2022年八年級數(shù)學(xué)經(jīng)典難題

1、學(xué)習(xí)好資料歡迎下載初二數(shù)學(xué)經(jīng)典難題一、解答題（共10 小題，滿分100 分）1 （10 分）已知：如圖，p是正方形abcd 內(nèi)點， pad=pda=15 求證： pbc 是正三角形（初二）2 （10 分）已知：如圖，在四邊形abcd 中， ad=bc ，m、n 分別是 ab、cd 的中點， ad 、bc 的延長線交mn于 e、f求證： den= f精品學(xué)習(xí)資料 可選擇p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 1 頁，共 19 頁 - - - - - - - - -學(xué)習(xí)好資料歡迎下載3 （10 分）如圖，分別以abc 的邊 ac 、bc 為一邊，在 abc 外作正方

2、形acde 和 cbfg，點 p 是 ef 的中點，求證：點 p 到 ab 的距離是 ab 的一半4 （10 分）設(shè) p 是平行四邊形abcd 內(nèi)部的一點，且pba= pda 求證： pab=pcb精品學(xué)習(xí)資料 可選擇p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 2 頁，共 19 頁 - - - - - - - - -學(xué)習(xí)好資料歡迎下載5 （10 分） p 為正方形abcd 內(nèi)的一點，并且pa=a， pb=2a，pc=3a，求正方形的邊長6 （10 分）一個圓柱形容器的容積為v 立方米，開始用一根小水管向容器內(nèi)注水，水面高度達(dá)到容器高度一半后，改用一根口徑為小水管2

3、倍的大水管注水向容器中注滿水的全過程共用時間t 分求兩根水管各自注水的速度精品學(xué)習(xí)資料 可選擇p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 3 頁，共 19 頁 - - - - - - - - -學(xué)習(xí)好資料歡迎下載7 （10 分） （2009?郴州）如圖1，已知正比例函數(shù)和反比例函數(shù)的圖象都經(jīng)過點m（ 2， 1） ，且 p（ 1， 2）為雙曲線上的一點，q 為坐標(biāo)平面上一動點，pa 垂直于 x 軸， qb 垂直于 y 軸，垂足分別是a、 b（1）寫出正比例函數(shù)和反比例函數(shù)的關(guān)系式；（2）當(dāng)點 q 在直線 mo 上運動時，直線mo 上是否存在這樣的點q，使得 obq 與

4、oap 面積相等？如果存在，請求出點的坐標(biāo)，如果不存在，請說明理由；（3）如圖 2，當(dāng)點 q 在第一象限中的雙曲線上運動時，作以op、oq 為鄰邊的平行四邊形opcq，求平行四邊形opcq 周長的最小值精品學(xué)習(xí)資料 可選擇p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 4 頁，共 19 頁 - - - - - - - - -學(xué)習(xí)好資料歡迎下載8 （10 分） （2008?海南）如圖，p 是邊長為1的正方形abcd 對角線 ac 上一動點（ p 與 a、c 不重合），點 e 在線段 bc 上，且 pe=pb（1）求證： pe=pd； pepd；（2）設(shè) ap=x，pbe

5、的面積為y 求出 y 關(guān)于 x 的函數(shù)關(guān)系式，并寫出x 的取值范圍； 當(dāng) x 取何值時， y 取得最大值，并求出這個最大值精品學(xué)習(xí)資料 可選擇p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 5 頁，共 19 頁 - - - - - - - - -學(xué)習(xí)好資料歡迎下載9 （10 分） （2010?河南）如圖，直線y=k1x+b 與反比例函數(shù)（x0）的圖象交于a（1，6） ，b（a，3）兩點（1）求 k1、k2的值（2）直接寫出時 x 的取值范圍；（3）如圖，等腰梯形obcd 中， bc od，ob=cd ，od 邊在 x 軸上，過點c 作 ceod 于點 e，ce 和反比例

