第三章 導(dǎo)數(shù)與微分內(nèi)

1、第二章第二章 導(dǎo)數(shù)與微分導(dǎo)數(shù)與微分微積分微積分3.1 引出導(dǎo)數(shù)概念的例題引出導(dǎo)數(shù)概念的例題3.2 3.2 導(dǎo)數(shù)的概念導(dǎo)數(shù)的概念3.3 3.3 導(dǎo)數(shù)的基本公式與運算法則導(dǎo)數(shù)的基本公式與運算法則3.4 3.4 高階導(dǎo)數(shù)高階導(dǎo)數(shù)3.5 3.5 函數(shù)的微分函數(shù)的微分第三章第三章 導(dǎo)數(shù)與微分導(dǎo)數(shù)與微分第二章第二章 導(dǎo)數(shù)與微分導(dǎo)數(shù)與微分微積分微積分3.1 引出導(dǎo)數(shù)概念的例題引出導(dǎo)數(shù)概念的例題(一一)變速直線運動的瞬時速度變速直線運動的瞬時速度0( ).v t時速度時速度( ) ,sf t的關(guān)系為的關(guān)系為設(shè)一物體作直線運動設(shè)一物體作直線運動,其運動的路程其運動的路程st和時間和時間0t求該物體在某一時刻求該

2、物體在某一時刻的瞬的瞬0,tt為此為此,讓時間由讓時間由 變化到變化到其平均速度為其平均速度為:0tttfttftsv)()(00 此此平均速度可以作為物體在平均速度可以作為物體在t0時刻的速度的近時刻的速度的近似值似值 t 越小越小 近似的程度就越好近似的程度就越好 第二章第二章 導(dǎo)數(shù)與微分導(dǎo)數(shù)與微分微積分微積分00000()( )limlimlimtttf ttf tsvtt (二二) 曲線的切線的斜率曲線的切線的斜率因此因此,當當 t0時時 極限極限就是物體在就是物體在t0時刻時刻的瞬時速度的瞬時速度 求曲線求曲線y f(x)在點在點p(x0 y0)處的切線的斜率處的切線的斜率 在曲線上

3、另取一點在曲線上另取一點q(x0 x y0 y) 作割線作割線pq ,設(shè)其傾角為設(shè)其傾角為觀察切線的形成觀察切線的形成 第二章第二章 導(dǎo)數(shù)與微分導(dǎo)數(shù)與微分微積分微積分 xyo)(xfy 0 xxx 0pq tlx y tanlimtan0 xk 當當 x0時時 動動點點q將沿曲線趨向?qū)⒀厍€趨向于定點于定點p 從而割線從而割線pq也將隨之變動也將隨之變動而趨向于切線而趨向于切線pt 此時割線此時割線pq的斜率趨向于切的斜率趨向于切線線pt的斜率的斜率 0limxyx 000()()limxf xxf xx 第二章第二章 導(dǎo)數(shù)與微分導(dǎo)數(shù)與微分微積分微積分 上面兩個例子的實際意義完全不同，但從抽上

4、面兩個例子的實際意義完全不同，但從抽象的數(shù)學(xué)關(guān)系來看，其實質(zhì)是一樣的，都是函數(shù)象的數(shù)學(xué)關(guān)系來看，其實質(zhì)是一樣的，都是函數(shù)的改變量與自變量的改變量之比，當自變量的改的改變量與自變量的改變量之比，當自變量的改變量趨于零時的極限，數(shù)學(xué)上把這種極限叫做函變量趨于零時的極限，數(shù)學(xué)上把這種極限叫做函數(shù)的導(dǎo)數(shù)數(shù)的導(dǎo)數(shù)即即xxfxxfxyktx )()(limlim0000如果極限如果極限3.2 導(dǎo)數(shù)的定義導(dǎo)數(shù)的定義(一一) 函數(shù)在一點處的導(dǎo)數(shù)函數(shù)在一點處的導(dǎo)數(shù))(xfy 0 x定義定義3.1 設(shè)函數(shù)設(shè)函數(shù)在點在點的某個鄰域內(nèi)的某個鄰域內(nèi)有定義，有定義，第二章第二章 導(dǎo)數(shù)與微分導(dǎo)數(shù)與微分微積分微積分存在，存在

5、，xxfxxfxyxx )()(limlim0000),(0 xf0|xxy0,xxdxdy0,xxdxdfxxfxxfxfx )()(lim)(0000即即如果令如果令0,xxx 000)()(lim)(0 xxxfxfxfxx如果上述極限不存在如果上述極限不存在,則稱該函數(shù)在點則稱該函數(shù)在點0 x不可導(dǎo)不可導(dǎo).又可以表示為又可以表示為)(xfy 0 x則則在點在點的導(dǎo)數(shù)的導(dǎo)數(shù))(xfy 0 x值稱為函數(shù)值稱為函數(shù)在點在點處的導(dǎo)數(shù)，處的導(dǎo)數(shù)， 記作記作)(xfy 0 x則稱函數(shù)則稱函數(shù)在點在點處可導(dǎo)，處可導(dǎo)，其極限其極限第二章第二章 導(dǎo)數(shù)與微分導(dǎo)數(shù)與微分微積分微積分導(dǎo)數(shù)的其它定義式導(dǎo)數(shù)的其它

6、定義式: :hxfhxfxfh)()(lim)(0000 000)()(lim)(0 xxxfxfxfxx 導(dǎo)數(shù)的定義式導(dǎo)數(shù)的定義式: :xxfxxfxyxfxx)()(limlim)(00000 有了導(dǎo)數(shù)的概念后，前面兩個問題便可敘述為有了導(dǎo)數(shù)的概念后，前面兩個問題便可敘述為:第二章第二章 導(dǎo)數(shù)與微分導(dǎo)數(shù)與微分微積分微積分 由導(dǎo)數(shù)定義可得求函數(shù)在點處導(dǎo)數(shù)的步驟由導(dǎo)數(shù)定義可得求函數(shù)在點處導(dǎo)數(shù)的步驟:0() .kfx0000()()limlim.xxf xxf xyxx （3）求極限）求極限:00()();f xxf xyxx（2）計算比值）計算比值:00()();yf xxf x （1）求函數(shù)

7、的改變量）求函數(shù)的改變量:)(xfy 0(),fx0 x就是函數(shù)就是函數(shù)在點在點處的導(dǎo)數(shù)處的導(dǎo)數(shù)即即 )(xfy 0 x,k（2）曲線）曲線在點在點處的切線的斜率處的切線的斜率0( ),f t導(dǎo)數(shù)導(dǎo)數(shù)00( )( ).v tf t即即0( ),v t速度速度0t)(tfs 就是路程函數(shù)就是路程函數(shù)在在處的處的（1）作變速直線運動的物體在時刻）作變速直線運動的物體在時刻0t的瞬時的瞬時第二章第二章 導(dǎo)數(shù)與微分導(dǎo)數(shù)與微分微積分微積分 例例1 1 求函數(shù)求函數(shù) y x2 在點在點x 2處的導(dǎo)數(shù)處的導(dǎo)數(shù) 解解 hxfhxfxfh)()(lim)(000000)()(lim0 xxxfxfxx xxxf

