二元一次方程(組)補習、培優(yōu)、競賽歸類講解、練習及答案

1、1 / 21 二元一次方程（組）補習、培優(yōu)、競賽歸類講解及練習答案知識點 ：1、二元一次方程： （1）方程的兩邊都是整式，（ 2）含有兩個未知數(shù)， （3）未知數(shù)的最高次數(shù)是一次。2、二元一次方程的一個解：使二元一次方程左右兩邊相等的兩個未知數(shù)的值叫二元一次方程的一個解。3、二元一次方程組：含有兩個未知數(shù)的兩個二元一次方程所組成的方程組。4、二元一次方程組的解：二元一次方程組中各個方程的公共解。（使二元一次方程組的兩個方程左、右兩邊的值都相等的兩個未知數(shù)的值）無論是二元一次方程還是二元一次方程組的解都應該寫成yx的形式。5、二元一次方程組的解法：基本思路是消元。（1）代入消元法：將一個方程變形，

2、用一個未知數(shù)的式子表示另一個未知數(shù)的形式，再代入另一個方程，把二元消去一元，再求解一元一次方程。主要步驟：變形用一個未知數(shù)的代數(shù)式表示另一個未知數(shù)。代入消去一個元。求解分別求出兩個未知數(shù)的值。寫解寫出方程組的解。（2）加減消元法：適用于相同未知數(shù)的系數(shù)有相等或互為相反數(shù)的特點的方程組，首先觀察出兩個未知數(shù)的系數(shù)各自的特點，判斷如何運用加減消去一個未知數(shù)；含分母、小數(shù)、括號等的方程組都應先化為最簡形式后再用這兩種方法去解。變形同一個未知數(shù)的系數(shù)相同或互為相反數(shù)。加減消去一個元。求解分別求出兩個未知數(shù)的值。寫解寫出方程組的解。（3）列方程解應用題的一般步驟是：關鍵是找出題目中的兩個相等關系，列出方

3、程組。列二元一次方程組解應用題的一般步驟可概括為“審、找、列、解、答”五步，即：審：通過審題，把實際問題抽象成數(shù)學問題，分析已知數(shù)和未知數(shù)，并用字母表示其中的兩個未知數(shù)。找：找出能夠表示題意兩個相等關系。列：根據(jù)這兩個相等關系列出必需的代數(shù)式，從而列出方程組。解：解這個方程組，求出兩個未知數(shù)的值。答：在對求出的方程的解做出是否合理判斷的基礎上，寫出答案。6、二元一次方程組222111cybxacybxa的解的情況有以下三種：當212121ccbbaa時，方程組有無數(shù)多解。（兩個方程等效）當212121ccbbaa時，方程組無解。 （兩個方程是矛盾的）當2121bbaa（即01221baba）時

4、，方程組有唯一的解7、方程的個數(shù)少于未知數(shù)的個數(shù)時，一般是不定解，即有無數(shù)多解，若要求整數(shù)解，可按二元一次方程整數(shù)解的求法進行。8、求方程組中的待定系數(shù)的取值，一般是求出方程組的解（把待定系數(shù)當己知數(shù)），再解含待定系數(shù)的不等式或加以討論。2 / 21 練習題 ：1、已知代數(shù)式babayxyx231321與是同類項，那么a= ，b= 。2、已知nmnmyxyx212-31與是同類項，那么2013mn=_。3、解下列方程組：16214yxyx23221314yxyyx603520112013603720132011yxyx4、已知24,328.abab則ab= 。5、關于 x 的方程組nmyxmx

5、 y-3的解是11yx，則 |m-n| 的值是。6、已知12yx是二元一次方程組110aybxbyax的解，則ba3的算術平方根為。7、已知方程組20134332kyxkyx的解 x，y 滿足方程5x-y=3 ，求 k 的值是。8、選擇一組nm，值使方程組nymxyx275（ 1）有無數(shù)多解， （2）無解，（ 3）有唯一的解。9、a 取什么值時，方程組3135yxayx的解是正數(shù)？10、a 取哪些正整數(shù)值，方程組ayxayx24352的解 x 和 y 都是正整數(shù)？11、要使方程組12yxkkyx的解都是整數(shù)， k 應取哪些整數(shù)值？3 / 21 12、已知關于xy、的方程組2647xayxy有整

6、數(shù)解 , 即xy、都是整數(shù) ,a是正整數(shù)，求a的值。13、m取何整數(shù)值時，方程組1442yxmyx的解 x 和 y 都是整數(shù)？14、若4360,2700 ,xyzxyzxyz求代數(shù)式222222522310 xyzxyz的值。應用題：一、數(shù)字問題例 1、一個兩位數(shù)，比它十位上的數(shù)與個位上的數(shù)的和大9；如果交換十位上的數(shù)與個位上的數(shù)，所得兩位數(shù)比原兩位數(shù)大 27，求這個兩位數(shù)。二、利潤問題例 2、一件商品如果按定價打九折出售可以盈利20% ；如果打八折出售可以盈利10 元，問此商品的定價是多少？三、配套問題例 3、某廠共有 120 名生產(chǎn)工人， 每個工人每天可生產(chǎn)螺栓25 個或螺母 20 個，如

