第一章 第1講 集合的含義與基本關(guān)系

1、第一章 集合與邏輯用語第1講集合的含義與基本關(guān)系考綱要求考綱研讀1.集合的含義與表示(1)了解集合的含義、元素與集合的“屬于”關(guān)系 (2)能用自然語言、圖形語言、集合語言(列舉法或描述法)描述不同的具體問題2集合間的基本關(guān)系(1)理解集合之間包含與相等的含義，能識別給定集合的子集(2)在具體情境中，了解全集與空集的含義3集合的基本運算(1)理解兩個集合的并集與交集的含義，會求兩個簡單集合的并集與交集(2)理解在給定集合中一個子集的補集的含義，會求給定子集的補集(3)能使用韋恩(Venn)圖表達(dá)集合的關(guān)系及運算.1.集合是由元素組成的，從集合中元素的特征出發(fā)，可找到元素與集合及集合與集合之間的關(guān)

2、系2對于集合的運算，可充分借助于韋恩(Venn)圖或數(shù)軸的直觀性3對于與集合運算有關(guān)的新概念問題，通過信息遷移構(gòu)造出符合要求的情景是關(guān)鍵.1集合的含義與表示互異性無序性(1)集合元素的三個特征：_、_和_(2)元素與集合的關(guān)系是_或_，用符號“_”或“_”表示描述法(3)集合的表示法：_、_、圖示法(4)常用數(shù)集：自然數(shù)集 N；正整數(shù)集 N*(或 N)；整數(shù)集 Z；有理數(shù)集 Q；實數(shù)集 R.確定性屬于不屬于列舉法2集合間的基本關(guān)系A(chǔ)B若 aA，則 aB(1)對于兩個集合 A 與 B，如果集合 A 中任何一個元素都是集合 B 的元素，則稱集合 A 包含于集合 B，或集合 B 包含集合 A，記作

3、AB 或 BA.用符號表達(dá)即“_”(2)空集及其性質(zhì)空集是任何集合的_，其中“任何集合”當(dāng)然也包括了 ，故有 .子集真子集空集是任何非空集合的_，即 A(而 A )(3)子集的有關(guān)性質(zhì)AB_.AB，BC_.AC若集合 A 有 n 個元素，則 A 的子集數(shù)為_.2nAB 且 BA3集合的運算及其性質(zhì)(1)集合的運算x|xA 且 xB交集：AB_并集：AB_補集：U A_(2)集合的運算性質(zhì)并集的性質(zhì)：A A、AAA、ABBA、ABA BA.交集的性質(zhì)：A 、AAA、ABBA、ABA AB；補集的性質(zhì)：AU AU、AU A 、U (U A)A、U (AB)(U A)(U B)、U (AB)(U A

4、)(U B)x|xA 或 xBx|xU 且 x A1已知全集 UR，則正確表示集合 M1,0,1和 Nx|x2x0關(guān)系的韋恩(Venn)圖是()B2集合 A(x，y)|xy0，B(x，y)|xy2，則 AB是( )CA(1，1)B.x1y1C(1，1)D1，13(2011 年四川)若全集 M1,2,3,4,5，N2,4，則M N()BAC2,4B1,3,5D1,2,3,4,5解析：M1,2,3,4,5，則M N1,3,5故選B.D4設(shè)集合 Ax|x3，Bx|x25x40，則 AB( )ACx|2x1Bx|3x15(2011 屆深中、廣雅、華附、省實四校聯(lián)考)集合 P)A1,0,1，Qy|yco

5、sx，xR，則 PQ(APBQC1,1D0,1考點1集合間的基本關(guān)系例1：集合 Ax|2x5，Bx|m1x2m1(1)若 BA，求實數(shù) m 的取值范圍；(2)當(dāng) xR 時，沒有元素 x 使 xA 與 xB 同時成立，求實數(shù) m 的取值范圍需m12，2m15，可得2m3. 綜上m3 時有BA.解析：(1)當(dāng) m12m1，即m2 時，B .滿足BA.當(dāng) m12m1，即m2 時，要使BA 成立，(2)xR，且 Ax|2x5，Bx|m1x2m1，沒有元素 x 使 xA 與 xB 同時成立即 AB .若 B 即 m12m1，得 m2 時滿足條件若 B ，則要滿足條件有：m12m1，m15，或m12m1，