8、xffxx22002)2(lim) 2()2(lim) 2(4)4(lim0 xx4) 2(lim22lim2) 2()(lim) 2(22222xxxxfxffxxxxxxfxffxx22002)2(lim) 2()2(lim) 2(4) 2(lim22lim2) 2()(lim) 2(22222xxxxfxffxxx4) 2(lim22lim2) 2()(lim) 2(22222xxxxfxffxxxxxfxxfxyxfxx)()(limlim)(00000 導(dǎo)數(shù)的定義式導(dǎo)數(shù)的定義式: :或或第二章第二章 導(dǎo)數(shù)與微分導(dǎo)數(shù)與微分微積分微積分 定義定義3.2 如果函數(shù)如果函數(shù)y f(x)在區(qū)間

9、在區(qū)間i內(nèi)每一點內(nèi)每一點x都都對應(yīng)一個導(dǎo)數(shù)值對應(yīng)一個導(dǎo)數(shù)值 則這一對應(yīng)關(guān)系所確定的函數(shù)稱則這一對應(yīng)關(guān)系所確定的函數(shù)稱為函數(shù)為函數(shù)y f(x)的導(dǎo)函數(shù)的導(dǎo)函數(shù) 簡稱導(dǎo)數(shù)簡稱導(dǎo)數(shù) 記作記作y)(xf dxdy 或dxxdf)( 提問提問: 1. 導(dǎo)函數(shù)的定義式如何寫導(dǎo)函數(shù)的定義式如何寫? ? (二) 導(dǎo)函數(shù)的定義導(dǎo)函數(shù)的定義0()( )( )limxf xxf xfxx 答答第二章第二章 導(dǎo)數(shù)與微分導(dǎo)數(shù)與微分微積分微積分0)()(0 xxxfxf2. f (x0)與與f (x)是什么關(guān)系是什么關(guān)系? ?)( xf 0 x就是其導(dǎo)函數(shù)就是其導(dǎo)函數(shù)在點在點處的函數(shù)值處的函數(shù)值,即即函數(shù)函數(shù))(xfy

10、0 x0(),fx在點在點處的導(dǎo)數(shù)處的導(dǎo)數(shù)答答:3( ),f xx例例2 設(shè)設(shè)求求( ),(1).fxf0()( )( )limxf xxf xfxx 解解:330()limxxxxx 220lim33() xxxxx 23x由此可見由此可見2( )3,fxx2(1)3 13.f 第二章第二章 導(dǎo)數(shù)與微分導(dǎo)數(shù)與微分微積分微積分解 hxhxhxfhxfxfhh00lim)()(lim)(解解: 例 3 求xxf)(的導(dǎo)數(shù) 例例3 3 hxhxhxfhxfxfhh00lim)()(lim)( xxhxxhxhhhh211lim)(lim00 xxhxxhxhhhh211lim)(lim00 xxh

11、xxhxhhhh211lim)(lim00 第二章第二章 導(dǎo)數(shù)與微分導(dǎo)數(shù)與微分微積分微積分(三三) 導(dǎo)數(shù)的幾何意義導(dǎo)數(shù)的幾何意義)( )()(000 xxxfxfy法線方程為法線方程為:0001()()()yf xxxfx 0( ).kf x即即 這就是導(dǎo)數(shù)的幾何意義這就是導(dǎo)數(shù)的幾何意義程為程為:因此，曲線因此，曲線)(xfy )(,000 xfxm在點在點處的切線方處的切線方)(xfy )(,000 xfxm.k在點在點處的切線斜率處的切線斜率 函數(shù)函數(shù))(xfy 0 x0() ,fx在點在點處的導(dǎo)數(shù)處的導(dǎo)數(shù)就是曲線就是曲線0()0.fx其中其中第二章第二章 導(dǎo)數(shù)與微分導(dǎo)數(shù)與微分微積分微積分

12、 例例4 4 求求曲線曲線 y x2 在點在點x 2處的處的的切線方程和法線的切線方程和法線方程方程.解解 由例由例1得得切線斜率切線斜率 2(2)4xkyf142 ,4yx 因此切線方程為因此切線方程為:442 ,yx440 xy即即法線方程為法線方程為:即即4180 xy第二章第二章 導(dǎo)數(shù)與微分導(dǎo)數(shù)與微分微積分微積分(四四) 左右導(dǎo)數(shù)左右導(dǎo)數(shù)導(dǎo)數(shù)與左右導(dǎo)數(shù)的關(guān)系導(dǎo)數(shù)與左右導(dǎo)數(shù)的關(guān)系: 函數(shù)函數(shù)f(x)在開區(qū)間在開區(qū)間(a b)內(nèi)可導(dǎo)是指函數(shù)在區(qū)內(nèi)可導(dǎo)是指函數(shù)在區(qū)間內(nèi)每一點可導(dǎo)間內(nèi)每一點可導(dǎo) 函數(shù)函數(shù)f(x)在閉區(qū)間在閉區(qū)間a b上可導(dǎo)是指函數(shù)上可導(dǎo)是指函數(shù)f(x)在在開區(qū)間開區(qū)間(a b)

13、內(nèi)可導(dǎo)內(nèi)可導(dǎo) 且在且在a點有右導(dǎo)數(shù)、在點有右導(dǎo)數(shù)、在b點有左點有左導(dǎo)數(shù)導(dǎo)數(shù) 函數(shù)在區(qū)間上的可導(dǎo)性函數(shù)在區(qū)間上的可導(dǎo)性: f(x)在0 x處的左導(dǎo)數(shù) f(x)在0 x處的右導(dǎo)數(shù)處的左導(dǎo)數(shù)hxfhxfxfh)()(lim)(00 處的右導(dǎo)數(shù)hxfhxfxfh)()(lim)(00 axf)(0axfxf)()(00 第二章第二章 導(dǎo)數(shù)與微分導(dǎo)數(shù)與微分微積分微積分應(yīng)注意的問題應(yīng)注意的問題: 這個結(jié)論的逆命題不成立這個結(jié)論的逆命題不成立 即函數(shù)即函數(shù)y f(x)在點在點x0處連續(xù)處連續(xù) 但在點但在點x0處不一定可導(dǎo)處不一定可導(dǎo) 00)(limlimlimlim00000 xfxxyxxyyxxxx00

14、)(limlimlimlim00000 xfxxyxxyyxxxx00)(limlimlimlim00000 xfxxyxxyyxxxx00)(limlimlimlim00000 xfxxyxxyyxxxx (五五) 可導(dǎo)與連續(xù)的關(guān)系可導(dǎo)與連續(xù)的關(guān)系 定理定理3.1 如果函數(shù)如果函數(shù)y f(x)在點在點x0處可導(dǎo)處可導(dǎo) 則它在點則它在點x0處必連續(xù)處必連續(xù) 這是因為這是因為:第二章第二章 導(dǎo)數(shù)與微分導(dǎo)數(shù)與微分微積分微積分右導(dǎo)數(shù)右導(dǎo)數(shù)左導(dǎo)數(shù)左導(dǎo)數(shù)000(0)limlimlim1xxxxyxfxxx _000(0)limlimlim1xxxxyxfxxx 顯然兩者不相等顯然兩者不相等, 因為因為:

