2022年初中數(shù)學(xué)北大師版八年級上冊平面圖形的鑲嵌教案

1、平面圖形的鑲嵌教學(xué)設(shè)計教學(xué)設(shè)計思想本節(jié)內(nèi)容需一課時講授；本課是典型的數(shù)學(xué)與現(xiàn)實生活密切聯(lián)系的一節(jié)課從現(xiàn)實的、有教學(xué)意義的情境出發(fā)，以學(xué)生周圍生活中的實例：地板、墻面、服裝圖案的平面圖形的鑲嵌照片作為引例，符合學(xué)生的年齡特征與生活經(jīng)驗，并能激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣，讓學(xué)生在生動具體的情境中來探究正三角形、正四邊形、正五邊形、 正六邊形的鑲嵌，使學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)過程充滿了觀察、實驗、猜想、驗證、推理與交流等豐富多彩的數(shù)學(xué)活動教師的教學(xué)設(shè)計充分考慮學(xué)生主體性的發(fā)揮，讓學(xué)生經(jīng)歷自主“做數(shù)學(xué)”的過程教學(xué)目標(biāo)（一）知識與技能1敘述平面圖形的鑲嵌的定義2知道多邊形鑲嵌的條件（二）過程與方法1經(jīng)歷探索多邊形鑲嵌（

2、鑲嵌）條件的過程，進一步發(fā)展學(xué)生的合情推理能力2通過探索平面圖形的鑲嵌，知道任意一個三角形、四邊形或正六邊形可以鑲嵌，并能運用這幾種圖形進行簡單的鑲嵌設(shè)計（三）情感、態(tài)度與價值觀1在探索活動過程中，培養(yǎng)學(xué)生的合作交流意識和一定的審美情感，使學(xué)生進一步體會平面圖形在現(xiàn)實生活中的廣泛應(yīng)用2在探索性活動中，開發(fā)、培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)造性思維，使其理論聯(lián)系實際教學(xué)重點多邊形鑲嵌的條件教學(xué)難點運用三角形、四邊形或正六邊形進行簡單的鑲嵌設(shè)計教學(xué)方法啟發(fā)、討論式教具準(zhǔn)備各種地板圖片、投影片、剪刀、硬紙片數(shù)張教學(xué)過程巧設(shè)情景問題，引入課題師同學(xué)們好，老師問大家一個問題：你家鋪有地板磚嗎？精品學(xué)習(xí)資料 可選擇p d f

3、 - - - - - - - - - - - - - - 第 1 頁，共 7 頁 - - - - - - - - -生齊鋪有地板磚師那你家鋪的地板磚是什么圖形呢？生甲正方形生乙正六邊形師 很好，我們經(jīng)常能見到各種建筑物的地板，墻面或者是服裝面料，發(fā)現(xiàn)它們常用各種正多邊形地磚鋪砌成美麗的圖案（出示投影，展示各種地板圖片）師這些地板漂亮嗎？生齊非常漂亮師 很好，這種用形狀、大小完全相同的一種或幾種平面圖形進行拼接，彼此之間不留空隙，不重疊地鋪成一片，這就是平面圖形的鑲嵌這節(jié)課我們來探索平面圖形的鑲嵌講授新課師 平面圖形的鑲嵌，又稱做平面圖形的密鋪，在平面上鑲嵌需注意：各種圖形拼接后要既無縫隙，又不

4、重疊大家愿意美化生活環(huán)境嗎？生齊愿意師 好，那我們先來探索多邊形鑲嵌的條件，大家拿出準(zhǔn)備好的剪刀和硬紙片分組來做一做（1）用形狀、大小完全相同的三角形能否鑲嵌？（2）用同一種四邊形可以鑲嵌嗎？用硬紙板剪制若干形狀、大小完全相同的四邊形做實驗，并與同伴交流（3）在用三角形鑲嵌的圖案中，觀察每個拼接點處有幾個角？它們與這種三角形的三個內(nèi)角有什么關(guān)系？（4）在用四邊形鑲嵌的圖案中，觀察每個拼接點處的四個角與這種四邊形的四個內(nèi)角有什么關(guān)系？精品學(xué)習(xí)資料 可選擇p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 2 頁，共 7 頁 - - - - - - - - -（學(xué)生動手制作、教

5、師強調(diào)：）師大家要注意：三角形、四邊形的形狀，可以是任意的，但裁剪出的每種圖形一定是全等形（學(xué)生分組拼接、討論，尋找規(guī)律，教師巡視指導(dǎo)）生甲用形狀、大小完全相同的三角形可以鑲嵌因為三角形的內(nèi)角和為180，所以，用 6 個這樣的三角形就可以組合起來鑲嵌成一個平面從用三角形鑲嵌的圖案中，觀察到： 每個拼接點處有6 個角，這 6 個角分別是這種三角形的內(nèi)角（其中有三組分別相等），它們可以組成兩個三角形的內(nèi)角，它們的和為360生乙用同一種四邊形也可以鑲嵌，在用四邊形鑲嵌的圖案中，觀察到： 每個拼接點處的四個角恰好是一個四邊形的四個內(nèi)角四邊形的內(nèi)角和為360，所以它們的和為360生丙從拼接活動中，我們知