7、果一個螺栓與兩個螺母配成一套，那么每天安排多名工人生產(chǎn)螺栓，多少名工人生產(chǎn)螺母，才能使每天生產(chǎn)出來的產(chǎn)品配成最多套？四、行程問題例 4、在某條高速公路上依次排列著a、 b、c三個加油站，a到 b的距離為120 千米， b到 c的距離也是120 千米。分別在 a、c兩個加油站實施搶劫的兩個犯罪團伙作案后同時以相同的速度駕車沿高速公路逃離現(xiàn)場，正在b站待命的兩輛巡邏車接到指揮中心的命令后立即以相同的速度分別往a、c兩個加油站駛?cè)?，結(jié)果往b站駛來的團伙在1 小時后就被其中一輛迎面而上的巡邏車堵截住，而另一團伙經(jīng)過3 小時后才被另一輛巡邏車追趕上。問巡邏車和犯罪團伙的車的速度各是多少？4 / 21 五

8、、貨運問題例 5、某船的載重量為300 噸，容積為1200 立方米，現(xiàn)有甲、乙兩種貨物要運，其中甲種貨物每噸體積為6 立方米，乙種貨物每噸的體積為2 立方米，要充分利用這艘船的載重和容積，甲、乙兩重貨物應各裝多少噸？六、工程問題例 6、某服裝廠接到生產(chǎn)一種工作服的訂貨任務，要求在規(guī)定期限內(nèi)完成，按照這個服裝廠原來的生產(chǎn)能力，每天可生產(chǎn)這種服裝150 套，按這樣的生產(chǎn)進度在客戶要求的期限內(nèi)只能完成訂貨的45；現(xiàn)在工廠改進了人員組織結(jié)構(gòu)和生產(chǎn)流程，每天可生產(chǎn)這種工作服200 套，這樣不僅比規(guī)定時間少用1 天，而且比訂貨量多生產(chǎn)25 套，求訂做的工作服是幾套？要求的期限是幾天？15、用 100 枚銅

9、板買桃、李、杏共100 粒，己知桃、李每粒分別是3，4 枚銅板，而杏7 粒 1 枚銅板。問桃、李、杏各買幾粒？16、今有雞翁一，值錢五，雞母一，值錢三，雞雛三，值錢一，百錢買百雞，雞翁，雞母，雞雛都買，可各買多少？17、某種商品價格為每件33 元，某人身邊只帶有2 元和 5 元兩種面值的人民幣各若干張，買了一件這種商品。若無需找零錢，則付款方式有哪幾種（指付出2 元和 5 元錢的張數(shù)）？哪種付款方式付出的張數(shù)最少？18、某水果批發(fā)市場香蕉的價格如下表：購 買 香 蕉 數(shù)（千克）不超過20千克20 千克以上但不超過 40 千克40 千克以上每千克價格6 元5 元4 元張強兩次共購買香蕉50 千克

10、（第二次多于第一次），共付款 264 元，請問張強第一次、 第二次分別購買香蕉多少千克？19、小明和小亮做加法游戲，小明在一個加數(shù)后面多寫了一個0，得到的和是242；而小亮在另一個加數(shù)后面多寫了一個 0，得到的和是341，正確的結(jié)果是多少？5 / 21 20、用如圖 1 中的長方形和正方形紙板做側(cè)面和底面，做成如圖2 的豎式和橫式兩種無蓋紙盒?，F(xiàn)在倉庫里有1000 張正方形紙板和2000 張長方形紙板，問兩種紙盒各做多少個，恰好將庫存的紙板用完？21、同慶中學為豐富學生的校園生活，準備從軍躍體育用品商店一次性購買若干個足球和籃球( 每個足球的價格相同，每個籃球的價格相同) ，若購買3 個足球和

11、2 個籃球共需310 元購買2 個足球和5 個籃球共需500 元。 (1)購買一個足球、一個籃球各需多少元 ? (2) 根據(jù)同慶中學的實際情況，需從軍躍體育用品商店一次性購買足球和籃球共96 個。要求購買足球和籃球的總費用不超過5720 元，這所中學最多可以購買多少個籃球? 22、為迎接 2008 年奧運會，某工藝廠準備生產(chǎn)奧運會標志“中國印”和奧運會吉祥物“福娃”。該廠主要用甲、乙兩種原料，已知生產(chǎn)一套奧運會標志需要甲原料和乙原料分別為4 盒和 3 盒，生產(chǎn)一套奧運會吉祥物需要甲原料和乙原料分別為 5 盒和 10 盒該廠購進甲、乙原料的量分別為20000 盒和 30000 盒，如果所進原料全

