高數(shù)不定積分課件

1、高數(shù)不定積分PPT課件第四章第四章 不定積分不定積分教學(xué)目的要求 1、理解原函數(shù)的概念，不定積分的概念、幾何意義及性質(zhì)。 2、掌握不定積分的基本公式，不定積分的換元積分法和分部積分法。 3、了解簡(jiǎn)單有理函數(shù)的積分方法。學(xué)習(xí)重點(diǎn)和難點(diǎn) 重點(diǎn) 不定積分的計(jì)算 難點(diǎn) 不定積分的換元積分法和分部積分法。高數(shù)不定積分PPT課件 原函數(shù)原函數(shù) 的逆運(yùn)算?；蛭⒎值膯栴}。這顯然是求導(dǎo)求，歸結(jié)為：已知從數(shù)學(xué)的角度看，可以)( )( )()( xFxfxF上的一個(gè)原函數(shù)。在區(qū)間為則稱，或，使得存在函數(shù)上的已知函數(shù)，若是定義在區(qū)間設(shè)定義 )( )()()( )()( )( )( xfxFdxxfxdFxfxFxFx

2、f的原函數(shù)。是都，為任意常數(shù)，其中，原函數(shù)。又因?yàn)榈囊粋€(gè)是函數(shù)所以，例如，因?yàn)?2 C 3 1 C 2)C(2) 3(2) 1( 2 2)( 22222222xxxxxxxxxxxxxx高數(shù)不定積分PPT課件 定理（原函數(shù)存在定理）上的原函數(shù)必定存在。在區(qū)間上連續(xù)，則函數(shù)在區(qū)間如果函數(shù) )( )( xfxf差是一個(gè)常數(shù)。之?dāng)?shù)，且任意兩個(gè)原函數(shù)則它必有無窮多個(gè)原函，上有一個(gè)原函數(shù)在區(qū)間若定理)( )( xFxf意常數(shù)。為任的全部原函數(shù)，其中是的一個(gè)原函數(shù)，則是若推論 C )( )( )( )( xfCxFxfxF高數(shù)不定積分PPT課件 不定積分的概念積分微元。叫做叫做積分變量，叫做被積表達(dá)式，被

3、積函數(shù)，叫做”叫做積分號(hào)，上式中“，其中的不定積分，記為叫做的全體原函數(shù)函數(shù)定義 )( )( )()()()( )( )( )( dxxdxxfxfxfxFCxFdxxfxfCxFxf不是不定積分。的只是一個(gè)原函數(shù)，而”，否則求出，切記要“時(shí)注：求Cdxxf )( 高數(shù)不定積分PPT課件 不定積分的幾何意義xyCxFy)()(xFy 0線。應(yīng)，稱為積分曲平面曲線與之對(duì)何上，就有一條的原函數(shù)，在幾就對(duì)應(yīng)一個(gè)確定，確定一個(gè)常數(shù)為任意常數(shù)，每， )()( CCCxFdxxf高數(shù)不定積分PPT課件 不定積分的性質(zhì) 性質(zhì)1 不定積分與求導(dǎo)數(shù)（或微分）互為逆運(yùn)算，即；或、dxxfdxxfdxfdxxf)(

4、)( )()( ) 1.)()()()( )2CxFxdFCxFdxxF或、 性質(zhì)2 被積表達(dá)式中的非零常數(shù)因子，可以移到積分號(hào)前，即，常數(shù)），（0)()(kdxxfkdxxfk高數(shù)不定積分PPT課件 性質(zhì)3 兩個(gè)函數(shù)代數(shù)和的不定積分等于兩個(gè)函數(shù)的不定積分的代數(shù)和，即.)()()()(dxxgdxxfdxxgxf這一結(jié)論可以推廣到任意有限多個(gè)函數(shù)的代數(shù)和的情形，即dxxfdxxfdxxfdxxfxfxfnn )( )( )()()()( 2121高數(shù)不定積分PPT課件 基本積分公式 由于不定積分是求導(dǎo)數(shù)（或微分）的逆運(yùn)算，那么就自然可以從導(dǎo)數(shù)公式得到相應(yīng)的積分公式。積分法。接質(zhì)的積分方法稱之為

