實(shí)驗(yàn)四 hu 線性系統(tǒng)時(shí)域響應(yīng)分析

1、實(shí)驗(yàn)實(shí)驗(yàn)四四 線線性系性系統(tǒng)時(shí)統(tǒng)時(shí)域響域響應(yīng)應(yīng)分析分析一、一、實(shí)驗(yàn)實(shí)驗(yàn)?zāi)康哪康?熟練掌握 step( )函數(shù)和 impulse( )函數(shù)的使用方法，研究線性系統(tǒng)在單位階躍、單位脈沖及單位斜坡函數(shù)作用下的響應(yīng)。2通過(guò)響應(yīng)曲線觀測(cè)特征參量和對(duì)二階系統(tǒng)性能的影響。n3熟練掌握系統(tǒng)的穩(wěn)定性的判斷方法。二、基二、基礎(chǔ)礎(chǔ)知知識(shí)識(shí)及及 MATLAB 函數(shù)函數(shù)（一）基礎(chǔ)知識(shí)時(shí)域分析法直接在時(shí)間域中對(duì)系統(tǒng)進(jìn)行分析，可以提供系統(tǒng)時(shí)間響應(yīng)的全部信息，具有直觀、準(zhǔn)確的特點(diǎn)。為了研究控制系統(tǒng)的時(shí)域特性，經(jīng)常采用瞬態(tài)響應(yīng)（如階躍響應(yīng)、脈沖響應(yīng)和斜坡響應(yīng)） 。本次實(shí)驗(yàn)從分析系統(tǒng)的性能指標(biāo)出發(fā)，給出了在 MATLAB 環(huán)境下

2、獲取系統(tǒng)時(shí)域響應(yīng)和分析系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)性能和穩(wěn)態(tài)性能的方法。用 MATLAB 求系統(tǒng)的瞬態(tài)響應(yīng)時(shí)，將傳遞函數(shù)的分子、分母多項(xiàng)式的系數(shù)分別以 s 的降冪排列寫(xiě)為兩個(gè)數(shù)組 num、den。由于控制系統(tǒng)分子的階次 m 一般小于其分母的階次 n，所以 num 中的數(shù)組元素與分子多項(xiàng)式系數(shù)之間自右向左逐次對(duì)齊，不足部分用零補(bǔ)齊，缺項(xiàng)系數(shù)也用零補(bǔ)上。1用 MATLAB 求控制系統(tǒng)的瞬態(tài)響應(yīng)1）階躍響應(yīng)求系統(tǒng)階躍響應(yīng)的指令有： step(num,den) 時(shí)間向量 t 的范圍由軟件自動(dòng)設(shè)定，階躍響應(yīng)曲線隨即繪出step(num,den,t) 時(shí)間向量 t 的范圍可以由人工給定（例如t=0:0.1:10）y，x=s

3、tep(num,den) 返回變量 y 為輸出向量，x 為狀態(tài)向量在 MATLAB 程序中，先定義 num,den 數(shù)組，并調(diào)用上述指令，即可生成單位階躍輸入信號(hào)下的階躍響應(yīng)曲線圖?？紤]下列系統(tǒng)：25425)()(2sssRsC該系統(tǒng)可以表示為兩個(gè)數(shù)組，每一個(gè)數(shù)組由相應(yīng)的多項(xiàng)式系數(shù)組成，并且以 s的降冪排列。則 MATLAB 的調(diào)用語(yǔ)句： num=0 0 25; %定義分子多項(xiàng)式 den=1 4 25; %定義分母多項(xiàng)式 step(num,den) %調(diào)用階躍響應(yīng)函數(shù)求取單位階躍響應(yīng)曲線 grid %畫(huà)網(wǎng)格標(biāo)度線 xlabel(t/s),ylabel(c(t) %給坐標(biāo)軸加上說(shuō)明 title(