15、如函數(shù)如函數(shù)( )0fxxx在處連續(xù)，但不可導(dǎo)連續(xù)，但不可導(dǎo))0(f 所以所以不存在不存在(見圖見圖).第二章第二章 導(dǎo)數(shù)與微分導(dǎo)數(shù)與微分微積分微積分)(xf0)(,xxf在討論解解:)(lim0 xfx又又xfxfx)0()(lim0例例5 設(shè)設(shè)所以 )(xf0 x在處連續(xù). 即)(xf0 x在處可導(dǎo) .xxx1sinlim20)0(0fxxx1sinlim000,1sin2xxx0,0 x處的連續(xù)性及可導(dǎo)性處的連續(xù)性及可導(dǎo)性. xxxx120sinlim0)0( f第二章第二章 導(dǎo)數(shù)與微分導(dǎo)數(shù)與微分微積分微積分1常函數(shù)的導(dǎo)數(shù)常函數(shù)的導(dǎo)數(shù)cy ()( )0yfxxfxcc 0)(c即即2.冪

16、函數(shù)的導(dǎo)數(shù)冪函數(shù)的導(dǎo)數(shù))(nnxyn()nnyxxx nnnxxxnnxnx 2212)1(1212)1(nnnxxxnnnxxy 3.3 導(dǎo)數(shù)的基本公式與運算法則導(dǎo)數(shù)的基本公式與運算法則0lim0 xyyx 0yx212(1)2nnnnnn nxnxxxxxx 第二章第二章 導(dǎo)數(shù)與微分導(dǎo)數(shù)與微分微積分微積分10lim,nxyynxx 即即1)(nnnxx注注: 對于一般的冪函數(shù)對于一般的冪函數(shù) (),yx為實數(shù)3正弦函數(shù)與余弦函數(shù)的導(dǎo)數(shù)正弦函數(shù)與余弦函數(shù)的導(dǎo)數(shù)xysinxxxysin)sin( 2sin2cos2xxx 0limxyyx 1()xx 類似有類似有(后面再證后面再證).00si

17、n2lim cos() limcos22xxxxxxx 同理可得同理可得xxsincossincosxx即即,第二章第二章 導(dǎo)數(shù)與微分導(dǎo)數(shù)與微分微積分微積分 4對數(shù)函數(shù)的導(dǎo)數(shù)對數(shù)函數(shù)的導(dǎo)數(shù)xyalog,1,0aalog () logaayxxx 001limlimlog (1)axxyxyxxx axxaln1log 即即log1axx01limlog (1)xxaxxxx 01limlog (1)axxxxxx 01lim log1xxaxxxx 01loglim(1)xxaxxxx 11loglnaexxa特別地，當特別地，當ea 時，有時，有 xx1ln 第二章第二章 導(dǎo)數(shù)與微分導(dǎo)數(shù)與微

18、分微積分微積分5指數(shù)函數(shù)的導(dǎo)數(shù)指數(shù)函數(shù)的導(dǎo)數(shù),1,0aaaaaxxln特別地，當特別地，當ea 時，有時，有xxee第二章第二章 導(dǎo)數(shù)與微分導(dǎo)數(shù)與微分微積分微積分 (二二)導(dǎo)數(shù)的四則運算法則導(dǎo)數(shù)的四則運算法則 1代數(shù)和的導(dǎo)數(shù)代數(shù)和的導(dǎo)數(shù))()()()(xvxuxvxu 注注1 1: 該法則可以推廣到有限多個函數(shù)代數(shù)和該法則可以推廣到有限多個函數(shù)代數(shù)和的情形的情形.213 ln3cos3xxxx3(3 )(sin )( )(ln )( )3xyxxx解解:例例1 設(shè)設(shè) 33sinln,3xyxxx.y 求求且且如果如果( ) ,u x)(xvx都是都是的可導(dǎo)函數(shù)，的可導(dǎo)函數(shù)，則則)()(xvxu

19、x也是也是的可導(dǎo)函數(shù)，的可導(dǎo)函數(shù)，第二章第二章 導(dǎo)數(shù)與微分導(dǎo)數(shù)與微分微積分微積分 注注2: 該法則可以推廣到有限多個函數(shù)乘積的該法則可以推廣到有限多個函數(shù)乘積的情形情形.如如: )()(xucxuc)()()()()()(xvxuxvxuxvxu2乘積的導(dǎo)數(shù)乘積的導(dǎo)數(shù)如果如果( ),u x)(xvx都是都是的可導(dǎo)函數(shù)，的可導(dǎo)函數(shù)，)()(xvxu則則x也是也是的可導(dǎo)函數(shù)，的可導(dǎo)函數(shù)， 且且特別地，當特別地，當cxv)(時，則有時，則有( )( )( )( )( )( )( )( )( )( )( )( )u x v xh xu x v xh xu x v xh xu x v xh x第二章第二

20、章 導(dǎo)數(shù)與微分導(dǎo)數(shù)與微分微積分微積分2( )(cos )fxxx解解:xxxxsincos223商的導(dǎo)數(shù)商的導(dǎo)數(shù)且且( )0,v x )()()()()()()(2xvxvxuxvxuxvxu例例3 設(shè)設(shè) 1,1xyx.y 求求例例2 2 設(shè)設(shè)2( )cos,f xxx( ).fx求求 22() cos(cos )xxxx如果如果( ),u x)(xvx都是都是的可導(dǎo)函數(shù)，的可導(dǎo)函數(shù)，)()(xvxu則則x也是也是的可導(dǎo)函數(shù)，的可導(dǎo)函數(shù)，且且第二章第二章 導(dǎo)數(shù)與微分導(dǎo)數(shù)與微分微積分微積分xxx222cossincosx2cos1x2secxxxycossin)(tanxxxxx2cos)(co

21、ssincos)(sin解解:2(1) (1)(1)(1)(1)xxxxx解解:xx2sec)(tan即即例例4 4 設(shè)設(shè) tan,yx.y求求1()1xyx22(1)x 第二章第二章 導(dǎo)數(shù)與微分導(dǎo)數(shù)與微分微積分微積分同樣方法可以求出同樣方法可以求出:xx2csc)(cotxxxtansec)(secxxxcotcsc)(csc22(tansec)lntanlnxxxxxx2(tan)lntan(ln)( )(ln)xxxxxxfxx解解: 例例5 5 設(shè)設(shè)tan( ),lnxxf xx( ).f x求求221(tansec) ln(tan)lnxxxxxxxx例例6 6 求經(jīng)過原點且與曲線求

