duì)角陣類似的解題方法與對(duì)角陣類似的解題方法.100010221,122020021 . 6BA角陣相似判斷下列矩陣能否與對(duì)例，的特征值為解2 , 1 , 1 A. 232)( 000010011022010020 不能與對(duì)角陣相似，所

6、以故，因?yàn)锳EArEA，的特征值為1 , 1 , 1 B. 231)( 000000111000000222 能與對(duì)角陣相似，所以故，因?yàn)锽EBrEB注：當(dāng)矩陣有重特征值時(shí)，我們用定理“A 與對(duì)角陣類似的充要條件為 r(A-iE)=n-ri來(lái)斷定 A 能否與對(duì)角陣類似，其中ri為特征值 i的重?cái)?shù)，n 為矩陣 A 的階數(shù). 3241223 71及相應(yīng)的對(duì)角陣為對(duì)角陣？并求使，取何值時(shí)，存在可逆陣，問(wèn)設(shè)例PAPPPkkkA),1() 1() 1(8)9() 1()3(2)3(2) 1(848)3)(3)(1(3241223 | 22kkkkkkEA因?yàn)榻? 1 , 1, 1 的特征值為所以 A.

7、0 0123)( 00001122240224 與對(duì)角陣相似時(shí)，即，從而件為與對(duì)角陣相似的充要條而，由于AkkEArAkkkkEA.101 1 201021 1 321時(shí)，對(duì)應(yīng)的特征向量為當(dāng)；與特征向量為時(shí)，對(duì)應(yīng)的線性無(wú)關(guān)的當(dāng). 111,120002111 1APPP，則令注：矩陣類似對(duì)角化的步驟：(1) 求出 A 的一切特征值 1, 2, n ，假設(shè) 1, 2, n 互異，那么 A 與對(duì)角陣類似；假設(shè)1, 2, n中互異的為 1, 2, m，每個(gè)i 的重?cái)?shù)為 ri，當(dāng) r(A- i E)=n- ri時(shí)(i=1,2,m)，A 與對(duì)角陣類似；否那么 A 不能與對(duì)角陣類似.(2) 當(dāng) A 與對(duì)角陣

8、類似時(shí)，求出 A 的 n 個(gè)線性無(wú)關(guān)的特征向量 1, 2, , n，并令 P=(1, 2, , n)，那么 P 可逆，且 P-1AP=.210 , 210 11111 81AQQQlkllkkA，使正交陣及，求正交相似于設(shè)例. 00| 0| 0|2| , 0|, 0| 2 , 1 , 0 lkEAlkAEAEAAA，得，由，得，由的特征值，從而為由相似矩陣的性質(zhì)知：解.101010101 A故單位化，得，它們兩兩正交，將其的特征向量依次為，的屬于特征值TTTA) 1 , 0 , 1 (,)0 , 1 , 0(,) 1 , 0 , 1 ( 2 1 0 321.21, 0 ,21,0 , 1 ,

9、0,21, 0 ,21321TTTPPP,2102101021021 321PPPQ令.210 1AQQQ為正交陣且則注：對(duì)于實(shí)對(duì)稱矩陣 A，一定有可逆陣 P，使 P1AP為對(duì)角陣，P的列向量為 A 的特征向量，對(duì)角陣中主對(duì)角線上的元素為 A 的特征值，而且也一定有正交陣 Q，使 Q1AQ 為對(duì)角陣. 當(dāng) A 的特征值互異時(shí)，其特征向量?jī)蓛烧唬恍鑼⑻卣飨蛄繂挝换纯汕蟮谜魂?Q；當(dāng) A 有 k 重特征值時(shí)，這個(gè)k 重特征值一定對(duì)應(yīng)有 k 個(gè)線性無(wú)關(guān)的特征向量，用施密特正交化方法將其化為兩兩正交的向量并單位化，就求出正交陣 Q 來(lái)了.三三. 方陣方陣 A 及其特征值、特征向量的互求及其特

10、征值、特征向量的互求. 1 ) 1 , 2 , 2(,) 1 , 1 , 1 ( 3 111 921AAATT的特征向量，求的屬于特征值是個(gè)特征值，的是三階實(shí)對(duì)稱方陣，設(shè)例正交，即及與為實(shí)對(duì)稱陣，故，由于的特征向量為的屬于特征值設(shè)解 ),( 1 2133213AxxxAT. 022),(, 0),(3213232131xxxxxx.)0 , 1, 1 ( 3T解之得，則令011121121),( 321P,0212112121221211P.100001010111 1PPA且四四. An 的求法的求法. 55, 1 340430241 019AA，求的特征值為設(shè)例,551 3 3 1APPP

11、A，使陣得可逆?zhèn)€互異特征值，故可求階方陣且有是因?yàn)榻?)( 19919PPPPA從而. 5, 5 , 1 的特征向量的屬于特征值，即求先求AP；，求得特征向量對(duì)T)0 , 0 , 1 ( 1 11；，求得特征向量對(duì)T)2 , 1 , 2( 5 22.) 1 , 2, 1 ( 5 33T，求得特征向量對(duì)，則令12021050551,120210121, 1321PP120210505)5(511202101215199199PPA五五. 證明題證明題. . , 3 , 3 11333222111321321TTTAAA證明是對(duì)應(yīng)的單位特征向量個(gè)互異特征值，的是階實(shí)對(duì)稱陣，為設(shè)例.53540545

12、3053554551999999. ) ( 3211321AQQAQQQQT為正交矩陣，且有性質(zhì)知與特征向量的，由實(shí)對(duì)稱陣的特征值令證. 3332221113213213211TTTTTTTQQQQA從而. 0 21一個(gè)特征值以零為有非零解，證明：階方陣且為設(shè)例AAxnA. 0 0| 0 征值的一個(gè)特是，故有非零解，所以因?yàn)樽CAAAx.)( )( ) I (00000BBABBABABAB及向量，則有的特征對(duì)應(yīng)于為的非零特征值，是設(shè)證.)( 0BAB ，則令. 0 00 0)( 0 00矛盾，從而，這與，有若ABAAB有相同的零特征值與，所以又因?yàn)橛邢嗤姆橇闾卣髦蹬c的非零特征值，即的非零特征值也是同理可證的一個(gè)特征值是由此知： | . . 0BAABBAABBAABABBABA. 有相同的特征值與綜上所述，證明了BAAB. , 31有相同的特征值與階方陣，證明均為設(shè)例BAABnBA. | )II(BAEABE只需證明證,00 ,00 0EAABEEBEEBAEBAEAEEBAEEBE時(shí)，因?yàn)閨,| |,|0 ABEABEEBAEBAEEBEn有對(duì)上式兩端取行列式，. | BAEABE從而有. . 0有相同的特征值與故時(shí)，上式顯然成立BAAB. , , 41nmBAnABmnmmnnmBA一個(gè)因子的特征值多項(xiàng)式僅相差階方陣