6、函數(shù)的圖象交于點p，當(dāng)梯形obcd 的面積為12 時，請判斷pc 和 pe 的大小關(guān)系，并說明理由精品學(xué)習(xí)資料 可選擇p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 6 頁，共 19 頁 - - - - - - - - -學(xué)習(xí)好資料歡迎下載10 （10 分） （ 2007?福州）如圖，已知直線y=x 與雙曲線交于 a，b 兩點，且點a 的橫坐標(biāo)為4（1）求 k 的值；（2）若雙曲線上一點 c 的縱坐標(biāo)為8，求 aoc 的面積；（3）過原點o 的另一條直線l 交雙曲線于 p，q 兩點（ p 點在第一象限） ，若由點 a，b，p，q 為頂點組成的四邊形面積為24，求點 p的

7、坐標(biāo)精品學(xué)習(xí)資料 可選擇p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 7 頁，共 19 頁 - - - - - - - - -學(xué)習(xí)好資料歡迎下載初二數(shù)學(xué)經(jīng)典難題參考答案與試題解析一、解答題（共10 小題，滿分100 分）1 （10 分）已知：如圖，p是正方形abcd 內(nèi)點， pad=pda=15 求證： pbc 是正三角形（初二）考點 ： 正方形的性質(zhì)；全等三角形的判定與性質(zhì)；等邊三角形的性質(zhì)；等邊三角形的判定。專題 ： 證明題。分析：在正方形內(nèi)做dgc 與adp 全等，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)求出pdg 為等邊，三角形，根據(jù)sas 證出 dgc pgc，推出 dc=pc

8、，推出 pb=dc=pc，根據(jù)等邊三角形的判定求出即可解答：證明：正方形abcd ， ab=cd ， bad= cda=90 ， pad=pda=15 ， pa=pd， pab= pdc=75 ，在正方形內(nèi)做dgc 與adp 全等， dp=dg， adp= gdc=dap= dcg=15 ， pdg=90 15 15 =60 ， pdg 為等邊三角形（有一個角等于60 度的等腰三角形是等邊三角形）， dp=dg=pg ， dgc=180 15 15 =150 ， pgc=360 150 60 =150 =dgc，在 dgc 和 pgc 中， dgc pgc， pc=ad=dc ，和 dcg=p

9、cg=15 ，同理 pb=ab=dc=pc ， pcb=90 15 15 =60 ， pbc 是正三角形精品學(xué)習(xí)資料 可選擇p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 8 頁，共 19 頁 - - - - - - - - -學(xué)習(xí)好資料歡迎下載點評：本題考查了正方形的性質(zhì)，等邊三角形的性質(zhì)和判定，全等三角形的性質(zhì)和判定等知識點的應(yīng)用，關(guān)鍵是正確作出輔助線，又是難點，題型較好，但有一定的難度，對學(xué)生提出了較高的要求2 （10 分）已知：如圖，在四邊形abcd 中， ad=bc ，m、n 分別是 ab、cd 的中點， ad 、bc 的延長線交mn于 e、f求證： den=

10、 f考點 ： 三角形中位線定理。專題 ： 證明題。分析：連接 ac ，作 gnad 交 ac 于 g，連接 mg，根據(jù)中位線定理證明mgbc，且 gm=bc，根據(jù) ad=bc證明 gm=gn ，可得 gnm= gmn ，根據(jù)平行線性質(zhì)可得：gmf= f， gnm= den 從而得出 den= f解答：證明：連接ac ，作 gnad 交 ac 于 g，連接 mg n 是 cd 的中點，且ngad ， ng=ad ，g 是 ac 的中點，又 m 是 ab 的中點， mgbc，且 mg=bc ad=bc ， ng=gm ， gnm 為等腰三角形， gnm= gmn ， gmbf， gmf= f， g

11、nad ， gnm= den ， den= f精品學(xué)習(xí)資料 可選擇p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 9 頁，共 19 頁 - - - - - - - - -學(xué)習(xí)好資料歡迎下載點評：此題主要考查平行線性質(zhì)，以及三角形中位線定理，關(guān)鍵是證明gnm 為等腰三角形3 （10 分）如圖，分別以abc 的邊 ac 、bc 為一邊，在 abc 外作正方形acde 和 cbfg，點 p 是 ef 的中點，求證：點 p 到 ab 的距離是 ab 的一半考點 ： 梯形中位線定理；全等三角形的判定與性質(zhì)。專題 ： 證明題。分析：分別過 e，f，c，p 作 ab 的垂線， 垂足依