22、經(jīng)過原點且與曲線59xxy相切相切的直線方程的直線方程第二章第二章 導(dǎo)數(shù)與微分導(dǎo)數(shù)與微分微積分微積分 解解:設(shè)所求直線方程為設(shè)所求直線方程為,ykx20)5(4|0 xykxxxxy20)5(4又切點是曲線和切線的公共點，所以又切點是曲線和切線的公共點，所以59)5(400020 xxxx025yx或或0 yx所以所以,所求直線方程為所求直線方程為00(,),xy切點為切點為由導(dǎo)數(shù)的幾何意義由導(dǎo)數(shù)的幾何意義,得得直線與曲線的直線與曲線的所求直線方程為所求直線方程為解得解得150 x03.x 或或第二章第二章 導(dǎo)數(shù)與微分導(dǎo)數(shù)與微分微積分微積分(三三) 復(fù)合函數(shù)的導(dǎo)數(shù)復(fù)合函數(shù)的導(dǎo)數(shù)dxdududy

23、dxdy)()(xufy 或或 注注1:這個公式可以推廣到兩個以上函數(shù)復(fù)合這個公式可以推廣到兩個以上函數(shù)復(fù)合的情形的情形 x)(xfy 么復(fù)合函數(shù)么復(fù)合函數(shù)也在點也在點處可導(dǎo)處可導(dǎo),)(ufy u而函數(shù)而函數(shù)在對應(yīng)的點在對應(yīng)的點處可導(dǎo)，處可導(dǎo)，定理定理3.2 如果函數(shù)如果函數(shù))(xu x在在點處可導(dǎo)點處可導(dǎo),那那且有且有第二章第二章 導(dǎo)數(shù)與微分導(dǎo)數(shù)與微分微積分微積分例例1 求下列函數(shù)的導(dǎo)數(shù)求下列函數(shù)的導(dǎo)數(shù).(1)lncos;yx31(2)sin.yx1(ln ) (cos )( sin )uxyuxxu 顯然是由顯然是由31(2)sinyxxvvuuy1,sin,332211()(sin )

24、( )3cosuvxyuvuvxx 解解:顯然是由顯然是由(1)ln cosyxlncosyuux和兩個函兩個函數(shù)復(fù)合的數(shù)復(fù)合的,因此因此sintancosxxx 三個函數(shù)復(fù)合而成的三個函數(shù)復(fù)合而成的,因此因此221113sincosxxx 22311sincosxxx第二章第二章 導(dǎo)數(shù)與微分導(dǎo)數(shù)與微分微積分微積分 注注2:2:對于復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)，在運用公式熟練對于復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)，在運用公式熟練之后，計算時就不必寫出中間變量了之后，計算時就不必寫出中間變量了 )3(3cos3sin83xxx33cos3sin83xx)3(sin3sin423xxy解解:把該函數(shù)先看作以下兩把該函數(shù)先看作以下兩

25、個函數(shù)復(fù)合而成的個函數(shù)復(fù)合而成的:xuuy3sin,24再把再把x3sinsin ,3u ux看作以下看作以下兩個函數(shù)復(fù)合的兩個函數(shù)復(fù)合的:例例2 2 求求xy3sin24的導(dǎo)數(shù)的導(dǎo)數(shù)xx3cos3sin243第二章第二章 導(dǎo)數(shù)與微分導(dǎo)數(shù)與微分微積分微積分解解:2222222()()x axxaxyax22222222()2axaxxaxax例例3 求求22xyax的導(dǎo)數(shù)的導(dǎo)數(shù).2222222xaxaxax222 3()aax第二章第二章 導(dǎo)數(shù)與微分導(dǎo)數(shù)與微分微積分微積分)(12222axxaxxy解解xaxaxx221112222221ax 例例4 4 求求)ln(22axxy的導(dǎo)數(shù)的導(dǎo)數(shù).

26、 第二章第二章 導(dǎo)數(shù)與微分導(dǎo)數(shù)與微分微積分微積分v顯函數(shù)與隱函數(shù)顯函數(shù)與隱函數(shù) 形如形如y f(x)的函數(shù)稱為顯函數(shù)的函數(shù)稱為顯函數(shù) 例如例如 y sin x y ln x ex 都是顯函數(shù)都是顯函數(shù) 由方程由方程f(x y) 0所確的函數(shù)稱為隱函數(shù)所確的函數(shù)稱為隱函數(shù) 例如例如 方程方程x y3 1 0確定的隱函數(shù)為確定的隱函數(shù)為 31 xy (四四) 隱函數(shù)的導(dǎo)數(shù)隱函數(shù)的導(dǎo)數(shù)有些隱函數(shù)不能化成顯函數(shù)有些隱函數(shù)不能化成顯函數(shù),例如由例如由0yxexy e直接由方程求出其導(dǎo)數(shù)的方法直接由方程求出其導(dǎo)數(shù)的方法.現(xiàn)在現(xiàn)在,介紹一種不用將隱函數(shù)化為顯函數(shù)就可以介紹一種不用將隱函數(shù)化為顯函數(shù)就可以確定

27、的隱函數(shù)確定的隱函數(shù).第二章第二章 導(dǎo)數(shù)與微分導(dǎo)數(shù)與微分微積分微積分隱函數(shù)的求導(dǎo)方法：隱函數(shù)的求導(dǎo)方法：解之得解之得.xyy 解：解：方程方程122 yxx求導(dǎo)數(shù)，求導(dǎo)數(shù)，的兩邊同時對的兩邊同時對)(xfy 的導(dǎo)數(shù)的導(dǎo)數(shù). 例例1 求由方程求由方程122 yx所確定的隱函數(shù)所確定的隱函數(shù)得到隱函數(shù)的導(dǎo)數(shù)得到隱函數(shù)的導(dǎo)數(shù). xy( , , ) 0,x y y 及及和和的一個方程的一個方程,y從中解出從中解出即即xyy在求導(dǎo)過程中，把在求導(dǎo)過程中，把看成看成的函數(shù)，可得到包含的函數(shù)，可得到包含x0),(yxf將方程將方程兩邊逐項對自變量兩邊逐項對自變量求導(dǎo)數(shù)，求導(dǎo)數(shù)，022yyx即即22()()(

28、1)xxxy得得提示提示: (y2) 2yy 第二章第二章 導(dǎo)數(shù)與微分導(dǎo)數(shù)與微分微積分微積分yyxyexy1)(解之得解之得11xyxyxeyey 例例2 求由方程求由方程yxexy確定的隱函數(shù)的確定的隱函數(shù)的導(dǎo)數(shù)及導(dǎo)數(shù)及 y |x = 0 解解: 方程兩邊對方程兩邊對x求導(dǎo)，得求導(dǎo)，得()1xyexyy 因為當因為當x 0時時 從原方程得從原方程得y 1 所以所以 001 100 1xey 第二章第二章 導(dǎo)數(shù)與微分導(dǎo)數(shù)與微分微積分微積分解解: 例例3 3 例例 3 求橢圓191622yx在)323 , 2(處的切線方程 把橢圓方程的兩邊分別對把橢圓方程的兩邊分別對x求導(dǎo)求導(dǎo) 得得 所求的切線

