圓周運動知識要點、受力分析和題目精講(張曉整理)

1、圓周運動知識要點、受力分析和題目精講(張曉整理)高中圓周運動知識要點、受力分析和題目精講（復習大全）一、基礎知識勻速圓周運動問題是學習的難點，也是高考的熱點，同時它又容易和很多知識綜合在一起，形成能力性很強的題目，如除力學部分外，電學中“粒子在磁場中的運動”涉及的很多問題仍然要用到勻速圓周運動的知識，對勻速圓周運動的學習可重點從兩個方面掌握其特點，首先是勻速圓周運動的運動學規(guī)律，其次是其動力學規(guī)律，現(xiàn)就各部分涉及的典型問題作點滴說明。勻速圓周運動的加速度、線速度的大小不變，而方向都是時刻變化的，因此勻速圓周運動是典型的變加速曲線運動。為了描述其運動的特殊性，又引入周期（t）、頻率（f）、角速度

2、（）等物理量，涉及的物理量及公式較多。因此，熟練理解、掌握這些概念、公式，并加以靈活選擇運用，是我們學習的重點。1. 勻速圓周運動的基本概念和公式（1）線速度大小 ，方向沿圓周的切線方向，時刻變化；（2）角速度 ，恒定不變量；（3）周期與頻率 ；（4）向心力 ，總指向圓心，時刻變化，向心加速度 ，方向與向心力相同；（5）線速度與角速度的關系為 ， 、 、 、 的關系為 。所以在 、 、 中若一個量確定，其余兩個量也就確定了，而 還和 有關?！纠?】關于勻速圓周運動，下列說法正確的是（ ）a. 線速度不變 b. 角速度不變 c. 加速度為零 d. 周期不變解析：勻速圓周運動的角速度和周期是不變的

3、；線速度的大小不變，但方向時刻變化，故勻速圓周運動的線速度是變化的，加速度不為零，答案為b、d?！纠?】在繞豎直軸勻速轉(zhuǎn)動的圓環(huán)上有a、b兩點，如圖1所示，過a、b的半徑與豎直軸的夾角分別為30°和60°，則a、b兩點的線速度之比為 ；向心加速度之比為 。解析：a、b兩點做圓周運動的半徑分別為 它們的角速度相同，所以線速度之比加速度之比2. 質(zhì)點做勻速圓周運動的條件（1）具有一定的速度；（2）受到的合力（向心力）大小不變且方向始終與速度方向垂直。合力（向心力）與速度始終在一個確定不變的平面內(nèi)且一定指向圓心。3. 向心力有關說明向心力是一種效果力。任何一個力或者幾個力的合力，

4、或者某一個力的某個分力，只要其效果是使物體做圓周運動的，都可以認為是向心力。做勻速圓周運動的物體，所需向心力就是該物體受的合外力，總是指向圓心；而做變速圓周運動的物體，所需向心力則是該物體受的合外力在指向圓心方向的分力，合外力的另一個分力沿著圓周的切線，使速度大小改變，所以向心力不一定是物體所受的合外力。因此，解答圓周運動的基本思路是：先分析物體的受力情況，然后把物體受的各外力沿指向圓心（即沿半徑）方向與沿切線方向正交分解，最后用沿指向圓心的合外力等于向心力，即列方程求解做答。二、解決圓周運動問題的步驟1. 確定研究對象；2. 確定圓心、半徑、向心加速度方向；3. 進行受力分析，將各力分解到沿

5、半徑方向和垂直于半徑方向；4. 根據(jù)向心力公式，列牛頓第二定律方程求解?；疽?guī)律：徑向合外力提供向心力 ；若是勻速圓周運動，則有，方向始終指向圓心三、典型情景受力分析 f向=g+f支f向=g時恰好到達最高點 f向=g-f支豎直面軌道 f向=g-f支 f向=f支-g 繩（豎直面） f向=f支-g f向=f支+g輕桿 f向=f支-g f向=g-f支四、常見問題和處理方法1. 皮帶傳動問題【例3】 如圖2所示，a、b兩輪靠皮帶傳動，a、b分別為兩輪邊緣上的點，c與a同在a輪上，已知，在傳動時，皮帶不打滑。求：（1） ；（2） ；（3） 。解析：a、c兩點在同一皮帶輪上，它們的角速度相等，即，由于皮帶

