概率論與數(shù)理統(tǒng)計課件(第4章)

1、第4章 隨機變量的數(shù)字特征指聯(lián)系于分布函數(shù)的某些數(shù)，如平均值，離散程度等. 本章介紹隨機變量的常用數(shù)字特征：數(shù)學期望、方差、相關(guān)系數(shù)、矩等.4.1隨機變量的數(shù)學期望例4.1 甲、乙兩射擊手擊中目標的環(huán)數(shù)用隨機變量、表示，它們的分布分別如下：.試比較甲、乙兩射擊手射擊技術(shù)的優(yōu)劣. 解 假設甲、乙兩射擊手分別射擊次，則射擊手甲擊中的總環(huán)數(shù)為，平均環(huán)數(shù)為 ；射擊手乙擊中的總環(huán)數(shù)為，平均環(huán)數(shù)為 .上述平均環(huán)數(shù)可以告訴我們，射擊手乙的射擊技術(shù)優(yōu)于射擊手甲. 從例4.1可以看出，在大量次獨立重復試驗中，離散型隨機變量的平均值總是穩(wěn)定在一個常數(shù)附近，這個常數(shù)就是將分布列表中各組對應數(shù)據(jù)相乘所得乘積的總和，據(jù)

2、此，我們給出隨機變量數(shù)學期望的定義.定義4.1 設離散型隨機變量的分布律為.如果，則稱 =. （4.1）為隨機變量的數(shù)學期望，或稱為該分布的數(shù)學期望，簡稱期望或均值. 若不收斂，則稱的數(shù)學期望不存在.類似地給出連續(xù)型隨機變量的數(shù)學期望的定義.定義4.2 設連續(xù)型隨機變量的密度函數(shù)為.如果，則稱 =. （4. 2）為隨機變量的數(shù)學期望，或稱為該分布的數(shù)學期望，簡稱期望或均值.若不收斂，則稱的數(shù)學期望不存在. 例4.2 設在某一規(guī)定的時間間隔里，某電氣設備用于最大負荷的時間（以分種計）是一個隨機變量，其密度函數(shù)為，求. 解 = （min） . 例4.3 柯西分布的密度函數(shù)為.求. 解 因為，故不存

3、在.4.1.2 隨機變量函數(shù)的數(shù)學期望按照隨機變量的數(shù)學期望的定義，由其分布唯一確定，如今若要求隨機變量的一個函數(shù)的數(shù)學期望，可以通過下面的一個定理來求得.定理4.1 設是隨機變量的函數(shù)：（為連續(xù)函數(shù)）.（1）是離散型隨機變量，它的分布律為，若絕對收斂，則有 （4. 3）（2）是連續(xù)型隨機變量，它的密度函數(shù)為.若絕對收斂，則有. （4. 4）定理4.1的重要意義在于當求時，不必先算出的分布.類似于一維隨機變量的數(shù)學期望，此定理還可以推廣到多維隨機變量函數(shù)的數(shù)學期望.定理4.2 設是二維隨機變量（，）的函數(shù)：（為連續(xù)函數(shù)）.（1）若二維隨機變量（，）的分布律，則有. （4. 5） （2）若二維隨

4、機變量（，）的密度函數(shù)為，則有 （4. 6）這里，假設（4.5），（4.6）的右端都是絕對收斂的.例4.4 設隨機變量X的概率密度為 .求E(e-3X). 解 .例4.5 設隨機變量（，）服從二維正態(tài)分布，其密度函數(shù)為，求的數(shù)學期望.解 .4.1.3 數(shù)學期望的性質(zhì) 以下假設所涉及的隨機變量的數(shù)學期望存在.性質(zhì)1 設是常數(shù)，則有.性質(zhì)2 設是一個隨機變量，是常數(shù)，則有.性質(zhì)3 設是兩個隨機變量，則有. 推論 設有隨機變量則有.性質(zhì)4 設是兩個獨立的隨機變量，則有.性質(zhì)1和性質(zhì)2可以自己證明.下面就連續(xù)情形給出性質(zhì)3和性質(zhì)4的證明，對于離散情形，讀者只要將證明中的“積分”用“和式”代替，就能得到