12、次為r，s，t，q，則 pq= （er+fs） ，易證 rtaer rtcat，則 er=at，fs=bt ，er+fs=a t+bt=ab ，即可得證解答：解：分別過e，f，c，p 作 ab 的垂線，垂足依次為r，s， t，q，則 erpqfs， p是 ef 的中點， q 為 rs 的中點， pq 為梯形 efsr 的中位線， pq=（er+fs） ， ae=ac （正方形的邊長相等） ， aer= cat（同角的余角相等） ， r=atc=90 ， rtaerrtcat （aas ） ，同理 rtbfsrt cbt ， er=at ，fs=bt ， er+fs=at+bt=ab ， pq=

13、ab點評：此題綜合考查了梯形中位線定理、全等三角形的判定以及正方形的性質(zhì)等知識點，輔助線的作法很關(guān)鍵4 （10 分）設(shè) p 是平行四邊形abcd 內(nèi)部的一點，且pba= pda 求證： pab=pcb精品學(xué)習(xí)資料 可選擇p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 10 頁，共 19 頁 - - - - - - - - -學(xué)習(xí)好資料歡迎下載考點 ： 四點共圓；平行四邊形的性質(zhì)。專題 ： 證明題。分析：根據(jù)已知作過p 點平行于 ad 的直線，并選一點e，使 pe=ad=bc ，利用 ad ep，ad bc，進而得出 abp= adp= aep，得出 aebp 共圓，即可

14、得出答案解答：證明：作過p 點平行于ad 的直線，并選一點e，使 pe=ad=bc ， ad ep，ad bc四邊形aepd 是平行四邊形，四邊形pebc 是平行四邊形， aedp，bepc， abp= adp= aep， aebp 共圓（一邊所對兩角相等） bap= bep= bcp， pab= pcb點評：此題主要考查了四點共圓的性質(zhì)以及平行四邊形的性質(zhì)，熟練利用四點共圓的性質(zhì)得出是解題關(guān)鍵5 （10 分） p 為正方形abcd 內(nèi)的一點，并且pa=a， pb=2a，pc=3a，求正方形的邊長考點 ： 正方形的性質(zhì)；勾股定理；等腰直角三角形；旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)。專題 ： 綜合題。分析：把 abp

15、順時針旋轉(zhuǎn)90 得到 bec，根據(jù)勾股定理得到pe=2a，再根據(jù)勾股定理逆定理證明pec 是直角三角形，從而得到bec=135 ，過點 c 作 cfbe 于點 f，cef 是等腰直角三角形，然后再根據(jù)勾股定理求出bc 的長度，即可得到正方形的邊長解答：解：如圖所示，把abp 順時針旋轉(zhuǎn)90 得到 bec， apb ceb， be=pb=2a， pe=2a，在 pec 中， pc2=pe2+ce2=9a2， pec 是直角三角形， pec=90 ， bec=45 +90 =135 ，過點 c 作 cfbe 于點 f，則 cef 是等腰直角三角形，精品學(xué)習(xí)資料 可選擇p d f - - - - -

16、 - - - - - - - - - 第 11 頁，共 19 頁 - - - - - - - - -學(xué)習(xí)好資料歡迎下載 cf=ef=ce=a，在 rtbfc 中， bc=a，即正方形的邊長為a點評：本題考查了正方形的性質(zhì)，旋轉(zhuǎn)變化的性質(zhì)，等腰直角三角形的性質(zhì)，勾股定理以及逆定理的應(yīng)用，作出輔助線構(gòu)造出直角三角形是解題的關(guān)鍵6 （10 分）一個圓柱形容器的容積為v 立方米，開始用一根小水管向容器內(nèi)注水，水面高度達(dá)到容器高度一半后，改用一根口徑為小水管2 倍的大水管注水向容器中注滿水的全過程共用時間t 分求兩根水管各自注水的速度考點 ： 分式方程的應(yīng)用。分析：設(shè)小水管進水速度為x，則大水管進水速度