6、不打滑，所以a、b兩點的線速度大小相等，即。（1）根據(jù)知（2）根據(jù)知（3）根據(jù)知點評：共軸轉(zhuǎn)動的物體上各點的角速度相同，不打滑的皮帶傳動的兩輪邊緣上各點線速度大小相等，這樣通過“角速度”或“線速度”將比較“遙遠”的兩個質(zhì)點的運動學特點聯(lián)系在一起?！纠?】如圖所示，為一皮帶傳動裝置，右輪的半徑為r，a是它邊緣上的一點，左側(cè)是一輪軸，大輪的半徑為4r，小輪的半徑為2r，b點在小輪上，到小輪中心的距離為r，c點和d點分別位于小輪和大輪的邊緣上，若在傳動過程中，皮帶不打滑，則（ ）a. a點與b點的線速度大小相等 b. a點與b點的角速度大小相等 c. a點與c點的線速度大小相等 d. a點與d點的向

7、心加速度大小相等解析：皮帶不打滑，故a、c兩點線速度相等，選c；c點、b點在同一輪軸上角速度相等，半徑不同，由 ，b點與c點線速度不相等，故a與b線速度不等，a錯；同樣可判定a與c角速度不同，即a與b角速度不同，b錯；設a點的線速度為 ，則a點向心加速度 ，由 ， ，所以 ，故 ，d正確。本題正確答案c、d。點評：處理皮帶問題的要點為：皮帶（鏈條）上各點以及兩輪邊緣上各點的線速度大小相等，同一輪上各點的角速度相同。2. 水平面內(nèi)的圓周運動轉(zhuǎn)盤：物體在轉(zhuǎn)盤上隨轉(zhuǎn)盤一起做勻速圓周運動，物體與轉(zhuǎn)盤間分無繩和有繩兩種情況。無繩時由靜摩擦力提供向心力；有繩要考慮臨界條件。例2：如圖 所示，水平轉(zhuǎn)盤上放有

8、質(zhì)量為m的物體，當物塊到轉(zhuǎn)軸的距離為r時，連接物塊和轉(zhuǎn)軸的繩剛好被拉直（繩上張力為零）。物體和轉(zhuǎn)盤間的最大靜摩擦力是其正壓力的 倍。求：（1）當轉(zhuǎn)盤的角速度 時，細繩的拉力 。（2）當轉(zhuǎn)盤的角速度 時，細繩的拉力 。 解析：設轉(zhuǎn)動過程中物體與盤間恰好達到最大靜摩擦力時轉(zhuǎn)動的角速度為 ，則 ，解得 （1）因為 ，所以物體所需向心力小于物與盤間的最大摩擦力，則物與盤產(chǎn)生的摩擦力還未達到最大靜摩擦力，細繩的拉力仍為0，即 。（2）因為 ，所以物體所需向心力大于物與盤間的最大靜摩擦力，則細繩將對物體施加拉力 ，由牛頓第二定律得 ，解得 。點評：當轉(zhuǎn)盤轉(zhuǎn)動角速度 時，物體有繩相連和無繩連接是一樣的，此時

9、物體做圓周運動的向心力是由物體與圓臺間的靜摩擦力提供的，求出 。可見， 是物體相對圓臺運動的臨界值，這個最大角速度 與物體的質(zhì)量無關，僅取決于 和r。這一結(jié)論同樣適用于汽車在平路上轉(zhuǎn)彎。圓錐擺：圓錐擺是運動軌跡在水平面內(nèi)的一種典型的勻速圓周運動。其特點是由物體所受的重力與彈力的合力充當向心力，向心力的方向水平。也可以說是其中彈力（或拉力）的水平分力提供向心力（彈力的豎直分力和重力互為平衡力）。【例5】小球在半徑為r的光滑半球內(nèi)做水平面內(nèi)的勻速圓周運動，試分析圖 中的（小球與半球球心連線跟豎直方向的夾角）與線速度v、周期t的關系。（小球的半徑遠小于r）。 解析：小球做勻速圓周運動的圓心在和小球等