12、部用完，求該廠能生產(chǎn)奧運會標志和奧運會吉祥物各多少套？23、古算題：“我問開店李三公，眾客都來到店中，一房七客多七客，一房九客一房空問多少房間多少客？”（題目大意是： 一些客人到李三公的店中住宿，若每間房里住7人，就分有7人沒地方??； 若每間房住9人，則空出一間房 問有多少房間多少客人 ）24、某次數(shù)學競賽前60 名獲獎，原定一等獎5 人，二等獎 15 人，三等獎 40 人； 現(xiàn)調(diào)整為一等獎10 人，二等獎20 人，三等獎 30 人。調(diào)整后一等獎的平均分數(shù)降低了3 分，二等獎的平均分數(shù)降低了2 分，三等獎平均分數(shù)降低1 分。如果原來二等獎比三等獎平均分數(shù)多7 分，求調(diào)整后一等獎比三等獎平均分數(shù)

13、多幾分？6 / 21 二元一次方程組競賽題集（答案+解析）【例 1】已知方程組的解 x，y 滿足方程 5x-y=3 ，求 k 的值 . 【思考與分析】本題有三種解法，前兩種為一般解法，后一種為巧解法. （）由已知方程組消去k，得 x 與 y 的關系式，再與5x-y=3 聯(lián)立組成方程組求出x，y 的值，最后將x，y 的值代入方程組中任一方程即可求出k 的值 . （）把 k 當做已知數(shù)，解方程組，再根據(jù)5x-y=3 建立關于k 的方程，便可求出k 的值 . （）將方程組中的兩個方程相加，得5x-y=2k+11 ，又知 5x-y=3 ，所以整體代入即可求出k 的值 . 把代入，得，解得k=-4. 解

14、法二： 3，得17y=k-22 ，解法三：+，得5x-y=2k+11. 又由 5x-y=3 ，得2k+11=3，解得k=-4. 【小結(jié)】解題時我們要以一般解法為主，特殊方法雖然巧妙，但是不容易想到，有思考巧妙解法的時間，可能這道題我們已經(jīng)用一般解法解了一半了，當然，巧妙解法很容易想到的話，那就應該用巧妙解法了. 【例 2】某種商品價格為每件元，某人身邊只帶有元和元兩種面值的人民幣各若干張，買了一件這種商品. 若無需找零錢，則付款方式有哪幾種（指付出元和元錢的張數(shù)）？哪種付款方式付出的張數(shù)最少？【思考與分析】本題我們可以運用方程思想將此問題轉(zhuǎn)化為方程來求解. 我們先找出問題中的數(shù)量關系，再找7

15、/ 21 出最主要的數(shù)量關系，構(gòu)建等式. 然后找出已知量和未知量設元，列方程組求解. 最后，比較各個解對應的x+y 的值，即可知道哪種付款方式付出的張數(shù)最少. 解：設付出元錢的張數(shù)為x， 付出元錢的張數(shù)為y， 則 x， y 的取值均為自然數(shù). 依題意可得方程：2x+5y=33. 因為 5y 個位上的數(shù)只可能是或，所以 2x 個位上數(shù)應為或. 又因為 x 是偶數(shù)，所以x 個位上的數(shù)是，從而此方程的解為：由得 x+y=12；由得 x+y=15. 所以第一種付款方式付出的張數(shù)最少. 答：付款方式有種，分別是：付出張元錢和張元錢；付出張元錢和張元錢；付出張元錢和張元錢. 其中第一種付款方式付出的張數(shù)最

16、少. 【例 3】 解方程組【思考與分析】本例是一個含字母系數(shù)的方程組. 解含字母系數(shù)的方程組同解含字母系數(shù)的方程一樣，在方程兩邊同時乘以或除以字母表示的系數(shù)時，也需要弄清字母的取值是否為零. 解：由，得 y=4 mx ，把代入，得 2x+5 （4mx）=8，解得（25m ）x=-12 ，當 25m0，即 m 時，方程無解，則原方程組無解. 當 25m 0，即 m 時，方程解為將代入，得故當 m 時，原方程組的解為【小結(jié)】含字母系數(shù)的一次方程組的解法和數(shù)字系數(shù)的方程組的解法相同，但注意求解時需要討論字母系數(shù)的取值情況對于 x、y 的方程組中， a1、b1、c1、a2、b2、c2均為已知數(shù)，且a1