17、為4x，一個圓柱形容器的容積為v 立方米，開始用一根小水管向容器內(nèi)注水，水面高度達(dá)到容器高度一半后，改用一根口徑為小水管2 倍的大水管注水向容器中注滿水的全過程共用時間t 分可列方程求解解答：解：設(shè)小水管進水速度為x 立方米 /分，則大水管進水速度為4x 立方米 /分由題意得：解之得：經(jīng)檢驗得：是原方程解小口徑水管速度為立方米 /分，大口徑水管速度為立方米 /分點評：本題考查理解題意的能力，設(shè)出速度以時間做為等量關(guān)系列方程求解7 （10 分） （2009?郴州）如圖1，已知正比例函數(shù)和反比例函數(shù)的圖象都經(jīng)過點m（ 2， 1） ，且 p（ 1， 2）為雙曲線上的一點，q 為坐標(biāo)平面上一動點，pa

18、 垂直于 x 軸， qb 垂直于 y 軸，垂足分別是a、 b（1）寫出正比例函數(shù)和反比例函數(shù)的關(guān)系式；（2）當(dāng)點 q 在直線 mo 上運動時，直線mo 上是否存在這樣的點q，使得 obq 與oap 面積相等？如果存在，請求出點的坐標(biāo)，如果不存在，請說明理由；精品學(xué)習(xí)資料 可選擇p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 12 頁，共 19 頁 - - - - - - - - -學(xué)習(xí)好資料歡迎下載（3）如圖 2，當(dāng)點 q 在第一象限中的雙曲線上運動時，作以op、oq 為鄰邊的平行四邊形opcq，求平行四邊形opcq 周長的最小值考點 ： 反比例函數(shù)綜合題。專題 ： 壓

19、軸題。分析：（1）正比例函數(shù)和反比例函數(shù)的圖象都經(jīng)過點m（ 2， 1） ，設(shè)出正比例函數(shù)和反比例函數(shù)的解析式，運用待定系數(shù)法可求它們解析式；（ 2）因為 p（ 1， 2）為雙曲線y=上的一點，所以obq、oap 面積為 1，依據(jù)反比例函數(shù)的圖象和性質(zhì)，點q 在雙曲線上，即符合條件的點存在，是正比例函數(shù)和反比例函數(shù)的圖象的交點；（ 3）因為四邊形opcq 是平行四邊形，所以op=cq，oq=pc，而點 p（ 1， 2）是定點，所以op 的長也是定長，所以要求平行四邊形opcq 周長的最小值就只需求oq 的最小值解答：解： （1）設(shè)正比例函數(shù)解析式為y=kx ，將點 m（ 2， 1）坐標(biāo)代入得k=

20、，所以正比例函數(shù)解析式為y=x，同樣可得，反比例函數(shù)解析式為；（ 2）當(dāng)點 q 在直線 om 上運動時，設(shè)點 q 的坐標(biāo)為q（m，m） ，于是 sobq=|ob bq|= m m=m2，而 soap=|（ 1） （ 2）|=1，所以有，m2=1，解得 m= 2，所以點 q 的坐標(biāo)為q1（ 2，1）和 q2（ 2， 1） ；（ 3）因為四邊形opcq 是平行四邊形，所以op=cq，oq=pc，而點 p（1， 2）是定點，所以op 的長也是定長，所以要求平行四邊形opcq 周長的最小值就只需求oq 的最小值，（8 分）因為點 q 在第一象限中雙曲線上，所以可設(shè)點q 的坐標(biāo)為q（n，） ，由勾股定理

21、可得oq2=n2+=（n）2+4，精品學(xué)習(xí)資料 可選擇p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 13 頁，共 19 頁 - - - - - - - - -學(xué)習(xí)好資料歡迎下載所以當(dāng)（ n）2=0 即 n=0 時， oq2有最小值4，又因為 oq 為正值，所以oq 與 oq2同時取得最小值，所以 oq 有最小值2，由勾股定理得op=，所以平行四邊形opcq 周長的最小值是2（op+oq）=2（+2）=2+4 （10 分）點評：此題難度稍大，考查一次函數(shù)反比例函數(shù)二次函數(shù)的圖形和性質(zhì)，綜合性比較強要注意對各個知識點的靈活應(yīng)用8 （10 分） （2008?海南）如圖，p