4、Unit-step Respinse of G(s)=25/(s2+4s+25) %給圖形加上標(biāo)題名則該單位階躍響應(yīng)曲線如圖 2-1 所示：為了在圖形屏幕上書(shū)寫(xiě)文本，可以用 text 命令在圖上的任何位置加標(biāo)注。例如： text(3.4,-0.06,Y1) 和 text(3.4,1.4,Y2)第一個(gè)語(yǔ)句告訴計(jì)算機(jī)，在坐標(biāo)點(diǎn) x=3.4,y=-0.06 上書(shū)寫(xiě)出Y1 。類似地，第二個(gè)語(yǔ)句告訴計(jì)算機(jī)，在坐標(biāo)點(diǎn) x=3.4,y=1.4 上書(shū)寫(xiě)出Y2 。若要繪制系統(tǒng) t 在指定時(shí)間（0-10s）內(nèi)的響應(yīng)曲線，則用以下語(yǔ)句：num=0 0 25; den=1 4 25; t=0:0.1:10; step

5、(num,den,t) 即可得到系統(tǒng)的單位階躍響應(yīng)曲線在 0-10s 間的部分，如圖 2-2 所示。 2）脈沖響應(yīng) 求系統(tǒng)脈沖響應(yīng)的指令有：圖 2-1 二階系統(tǒng)的單位階躍響應(yīng) 圖 2-2 定義時(shí)間范圍的單位階躍響應(yīng) impulse (num,den) 時(shí)間向量 t 的范圍由軟件自動(dòng)設(shè)定，階躍響應(yīng)曲線隨即繪出 impulse (num,den,t) 時(shí)間向量 t 的范圍可以由人工給定（例如 t=0:0.1:10）y,x=impulse(num,den) 返回變量 y 為輸出向量，x 為狀態(tài)向量y,x,t=impulse(num,den,t) 向量 t 表示脈沖響應(yīng)進(jìn)行計(jì)算的時(shí)間例：試求下列系統(tǒng)的

6、單位脈沖響應(yīng)： 12 . 01)()()(2sssGsRsC在 MATLAB 中可表示為 num=0 0 1; den=1 0.2 1; impulse(num,den) grid title(Unit-impulse Response of G(s)=1/(s2+0.2s+1)由此得到的單位脈沖響應(yīng)曲線如圖 2-3 所示： 求脈沖響應(yīng)的另一種方法應(yīng)當(dāng)指出，當(dāng)初始條件為零時(shí)，G (s)的單位脈沖響應(yīng)與 sG(s)的單位階躍響應(yīng)相同?？紤]在上例題中求系統(tǒng)的單位脈沖響應(yīng)，因?yàn)閷?duì)于單位脈沖輸入量，R(s)=1 所以sssssssGsCsRsC112 . 012 . 01)()()()(22因此，可以

7、將 G(s)的單位脈沖響應(yīng)變換成 sG(s)的單位階躍響應(yīng)。向 MATLAB 輸入下列 num 和 den，給出階躍響應(yīng)命令，可以得到系統(tǒng)的圖 2-3 二階系統(tǒng)的單位脈沖響應(yīng)單位脈沖響應(yīng)曲線如圖 2-4 所示。 num=0 1 0; den=1 0.2 1; step(num,den) grid title(Unit-step Response of sG(s)=s/(s2+0.2s+1)3）斜坡響應(yīng)MATLAB 沒(méi)有直接調(diào)用求系統(tǒng)斜坡響應(yīng)的功能指令。在求取斜坡響應(yīng)時(shí)，通常利用階躍響應(yīng)的指令?；趩挝浑A躍信號(hào)的拉氏變換為 1/s，而單位斜坡信號(hào)的拉氏變換為 1/s2。因此，當(dāng)求系統(tǒng) G(s)的

8、單位斜坡響應(yīng)時(shí)，可以先用 s 除G(s)，再利用階躍響應(yīng)命令，就能求出系統(tǒng)的斜坡響應(yīng)。例如，試求下列閉環(huán)系統(tǒng)的單位斜坡響應(yīng)。 11)()(2sssRsC對(duì)于單位斜坡輸入量，R(s)=1/s2 ，因此 ssssssssC1) 1(1111)(222在 MATLAB 中輸入以下命令，得到如圖 2-5 所示的響應(yīng)曲線： num=0 0 0 1; den=1 1 1 0;step(num,den)title(Unit-Ramp Response Cuve for System G(s)=1/(s2+s+1)圖 2-4 單位脈沖響應(yīng)的另一種表示法圖 2-5 單位斜坡響應(yīng)2. 特征參量和對(duì)二階系統(tǒng)性能的影