5、直套用基本積分公式和性基礎(chǔ)，必須熟記。式，是求不定積分的以上十三個(gè)基本積分公見于是的一個(gè)原函數(shù)是例如： .79.) 1( 1 1 1 111pagCxdxxxxxx高數(shù)不定積分PPT課件dxxx 1 2求例題來求不定積分。）的形式，利用公式（先化為解：2 72125 27125252122xCxCxdxxdxxdxxx高數(shù)不定積分PPT課件dxxx)5( 2 2求例題Cxxdxxdxxdxxxdxxx2327212521252325725)5)5( （解：注: 1)、分項(xiàng)積分后，每個(gè)不定積分的結(jié)果都含有任意常數(shù)。由于任意常數(shù)之和仍是任意常數(shù)，因此總的只寫一個(gè)任意常數(shù)。 2)、檢驗(yàn)積分結(jié)果是否正

6、確，只要把結(jié)果求導(dǎo)，看它的導(dǎo)數(shù)是否等于被積函數(shù)。高數(shù)不定積分PPT課件dxxx23) 1 3 （求例題Cxxxxxdxdxxdxxdxdxxxxdxxxxxdxxx1 ln332 133 )133( 133) 1 22222323（解：高數(shù)不定積分PPT課件dxexx2 4 求例題CeCeedxedxeeeexxxxxxxxx2ln12)2ln()2( )2(2 )3( 2 )2(2 得，利用積分公式看作把解：高數(shù)不定積分PPT課件dxxx 1 5 24求例題 解：基本公式中沒有這種類型的積分，經(jīng)過變形化為表中所列類型，就可以逐項(xiàng)求積分：Cxxxdxxdxdxxdxxxdxxxxdxxxdxx

7、xarctan3 11)111( 11) 1)(1( 111 1 322222222424高數(shù)不定積分PPT課件dxxxdx2sin 2) tan 1 6 22）求下列不定積分例題Cxxdxxdxdxxxdxtansec) 1(sectan 1) : 222解Cxxxdxdxdxxdxx)sin(21cos21)cos1 (21 2sin (2) 2高數(shù)不定積分PPT課件 換元積分法 換元積分法是復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)的逆運(yùn)算，根據(jù)被積函數(shù)的不同特點(diǎn)將分為第一類和第二類換元積分法。 第一類換元積分法（湊微分法）xdxxcossin 2求例如CxCuduuxdxxduuxxdxuxddxxxxdxx33

8、2222222sin3131cossin)(sinsin sin )(sinsin)(sinsincossin 回代，于是有則，令但直接積分法不能求出，解：高數(shù)不定積分PPT課件CxFdxxxfxuCuFduufufuF)()()( )()()( )( )( 則有具有連續(xù)導(dǎo)數(shù)，且的一個(gè)原函數(shù)，即為設(shè)定理 通常用以下步驟應(yīng)用上述定理：CxFCuFduufxdxfdxxxfux)()()()()()()( 回代）（令這種求不定積分的方法通常叫做第一類換元積分法第一類換元積分法（湊微分法）（湊微分法）高數(shù)不定積分PPT課件dxx 232 1 求例題CxCuduuxdxdxxux23ln ln 1 )

9、23( 231232 )23(回代令解：高數(shù)不定積分PPT課件dxxx 1 2 2求例題 )131 3121 )1 (121 1 232232112222CxCuduuxdxdxxxux（解：回代令 方法熟悉后，可略去中間換元步驟，直接湊微分公式的形式（見pag.83 湊微分）高數(shù)不定積分PPT課件)0( 3 22axadx求例題12 1 arcsin )()(11)(1 2222利用了公式解：Caxaxdaxaxadxxadx2 arctan1 22類似可得Caxaxadx高數(shù)不定積分PPT課件xdxtan 4 求例題Cxxxddxxxxdxcoslncos)(cos cossintan 解

10、：Cxdxx sin ln cot 類似可得高數(shù)不定積分PPT課件xdxsec 5 求例題Cxxxxxxddxxxxxxdxxxxxxxdxtanseclntansec)tan(sectansectansecsec tansec)tan(secsecsec 2解：Cxxxdxcotcsclncsc 類似可得高數(shù)不定積分PPT課件dxax221 6 求例題CaxaxaCaxaxaaxaxdaxaxdadxaxaxadxaxln21lnln21)()(21 )11(211 : 22解本題中七個(gè)積分，可以作為公式使用高數(shù)不定積分PPT課件 在求解不定積分時(shí)，經(jīng)常需要先用代數(shù)運(yùn)算或三角變換對(duì)被積函數(shù)做