22、是邊長為1的正方形abcd 對角線 ac 上一動點（ p 與 a、c 不重合），點 e 在線段 bc 上，且 pe=pb（1）求證： pe=pd； pepd；（2）設(shè) ap=x，pbe 的面積為y 求出 y 關(guān)于 x 的函數(shù)關(guān)系式，并寫出x 的取值范圍； 當(dāng) x 取何值時， y 取得最大值，并求出這個最大值考點 ： 二次函數(shù)綜合題。專題 ： 動點型。分析：（1）可通過構(gòu)建全等三角形來求解過點p作 gfab，分別交ad 、bc 于 g、f，那么可通過證三角形gpd 和 efp 全等來求pd=pe 以及 pepd在直角三角形agp 中，由于 cad=45 ，因此三角形agp 是等腰直角三角形，那么

23、ag=pg ，而 pb=pe，pfbe，那么根據(jù)等腰三角形三線合一的特點可得出bf=fe=ag=pg ，同理可得出兩三角形的另一組對應(yīng)邊dg，pf相等，因此可得出兩直角三角形全等可得出 pd=pe，gdp= epf，而 gdp+gpd=90 ，那么可得出 gpd+epf=90 ，由此可得出pdpe（ 2）求三角形pbe 的面積，就要知道底邊be 和高 pf 的長，（1）中已得出bf=fe=ag ，那么可用ap 在等腰直角三角形agp 中求出 ag ，gp 即 bf， fe 的長，那么就知道了底邊be 的長，而高pf=cd gp，也就可求出pf 的長，可根據(jù)三角形的面積公式得出x，y 的函數(shù)關(guān)系

24、式然后可根據(jù)函數(shù)的性質(zhì)及自變量的取值范圍求出y 的最大值以及對應(yīng)的x 的取值解答：（1）證明： 過點 p 作 gfab，分別交ad 、bc 于 g、f如圖所示四邊形abcd 是正方形，四邊形abfg 和四邊形 gfcd 都是矩形， agp 和pfc 都是等腰直角三角形 gd=fc=fp，gp=ag=bf ， pgd= pfe=90 度又 pb=pe， bf=fe， gp=fe， efp pgd（sas） pe=pd 1= 2 1+3=2+3=90 度 dpe=90 度 pepd（ 2）解： 過 p作 pmab，可得 amp 為等腰直角三角形，精品學(xué)習(xí)資料 可選擇p d f - - - - -

25、- - - - - - - - - 第 14 頁，共 19 頁 - - - - - - - - -學(xué)習(xí)好資料歡迎下載四邊形 pmbf 為矩形，可得pm=bf ， ap=x， pm=x， bf=pm=， pf=1 spbe=be pf=bf?pf=x （1x）=x2+x即 y=x2+x （ 0 x） y=x2+x=（x）2+ a=0，當(dāng) x=時， y最大值=點評：本題主要考查了正方形，矩形的性質(zhì)，全等三角形的判定以及二次函數(shù)的綜合應(yīng)用等知識點，通過構(gòu)建全等三角形來得出相關(guān)的邊和角相等是解題的關(guān)鍵9 （10 分） （2010?河南）如圖，直線y=k1x+b 與反比例函數(shù)（x0）的圖象交于a（1，6

26、） ，b（a，3）兩點（1）求 k1、k2的值（2）直接寫出時 x 的取值范圍；（3）如圖，等腰梯形obcd 中， bc od，ob=cd ，od 邊在 x 軸上，過點c 作 ceod 于點 e，ce 和反比例函數(shù)的圖象交于點p，當(dāng)梯形obcd 的面積為12 時，請判斷pc 和 pe 的大小關(guān)系，并說明理由精品學(xué)習(xí)資料 可選擇p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 15 頁，共 19 頁 - - - - - - - - -學(xué)習(xí)好資料歡迎下載考點 ： 反比例函數(shù)綜合題；一次函數(shù)的性質(zhì)；反比例函數(shù)系數(shù)k 的幾何意義。專題 ： 綜合題。分析：（1）先把點 a 代入反比