10、高的水平面上（不在半球的球心），向心力f是重力g和支持力 的合力，所以重力和支持力的合力方向必然水平。如圖3所示有 由此可得 ， 可見， 越大（即軌跡所在平面越高），v越大，t越小。點評：本題的分析方法和結(jié)論同樣適用于火車轉(zhuǎn)彎、飛機在水平面內(nèi)做勻速圓周飛行等在水平面內(nèi)的勻速圓周運動的問題。共同點是由重力和彈力的合力提供向心力，向心力方向水平。【例6】如下圖所示，兩繩系一質(zhì)量為m=的小球，上面繩長l=2m，兩端都拉直時與軸的夾角分別為30°與45°，問球的角速度在什么范圍內(nèi)，兩繩始終張緊；當角速度為3rad/s時，上、下兩繩拉力分別為多大？解析：當角速度很小時，ac和bc與軸

11、的夾角都很小，bc并不張緊。當逐漸增大，bc剛被拉直（這是一個臨界狀態(tài)），但bc繩中的張力仍然為零，設這時的角速度為，則有 將已知條件代入上式解得當角速度繼續(xù)增大時減小，增大。設角速度達到時，（這又是一個臨界狀態(tài)），則有 將已知條件代入上式解得所以當滿足時，ac、bc兩繩始終張緊。本題所給條件，此時兩繩拉力、都存在。將數(shù)據(jù)代入上面兩式解得，點評：解題時注意圓心的位置（半徑的大?。?。如果時，則ac與軸的夾角小于。如果，則bc與軸的夾角大于45°。3. 豎直面內(nèi)的圓周運動豎直面內(nèi)圓周運動最高點處的受力特點及題型分類如下：這類問題的特點是：由于機械能守恒，物體做圓周運動的速率時刻在改變，所

12、以物體在最高點處的速率最小，在最低點處的速率最大。物體在最低點處向心力向上，而重力向下，所以彈力必然向上且大于重力；而在最高點處，向心力向下，重力也向下，所以彈力的方向就不能確定了，要分三種情況進行討論。（1）彈力只可能向下，如繩拉球。這種情況下有 ，即 ，否則不能通過最高點；（2）彈力只可能向上，如車過橋。在這種情況下有 ， ，否則車將離開橋面，做平拋運動；（3）彈力既可能向上又可能向下，如管內(nèi)轉(zhuǎn)（或桿連球、環(huán)穿珠）。這種情況下，速度大小v可以取任意值。但可以進一步討論：a. 當 時物體受到的彈力必然是向下的；當 時物體受到的彈力必然是向上的；當 時物體受到的彈力恰好為零。b. 當彈力大小

13、時，向心力有兩解 ；當彈力大小 時，向心力只有一解 ；當彈力 時，向心力等于零，這也是物體恰能過最高點的臨界條件。結(jié)合牛頓定律的題型【例7】如圖5所示，桿長為 ，球的質(zhì)量為 ，桿連球在豎直平面內(nèi)繞軸o自由轉(zhuǎn)動，已知在最高點處，桿對球的彈力大小為 ，求這時小球的瞬時速度大小。 解析：小球所需向心力向下，本題中 ，所以彈力的方向可能向上也可能向下。（1）若f向上，則 ， ；（2）若f向下，則 ， 點評：本題是桿連球繞軸自由轉(zhuǎn)動，根據(jù)機械能守恒，還能求出小球在最低點的即時速度。需要注重的是：若題目中說明小球在桿的帶動下在豎直面內(nèi)做勻速圓周運動，則運動過程中小球的機械能不再守恒，這兩類題一定要分清。【