5、證明.證明（性質(zhì)3） 設二維隨機變量（）的密度函數(shù)為，其邊緣密度函數(shù)為，.由隨機變量函數(shù)的數(shù)學期望知道， . 證明（性質(zhì)4） 因是兩個獨立的隨機變量，于是 =.例4.6 機場大巴載有20位旅客自起點站開出，途經(jīng)10個站點.設每位旅客在各個站點下車是等可能的，且各旅客是否下車相互獨立.以表示停車的次數(shù)，求.解 引入隨機變量.易知 .按題意，任一旅客在第站不下車的概率是，因此位旅客都不在第站下車的概率為，在第站有人下車的概率為，也就是.進而，有 .本題是將分解成若干個隨機變量之和，然后利用數(shù)學期望的性質(zhì)來求數(shù)學期望，這種處理方法具有一定的普遍意義.4.2 隨機變量的方差4.2.1 方差的定義例4.

6、1曾用平均環(huán)數(shù)來評判甲、乙兩個射擊手射擊技術(shù)的優(yōu)劣，如果二者平均環(huán)數(shù)相同，那么僅用平均環(huán)數(shù)就無法科學地評判兩個射擊手射擊技術(shù)的優(yōu)劣，如下例.例4.7 甲、乙兩射擊手擊中目標的環(huán)數(shù)用隨機變量、表示，它們的分布分別如下：.2.3.試比較甲、乙兩射擊手射擊技術(shù)的優(yōu)劣. 解 假設甲、乙兩射擊手分別射擊次，則射擊手甲擊中的平均環(huán)數(shù)為 ；射擊手乙擊中的平均環(huán)數(shù)為 .其實, 還可以進一步考察射擊手環(huán)數(shù)與平均環(huán)數(shù)的偏離程度，若偏離程度較小，則表示成績比較穩(wěn)定.從這個意義上說，我們認為甲射擊手相對于乙射擊手較穩(wěn)定.由此可見，討論隨機變量與其均值的偏離程度是十分有必要的.那么用怎樣的量去度量這個偏離程度呢？因為

7、可能為正，也可能為負，為了避免正負偏離相互抵消，自然而然會考慮取，但是絕對值運算不方便. 為了便于運算方便，通常是取，然后求其均值就可以作為刻畫隨機變量的“波動”程度，這個量被稱作為隨機變量的方差.定義4.3 設是一個隨機變量,若存在,則稱為隨機變量的方差, 記為或，即. （4.7）稱方差的算術(shù)平方根為隨機變量的標準差或均方差，記為.方差和標準差的功能相似，它們都是用來描述隨機變量取值的集中與分散程度的兩個特征數(shù)，若的取值比較集中，則較小，若的取值比較分散，則較大.方差與標準差的區(qū)別主要在量綱上，由于標準差與所討論的隨機變量的數(shù)學期望有相同的量綱，所以在實際中，人們比較喜歡選用標準差，但標準差

8、的計算必須通過方差才能計算.由定義4.3知道，方差實際上就是隨機變量的函數(shù)的數(shù)學期望，于是，對于離散型隨機變量，按（4. 7）式有， （4.8）其中為的分布律.對于連續(xù)型隨機變量，按（4.7）式有， （4.9）其中為的密度函數(shù).隨機變量的方差可按下面公式計算： . （4.10）事實上，由數(shù)學期望的性質(zhì)1、性質(zhì)2、性質(zhì)3得 . 4.2.2 方差的性質(zhì)下面給出數(shù)學期望的幾個常用性質(zhì),以下假設隨機變量的數(shù)學期望是存在的.性質(zhì)1 .性質(zhì)2 設是常數(shù)，則有.性質(zhì)3 是一個隨機變量，是常數(shù)，則有.性質(zhì)4 設是兩個隨機變量，則有.特別地, 若相互獨立,則有.證明 又 .若相互獨立,由數(shù)學期望的性質(zhì)4知道,于