27、例函數(shù)求得反比例函數(shù)的解析式，再把點 b 代入反比例函數(shù)解析式求得a的值， 再把點 a，b 代入一次函數(shù)解析式利用待定系數(shù)法求得k1的值（ 2）當(dāng) y1y2時，直線在雙曲線上方，即x 的范圍是在a，b 之間，故可直接寫出范圍（ 3）設(shè)點 p 的坐標(biāo)為（ m， n） ，易得 c（m，3） ，ce=3，bc=m 2，od=m+2 ，利用梯形的面積是12 列方程，可求得m 的值，從而求得點p 的坐標(biāo)，根據(jù)線段的長度關(guān)系可知pc=pe解答：解： （1）由題意知k2=1 6=6 反比例函數(shù)的解析式為y=（ x0） x0，反比例函數(shù)的圖象只在第一象限，又 b（a，3）在 y=的圖象上， a=2， b（2，

28、3）直線 y=k1x+b 過 a（1，6） ，b（2， 3）兩點故 k1的值為 3，k2的值為 6；（ 2）由（ 1）得出 3x+90，即直線的函數(shù)值大于反比例函數(shù)值，由圖象可知，此時1 x2，則 x 的取值范圍為1 x2；（ 3）當(dāng) s梯形obcd=12 時， pc=pe設(shè)點 p 的坐標(biāo)為（ m，n） ，過 b 作 bfx 軸， bcod，ceod，bo=cd ，b（2，3） ， c（m，3） ，ce=3， bc=m2， od=oe+ed=oe+bf=m+2 s梯形obcd=，即 12= m=4，又 mn=6 精品學(xué)習(xí)資料 可選擇p d f - - - - - - - - - - - - -

29、 - 第 16 頁，共 19 頁 - - - - - - - - -學(xué)習(xí)好資料歡迎下載 n=，即 pe=ce pc=pe點評：此題綜合考查了反比例函數(shù)與一次函數(shù)的性質(zhì)，此題難度稍大，綜合性比較強，注意反比例函數(shù)上的點的特點和利用待定系數(shù)法求函數(shù)解析式的方法要靈活的利用梯形的面積公式來求得相關(guān)的線段的長度，從而確定關(guān)鍵點的坐標(biāo)是解題的關(guān)鍵10 （10 分） （ 2007?福州）如圖，已知直線y=x 與雙曲線交于 a，b 兩點，且點a 的橫坐標(biāo)為4（1）求 k 的值；（2）若雙曲線上一點 c 的縱坐標(biāo)為8，求 aoc 的面積；（3）過原點o 的另一條直線l 交雙曲線于 p，q 兩點（ p 點在第一

30、象限） ，若由點 a，b，p，q 為頂點組成的四邊形面積為24，求點 p的坐標(biāo)考點 ： 反比例函數(shù)綜合題。專題 ： 綜合題；壓軸題。分析：（1）先根據(jù)直線的解析式求出a 點的坐標(biāo)，然后將a 點坐標(biāo)代入雙曲線的解析式中即可求出k 的值；（ 2）由（ 1）得出的雙曲線的解析式，可求出c 點的坐標(biāo)，由于aoc 的面積無法直接求出，因此可通過作輔助線，通過其他圖形面積的和差關(guān)系來求得（解法不唯一） ；（ 3）由于雙曲線是關(guān)于原點的中心對稱圖形，因此以a、b、p、q 為頂點的四邊形應(yīng)該是平行四邊形，那么 poa 的面積就應(yīng)該是四邊形面積的四分之一即6可根據(jù)雙曲線的解析式設(shè)出p 點的坐標(biāo)，然后參照（ 2）的三角形面積的求法表示出poa 的面積， 由于 poa 的面積為6，由此可得出關(guān)于p 點橫坐標(biāo)的方程，即可求出p 點的坐標(biāo)解答：解： （1）點 a 橫坐標(biāo)為4，把 x=4 代入 y=x 中得 y=2， a（4，2） ，點 a 是直線 y=x 與雙曲線