17、與 b1、a2與 b2都至少有一個不等于零，則時，原方程組有惟一解；8 / 21 時，原方程組有無窮多組解；時，原方程組無解. 【例 4】某中學新建了一棟4 層的教學大樓，每層樓有8 間教室，這棟大樓共有4 道門，其中兩道正門大小相同，兩道側(cè)門大小也相同. 安全檢查中，對4 道門進行了訓練：當同時開啟一道正門和兩道側(cè)門時，2 分鐘內(nèi)可以通過560名學生；當同時開啟一道正門和一道側(cè)門時，4 分鐘可以通過800 名學生 . （1） 求平均每分鐘一道正門和一道側(cè)門各可以通過多少名學生？（2） 檢查中發(fā)現(xiàn)，緊急情況時因?qū)W生擁擠，出門的效率將降低20. 安全檢查規(guī)定，在緊急情況下全大樓的學生應在 5 分

18、鐘內(nèi)通過這4 道門安全撤離.假設這棟教學大樓每間教室最多有45 名學生，問：建造的這4 道門是否符合安全規(guī)定？請說明理由. 【思考與解】（1）設平均每分鐘一道正門可通過x 名學生，一道側(cè)門可以通過y 名學生 . 根據(jù)題意，得所以平均每分鐘一道正門可以通過學生120人，一道側(cè)門可以通過學生80 人. （2） 這棟樓最多有學生4 845=1440（人） . 擁擠時 5 分鐘 4 道門能通過52（ 120+80）（ 1-20%）=1600（人） . 因為 16001440 ，所以建造的4 道門符合安全規(guī)定. 答:平均每分鐘一道正門和一道側(cè)門各可以通過120名學生、 80 名學生；建造的這4 道門符合

19、安全規(guī)定. 【例 5】某水果批發(fā)市場香蕉的價格如下表：張強兩次共購買香蕉50 千克（第二次多于第一次），共付款264 元，請問張強第一次、第二次分別購買香蕉多少千克？【思考與分析】要想知道張強第一次、第二次分別購買香蕉多少千克，我們可以從香蕉的價格和張強買的香蕉的千克數(shù)以及付的錢數(shù)來入手. 通過觀察圖表我們可知香蕉的價格分三段，分別是6 元、 5 元、4 元. 相對應的香蕉的千克數(shù)也分為三段，我們可以假設張強兩次買的香蕉的千克數(shù)分別在某段范圍內(nèi)，利用分類討論的方法求得張強第一次、第二次分別購買香蕉的千克數(shù). 解：設張強第一次購買香蕉x 千克，第二次購買香蕉y 千克由題意，得0 x25當 0 x

20、20，y40 時，由題意，得當 040 時，由題意，得（與 0 x20， y40 相矛盾，不合題意，舍去）9 / 21 當 20 x25 時， 25y30此時張強用去的款項為5x+5y=5（x+y）=550=250264（不合題意，舍去）. 綜合可知，張強第一次購買香蕉14 千克，第二次購買香蕉36 千克 . 答：張強第一次、第二次分別購買香蕉14 千克、 36 千克 . 【反思】我們在做這道題的時候，一定要考慮周全，不能說想出了一種情況就認為萬事大吉了，要進行分類討論，考慮所有的可能性，看有幾種情況符合題意. 【例 6】 用如圖中的長方形和正方形紙板做側(cè)面和底面，做成如圖的豎式和橫式兩種無蓋

21、紙盒. 現(xiàn)在倉庫里有張正方形紙板和000 張長方形紙板，問兩種紙盒各做多少個，恰好將庫存的紙板用完？【思考與分析】我們已經(jīng)知道已知量有正方形紙板的總數(shù)1000，長方形紙板的總數(shù)2，未知量是豎式紙盒的個數(shù)和橫式紙盒的個數(shù). 而且每個豎式紙盒和橫式紙盒都要用一定數(shù)量的正方形紙板和長方形紙板做成，如果我們知道這兩種紙盒分別要用多少張正方形紙板和長方形紙板，就能建立起如下的等量關系：每個豎式紙盒要用的正方形紙板數(shù) 豎式紙盒個數(shù) + 每個橫式紙盒要用的正方形紙板數(shù) 橫式紙盒個數(shù) = 正方形紙板的總數(shù)每個豎式紙盒要用的長方形紙板數(shù) 豎式紙盒個數(shù) + 每個橫式紙盒要用的長方形紙板數(shù) 橫式紙盒個數(shù) = 長方形