29、方程為所求的切線方程為 從而 yxy169 當 x2 時 43|2xyk ) 2(43323xy 即)2(43323xy 即03843 yx 當 x2 時 323y 代入上式得所求切線的斜率 323y 代入上式得所求切線的斜率 0928yyx 第二章第二章 導(dǎo)數(shù)與微分導(dǎo)數(shù)與微分微積分微積分( (五五) )反函數(shù)的求導(dǎo)法則反函數(shù)的求導(dǎo)法則定理定理3.33.3 如果函數(shù)如果函數(shù)x f(y)在某區(qū)間在某區(qū)間iy內(nèi)單調(diào)、可內(nèi)單調(diào)、可導(dǎo)且導(dǎo)且f (y) 0 那么它的反函數(shù)那么它的反函數(shù)y f 1(x)也可導(dǎo)也可導(dǎo) 并且并且 )(1 )(1yfxf或dydxdxdy1 )(11limlim )(001yf

30、yxxyxfyx)(11limlim )(001yfyxxyxfyx)(11limlim )(001yfyxxyxfyx 簡要證明簡要證明 由于由于x f(y)可導(dǎo)可導(dǎo)(從而連續(xù)從而連續(xù)) 所以所以x f(y) 的反函數(shù)的反函數(shù)y f 1(x)連續(xù)連續(xù) 當當 x0時時 y0 所以所以第二章第二章 導(dǎo)數(shù)與微分導(dǎo)數(shù)與微分微積分微積分 例例2 2 證明證明 (arctan x) 證證 因為因為y arctan x是是x tan y的反函數(shù)的反函數(shù) 所以所以22211tan11sec1)(tan1)(arctanxyyyx22211tan11sec1)(tan1)(arctanxyyyx22211ta

31、n11sec1)(tan1)(arctanxyyyx22211tan11sec1)(tan1)(arctanxyyyx 類似地有 211)cotarc(xx 例例1 1 證明證明 (arcsin x) 證證 因為因為y arcsin x是是x sin y的反函數(shù)的反函數(shù) 所以所以2211sin11cos1)(sin1)(arcsinxyyyx2211sin11cos1)(sin1)(arcsinxyyyx2211sin11cos1)(sin1)(arcsinxyyyx2211sin11cos1)(sin1)(arcsinxyyyx 類似地有 211)(arccosxx )(1 )(1yfxf

32、反函數(shù)的求導(dǎo)公式反函數(shù)的求導(dǎo)公式: :2211sin11cos1)(sin1)(arcsinxyyyx 22211tan11sec1)(tan1)(arctanxyyyx 第二章第二章 導(dǎo)數(shù)與微分導(dǎo)數(shù)與微分微積分微積分 方程兩邊先同時取自然對數(shù)，然后將取了對方程兩邊先同時取自然對數(shù)，然后將取了對數(shù)的結(jié)果利用對數(shù)的性質(zhì)進行充分化簡數(shù)的結(jié)果利用對數(shù)的性質(zhì)進行充分化簡,最后將化最后將化簡后的結(jié)果看作隱函數(shù)簡后的結(jié)果看作隱函數(shù),應(yīng)用隱函數(shù)求導(dǎo)法求出其應(yīng)用隱函數(shù)求導(dǎo)法求出其導(dǎo)數(shù)導(dǎo)數(shù)(六六) 取對數(shù)求導(dǎo)法取對數(shù)求導(dǎo)法 解解:函數(shù)兩邊取對數(shù)函數(shù)兩邊取對數(shù),得得2lnlnxyx構(gòu)成的比較復(fù)雜的函數(shù)及冪指函數(shù)的

33、求導(dǎo)構(gòu)成的比較復(fù)雜的函數(shù)及冪指函數(shù)的求導(dǎo)用法用法:常用于幾個因式通過乘、除、開方所常用于幾個因式通過乘、除、開方所例例1 1 求函數(shù)求函數(shù)2xyx的導(dǎo)數(shù)的導(dǎo)數(shù).第二章第二章 導(dǎo)數(shù)與微分導(dǎo)數(shù)與微分微積分微積分化簡得化簡得2lnlnyxx即有即有(2 ln)yyxxx 12 lnyxxxy 另解另解:222lnlnxxxxxyxee2ln()xxye2ln2(ln)xxexx 2ln22() ln(ln) xxexxxx2(2ln)xxxxx兩邊同時對兩邊同時對x求導(dǎo)求導(dǎo),得得2(2 ln)xxxxx221() ln(ln )yxxxxy即即第二章第二章 導(dǎo)數(shù)與微分導(dǎo)數(shù)與微分微積分微積分于是于是

34、lnyya 即即()lnxxaaa 1lnyay上式兩邊對上式兩邊對x求導(dǎo)，得求導(dǎo)，得ln ,xaa例例2 2 求指數(shù)函數(shù)求指數(shù)函數(shù)(0,1)xyaaa的導(dǎo)數(shù)的導(dǎo)數(shù).解解: 兩邊取自然對數(shù)并化簡，得兩邊取自然對數(shù)并化簡，得lnlnyxa特別地，當特別地，當ea 時，有時，有()xxee 同理同理,冪函數(shù)冪函數(shù)(0,)yxx是任意實數(shù)的導(dǎo)數(shù)為的導(dǎo)數(shù)為:1()xx 第二章第二章 導(dǎo)數(shù)與微分導(dǎo)數(shù)與微分微積分微積分于是于是 )2(3113211xxxyy)2( 3113211)2() 13() 1(32xxxxxx例例3 3 求函數(shù)求函數(shù)32)2() 13() 1(xxxy的導(dǎo)數(shù)的導(dǎo)數(shù).解解: 兩邊取

35、自然對數(shù)并化簡，得兩邊取自然對數(shù)并化簡，得)2ln(31)13ln(32)1ln(lnxxxy上式兩邊對上式兩邊對x求導(dǎo)，得求導(dǎo)，得213113332111xxxyy第二章第二章 導(dǎo)數(shù)與微分導(dǎo)數(shù)與微分微積分微積分( )( )dydytdtdxdxtdt(七七) 由參數(shù)方程所確定的函數(shù)的導(dǎo)數(shù)由參數(shù)方程所確定的函數(shù)的導(dǎo)數(shù) 設(shè) y 與 x 的函數(shù)關(guān)系是由參數(shù)方程)()(tytx確定的 設(shè)設(shè) x (t)具有反函數(shù)具有反函數(shù) t 11(x) 且且 t 11(x)與與y (t)構(gòu)成復(fù)合函數(shù)構(gòu)成復(fù)合函數(shù)y 11(x) 若若x (t)和和y (t)都可導(dǎo)都可導(dǎo) 則則第二章第二章 導(dǎo)數(shù)與微分導(dǎo)數(shù)與微分微積分微積

36、分若x(t)和y(t)都可導(dǎo) 則)()(ttdxdy 例例7 7 例例 7 求橢圓tbytaxsincos在相應(yīng)于4 t點處的切線方程 解解 tabtatbtatbdxdycotsincos)cos()sin(解解: tabtatbtatbdxdycotsincos)cos()sin(tabtatbtatbdxdycotsincos)cos()sin( 所求切線的斜率為abdxdyt4 切點的坐標為224 cos0aax 切線方程為)22(22axabby 即 bxay2ab 0 224 cos0aax 224sin0bby 第二章第二章 導(dǎo)數(shù)與微分導(dǎo)數(shù)與微分微積分微積分(七七) 基本導(dǎo)數(shù)公式