9、是有.同理可證明 .這一性質(zhì)可推廣到任意有限多個相互獨立的隨機變量之和的情況.例如，若且它們相互獨立，則它們的線性組合：（是不全為的常數(shù)）仍服從正態(tài)分布，于是由數(shù)學期望和方差的性質(zhì)知道：. 這是一個重要的結(jié)果.例4.8 若且它們相互獨立，求隨機變量函數(shù)的分布. 解，故.4.3 常見隨機變量的數(shù)學期望和方差1.兩點分布的數(shù)學期望和方差設隨機變量，則，.證明 ，而由公式（4.10）知.2.二項分布的數(shù)學期望和方差設則,.證明 由于隨機變量，即 ，所以 = .于是.3.泊松分布的數(shù)學期望和方差設，則,.證明 由于隨機變量的分布律為.所以隨機變量的數(shù)學期望為，即 . 所以隨機變量的方差為.由此，泊松分

10、布的數(shù)學期望與方差相等，都等于.又泊松分布只含有一個參數(shù)，只要知道它的數(shù)學期望或方差就能完全確定它的分布了.4.幾何分布的數(shù)學期望和方差設，則，.證明 由于隨機變量的分布律為 ， 則稱隨機變量的數(shù)學期望為 . ，所以隨機變量的方差為. 5.均勻分布的數(shù)學期望和方差 設，則, . 證明 由于隨機變量的密度函數(shù)為所以的數(shù)學期望為.即服從均勻分布隨機變量的數(shù)學期望位于區(qū)間的中點. .6.指數(shù)分布的數(shù)學期望和方差 設，則, .證明 由于的密度函數(shù)為，所以的數(shù)學期望為. 于是 .7.正態(tài)分布的數(shù)學期望和方差設,則, .證明 先求標準正態(tài)變量的數(shù)學期望和方差.的密度函數(shù)為，于是 =1.因，即得 .就是說，

11、正態(tài)分布的概率密度中的兩個參數(shù)和分別就是該分布的數(shù)學期望和均方差，因而正態(tài)分布完全由它的數(shù)學期望和方差所決定.4.4 協(xié)方差與相關(guān)系數(shù)對二維隨機變量（），除討論的數(shù)學期望和方差外，還有必要考察這兩個隨機變量之間相互關(guān)系. 由方差的性質(zhì)可知，若與相互獨立，則.即當時，與一定不獨立.這說明的數(shù)值在一定程度上反映了與的相互間的聯(lián)系.定義4.4 稱為隨機變量與的協(xié)方差.記為，即. （4.12）而 稱為隨機變量與的相關(guān)系數(shù).記為.是一個無量綱的量.即 （4.13）由協(xié)方差的定義知它具有下列性質(zhì)：1.=，.2.，是常數(shù).3.下面以定理的形式給出兩條重要的性質(zhì).定理4.3 設隨機變量與的相關(guān)系數(shù)為，則（1）

12、； （2）的充要條件是存在常數(shù)使.其中當時，有；當時，有.證明（略）.由定理4.3（2）知，之間以概率1存在線性關(guān)系.是一個可以用來表征，之間線性關(guān)系緊密程度的量.當較大時，通常說，之間線性關(guān)系程度較好；當較小時，通常說，之間線性關(guān)系程度較差.當時，稱和不相關(guān). 假設隨機變量與的相關(guān)系數(shù)存在.當和相互獨立時，由數(shù)學期望的性質(zhì)知，從而，即和不相關(guān).反之，若和不相關(guān)，和不一定獨立.上述情況，從“不相關(guān)”和“相互獨立”的含義來看是明顯的，這是因為不相關(guān)只是就線性關(guān)系來講的，而相互獨立是就一般關(guān)系而言的. 例4.8 設二維隨機變量的概率密度函數(shù)為.試驗證和不相關(guān)，但和不是相互獨立的.解 先求邊緣密度函

13、數(shù)；及.經(jīng)計算知， ，從而和不相關(guān).但由于，所以和不獨立.例4.9 已知隨機變量和分別服從正態(tài)分布，且和的相關(guān)系數(shù)，設，（1）求的數(shù)學期望和方差；（2）求和的相關(guān)系數(shù)；（3）問和是否獨立？為什么？解 （1）； （2） （3）由于（，）不一定服從二維正態(tài)分布，故由不能確定和是否相互獨立.例4.10（二維正態(tài)分布）設服從二維正態(tài)分布，它的概率密度為（為5個常數(shù)，且，）.求和的協(xié)方差和相關(guān)系數(shù).解 由例3.9可知，的邊緣概率密度為 .故知.而 令，則有 .于是 .這就是說，二維正態(tài)分布隨機變量的概率密度中的參數(shù)就是和的相關(guān)系數(shù)，因而二維正態(tài)分布隨機變量的分布完全可由各自的數(shù)學期望、方差和它們的相關(guān)系