22、紙板的總數(shù)通過觀察圖形，可知每個豎式紙盒分別要用張正方形紙板和張長方形紙板，每個橫式紙盒分別要用張正方形紙板和張長方形紙板. 解：由題中的等量關系我們可以得到下面圖表所示的關系. 設豎式紙盒做x 個，橫式紙盒做y 個. 根據(jù)題意，得 4- ，得y=2000，解得 y=400. 把 y=400 代入，得 x+800=1000 ，解得 x=200. 所以方程組的解為10 / 21 因為 200 和 400 均為自然數(shù)，所以這個解符合題意. 答：豎式紙盒做個，橫式紙盒做個，恰好將庫存的紙板用完. 二元一次方程組培優(yōu)應用題一數(shù)字問題1小明和小亮做加法游戲，小明在一個加數(shù)后面多寫了一個0，得到的 和是

23、242；而小亮在另一個加數(shù)后面多寫了一個 0，得到的 和是 341，正確的結(jié)果是多少？2小宏與小英是同班同學，小英家的住宅小區(qū)有1 號樓至 22 號樓共 22 棟樓房，小宏問了小英下面兩句話，就猜出了小英住幾號樓幾號房間小宏問：“你家的樓號加房間號是多少？”小英答：“220 ”小宏問：“樓號的10 倍加房間號是多少？”小英答：“364 ”你知道為什么嗎？3炎熱的夏天，游泳池中有一群小朋友，男孩戴藍色游泳帽，女孩戴紅色游泳帽如果每個男孩看到藍色與紅色的游泳帽一樣多，而每個女孩看到藍色的游泳帽比紅色的多1 倍，你知道男孩與女孩各有多少人嗎？4已知一個兩位數(shù)，它的十位上的數(shù)字x比個位上的數(shù)字y大1，

24、若顛倒個位數(shù)字與十位數(shù)字的位置，得到的新數(shù)比原數(shù)小9，求這個兩位數(shù)所列的方程組正確的是（）二配套問題1.（08 山東省日照市）為迎接2008 年奧運會，某工藝廠準備生產(chǎn)奧運會標志“ 中國印 ” 和奧運會吉祥物“ 福娃 ” 該廠主要用甲、乙兩種原料，已知生產(chǎn)一套奧運會標志需要甲原料和乙原料分別為4 盒和 3 盒，生產(chǎn)一套奧運會吉祥物需要甲原料和乙原料分別為5 盒和 10 盒該廠購進甲、乙原料的量分別為20000 盒和 30000 盒，如果所進原料全部用完 ，求該廠能生產(chǎn)奧運會標志和奧運會吉祥物各多少套？2. （2008 年山東省威海市）汶川大地震發(fā)生后，各地人民紛紛捐款捐物支援災區(qū)我市某企業(yè)向災

25、區(qū)捐助價值94 萬元的 a，b 兩種帳篷共600 頂已知a 種帳篷每頂1700 元， b種帳篷每頂1300 元，問 a，b 兩種帳篷各多少頂？11 / 21 3長沙市某公園的門票價格如下表所示：購票人數(shù)150 人51 100 人100 人以上票價10 元人8 元人5元人某校七年級甲、乙兩班共100多人去該公園舉行聯(lián)歡活動，其中甲班50多人，乙班不足50人如果以班為單位分別買票，兩個班一共應付920元；如果兩個班聯(lián)合起來作為一團體購票，一共只要付515元問：甲、乙兩班分別有多少人？三行程問題1.甲、乙兩人練習跑步，如果讓乙先跑10 米，甲 5 秒追上乙；如果讓乙先跑2 秒，那么甲4 秒追上乙 .

26、甲、乙每秒分別跑 x、y 米，由題意得方程組_. 2.小明和小亮分別從相距20 千米的甲、乙兩地相向而行，經(jīng)過2 小時兩人相遇，相遇后小明即返回原地，小亮繼續(xù)向甲地前進，小明返回到甲地時，小亮離甲地還有2 千米 .請求出兩人的速度. 3. 一船順水航行43.5 公里需要3 小時，逆水行47.5 公里需 5 小時，求此船在靜水中的速度和水流的速度. 四工程問題1某服裝廠接到生產(chǎn)一種工作服的訂貨任務，要求在規(guī)定期限內(nèi)完成按這個服裝廠原來的生產(chǎn)能力，每天可生產(chǎn)這種服裝 150 套，按這樣的生產(chǎn)進度在客戶要求期限內(nèi)只能完成訂貨的45；現(xiàn)在工廠改進了人員組織結(jié)構(gòu)和生產(chǎn)流程，每天可生產(chǎn)這種工作服200 套

27、，這樣，不僅比規(guī)定的期限少用1 天，而且比訂貨量多生產(chǎn)25 套那么客戶訂做的工作服是多少套，要求完成的期限是多少天？2 （2006 年日照市）在我市南沿海公路改建工程中，某段工程擬在30 天內(nèi)（含 30 天）完成現(xiàn)有甲、乙兩個工程隊，從這兩個工程隊資質(zhì)材料可知：若兩隊合做24 天恰好完成；若兩隊合做18 天后，甲工程隊再單獨做10 天，也恰好完成請問：（1）甲、乙兩個工程隊單獨完成該工程各需多少天？（2）已知甲工程隊每天的施工費用為06 萬元，乙工程隊每天的施工費用為035 萬元，要使該工程的施工費用最低，甲、乙兩隊各做多少天（同時施工即為合做）？最低施工費用12 / 21 五含量濃度問題1