37、基本導(dǎo)數(shù)公式(7) (8)(3) (4)(1) (2)1.基本初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù)基本初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù)0)(c( 為常數(shù)為常數(shù)) 1)( xx) 1, 0(ln)(aaaaaxxxxee )() 1, 0(ln1)(logaaaxxaxx1)(lnxxcos)(sinxxsin)(cosxxx22seccos1)(tanxxx22cscsin1)(cot(5) (6)(9) (10)c)(r (11) (12)xxxtansec)(secxxxcotcsc)(csc) 11(11)(arcsin2xxx) 11(11)(arccos2xxx211)(arctanxx211)cot(xxarc(13)

38、(14)(15) (16)第二章第二章 導(dǎo)數(shù)與微分導(dǎo)數(shù)與微分微積分微積分 2導(dǎo)數(shù)的四則運算法則導(dǎo)數(shù)的四則運算法則 )()()()()()()(42xvxvxuxvxuxvxu)()()()() 1 (xvxuxvxu)()()()()()() 2 (xvxuxvxuxvxu)()() 3(xucxuc第二章第二章 導(dǎo)數(shù)與微分導(dǎo)數(shù)與微分微積分微積分(八八) 綜合舉例綜合舉例:2lncos(103),yx.y例例 1設(shè)設(shè)求求解解:26 tan(103).xx 221cos(103)cos(103)yxx222sin(103) (103)cos(103)xxx 第二章第二章 導(dǎo)數(shù)與微分導(dǎo)數(shù)與微分微積

39、分微積分解解:.y例例 2設(shè)設(shè)求求( )(),xfxxyf eex( )( )ln ()()()xf xxf xxxf eef eee( )()()xfxxyf eex( )( )( )( )( )xxf xxf xf e e ef e ef x( )( )( )( )( )( )xxf xxf xf eeef e ef xln( ln )xxexx (ln1).xxx( ) ( )( ) ( )(ln1).f xxxxxef e ef e f xxx第二章第二章 導(dǎo)數(shù)與微分導(dǎo)數(shù)與微分微積分微積分.y例例 3由由求求22lnarctanyxyyxx確定 是 的函數(shù)，解解:221 ln()(ar

40、ctan)2yxyxxyyxy2222211()( )2()1 ( )yxyyxyxxxyyxyy即2222221(22)2()xy xyxyyxyxyx2222,xyyxyyxyxy有第二章第二章 導(dǎo)數(shù)與微分導(dǎo)數(shù)與微分微積分微積分例例4 設(shè)設(shè)21,0( )2 ,01,( ).1,12xxf xxxfxxx求解解:當當0 x 時時,( )(1)1;fxx當當01x時時,( )(2 )2;fxx當當12x時時,2( )(1)2 ;fxxx0( )(0)limxf xfx0(1)( 1)lim1xxx 0( )(0)limxf xfx02( 1)limxxx 第二章第二章 導(dǎo)數(shù)與微分導(dǎo)數(shù)與微分微積

41、分微積分1,0( )2,01 .2 ,12xfxxxx()( ).d fd f 可見1( )(1)lim1xf xfx(0)f 不存在不存在.122lim21xxx1( )(1)lim1xf xfx211(1)2limlim(1)21xxxxx(1)2f 21,0( )2 ,011,12xxf xxxxx第二章第二章 導(dǎo)數(shù)與微分導(dǎo)數(shù)與微分微積分微積分2( )1( ),( ),2 ( )fxyy xefaf a例5 已知若2( )2( )( )fxy xefx證：2( )( )2( )( )fay aef a fa( )( ).y ay a求證:2( )2 ( )( )fxef x fx( )(

42、 ).y ay a2( )fae第二章第二章 導(dǎo)數(shù)與微分導(dǎo)數(shù)與微分微積分微積分2/rcm s例6.設(shè)球半徑 以的速度勻速增加，10rcmv求當球半徑時，體積 增加的速度。3,2,drrdt4解：已知球體v=而3.dvdt那么我們現(xiàn)在要求的就是24dvdv drdrrdtdr dtdt根據(jù)導(dǎo)數(shù)運算，得 310800/ .rdvcm sdt所以第二章第二章 導(dǎo)數(shù)與微分導(dǎo)數(shù)與微分微積分微積分 習(xí)題3-32求下列函數(shù)的導(dǎo)數(shù)求下列函數(shù)的導(dǎo)數(shù)：xy143xy 233xxy baxxyxxxy (1)(2)xylgxy31logxy7logxy5logxy10(3)xxeay3求下列函數(shù)的導(dǎo)數(shù)求下列函數(shù)的導(dǎo)

43、數(shù)：1. 用導(dǎo)數(shù)的定義求下列函數(shù)在給定點的導(dǎo)數(shù)用導(dǎo)數(shù)的定義求下列函數(shù)在給定點的導(dǎo)數(shù)2)1(xy xy1)2(在在 點處點處在在 點處點處1x2x11axxayxxxy4322xxy1111xexyxcos(1) (2)(3) (4)4求下列復(fù)合函數(shù)的導(dǎo)數(shù)求下列復(fù)合函數(shù)的導(dǎo)數(shù)：第二章第二章 導(dǎo)數(shù)與微分導(dǎo)數(shù)與微分微積分微積分(7) (8)(3) (4)(5) (6)(1) (2)(1) (2)xxycos)(sin(1) (2)2sec2xy 34)45()53(xxy21) 12(xxy)(lnlnln23xy xxyln5xxy11ln2)3(arcsinxy xexyx3sin225求下列方

44、程確定的隱函數(shù)的導(dǎo)數(shù)求下列方程確定的隱函數(shù)的導(dǎo)數(shù)：22lnarctanyxxy1xyeyx0 xdxdy求求6求下列函數(shù)的導(dǎo)數(shù)：求下列函數(shù)的導(dǎo)數(shù)：32)3(51xxxxy7求曲線求曲線 在點在點 處的切線方程和法線方處的切線方程和法線方程程162323 yx)4,4(第二章第二章 導(dǎo)數(shù)與微分導(dǎo)數(shù)與微分微積分微積分3.4高階導(dǎo)數(shù)高階導(dǎo)數(shù))(,xfy 22dxyd或或( )( )( )nnnnd yyfxdx 或 或 二階及二階以上的導(dǎo)數(shù)統(tǒng)稱為高階導(dǎo)數(shù)二階及二階以上的導(dǎo)數(shù)統(tǒng)稱為高階導(dǎo)數(shù) )(xfy 函數(shù)函數(shù)的一階導(dǎo)數(shù)的一階導(dǎo)數(shù)相應(yīng)地，把相應(yīng)地，把)( xfy )(xfy的導(dǎo)數(shù)的導(dǎo)數(shù)叫做叫做)(xf