11、適當(dāng)變形，另外要多做題，掌握更多的積分技巧。xdx3sin 7 求例題Cxxxxdxdxdxxdxxxdx32223cos31cos )(coscos)(cos )(cos)cos1 ( sinsinsin 解：高數(shù)不定積分PPT課件xdx2cos 8 求例題Cxxxxddxxdxdxdxxxdx42sin2 )2(2cos4121 2cos21 22cos1cos 2倍角公式解：Cxxxdx42sin2sin 2類似可得高數(shù)不定積分PPT課件dxex 11 9 求例題Cexeeddxdxeedxeeedxexxxxxxxxx)1ln( 1)1 ()11 ( 11 11 解：高數(shù)不定積分PPT

12、課件xdxx2cos3cos 10 求例題CxxxxdxdxdxxxxdxxBABABA5sin101sin21 )5(5cos51cos21 )5cos(cos212cos3cos )cos()cos(21coscos 于是公式利用三角中的積化和差解：高數(shù)不定積分PPT課件 第二類換元積分法無理代換找出路，被積函數(shù)帶根號(hào)，例如 22dxxaCxFCtFdtttfdxxfCtFdtttfxttxxtxxf)( )()()( )( )()()( 3 )( )( 2 )( )( 1 )( 11還原變量則）存在，的反函數(shù)）連續(xù)，可導(dǎo)，且）連續(xù)，如果設(shè)函數(shù)定理 這類求不定積分的方法，稱為第二類換元積分

13、法高數(shù)不定積分PPT課件xdx21 1 求例題CxxCxxCtttdtdtdttdtttxdxdttdxtxtx)21ln(2 )21ln(21ln )11 (121 ) 1( 2) 1( 21 12還原變量，則，設(shè)解：高數(shù)不定積分PPT課件xedx1 2 求例題CeeCtttdtdttttedxdtttdxtxtetexxxxx1111ln11ln212 12 12 1 12 ) 1ln( 1 1 22222還原，設(shè)解：高數(shù)不定積分PPT課件dxxx 1 3 3求例題CxxCttdttdttdtttdttttdxxxdttdxtxxt256 )35(6 6 ) 1(661 1 6 65352

14、4225323566，設(shè)解：高數(shù)不定積分PPT課件)0( 4 22adxxa求例題來化去根式利用三角公式解： 1cossin 22ttCtttaCttadttatdtatdtataadxxatdtadxttax)cossin(2)2sin21(222cos1 coscossin cos 22(sin 2222222222于是），則設(shè)xat22xa ，于是，作直角三角形，則有根據(jù)axataxtaxttax22cossinarcsin sin Cxaxaxadxxa222222arcsin2高數(shù)不定積分PPT課件)0( 5 22aaxdx求例題來化去根式利用三角公式解： sectan1 22tt

15、aCCCaxxCaxaaxCtttdtdttataaxdxtdtadxttaxln )ln()ln( tansecln secsecsec sec22(tan 12212213P.832222其中，于是），則設(shè)）公式（t22ax ax高數(shù)不定積分PPT課件CaxxCaaxaxtttdtdtatattaaxdx)ln( )ln( tansecln sec sectansec 2212222222類似可得設(shè) tansec sec tdttadxtaxx22ax ta高數(shù)不定積分PPT課件 分部積分法分部積分法。方法積分），就采用另一種基本即兩個(gè)函數(shù)乘積的積分等類型的積分，形如(sincos xdx

16、exdxxdxxexx。為易，化繁為簡(jiǎn)的目的來計(jì)算，從而達(dá)到化難易求的化為比較容于把比較難求的分部積分公式的作用在vduudv 分部積分公式兩邊積分，得移項(xiàng)得公式分具有連續(xù)的導(dǎo)數(shù)，由微，設(shè) )( )( )()( vduuvudvvduuvdudvvduudvuvdxvvxuu高數(shù)不定積分PPT課件: 積分歌部積分法，編寫了分部為了便于掌握、記憶分是關(guān)鍵，和時(shí)，恰當(dāng)選取應(yīng)用分部積分法求積分vu容易湊 dv 冪三（指）選冪冪三（指）選冪 （若被積函數(shù)是冪函數(shù)和正（余）弦函數(shù)或冪函數(shù)和指數(shù)函數(shù)的乘積，設(shè)冪函數(shù)為u，其余為dv) 冪反（對(duì)）選反（對(duì)）冪反（對(duì)）選反（對(duì)） （若被積函數(shù)是冪函數(shù)和對(duì)數(shù)函數(shù)