14、數(shù)所確定.在第3章中我們知道，若服從二維正態(tài)分布，那么和相互獨立的充要條件為.現(xiàn)在我們知道，故知對于二維正態(tài)分布隨機變量來說，和不相關(guān)與和相互獨立是等價的.4.5 其他特征數(shù)前面討論了隨機變量的數(shù)學期望、方差及協(xié)方差這些數(shù)字特征，本節(jié)再介紹隨機變量的矩、變異系數(shù)和分位數(shù)這3個重要的特征數(shù).4.5.1 階矩定義4.5 設，是隨機變量，是正整數(shù).若以下的數(shù)學期望都存在，則稱 （4.13）為的階原點矩. 稱 （4.14）為的階中心矩. 稱 （4.15）為和的階混合中心矩.顯然，的數(shù)學期望就是一階原點矩，方差就是二階中心矩.協(xié)方差就是的二階混合中心矩.例4.11 設隨機變量，則.證明略. 4.5.2

15、變異系數(shù)方差（或標準差）反映了隨機變量取值的波動程度，但在比較兩個隨機變量的波動大小時，如果僅看方差（或標準偏差）的大小有時會產(chǎn)生不合理的現(xiàn)象.這有兩個原因：（1）隨機變量的取值有量綱，不同的量綱的隨機變量用其方差（或標準偏差）去比較它們的波動不太合理.（2）在取值的量綱相同的情況下，取值的大小有一個相對性問題，取值較大的隨機變量的方差（或標準偏差）也允許大一些.所以要比較2個隨機變量的波動大小時，有時使用以下定義的變異系數(shù)來比較，更具可比性. 設隨機變量的二階矩存在，則稱比值 （4.16）為的變異系數(shù).因為變異系數(shù)是以其數(shù)學期望為單位去度量隨機變量取值波動程度的特征，標準差的量綱與數(shù)學期望的

16、量綱是一致的，所以變異系數(shù)是一個無量綱的量.例4.12 用表示某種同齡樹的高度，其量綱是米（），用表示某年齡段人的身高，其量綱也是米（）.設,你是否可以認為從和就認為的波動小？這就有一個取值相對大小的問題.在此用變異系數(shù)進行比較是恰當?shù)?因為的變異系數(shù)為,而的變異系數(shù)為, 這說明的波動比波動大.4.5.3分位數(shù) 定義4.6 設隨機變量的分布函數(shù)為，密度函數(shù)為.對任意的，稱滿足條件 （4.17）的為此分布的分位數(shù)（或分位點），又稱下側(cè)分位數(shù). 分位數(shù)是把密度函數(shù)下的面積分為兩塊，左側(cè)面積恰好為（見圖4-1（a）.圖4-1 分位數(shù)與上側(cè)分位數(shù)的區(qū)別同理, 我們稱滿足條件 （4.18）的為此分布的上

17、側(cè)分位數(shù). 上側(cè)分位數(shù)把密度函數(shù)下的面積分為兩塊，但右側(cè)面積恰好為（見圖4-1（b）.下側(cè)分位數(shù)和上側(cè)分位數(shù)是可以相互轉(zhuǎn)換的，其轉(zhuǎn)換公式為 ； . （4.19）例如，標準正態(tài)分布的分位數(shù)記為，它是方程 的唯一解，其解為，其中是標準正態(tài)分布函數(shù)的反函數(shù). 我們利用標準正態(tài)分布函數(shù)表，可由查得，譬如.分位數(shù)在統(tǒng)計中經(jīng)常被使用，特別對統(tǒng)計中常用的三大分布：分布、分布和分布，都特別編制了它們的分位數(shù)表.以后分別以，記這些分布的分位數(shù).4.5.4 偏度系數(shù) 定義4.7 設隨機變量的三階矩存在，則稱比值 （4.20）為隨機變量分布的偏度系數(shù)，簡稱偏度. 偏度系數(shù)可以描述分布的形狀特征，其取值的正負反映的是當時，分布為正偏或右偏，見圖4