6、2m12，解得 m4.綜上所述，有 m2 或 m4.(1)空集是任何集合的子集，因此當(dāng) BA 時需考慮 B 的情形；(2)當(dāng)AB 時也需考慮 B 的情形，如果當(dāng)集合B 不是空集，要保證 BA，可以利用數(shù)軸，這樣既直觀又簡潔；(3)雖然本題的難度不大，但都需要分兩種情況討論，在(1)中解不等式組時需求交集，而最終結(jié)果又都要求兩種討論結(jié)果的并集，因此本題還是綜合性很強的【互動探究】1(2011 年安徽)設(shè)集合 A1,2,3,4,5,6，B4,5,6,7，則滿足 SA 且 SB 的集合 S 的個數(shù)為()BA57B56C49D8解析：集合A 的所有子集共有2664 個，其中不含4,5,6,7 的子集有

7、238 個，所以集合S 共有56 個故選B.D2(2011 年浙江)若 Px|x1，則( )APQBQPCR PQDQR P解析：Px|x1，QR P.故選 D.考點2集合的運算例2：設(shè)全集 Ux|x20 的質(zhì)數(shù)，MU N3,5，NU M7,19，(UM)(UN)2,17，求集合 M 與 N.解析：如圖D1，由(U M)(U N)2,17，可知M，N 中沒有元素2,17.圖 D1由NU M7,19，可知N 中有元素7,19，M中沒有元素7,19.由MU N3,5，可知M 中有元素3,5，N中沒有元素3,5.剩下的元素11,13 不在MU N、NU M、(U M)(U N)三部分中，只能11(M

8、N)，13(MN)M3,5,11,13，N7,11,13,19集合問題大都比較抽象，解題時若借助Venn 圖進(jìn)行數(shù)形分析，往往可將問題直觀化、形象化，使問題靈活、直觀、簡捷、準(zhǔn)確地獲解，當(dāng)然本題還要注意的就是1 既不是質(zhì)數(shù)也不是合數(shù)【互動探究】3(2011年全國)設(shè)集合U1,2,3,4，M1,2,3，N2,3,4，則U(MN)()DA1,2B2,3C2,4D1,4解析：MN2,3，U (MN)1,4解析：U T1,5,6，所以 S(U T)1,5故選B.BA1,4,5,6C4B1,5D1,2,3,4,54(2011 年安徽)集合U1,2,3,4,5,6，S1,4,5，T2,3,4，則 S(U

9、T)等于( )考點3 與集合有關(guān)的新概念問題圖 111Ax|0 x2Bx|12例 3：如圖 111 所示的韋恩圖中，A、B 是非空集合，定義集合 A#B 為陰影部分表示的集合若 x，yR，Ax|y2xx2，By|y3x(x0)，則 A#B 為( ) 答案：DD根據(jù)圖形語言可知定義的 A#B 可轉(zhuǎn)化為 A#BA B(AB)所以需要求出和，借助數(shù)軸求出并集與交集解題的關(guān)鍵是由圖形語言把新定義運算轉(zhuǎn)化為原有的普通運算解出【互動探究】5部分實數(shù)構(gòu)成的集合 A 滿足：任兩個不同元素的和仍然是 A 的元素；任兩個不同元素的積仍然是 A 的元素；任一元素的 n 次冪仍然是 A 的元素(nN)這樣的有限集 A

10、 有()BA無限多個B2 個C3 個D4 個解析：集合 A0,1或1,0,16設(shè) P，Q 為兩個非空實數(shù)集合，定義集合 PQab|aP，bQ若 P0,2,5，Q1,2,6，則 PQ 中元素的個數(shù)是()BA9B8C7D6易錯、易混、易漏1不清楚集合元素的性質(zhì)致誤于()Ay|y1Cy|y0By|y1Dy|y0答案：C【失誤與防范】對于集合問題，要首先確定集合的元素是什么(數(shù)集、點集或某類圖形)，然后確定處理此類問題的方法本題很容易錯誤地認(rèn)為是求函數(shù) y2x 和 y 的定義域的交集，錯選A 或B.實際上兩集合的元素是 y，是求兩函數(shù)的值域的交集1x1對連續(xù)數(shù)集間的運算，要借助數(shù)軸的直觀性，進(jìn)行合理轉(zhuǎn)

11、化；對離散數(shù)集間的運算，要借助 Venn 圖，這是數(shù)形結(jié)合思想的具體體現(xiàn)2本小節(jié)的重點是交集與并集的概念只要結(jié)合圖形，抓住概念中的關(guān)鍵詞“且”、“或”，理解它們并不困難可以借助代數(shù)運算幫助理解“且”、“或”的含義：求方程組的解集是求各個方程的解集的交集，求方程(x2)(x1)0 的解集，則是求方程 x20 和 x10 的解集的并集；求不等式組的解集是求各個不等式的解集的交集，求不等式(x2)(x1)0 的解集，則是求x20，x10，x10的解集的并集1注意利用分類討論的思想解決集合之間的關(guān)系和含有參數(shù)的問題如在 AB 的條件下，須考慮 A 和 A 兩種情況，要時刻注意對空集的討論2在集合的運算過程