17、或冪函數(shù)和三角函數(shù)的乘積，設(shè)反三角函數(shù)或?qū)?shù)函數(shù)為u，其余為dv) 三角指數(shù)可任選三角指數(shù)可任選可化簡(jiǎn) du 出現(xiàn)循環(huán)移項(xiàng)解出現(xiàn)循環(huán)移項(xiàng)解高數(shù)不定積分PPT課件現(xiàn)舉例說明uxdxx冪三選冪為求例題 sin 1 Cxxxxdxxxxdxxxvdxduxdxdvxusincos coscossincos sin 設(shè)解：高數(shù)不定積分PPT課件u 2 冪指選冪為求例題dxxexCxeCexedxexedxxeevdxdudxedvxuxxxxxxxx) 1( 設(shè)解：高數(shù)不定積分PPT課件dxexx2 3 求例題dxxeexdxexevxdxdudxedvxuxxxxx2 2 222設(shè)解：可化簡(jiǎn)就可以了

18、。于是再使用一次分部積分法知，對(duì)低了一次，由例題中的冪次前次比后者降數(shù)容易求積分，因被積函比這里duCxxeCxeexdxxeexdxexdxxedxexdxxexxxxxxxxx )22( ) 1(22 2 22222高數(shù)不定積分PPT課件uxdxx冪對(duì)選對(duì)為求例題 ln 4 Cxxxdxxxxxdxxxvdxxduxdxdvxu4ln2 21ln2ln 2 1 ln 2222設(shè)解：高數(shù)不定積分PPT課件冪反選反求例題 arccos 5 xdx容易湊設(shè)解：dvCxxxxxdxxdxxxxxxdxxvdxxdudxdvxu 1arccos )1 ()1 (21arccos 1arccosarc

19、cos 11 arccos 2212222高數(shù)不定積分PPT課件冪反選反求例題 arctan 6 xdxxCxxxxdxxdxxxdxxxxxdxxxxxxdxxxvxdxdvxdxdvxu)arctan(21arctan2 1121arctan2 11121arctan2 121arctan2arctan 2 1 arctan 22222222222設(shè)解：高數(shù)不定積分PPT課件三角指數(shù)可任選求例題 sin 7 xdxexxdxexexdxexvxdxdvdxedueuxxxxxcoscossin cossin : ，；，設(shè)解 等式左端的積分與右端的積分是同一類型，對(duì)右端積分再用一次分部積分法

20、，出現(xiàn)循環(huán)移項(xiàng)解，便得再兩端同除以把它移到等號(hào)左端去，就是所求的積分由于上式右端的第三項(xiàng)，；，又設(shè) )cos(sin21sin 2 sin sinsincossin sincos Cxxexdxexdxexdxexexexdxexvxdxdvdxedueuxxxxxxxxx高數(shù)不定積分PPT課件 簡(jiǎn)單有理函數(shù)積分 （有理可分解）有理函數(shù)是指由兩個(gè)多項(xiàng)式的商所表示的函數(shù)，即)00( )()(00110110babxbxbaxaxaxQxPmmmnnn，式。時(shí)，稱有理函數(shù)是假分當(dāng)式；反之，時(shí)，稱有理函數(shù)是真分若mnmn 一般地，利用多項(xiàng)式除法，總可把假分式化為多項(xiàng)式真分式之和，例如12111232235xxxxxxxx 多項(xiàng)式部分可逐項(xiàng)積分，因此以下只討論真分式的積分法。高數(shù)不定積分PPT課件 有理真分式積分有以下三種形式，現(xiàn)舉例說明：dxaxA 1. dxxxx653 1 2求例題）（）（兩端去分母后，得方法一：定系數(shù)法求出：為待定常數(shù)，可以用待、其中真分式解：分解2 )23()(3 or 1 )2()3(3 32)3)(2(3653 2BAxBAxxBxAxBAxBx