9、響n標(biāo)準(zhǔn)二階系統(tǒng)的閉環(huán)傳遞函數(shù)為： 2222)()(nnnsssRsC二階系統(tǒng)的單位階躍響應(yīng)在不同的特征參量下有不同的響應(yīng)曲線。1）對(duì)二階系統(tǒng)性能的影響設(shè)定無(wú)阻尼自然振蕩頻率，考慮 5 種不同的值：)/( 1sradn=0,0.25,0.5,1.0 和 2.0，利用 MATLAB 對(duì)每一種求取單位階躍響應(yīng)曲線，分析參數(shù)對(duì)系統(tǒng)的影響。為便于觀測(cè)和比較，在一幅圖上繪出 5 條響應(yīng)曲線（采用“hold”命令實(shí)現(xiàn)）。 num=0 0 1; den1=1 0 1; den2=1 0.5 1;den3=1 1 1; den4=1 2 1; den5=1 4 1;t=0:0.1:10; step(num,d

10、en1,t) grid text(4,1.7,Zeta=0); hold step(num,den2,t) text (3.3,1.5,0.25) step(num,den3,t) text (3.5,1.2,0.5) step(num,den4,t) text (3.3,0.9,1.0) step(num,den5,t) text (3.3,0.6,2.0) title(Step-Response Curves for G(s)=1/s2+2(zeta)s+1)由此得到的響應(yīng)曲線如圖 2-6 所示：2）n對(duì)二階系統(tǒng)性能的影響同理，設(shè)定阻尼比時(shí)，25. 0當(dāng)分別取 1,2,3 時(shí)，利用 MAT

11、LAB 求取單位階躍響應(yīng)曲線，分析參數(shù)對(duì)nn系統(tǒng)的影響。num1=0 0 1; den1=1 0.5 1; t=0:0.1:10; step(num1,den1,t); grid; hold ontext(3.1,1.4,wn=1)num2=0 0 4; den2=1 1 4;step(num2,den2,t); hold ontext(1.7,1.4,wn=2)num3=0 0 9; den3=1 1.5 9;step(num3,den3,t); hold ontext(0.5,1.4,wn=3)由此得到的響應(yīng)曲線如圖 2-7 所示：圖 2-6 不同時(shí)系統(tǒng)的響應(yīng)曲線圖 2-7 不同時(shí)系統(tǒng)的響

12、應(yīng)曲線n3系統(tǒng)穩(wěn)定性判斷1）直接求根判穩(wěn) roots()控制系統(tǒng)穩(wěn)定的充要條件是其特征方程的根均具有負(fù)實(shí)部。因此，為了判別系統(tǒng)的穩(wěn)定性，就要求出系統(tǒng)特征方程的根，并檢驗(yàn)它們是否都具有負(fù)實(shí)部。MATLAB 中對(duì)多項(xiàng)式求根的函數(shù)為 roots()函數(shù)。 若求以下多項(xiàng)式的根，則所用的 MATLAB 指令24503510234ssss為： roots(1,10,35,50,24)ans =-4.0000-3.0000-2.0000-1.0000特征方程的根都具有負(fù)實(shí)部，因而系統(tǒng)為穩(wěn)定的。2）勞斯穩(wěn)定判據(jù) routh（）勞斯判據(jù)的調(diào)用格式為：r,info=routh(den)該函數(shù)的功能是構(gòu)造系統(tǒng)的勞斯

13、表。其中，den 為系統(tǒng)的分母多項(xiàng)式系數(shù)向量，r 為返回的 routh 表矩陣，info 為返回的 routh 表的附加信息。以上述多項(xiàng)式為例，由 routh 判據(jù)判定系統(tǒng)的穩(wěn)定性。den=1,10,35,50,24; r,info=routh(den)r=1 35 2410 50 030 24 042 0 024 0 0info= 由系統(tǒng)返回的 routh 表可以看出，其第一列沒(méi)有符號(hào)的變化，系統(tǒng)是穩(wěn)定的。注意：routh（）不是 MATLAB 中自帶的功能函數(shù)，須自編一個(gè)routh（）函數(shù)，即將下面函數(shù)保存為 routh.m 文件，在 command Window 窗口輸入“den=1,1