45、)(xf它的導(dǎo)數(shù)它的導(dǎo)數(shù)為函數(shù)為函數(shù)的二階導(dǎo)數(shù)的二階導(dǎo)數(shù) ,記作記作如果導(dǎo)函數(shù)如果導(dǎo)函數(shù))(xf x仍是仍是的可導(dǎo)函數(shù)，則稱的可導(dǎo)函數(shù)，則稱數(shù)，記作數(shù)，記作類似地，二階導(dǎo)數(shù)的導(dǎo)數(shù)叫做三階導(dǎo)數(shù)，類似地，二階導(dǎo)數(shù)的導(dǎo)數(shù)叫做三階導(dǎo)數(shù)， 三三)(xfy 階導(dǎo)數(shù)的導(dǎo)數(shù)叫做四階導(dǎo)數(shù)，一般地函數(shù)階導(dǎo)數(shù)的導(dǎo)數(shù)叫做四階導(dǎo)數(shù)，一般地函數(shù)的的1nn)(xfy 階導(dǎo)數(shù)的導(dǎo)數(shù)叫做函數(shù)階導(dǎo)數(shù)的導(dǎo)數(shù)叫做函數(shù)的的階導(dǎo)階導(dǎo)第二章第二章 導(dǎo)數(shù)與微分導(dǎo)數(shù)與微分微積分微積分2sinxex2sin2cosxxexex (cos )xyex解解:例例1 1 求函數(shù)求函數(shù)xeyxcos的二階及三階導(dǎo)數(shù)的二階及三階導(dǎo)數(shù)cos( sin )x

46、xexex (cossin )xexx () cos(cos )xxexex(cossin )xyexx (cossin )( sincos )xxexxexx2(cossin )xexx(2sin )xyex第二章第二章 導(dǎo)數(shù)與微分導(dǎo)數(shù)與微分微積分微積分解解: 因為因為1(1)1yxx2)1(1xy 3)1(21xy 4)4()1(321xynnnxny)1()!1()1(1)(所以所以例例2 2 求函數(shù)求函數(shù))1ln(xyn的的階導(dǎo)數(shù)階導(dǎo)數(shù)11x第二章第二章 導(dǎo)數(shù)與微分導(dǎo)數(shù)與微分微積分微積分解之得解之得.xyy 解：解：方程方程222xyax求導(dǎo)數(shù)，求導(dǎo)數(shù)，的兩邊同時對的兩邊同時對)(xf

47、y的二階導(dǎo)數(shù)的二階導(dǎo)數(shù). 例例3 求由方程求由方程222xya所確定的隱函數(shù)所確定的隱函數(shù)022yyx得得2 xxyx yy223xyy 23 ay22()xd yxdxy 2() xyxyy第二章第二章 導(dǎo)數(shù)與微分導(dǎo)數(shù)與微分微積分微積分3.5函數(shù)的微分函數(shù)的微分 函數(shù)的導(dǎo)數(shù)表示函數(shù)關(guān)于自變量變化的快慢函數(shù)的導(dǎo)數(shù)表示函數(shù)關(guān)于自變量變化的快慢程度程度(變化率變化率)但在許多情況下，需要考察或者但在許多情況下，需要考察或者估算函數(shù)改變量的大小，特別是當自變量發(fā)生微估算函數(shù)改變量的大小，特別是當自變量發(fā)生微小變化時函數(shù)改變量的大小這就需要引進微分小變化時函數(shù)改變量的大小這就需要引進微分的概念的概念

48、一、微分的概念一、微分的概念0 x0 xx x y引例引例 已知正方形的面積已知正方形的面積y一、微分的概念一、微分的概念二、微分的幾何意義二、微分的幾何意義三、微分的基本公式與運算法則三、微分的基本公式與運算法則四、微分的形式不變性四、微分的形式不變性五、微分在近似計算上的應(yīng)用五、微分在近似計算上的應(yīng)用0 x0,xx 其邊長由其邊長由變化到變化到x2,yx是邊長是邊長的函數(shù)的函數(shù)若若第二章第二章 導(dǎo)數(shù)與微分導(dǎo)數(shù)與微分微積分微積分正方形的面積改變的近似正方形的面積改變的近似面積相應(yīng)的改變量為面積相應(yīng)的改變量為: 2020)(xxxy 20)(2xxx 如圖中藍色部分區(qū)域即表示如圖中藍色部分區(qū)域

49、即表示.y0 x0 xx x yx 很微小時很微小時,當當y問正方形的面積問正方形的面積改變改變了多少了多少?值是多少值是多少?0 x0,xx 當邊長由當邊長由變化到變化到第二章第二章 導(dǎo)數(shù)與微分導(dǎo)數(shù)與微分微積分微積分0 x0 xx x yy 可以把可以把分成兩部分分成兩部分:202()yxxx,y近似地表示近似地表示xxy 02即即x 因此因此,當當很少時，很少時，2x 第二部分第二部分:(圖中純圖中純的線性函數(shù)的線性函數(shù)(圖中天藍部分圖中天藍部分)，x xx 02第一部分第一部分:是是0 x 時，時，當當藍部分藍部分)，x 是比是比2()x較高階的較高階的無窮小量無窮小量,可用可用02 x

50、x第二章第二章 導(dǎo)數(shù)與微分導(dǎo)數(shù)與微分微積分微積分 設(shè)函數(shù)設(shè)函數(shù)y f(x)在某區(qū)間內(nèi)有定義在某區(qū)間內(nèi)有定義 x0及及x0 x在在這區(qū)間內(nèi)這區(qū)間內(nèi) 如果函數(shù)的增量如果函數(shù)的增量 y f(x0 x) f(x0)可表示為可表示為 y a x o( x) 其中其中a是不依賴于是不依賴于 x的常數(shù)的常數(shù) o( x)是比是比 x高階的無高階的無窮小窮小 那么稱函數(shù)那么稱函數(shù)y f(x)在點在點x0是可微的是可微的 而而a x叫叫做函數(shù)做函數(shù)y f(x)在點在點x0相應(yīng)于自變量增量相應(yīng)于自變量增量 x的微分的微分 記記作作dy 即即dy a x 微分的定義微分的定義第二章第二章 導(dǎo)數(shù)與微分導(dǎo)數(shù)與微分微積分微

51、積分 函數(shù)函數(shù)f(x)在點在點x0可微可微 函數(shù)函數(shù)f(x)在點在點x0可導(dǎo)可導(dǎo) 函數(shù)在點函數(shù)在點x0的微分一定是的微分一定是 dy f (x0) x 可微與可導(dǎo)的關(guān)系可微與可導(dǎo)的關(guān)系:y f(x)在點在點x0可微可微 y a x o( x) dy a x 這是因為這是因為 一方面一方面 另一方面另一方面其中其中 0(當當 x0) 且且a f(x0)是常數(shù)是常數(shù) x o( x) axfxyxxoaxyxoxayx)(lim)()(00 xxxfyxfxyxfxyx)()()(lim0000axfxyxxoaxyxoxayx)(lim)()(00axfxyxxoaxyxoxayx)(lim)()

52、(00 xxxfyxfxyxfxyx)()()(lim0000 xxxfyxfxyxfxyx)()()(lim0000 第二章第二章 導(dǎo)數(shù)與微分導(dǎo)數(shù)與微分微積分微積分 函數(shù)函數(shù)y f(x)在任意點在任意點 x 的微分的微分 稱為函數(shù)的微分稱為函數(shù)的微分 記作記作dy 或或 df(x) 即即 dy f (x) x 例如例如 d cos x (cos x) x sin x x dex (e x) x ex x 自變量的微分自變量的微分 因為當因為當y x時時 dy dx (x) x x 所以通常把自變量所以通常把自變量 x 的增量的增量 x稱為自變量的微分稱為自變量的微分 記作記作dx 即即 dx