14、例8】如圖 所示，用細繩一端系著的質(zhì)量為 的物體a靜止在水平轉(zhuǎn)盤上，細繩另一端通過轉(zhuǎn)盤中心的光滑小孔o吊著質(zhì)量為 的小球b，a的重心到o點的距離為 。若a與轉(zhuǎn)盤間的最大靜摩擦力為 ，為使小球b保持靜止，求轉(zhuǎn)盤繞中心o旋轉(zhuǎn)的角速度 的取值范圍。（取 ）解析：要使b靜止，a必須相對于轉(zhuǎn)盤靜止具有與轉(zhuǎn)盤相同的角速度。a需要的向心力由繩拉力和靜摩擦力合成。角速度取最大值時，a有離心趨勢，靜摩擦力指向圓心o；角速度取最小值時，a有向心運動的趨勢，靜摩擦力背離圓心o。對于b： 對于a： ， 聯(lián)立解得 ， 所以 點評：在水平面上做圓周運動的物體，當角速度 變化時，物體有遠離或向著圓心運動的（半徑有變化）趨勢

15、。這時要根據(jù)物體的受力情況，判定物體受的某個力是否存在以及這個力存在時方向朝哪（非凡是一些接觸力，如靜摩擦力、繩的拉力等）。練習題：1. 關于互成角度（不為零度和180°）的一個勻速直線運動和一個勻變速直線運動的合運動，下列說法正確的是（ ）a. 一定是直線運動 b. 一定是曲線運動 c. 可能是直線，也可能是曲線運動d. 以上答案都不對2. 一架飛機水平勻速飛行，從飛機上每隔1s釋放一個鐵球，先后釋放4個，若不計空氣阻力，則這4個球（ ）a. 在空中任何時刻總是排列成拋物線，它們的落地點是等間距的b. 在空中任何時刻總是排列成拋物線，它們的落地點是不等間距的c. 在空中任何時刻總是

16、在飛機的正下方排列成豎直直線，它們的落地點是不等間距的d. 在空中任何時刻總是在飛機的正下方排列成豎直直線，它們的落地點是等間距的3. 圖中所示為一皮帶傳動裝置，右輪的半徑為r，a是它邊緣上的一點，左側(cè)是一輪軸，大輪的半徑為 ，小輪的半徑為 、 點在小輪上，到小輪中心的距離為 。 點和 點分別位于小輪和大輪的邊緣上。若在傳動過程中，皮帶不打滑。則（ ）a. a點與b點的線速度大小相等b. a點與b點的角速度大小相等c. a點與c點的線速度大小相等d. a點與d點的周期大小相等4. 在抗洪搶險中，戰(zhàn)士駕駛摩托艇救人，假設江岸是平直的，洪水沿江向下游流去，水流速度為 ，摩托艇在靜水中的航速為 ，戰(zhàn)

17、士救人的地點a離岸邊最近處o的距離為d，如戰(zhàn)士想在最短時間內(nèi)將人送上岸，則摩托艇登陸的地點離o點的距離為（ ）a. b. c. d. 5. 火車軌道在轉(zhuǎn)彎處外軌高于內(nèi)軌，其高度差由轉(zhuǎn)彎半徑與火車速度確定。若在某轉(zhuǎn)彎處規(guī)定行駛速度為 ，則下列說法中正確的是（ ） 當以 的速度通過此彎路時，火車重力與軌道面支持力的合力提供向心力 當以 的速度通過此彎路時，火車重力、軌道面支持力和外軌對輪緣彈力的合力提供向心力 當速度大于v時，輪緣擠壓外軌 當速度小于v時，輪緣擠壓外軌a. b. c. d. 6關于做勻速圓周運動的物體的線速度、角速度、周期的關系，下列說法正確的是()a線速度大的角速度一定大b線速度

