四年級(jí)等差數(shù)列求和

1、四年級(jí)等差數(shù)列求和第3講：等差數(shù)列求和德國著名數(shù)學(xué)家高斯幼年時(shí)代聰明過人，上學(xué)時(shí)，有一天老師出了一道題讓同學(xué)們計(jì)算： 123499100？ 老師出完題后，全班同學(xué)都在埋頭計(jì)算，小高斯卻很快算出答案等于5050。高斯為什么算得又快又準(zhǔn)呢？原來小高斯通過細(xì)心觀察發(fā)現(xiàn)：   110029939849525051。    1100正好可以分成這樣的50對(duì)數(shù)，每對(duì)數(shù)的和都相等。于是，小高斯把這道題巧算為 （1+100）×100÷25050。    小高斯使用的這種求

2、和方法，真是聰明極了，簡單快捷，并且廣泛地適用于“等差數(shù)列”的求和問題。若干個(gè)數(shù)排成一列稱為數(shù)列，數(shù)列的第一個(gè)數(shù)（第一項(xiàng)）叫首項(xiàng)，最后一個(gè)數(shù)（最后一項(xiàng)）叫末項(xiàng)，如果一個(gè)數(shù)列從第二項(xiàng)起，每一項(xiàng)與前一項(xiàng)的差是一個(gè)不變的數(shù)，這樣的數(shù)列叫做等差數(shù)列，這個(gè)不變的數(shù)則稱為這個(gè)數(shù)列的公差。 計(jì)算等差數(shù)列的和，可以用以下關(guān)系式： 等差數(shù)列的和（首項(xiàng)末項(xiàng)）×項(xiàng)數(shù)÷2 末項(xiàng)首項(xiàng)公差×（項(xiàng)數(shù)1） 項(xiàng)數(shù)（末項(xiàng)首項(xiàng)）÷公差1    例1：計(jì)算下列數(shù)列的和（1）1，2，3，4，5，100； （2）8，1

3、5，22，29，36，71。 其中（1）是首項(xiàng)為1，末項(xiàng)為100，公差為1的等差數(shù)列；（2） 是首項(xiàng)為8，末項(xiàng)為71，公差為7的等差數(shù)列。 由高斯的巧算方法，得到等差數(shù)列的求和公式： 和=（首項(xiàng)+末項(xiàng)）×項(xiàng)數(shù)÷2隨堂小練：計(jì)算等差數(shù)列1，3，5，7，9，99的和例2：計(jì)算下面數(shù)列的和1231999分析：這串加數(shù)1，2，3，1999是等差數(shù)列，首項(xiàng)是1，末項(xiàng)是1999，共有1999個(gè)數(shù)。由等差數(shù)列求和公式可得   解：原式=（11999）×1999÷21999000注意：利用等差數(shù)列求和公式之前，

4、一定要判斷題目中的各個(gè)加數(shù)是否構(gòu)成等差數(shù)列。例3： 計(jì)算下面數(shù)列的和11121331分析：這串加數(shù)11，12，13，31是等差數(shù)列，首項(xiàng)是11，末項(xiàng)是31，共有31-11121（項(xiàng)）。 解：原式=（11+31）×21÷2=441在利用等差數(shù)列求和公式時(shí)，有時(shí)項(xiàng)數(shù)并不是一目了然的，這時(shí)就需要先求出項(xiàng)數(shù)。根據(jù)首項(xiàng)、末項(xiàng)、公差的關(guān)系，可以得到 項(xiàng)數(shù)=（末項(xiàng)-首項(xiàng)）÷公差+1， 末項(xiàng)=首項(xiàng)+公差×（項(xiàng)數(shù)-1）。 例4：計(jì)算下面數(shù)列的和371199分析：3，7，11，99是公差為4的等差數(shù)列， 項(xiàng)數(shù)=（9