28、(2008 山東煙臺 )據(jù)研究，當洗衣機中洗衣粉的含量在0.2%0.5%之間時，衣服的洗滌效果較好，因為這時表面活性較大.現(xiàn)將4.94的衣服放入最大容量為15的洗衣機中，欲使洗衣機中洗衣粉的含量達到0.4%，那么洗衣機中需要加入多少千克水，多少匙洗衣粉？（1 匙洗衣粉約0.02，假設洗衣機以最大容量洗滌）13 / 21 2. 要配制濃度為15% 的硫酸 500 公斤，已有60% 的硫酸 100 公斤，問還需要加水和加濃度為80 %的硫酸各多少公斤? 六圖形問題1如圖 4，周長為68 的長方形abcd被分成 7 個大小完全一樣的長方形，則長方形abcd的面積是多少？2用一些長短相同的小木棍按圖5

29、 所示，連續(xù)擺正方形和六邊形要求每兩個相鄰的圖形只有一條公共邊已知擺放的正方形比正六邊形多4 個，并且一共用了110 根小木棍，問連續(xù)擺放的正方形和正六邊形各有多少個？3 （2006 年煙臺市） 2002 年 8 月在北京召開的國際數(shù)學家大會會標如圖所示，它是由四個相同的直角三角形與中間的小正方形拼成的一個大正方形若大正方形的面積是13，小正方形的面積是1，直角三角形的較長直角邊為a，較短直角邊為 b，則 a3b4的值為 ()a 35 b43 c 89 d97 七整數(shù)解問題1把面值為1元的紙幣換為1角或5角的硬幣，則換法共有_種練習：1古算題：“我問開店李三公，眾客都來到店中，一房七客多七客，

30、一房九客一房空問多少房間多少客？”（題目大意是：一些客人到李三公的店中住宿，若每間房里住7人，就分有7人沒地方??；若每間房住9人，則空出一間房問有多少房間多少客人 ）答： _2.某公司去年的總收入比總支出多50 萬元，今年比去年的總收入增加10，總支出節(jié)約20，今年的總收入比總支出多 100 萬元 .如果設去年的總收入是x 萬元，總支出是y 元，那么可列方程組是_. 七年級數(shù)學導學案教學目標：進一步熟練二元一次方程組的解法和解二元一次方程組，能根據(jù)實際問題，找出等量關系，然后設未知14 / 21 數(shù)列方程進行解答。教學重點：找出實際問題中的等量關系教學難點：找出實際問題中的等量關系知識點 :

31、二元一次方程組在實際問題中的應用歸納： 列二元一次方程組解應用題的一般步驟可概括為“ 審、找、列、解、答” 五步，即：（1）審：通過審題，把實際問題抽象成數(shù)學問題，分析已知數(shù)和未知數(shù)，并用字母表示其中的兩個未知數(shù)；（2）找：找出能夠表示題意兩個相等關系；（3）列：根據(jù)這兩個相等關系列出必需的代數(shù)式，從而列出方程組；（4）解：解這個方程組，求出兩個未知數(shù)的值；（5）答：在對求出的方程的解做出是否合理判斷的基礎上，寫出答案. 題型分類講解：一、數(shù)字問題例 1 一個兩位數(shù)，比它十位上的數(shù)與個位上的數(shù)的和大9；如果交換十位上的數(shù)與個位上的數(shù)，所得兩位數(shù)比原兩位數(shù)大 27，求這個兩位數(shù)分析：設這個兩位數(shù)

32、十位上的數(shù)為x，個位上的數(shù)為y，則這個兩位數(shù)及新兩位數(shù)及其之間的關系可用下表表示：解方程組109101027xyxyyxxy，得14xy，因此， 所求的兩位數(shù)是 14點評：由于受一元一次方程先入為主的影響，不少同學習慣于只設一元，然后列一元一次方程求解，雖然這種方法十有八九可以奏效，但對有些問題是無能為力的，象本題，如果直接設這個兩位數(shù)為x，或只設十位上的數(shù)為x，那將很難或根本就想象不出關于x 的方程一般地，與數(shù)位上的數(shù)字有關的求數(shù)問題，一般應設各個數(shù)位上的數(shù)為“ 元” ，然后列多元方程組解之二、利潤問題例 2 一件商品如果按定價打九折出售可以盈利20%；如果打八折出售可以盈利10 元，問此商

