分式及分式方程總復習綱要

1、分式及分式方程總復習綱要第十六章    分式1. 分式的定義：如果a和b均為整式，b中含有字母，那么式子 叫做分式。例如：，等都是分式。因為這些式子的分母中都含有字母，所以他們都是分式。注意：分式的分子和分母都是整式，但是分子可以含字母也可以不含字母，而分母中必須含有字母下列式子,中，它們的分母中都不含有字母，所以都不是分式，而是整式特別要注意，它的分母上是，但它表示的是常數(shù)，所以不是分式。整式和分式統(tǒng)稱為有理式2. 分式有意義的條件是:分母不為零;注意：分式是否有意義，與分子無關只要分母不等于零，分式就有意義例如1：對分式，要使這個分式有意義，就必須滿

2、足x22x30，即 (x1)(x3)0， x1且x3,當x1且x3時,分式才有意義3.分式值為零的條件分子為零且分母不為零.要使分式的值為零，必須在分式有意義的前提下，才能談到它的值是多少這就是說“分式的值為零”包含兩層意思：一是分式有意義，二是分子的值為零，不要誤解為“只要分子的值為零，分式的值就是零”例如2：當x為何值時，分式的值為零；(1) 由題意得 解 |x|20, x2x60, 解：由式得x±2，又由式得 (x2)( x3)0 , 即x2且x3. x2.（）4.分式的基本性質(zhì)：分式的分子與分母同乘或除以一個不等于0的整式，分式的值不變。 理解分式的基本性質(zhì)時，必須注意：(1

3、)分式的基本性質(zhì)中的a、b、c表示的都是整式 例如3：，隨著知識的擴充,a、b、c還可以表示任何代數(shù)式(2)在分式的基本性質(zhì)中，c0例如4：，這里c2x3,因此, c0，即2x30，所以x.這個條件往往被忽略，學習時，必須特別注意 (3)分子、分母必須“同時”乘以c (c0)，不要只乘分子（或分母）5、通分是解決異分母分式加減的基礎，約分是解決分式乘除的基礎，要解決好分式的運算問題，就必須掌握好分式的通分與約分問題，這類問題共分兩類，下面舉例說明，供同學們參考一、以單項式為分母(1)約分 例1約分： 解：原式=分析：本題是分子、分母均為單項式的分式的約分問題，只要將單項式分離，然后再約去相同的

4、因式即可(2)通分 例2通分：分析：本題兩個分式的分母都是單項式的形式，而通分的關鍵是確定分母的最簡公分母，首先要找分母中各系數(shù)的最小公倍數(shù)，字母要找次數(shù)最高的冪，如系數(shù)4，2，最小公倍數(shù)為4，最高次冪是，所以最簡公分母是，這樣問題就基本解決了解：因為最簡公分母是，所以，二、以多項式為分母(1)約分 例3約分： 解：原式=分析：約分的根據(jù)是分式的基本性質(zhì)，將分子、分母的公因式約去，若分子、分母是多項式，須先因式分解，再約去公因式因此要注意分式約分時一定要根據(jù)分式的基本性質(zhì)能分解因式的要分解，再約分，分子、分母要從整體上把握(2)通分 例4通分：分析：本題的各分母是多項式，應先分解因式，再確定最

5、簡公分母，9-3a=3（3-a），因此最簡公分母為解：因為最簡公分母為，所以，6、分式的通分和約分：關鍵先是對分子或分母的多項式進行分解因式分解因式方法：(1)、提公因式法：m(a+b)= ma+mb 反過來為ma+mb=m(a+b)(2)、公式法：平方差公式: (a+b)(a-b)= 反過來為: =(a+b)(a-b) 完全平方公式： 反過來為： (3)、十字相乘法： 提醒：分式的約分、通分、化簡和解分式方程都要用到.分式的基本性質(zhì)7、(1) 分式乘法法則：分式乘分式，用分子的積作為積的分子，分母的積作為分母。 (2) 分式除法法則：分式除以分式，把除式的分子、分母顛倒位置后，與被除式相乘。