5、93）÷4125解：原式=（399）×25÷21275例5 ：求首項(xiàng)是25，公差是3的等差數(shù)列的前40項(xiàng)的和。 解：末項(xiàng)=253×（40-1）142， 和=（25142）×40÷23340。 利用等差數(shù)列求和公式及求項(xiàng)數(shù)和末項(xiàng)的公式，也可以解決各種與等差數(shù)列求和有關(guān)的問題。隨堂小練：（1）求等差數(shù)列：1、3、5、7、9它的第21項(xiàng)是多少?    （2） 求等差數(shù)列：2、6、10、14、18它的第60項(xiàng)是多少?例6：已知數(shù)列2、5、8、11、1435，這個(gè)數(shù)

6、列共有多少項(xiàng)？ 分析：第2項(xiàng)比首項(xiàng)多1個(gè)公差，第3項(xiàng)比首項(xiàng)多2個(gè)公差，第4項(xiàng)比首項(xiàng)多3個(gè)公差，那第n項(xiàng)比首項(xiàng)多（n-1)個(gè)公差。可根據(jù)，項(xiàng)數(shù)=（末項(xiàng)首項(xiàng)）÷公差 + 1 進(jìn)行計(jì)算，（35-2）÷3+1=12。所以，這個(gè)數(shù)列共有12項(xiàng)。 由此可知：項(xiàng)數(shù)=（末項(xiàng)首項(xiàng)）÷公差 + 1 隨堂小練：（1） 有一個(gè)等差數(shù)列：1、3、5、7、999，這個(gè)等差數(shù)列共有多少項(xiàng)？    （2） 有一個(gè)等差數(shù)列：2、5、8、11101，這個(gè)等差數(shù)列共有多少項(xiàng)？例7：在

7、下圖中，每個(gè)最小的等邊三角形的面積是12厘米2，邊長是1根火柴棍。 問：（1）最大三角形的面積是多少平方厘米（2）整個(gè)圖形由多少根火柴棍擺成 分析：最大三角形共有8層，從上往下擺時(shí)，每層的小三角形數(shù)目為1、3、5、7、9等，由此可知，各層的小三角形數(shù)成等差數(shù)列，各層的火柴數(shù)也成等差數(shù)列。解：（1）最大三角形面積為  （13515）×12 （115）×8÷2×12 768（平方厘米）  2）火柴棍的數(shù)目為   369+24 （324）×8

8、÷2=108（根）。 答：最大三角形的面積是768厘米2，整個(gè)圖形由108根火柴擺成。例8：盒子里放有三只乒乓球，一位魔術(shù)師第一次從盒子里拿出一只球，將它變成3只球后放回盒子里；第二次又從盒子里拿出二只球，將每只球各變成3只球后放回盒子里第十次從盒子里拿出十只球，將每只球各變成3只球后放回到盒子里。這時(shí)盒子里共有多少只乒乓球？ 分析：一只球變成3只球，實(shí)際上多了2只球。第一次多了2只球，第二次多了2×2只球第十次多了2×10只球。因此拿了十次后，多了  2×12×22×10 2

9、5;（1210） 2×55110（只）。 加上原有的3只球，盒子里共有球1103113（只）。   解：綜合列式為： （3-1）×（1210）3 2×（110）×10÷23113（只）課后練習(xí)：1、求下列等差數(shù)列的和。（1）67897475 （2）261014122126 （3）123420072008 2、 有一個(gè)數(shù)列，4、10、16、2252，這個(gè)數(shù)列有多少項(xiàng)？ 3、 一個(gè)等差數(shù)列，首項(xiàng)是3，公差是2，項(xiàng)數(shù)是10。它的末項(xiàng)是多少？ 4、 求等差數(shù)列1、4、7、10，這個(gè)等差數(shù)列的第30項(xiàng)是多少？5、 有一個(gè)數(shù)列：6、10、14、18、22，這個(gè)數(shù)列前100項(xiàng)的和是多少？6、 在等差數(shù)列1、5、9、13、17401中，401是第幾項(xiàng)第50項(xiàng)是多少 7、 求199個(gè)連續(xù)自然