33、品的定價是多少？分析：商品的利潤涉及到進價、定價和賣出價，因此，設此商品的定價為x 元，進價為y 元，則打九折時的賣出價為 0.9x 元，獲利 (0.9x-y)元， 因此得方程0.9x-y=20%y； 打八折時的賣出價為0.8x 元，獲利 (0.8x-y)元， 可得方程0.8x-y=10. 十位上的數(shù)個位上的數(shù)對應的兩位數(shù)相等關系原兩位數(shù)x y 10 x+y 10 x+y=x+y+9 新兩位數(shù)y 10y+x 10y+x=10 x+y+27 15 / 21 解方程組0.920%0.810 xyyxy，解得200150 xy，因此，此商品定價為200 元點評：商品銷售盈利百分數(shù)是相對于進價而言的，

34、不要誤為是相對于定價或賣出價利潤的計算一般有兩種方法，一是：利潤 =賣出價 -進價；二是：利潤=進價 利潤率（盈利百分數(shù)） 特別注意 “ 利潤 ” 和“ 利潤率 ” 是不同的兩個概念三、配套問題例 3某廠共有120 名生產(chǎn)工人， 每個工人每天可生產(chǎn)螺栓25 個或螺母 20 個， 如果一個螺栓與兩個螺母配成一套，那么每天安排多名工人生產(chǎn)螺栓，多少名工人生產(chǎn)螺母，才能使每天生產(chǎn)出來的產(chǎn)品配成最多套？分析：要使生產(chǎn)出來的產(chǎn)品配成最多套，只須生產(chǎn)出來的螺栓和螺母全部配上套，根據(jù)題意，每天生產(chǎn)的螺栓與螺母應滿足關系式：每天生產(chǎn)的螺栓數(shù)2= 每天生產(chǎn)的螺母數(shù)1 因此，設安排人生產(chǎn)螺栓，人生產(chǎn)螺母，則每天可

35、生產(chǎn)螺栓25個，螺母20個，依題意，得120502201xyxy，解之，得20100 xy故應安排20 人生產(chǎn)螺栓，100 人生產(chǎn)螺母點評：產(chǎn)品配套是工廠生產(chǎn)中基本原則之一，如何分配生產(chǎn)力，使生產(chǎn)出來的產(chǎn)品恰好配套成為主管生產(chǎn)人員常見的問題，解決配套問題的關鍵是利用配套本身所存在的相等關系，其中兩種最常見的配套問題的等量關系是：（ 1）“ 二合一 ” 問題：如果件甲產(chǎn)品和件乙產(chǎn)品配成一套，那么甲產(chǎn)品數(shù)的倍等于乙產(chǎn)品數(shù)的倍，即ab甲產(chǎn)品數(shù)乙產(chǎn)品數(shù)；（2）“ 三合一 ” 問題：如果甲產(chǎn)品件，乙產(chǎn)品件，丙產(chǎn)品件配成一套，那么各種產(chǎn)品數(shù)應滿足的相等關系式是：abc甲產(chǎn)品數(shù)乙產(chǎn)品數(shù)丙產(chǎn)品數(shù)四、行程問題例

36、 4在某條高速公路上依次排列著a、 b、 c三個加油站， a 到 b 的距離為120 千米，b 到 c的距離也是120 千米 分別在 a、c兩個加油站實施搶劫的兩個犯罪團伙作案后同時以相同的速度駕車沿高速公路逃離現(xiàn)場，正在 b站待命的兩輛巡邏車接到指揮中心的命令后立即以相同的速度分別往a、c兩個加油站駛?cè)?，結(jié)果往 b站駛來的團伙在1 小時后就被其中一輛迎面而上的巡邏車堵截住，而另一團伙經(jīng)過3 小時后才被另一輛巡邏車追趕上問巡邏車和犯罪團伙的車的速度各是多少？【研析】設巡邏車、犯罪團伙的車的速度分別為x、y 千米 /時，則3120120 xyxy，整理，得40120 xyxy，解得8040 xy

37、，因此，巡邏車的速度是80 千米 /時，犯罪團伙的車的速度是40 千米 /時點評： “ 相向而遇 ” 和“ 同向追及 ” 是行程問題中最常見的兩種題型，在這兩種題型中都存在著一個相等關系，這個關16 / 21 系涉及到兩者的速度、原來的距離以及行走的時間，具體表現(xiàn)在：“ 相向而遇 ” 時，兩者所走的路程之和等于它們原來的距離；“ 同向追及 ” 時，快者所走的路程減去慢者所走的路程等于它們原來的距離五、貨運問題典例 5 某船的載重量為300 噸，容積為1200 立方米，現(xiàn)有甲、乙兩種貨物要運，其中甲種貨物每噸體積為6 立方米，乙種貨物每噸的體積為2 立方米，要充分利用這艘船的載重和容積，甲、乙兩