14、0,35,50,24; r,info=routh(den)”上述命令即可運(yùn)行成功。function rtab,info=routh(den)info=;vec1=den(1:2:length(den); nrT=length(vec1);vec2=den(2:2:length(den)-1);rtab=vec1; vec2, zeros(1,nrT-length(vec2);for k=1:length(den)-2,alpha(k)=vec1(1)/vec2(1);for i=1:length(vec2),a3(i)=rtab(k,i+1)-alpha(k)*rtab(k+1,i+1);en

15、dif sum(abs(a3)=0a3=polyder(vec2);info=info,All elements in row ,.int2str(k+2) are zeros;elseif abs(a3(1)epsa3(1)=1e-6;info=info,Replaced first element;endrtab=rtab; a3, zeros(1,nrT-length(a3);vec1=vec2; vec2=a3;end三、三、實(shí)驗(yàn)實(shí)驗(yàn)內(nèi)容內(nèi)容1觀察函數(shù) step( )和 impulse( )的調(diào)用格式，假設(shè)系統(tǒng)的傳遞函數(shù)模型為 146473)(2342sssssssG可以用幾種方法繪制

16、出系統(tǒng)的階躍響應(yīng)曲線？試分別繪制。三種方法：方法一：num=0 0 1 3 7; den= 1 4 6 4 1; step(num,den) grid xlabel(t/s),ylabel(c(t) title(Unit-step Respinse of G(s)=(s2+3s+7)/(s4+4s3+6s2+4s+1) 則該單位階躍響應(yīng)曲線如圖 1-1 所示： 圖 1-1方法二：num=0 0 1 3 7; den= 1 4 6 4 1; t=0:0.1:20;step(num,den,t)grid xlabel(t/s),ylabel(c(t) title(Unit-step Respins

17、e of G(s)=(s2+3s+7)/(s4+4s3+6s2+4s+1) 則該單位階躍響應(yīng)曲線如圖 1-2 所示：圖 1-2方法三：num=0 0 1 3 7; den= 1 4 6 4 1; y,x=step(num,den)grid xlabel(t/s),ylabel(c(t) title(Unit-step Respinse of G(s)=(s2+3s+7)/(s4+4s3+6s2+4s+1) 2對(duì)典型二階系統(tǒng)2222)(nnnsssG1）分別繪出，分別取 0,0.25,0.5,1.0 和 2.0 時(shí)的單位階躍響)/(2sradn應(yīng)曲線，分析參數(shù)對(duì)系統(tǒng)的影響，并計(jì)算=0.25 時(shí)的

18、時(shí)域性能指標(biāo)。sssprpettt,解：num=0 0 4; den1=1 0 4; den2=1 1 4;den3=1 2 4; den4=1 4 4; den5=1 8 4;t=0:0.1:10; step(num,den1,t) grid text(1.5,2.0,Zeta=0); hold step(num,den2,t) text (1.5,1.4,0.25) step(num,den3,t) text (1.5,1.1,0.5) step(num,den4,t) text (1.5,0.8,1.0) step(num,den5,t) text (1.5,0.5,2.0) title(Step-Response Curves for G(s)=4/s2+4(zeta)s+4)由此得到的響應(yīng)曲線如圖 2-1 所示：圖 2-1=0.25 時(shí)=（1.44-1）/1*100%=44%p =rt = 1.6spt =5.35sst=0.94ssse2）繪制出當(dāng)=0.25, 分別取 1,2,4,6 時(shí)單位階躍響應(yīng)曲線，分析參數(shù)n對(duì)系統(tǒng)的影響。n3系統(tǒng)的特征方程式為，試用三種判穩(wěn)方式判別010532234ssss該系統(tǒng)的穩(wěn)定性。4單位負(fù)反饋系統(tǒng)的開(kāi)環(huán)模型為)256)(4)(2()(2ssssKsG試分別用勞斯穩(wěn)定判據(jù)判