6、道了：要用幾個形狀、大小完全相同的圖形不留空隙、不重疊地鑲嵌一個平面，需使得拼接點處的各角之和為360師同學(xué)們總結(jié)得非常好，通過探索活動，我們得知：用形狀、大小完全相同的四邊形或三角形可以鑲嵌一個平面，那么其他的多邊形能否鑲嵌？下面大家來想一想，議一議（1）正六邊形能否鑲嵌？簡述你的理由（2）分析如下圖，討論正五邊形不能鑲嵌（3）還能找到能鑲嵌的其他正多邊形嗎？（學(xué)生分析、討論、歸納）生甲正六邊形能鑲嵌因為正六邊形的每個內(nèi)角都是：6180)26(=120, 在每個拼接點處，恰好能容納下3 個內(nèi)角，而且相互不重疊，沒有空隙生乙正五邊形的每個內(nèi)角都是108， 360 不是 108 的整數(shù)倍如圖所示

7、，在每個拼接點處，三個內(nèi)角之和為324，小于360，而四個內(nèi)角之和都大于360師很好，乙同學(xué)說的也就是：在每個拼結(jié)處，拼三個內(nèi)角不能保證沒空隙，而拼四個角時，必定有重疊現(xiàn)象精品學(xué)習(xí)資料 可選擇p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 3 頁，共 7 頁 - - - - - - - - -生丙老師， 我知道了， 要用正多邊形鑲嵌成一個平面的關(guān)鍵是看：這種正多邊形的一個內(nèi)角的倍數(shù)是否是360， 在正多邊形里， 正三角形的每個內(nèi)角都是60，正四邊形的每個內(nèi)角都是90，正六邊形的每個內(nèi)角都是120，這三種多邊形的一個內(nèi)角的倍數(shù)都是360，而其他的正多邊形的每個內(nèi)角的倍數(shù)都

8、不是360，所以說：在正多邊形里只有正三角形、正四邊形、正六邊形可以鑲嵌，而其他的正多邊形不可鑲嵌師很好，事實上，對于正n 邊形，它的每一個內(nèi)角都為nn180)2(, 在每個拼接點處，設(shè)可以將m個內(nèi)角彼此無重疊、無縫隙地拼接在一起，由于這些角的和應(yīng)為360，因此有nn180)2(m =360此式可化為：（m 2）（ n2）=4 m 、n 都是正整數(shù)因此： m 2,n 2 都是 4 的因子所以， m 、n 的取值僅有三種可能，即：634436nmnmnm這正是正多邊形的三種可以鑲嵌的情況當(dāng)然，一般三角形、四邊形也可以鑲嵌雖然它們的內(nèi)角未必都相等師這是用一種正多邊形鑲嵌平面的三種情況，圖案漂亮嗎？

9、生齊漂亮師好，下來我們可以利用多邊形設(shè)計一些美麗的圖案m （ m 2）n 平面鑲嵌圖案3 精品學(xué)習(xí)資料 可選擇p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 4 頁，共 7 頁 - - - - - - - - -4 5 6 7 生老師，我們討論了用正多邊形鑲嵌平面，那非正多邊形能否鑲嵌一個平面呢？師 這個問題我們以后要涉及到，因為用非正多邊形鑲嵌平面比較復(fù)雜，所以這節(jié)課我們不進行討論課堂練習(xí)1如圖，在一個正方形的內(nèi)部按圖示（1）的方式剪去一個正三角形，并平移，形成如圖（ 2）所示的新圖案，以這個圖案為“基本單位”能否進行鑲嵌？說說你的理由答案： 可以進行鑲嵌因為正方形是

10、可以鑲嵌的這個題只是在整個鑲嵌圖案中，將其中一個正方形的某一部分平移到了另一正方形的相應(yīng)部位，因而它也是可以鑲嵌的（二）試一試同時用邊長相同的正八邊形和正方形能否鑲嵌？用硬紙板為材料進行實驗答案：可以鑲嵌精品學(xué)習(xí)資料 可選擇p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 5 頁，共 7 頁 - - - - - - - - -（學(xué)生進行操作，來實驗，從而得證）課時小結(jié)本節(jié)課我們通過活動，探討， 知道任意一個三角形，四邊形或正六邊形可以鑲嵌成一個平面，并且探索出正多邊形鑲嵌的條件即：一種正多邊形的一個內(nèi)角的倍數(shù)是否是360活動與探究探索用兩種正多邊形鑲嵌平面的條件過程：讓學(xué)

11、生先從簡單的兩種正多邊形開始探索（1）正三角形與正方形正方形的每個內(nèi)角是90，正三角形的每個內(nèi)角是60，對于某個拼結(jié)點處，設(shè)有x個 60角，有y 個 90角，則：60 x+90y=360 即： 2x+3y=12 又 x、y 是正整數(shù)解得： x=3,y=2 即：每個頂點處用正三角形的三個內(nèi)角，正方形的兩個內(nèi)角進行拼接（如下圖）（2）正三角形與正六邊形正三角形的每個內(nèi)角是60，正六邊形的每個內(nèi)角是120， 對于某個拼結(jié)點處，設(shè)有x 個 60角，有y 個 120角，即：60 x+120y=360即 x+2y=6 x、y 是正整數(shù)解得：2214yxyx或即： 每個頂點處用四個正三角形和一個正六邊形，或者用二個正三角形和兩個正六邊形，如下圖精品學(xué)習(xí)資料 可選擇p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 6 頁，共 7 頁 - - - - - - - - -（3）正三角形和正十二邊形與前一樣討論，得每個頂點處用一個正三角形和兩個正十二邊形由以上討論可找到鑲嵌平面的條件結(jié)論：由 n 種正多邊形組合起來鑲嵌成一個平面的條件：（1）n 個正多邊形中的一個內(nèi)角的和的倍數(shù)