18、大的周期一定小c角速度大的半徑一定小d角速度大的周期一定小7由上海飛往美國洛杉機磯的飛機在飛越太平洋上空的過程中，如果保持飛行速度的大小和距離海面的高度均不變，則以下說法正確的是()a飛機做的是勻速直線運動b飛機上的乘客對座椅的壓力略大于地球?qū)Τ丝偷囊飛機上的乘客對座椅的壓力略小于地球?qū)Τ丝偷囊飛機上的乘客對座椅的壓力為零8游客乘坐過山車，在圓弧軌道最低點處獲得的向心加速度達到20 m/s2，g取10 m/s2，那么此位置座椅對游客的作用力相當于游客重力的()a1倍b2倍 c3倍 d4倍9.汽車行駛在半徑為50m的圓形水平跑道上，速度為10m/s。已知汽車的質(zhì)量為1000 kg，汽車與

19、地面的最大靜摩擦力為車重的倍。問：（g =10m/s2）（1）汽車繞跑道一圈需要的時間是多少角速度是多少其向心力是多大（2）要使汽車不打滑，則其速度最大不能超過多少？10.下課后，小麗在運動場上蕩秋千。已知小麗的質(zhì)量為40 kg，每根系秋千的繩子長為4 m ，能承受的最大張力是300n。如右圖，當秋千板擺到最低點時，速度為3 m/s。（g =10m/s2，小麗看成質(zhì)點處理，秋千繩、底座等不計質(zhì)量）（1）此時，小麗做圓周運動的向心力是多大？（2）此時，小麗對底座的壓力是多少每根繩子受到拉力t是多少（3）如果小麗到達最低點的速度為5m/s，繩子會斷嗎？11.如圖所示，半徑為r、內(nèi)徑很小的光滑半圓管

20、豎直放置，兩個質(zhì)量均為m的小球a、b以不同速率進入管內(nèi)，a通過最高點c時，對管壁上部的壓力為3mg，b通過最高點c時，對管壁下部的壓力為.求a、b兩球落地點間的距離12.如圖11所示，質(zhì)量為 kg的小杯里盛有1 kg的水，用繩子系住小杯在豎直平面內(nèi)做“水流星”表演，轉(zhuǎn)動半徑為1 m，小杯通過最高點的速度為4 m/s。求：（1）在最高點時，繩的拉力t是多少？（2）在最高點時水對小杯底的壓力是多少？（3）為使小杯經(jīng)過最高點時水不流出, 在最高點時最小速率是多少 【模擬試題】一. 選擇題（在每小題給出的四個選項中，有的小題只有一個選項正確，有的小題有多個選項正確）1. 下列說法正確的是（ ）a. 做

21、勻速圓周運動的物體的加速度恒定b. 做勻速圓周運動的物體所受合外力為零c. 做勻速圓周運動的物體的速度大小是不變的d. 做勻速圓周運動的物體處于平衡狀態(tài)2. 如圖1所示，把一個長為20cm，系數(shù)為360n/m的彈簧一端固定，作為圓心，彈簧的另一端連接一個質(zhì)量為的小球，當小球以的轉(zhuǎn)速在光滑水平面上做勻速圓周運動時，彈簧的伸長應為（ ）a. b. c. d. 圖13. 一圓盤可以繞其豎直軸在圖2所示水平面內(nèi)轉(zhuǎn)動，圓盤半徑為r。甲、乙物體質(zhì)量分別是m和m（m>m），它們與圓盤之間的最大靜摩擦力均為正壓力的倍，兩物體用一根長為的輕繩連在一起。若將甲物體放在轉(zhuǎn)軸位置上，甲、乙之間連線剛好沿半徑方向被拉直，要使兩物體與圓盤間不發(fā)生相對滑動，則轉(zhuǎn)盤旋轉(zhuǎn)角速度的最大值不得超過（兩物體均看作質(zhì)點）（ ）a. b. c. d. 圖24. 如圖3所示，一個球繞中心線以角速度轉(zhuǎn)動，則（ ）a. a、b兩點的角速度相等 b. a、b兩點的線速度相等c. 若，則 d. 以上答案都不對圖35. 一圓盤可繞圓盤中心o且垂直于盤面的豎直軸轉(zhuǎn)動，在圓盤上放置一小木塊a，它隨圓盤一起運動（做勻速圓周運動），如圖4所示，則關于木塊a的受力，下列說法正確的是（ ）a. 木塊a受重力、支持力和向心力b. 木