38、重貨物應各裝多少噸？分析： “ 充分利用這艘船的載重和容積” 的意思是 “ 貨物的總重量等于船的載重量” 且 “ 貨物的體積等于船的容積” 設甲種貨物裝x 噸，乙種貨物裝y 噸，則300621200 xyxy，整理，得3003600 xyxy，解得150150 xy，因此，甲、乙兩重貨物應各裝150 噸點評：由實際問題列出的方程組一般都可以再化簡，因此，解實際問題的方程組時要注意先化簡，再考慮消元和解法，這樣可以減少計算量，增加準確度化簡時一般是去分母或兩邊同時除以各項系數(shù)的最大公約數(shù)或移項、合并同類項等六、工程問題例 6 某服裝廠接到生產(chǎn)一種工作服的訂貨任務，要求在規(guī)定期限內(nèi)完成，按照這個服

39、裝廠原來的生產(chǎn)能力，每天可生產(chǎn)這種服裝150 套，按這樣的生產(chǎn)進度在客戶要求的期限內(nèi)只能完成訂貨的45；現(xiàn)在工廠改進了人員組織結(jié)構(gòu)和生產(chǎn)流程，每天可生產(chǎn)這種工作服200 套，這樣不僅比規(guī)定時間少用1 天，而且比訂貨量多生產(chǎn)25 套，求訂做的工作服是幾套？要求的期限是幾天？分析：設訂做的工作服是x 套，要求的期限是y 天，依題意，得41505200125yxyx，解得337518xy. 點評：工程問題與行程問題相類似，關鍵要抓好三個基本量的關系，即“ 工作量 =工作時間 工作效率 ” 以及它們的變式 “ 工作時間 =工作量 工作效率，工作效率=工作量 工作時間 ” 其次注意當題目與工作量大小、多

40、少無關時，通常用“1”表示總工作量【典題精析】例1（2006年南京市）某停車場的收費標準如下：中型汽車的停車費為6元/輛，小型汽車的停車費為4元/輛.現(xiàn)在停車場有 50 輛中、小型汽車，這些車共繳納停車費230元，問中、小型汽車各有多少輛？解析：設中型汽車有x輛，小型汽車有y輛.由題意，得.23046,50yxyx解得，.35,15yx17 / 21 故中型汽車有15輛，小型汽車有35輛. 例 2（2006 年四川省眉山市）某蔬菜公司收購蔬菜進行銷售的獲利情況如下表所示：銷售方式直接銷售粗加工后銷售精加工后銷售每噸獲利（元）100 250 450 現(xiàn)在該公司收購了140 噸蔬菜，已知該公司每天

41、能精加工蔬菜6 噸或粗加工蔬菜16 噸 （兩種加工不能同時進行）（1）如果要求在18 天內(nèi)全部銷售完這140 噸蔬菜，請完成下列表格：銷售方式全部直接銷售全部粗加工后銷售盡量精加工，剩余部分直接銷售獲利（元）（2）如果先進行精加工，然后進行粗加工，要求在15 天內(nèi)剛好加工完140 噸蔬菜，則應如何分配加工時間？解： （1）全部直接銷售獲利為：100140=14000 （元）；全部粗加工后銷售獲利為：250140=35000 （元） ；盡量精加工，剩余部分直接銷售獲利為：450 （618 ） 100 （140618 ）=51800（元） . （2）設應安排x 天進行精加工，y 天進行粗加工. 由

42、題意，得.140166,15yxyx解得，. 5,10yx故應安排10 天進行精加工，5 天進行粗加工. 練習： 為滿足市民對優(yōu)質(zhì)教育的需求，某中學決定改變辦學條件，計劃拆除一部分舊校舍，建造新校舍，拆除舊校舍每平方米需80 元，建新校舍每平方米需700 元. 計劃在年內(nèi)拆除舊校舍與建造新校舍共7200 平方米， 在實施中為擴大綠地面積，新建校舍只完成了計劃的80%，而拆除舊校舍則超過了計劃的10%，結(jié)果恰好完成了原計劃的拆、建總面積.（1）求：原計劃拆、建面積各是多少平方米？（2）若綠化1平方米需200 元，那么在實際完成的拆、建工程中節(jié)余的資金用來綠化大約是多少平方米？18 / 21 課堂練習 (中考題為主 ) 1、某廠買進甲、乙兩種材料共56 噸，用去9860 元。若甲種材料每噸190 元，乙種材料每噸160 元，則兩種材料各買多少噸？2、某運輸公司有大小兩種貨車,2 輛大車和3 輛小車可運貨15.5 噸,5 輛大車和6 輛小車可運貨35 噸,客戶王某有貨52 噸, 要求一次性用數(shù)量相等的大小貨車運出, 問需用大、小貨