6、 8、分式的加減法則：同分母的分式相加減，分母不變，把分子相加減。異分母的分式相加減，先通分，變?yōu)橥帜阜质?，然后再加減9、分式乘方法則：分式乘方要把分子、分母分別乘方。 10、混合運算:運算順序和以前一樣。能用運算率簡算的可用運算率簡算。分式的混合運算過程較繁，關鍵是要嚴格按照分式混合運算的順序進行，即分式的加、減、乘、除、乘方11、混合運算，先進行乘方運算，其次進行乘、除運算，再進行加、減運算，若有括號，先算括號內(nèi)的.注意：如果分式的分子或分母中含有多項式，能分解因式要先分解因式，能約分的先約分，再進行運算.12、任何一個不等于零的數(shù)的零次冪等于1， 即；當n為正整數(shù)時， （例如：（1）

7、； （2） 反過來 注意：負指數(shù)的冪： 這里的n是正整數(shù) 且 13、正整數(shù)指數(shù)冪運算性質(zhì)也可以推廣到整數(shù)指數(shù)冪(m,n是整數(shù))（1）同底數(shù)的冪的乘法：；（2）冪的乘方：;（3）積的乘方：；（4）同底數(shù)的冪的除法：( a0)；=（5）商的乘方： ，(b0)。14、科學記數(shù)法：把一個數(shù)表示成的形式（其中，n是整數(shù)）的記數(shù)方法叫做科學記數(shù)法（1）用科學記數(shù)法表示絕對值大于10的n位整數(shù)時，其中10的指數(shù)是.例如：6 100 000 000=×1 000 000 000=×109 -9 644 235 442 816= 235 442 816×1012（2）用科學記數(shù)法表

8、示絕對值小于1的正小數(shù)時,其中10的指數(shù)是第一個非0數(shù)字前面0的個數(shù)(包括小數(shù)點前面的一個0)例如： 000 087=×10-8 000 428 156=×10-715. 分式方程：含分式，并且分母中含未知數(shù)的方程分式方程。解分式方程的過程：實質(zhì)上是將方程兩邊同乘以一個整式（最簡公分母），把分式方程轉(zhuǎn)化為整式方程。解分式方程最常用的方法：(1)去分母法；(2)比例法（兩外項之積等于兩內(nèi)項之積）；(3)通分法解分式方程（去分母法）的步驟 ：(1) 化簡：對分子，分母上的多項式能化簡的先化簡（即能分解因式先分解因式）；(2) 去分母：方程兩邊同乘以最簡公分母，化為整式方程；(3

9、) 解整式方程：移項，合并同類項，化未知數(shù)的系數(shù)為1；(4) 驗根：分式方程檢驗方法：將整式方程的解帶入最簡公分母，如果最簡公分母的值不為0，則整式方程的解是原分式方程的解；否則，這個解不是原分式方程的解。例如：解下列分式方程(1)（2）解：原分式方程可變形為： 解：原分式方程可變形為：給方程的兩邊同時乘以 得： 給方程的兩邊同時乘以 得： 解得： 解得：檢驗：把 代入: =-30 檢驗：把 代入: =0所以是原分式方程的解 所以不是原分式方程的解16、增根產(chǎn)生的原因：解分式方程時，方程兩邊同乘以最簡公分母時，最簡公分母有可能為0，這樣就產(chǎn)生了增根，因此分式方程一定要驗根。17、增根應滿足兩個條件：一是其值應使最簡公分母為0，二是其值應是去分母后所的整式方程的根。 分式方程應用題例如：(1)、若關于x的方程有增根，則m的值等于（ ） a3 b2 c1 d3(2)、若關于x的方程無解，則m的值為_.17. 解分式方程的一般步驟檢驗最簡公分母不為去分母最簡公分母為分式方程是分式方程的解整式方程x = a目標不是分式方程的解解整式方程18.列方程應用題的步驟是什么？ (1)審；(2)設；(3)列；(4)解；(5)答應用題