53、 x 因此因此 函數(shù)函數(shù)y f(x)的微分又可記作的微分又可記作 dy f (x) dx 第二章第二章 導(dǎo)數(shù)與微分導(dǎo)數(shù)與微分微積分微積分例例1 求下列函數(shù)的微分求下列函數(shù)的微分2(1)sin;yx223)2(yxyxy解解 (1) 因為因為22 cosyxx 所以所以22 cosdyxx dx可見可見,函數(shù)的導(dǎo)數(shù)即是函數(shù)的微分與自變量的函數(shù)的導(dǎo)數(shù)即是函數(shù)的微分與自變量的微分的商微分的商,因此常常把導(dǎo)數(shù)也稱為微商因此常常把導(dǎo)數(shù)也稱為微商.的關(guān)系的關(guān)系.它反映了函數(shù)的微分與其導(dǎo)數(shù)之間它反映了函數(shù)的微分與其導(dǎo)數(shù)之間( ),dyf xdx到到注注: 對對dxxfdy)( ,dx兩邊同時除以兩邊同時除以

54、得得第二章第二章 導(dǎo)數(shù)與微分導(dǎo)數(shù)與微分微積分微積分解解:ln(1)dyx dx2112xdydxyyyxyxyy2232解之得解之得yxyyxy2322故故dxyxyyxdy232211dxx13dx例例2 2已知已知),1ln(xydy2.xdy求求 及及yx并把并把看作看作的函數(shù)的函數(shù),得得(2) 方程方程223yxyxyx兩邊同時對兩邊同時對求導(dǎo)求導(dǎo),第二章第二章 導(dǎo)數(shù)與微分導(dǎo)數(shù)與微分微積分微積分 二、二、 微分的幾何意義微分的幾何意義當當x從從x0變到變到x0 x時時 y是曲線上點是曲線上點m的縱坐的縱坐所以所以dy是過點是過點(x0 f(x0)的切線上點的縱的切線上點的縱坐標坐標 當

55、當| x|很小時很小時 | y dy|比比| x|小得多小得多 因此因此 在點在點m的鄰的鄰近近 我們可以用切線段我們可以用切線段來近似代替曲線段來近似代替曲線段 0)(tan0 xxdyxxfmqpq npq標的增量標的增量;而而的增量的增量.00.ydyxx 同時有同時有第二章第二章 導(dǎo)數(shù)與微分導(dǎo)數(shù)與微分微積分微積分 根據(jù)定義，函數(shù)微分就是函數(shù)導(dǎo)數(shù)與自變量根據(jù)定義，函數(shù)微分就是函數(shù)導(dǎo)數(shù)與自變量微分之積，所以由導(dǎo)數(shù)的基本公式和運算法則得微分之積，所以由導(dǎo)數(shù)的基本公式和運算法則得到相應(yīng)的微分基本公式和運算法則到相應(yīng)的微分基本公式和運算法則 （9） 三、微分的基本公式與運算法則三、微分的基本公式

56、與運算法則第二章第二章 導(dǎo)數(shù)與微分導(dǎo)數(shù)與微分微積分微積分d(x ) x 1dx d(sin x) cos x dx d(cos x)sin x dx d(tan x)sec2xdx d(cot x)csc2xdx d(sec x)sec x tan x dx d(csc x) csc x cot x dx d(a x) ax lna dx d(e x) ex dx (x ) x 1 (sin x) cos x (cos x)sin x(tan x)sec2 x (cot x)csc2x (sec x)sec x tan x (csc x) csc x cot x (a x) a x lna (

57、 ex ) ex微分公式微分公式: : 導(dǎo)數(shù)公式導(dǎo)數(shù)公式: : 1.1.基本初等函數(shù)的微分公式基本初等函數(shù)的微分公式 三、微分的基本公式與運算法則三、微分的基本公式與運算法則第二章第二章 導(dǎo)數(shù)與微分導(dǎo)數(shù)與微分微積分微積分axxaln1)(logxx1)(ln211)(arcsinxx211)(arccosxx211)(arctanxx211)cotarc(xxdxaxxdaln1)(logdxxxd1)(lndxxxd211)(arcsindxxxd211)(arccosdxxxd211)(arctandxxxd211)cotarc(微分公式微分公式: : 導(dǎo)數(shù)公式導(dǎo)數(shù)公式: : 第二章第二章

58、 導(dǎo)數(shù)與微分導(dǎo)數(shù)與微分微積分微積分2.2.函數(shù)和、差、積、商的微分法則函數(shù)和、差、積、商的微分法則 公式公式d(u v) vdu udv 的證明的證明 因為因為 d(uv) (u v uv )dx u vdx uv dx 而而 u dx du v dx dv 所以所以 d(uv) vdu udv (uv)uv (cu)cu (uv)uvuv) 0()(2vvvuvuvud(uv)dudvd(cu)cdu d(uv)vduudv) 0()(2vdxvudvvduvud求導(dǎo)法則求導(dǎo)法則 微分法則微分法則 第二章第二章 導(dǎo)數(shù)與微分導(dǎo)數(shù)與微分微積分微積分 四、微分形式的不變性四、微分形式的不變性( )

59、( )( ).dyfux dxfu du 由此可見，無論由此可見，無論 是自變量還是其它變量是自變量還是其它變量 的函數(shù)，其微分的形式均保持不變這一性質(zhì)稱的函數(shù)，其微分的形式均保持不變這一性質(zhì)稱為微分形式的不變性為微分形式的不變性ux().dyfu du其微分為其微分為: 設(shè)函數(shù)設(shè)函數(shù))(ufy u可導(dǎo)，當可導(dǎo)，當是自變量時，是自變量時，代入上式得代入上式得( ),dux dx)(xu 而函數(shù)而函數(shù)的微分的微分)(xfy 則則為復(fù)合函數(shù)為復(fù)合函數(shù), 且且( ) ,ux( ),yf u若若( )( ).dyfux dx其微分為其微分為第二章第二章 導(dǎo)數(shù)與微分導(dǎo)數(shù)與微分微積分微積分例例3 求求)2

60、ln(sinxd)2(sin2sin1xdx)2ln(sin xd解解:)2(2cos2sin1xxdxxdx2cot2解解: 對方程兩邊求微分對方程兩邊求微分,得得dxyxdyyxy)2()23(2y dyy dxx dyx dxdyy2232所以所以dxyxyyxdy2322的微分的微分例例4 求由方程求由方程223yxyxy所確定的隱函數(shù)所確定的隱函數(shù)322dydxdxy dy第二章第二章 導(dǎo)數(shù)與微分導(dǎo)數(shù)與微分微積分微積分例例5 在下列等式左端的括號中填入適當?shù)脑谙铝械仁阶蠖说睦ㄌ栔刑钊脒m當?shù)?1)()cos2;dxdxdxxedx1)()2(解解:1(1) cos2cos2(2 )2x