2022年八年級數(shù)學(xué)下冊反比例函數(shù)知識點歸納和典型例題150

1、1八年級數(shù)學(xué)下冊反比例函數(shù)知識點歸納和典型例題（1）知識結(jié)構(gòu)（二）學(xué)習(xí)目標(biāo) 1理解并掌握反比例函數(shù)的概念，能根據(jù)實際問題中的條件確定反比例函數(shù)的解析式（k 為常數(shù)，） ，能判斷一個給定函數(shù)是否為反比例函數(shù) 2能描點畫出反比例函數(shù)的圖象，會用代定系數(shù)法求反比例函數(shù)的解析式，進(jìn)一步理解函數(shù)的三種表示方法，即列表法、解析式法和圖象法的各自特點 3能根據(jù)圖象數(shù)形結(jié)合地分析并掌握反比例函數(shù)（k 為常數(shù)，）的函數(shù)關(guān)系和性質(zhì)，能利用這些函數(shù)性質(zhì)分析和解決一些簡單的實際問題 4對于實際問題，能“ 找出常量和變量，建立并表示函數(shù)模型，討論函數(shù)模型，解決實際問題 ” 的過程，體會函數(shù)是刻畫現(xiàn)實世界中變化規(guī)律的重要

2、數(shù)學(xué)模型 5進(jìn)一步理解常量與變量的辨證關(guān)系和反映在函數(shù)概念中的運動變化觀點，進(jìn)一步認(rèn)識數(shù)形結(jié)合的思想方法（三）重點難點 1重點是反比例函數(shù)的概念的理解和掌握，反比例函數(shù)的圖象及其性質(zhì)的理解、掌握和運用 2難點是反比例函數(shù)及其圖象的性質(zhì)的理解和掌握二、基礎(chǔ)知識（一）反比例函數(shù)的概念精品學(xué)習(xí)資料 可選擇p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 1 頁，共 12 頁 - - - - - - - - -精品學(xué)習(xí)資料 可選擇p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 1 頁，共 12 頁 - - - - - - - - -2 1（）可以寫成（）的

3、形式，注意自變量x 的指數(shù)為，在解決有關(guān)自變量指數(shù)問題時應(yīng)特別注意系數(shù)這一限制條件； 2（）也可以寫成xy=k 的形式，用它可以迅速地求出反比例函數(shù)解析式中的 k，從而得到反比例函數(shù)的解析式； 3反比例函數(shù)的自變量，故函數(shù)圖象與x 軸、 y 軸無交點（二）反比例函數(shù)的圖象在用描點法畫反比例函數(shù)的圖象時，應(yīng)注意自變量x 的取值不能為0，且 x 應(yīng)對稱取點（關(guān)于原點對稱）（三）反比例函數(shù)及其圖象的性質(zhì) 1函數(shù)解析式：（） 2自變量的取值范圍： 3圖象：（ 1）圖象的形狀：雙曲線越大，圖象的彎曲度越小，曲線越平直越小，圖象的彎曲度越大（ 2）圖象的位置和性質(zhì)：與坐標(biāo)軸沒有交點，稱兩條坐標(biāo)軸是雙曲線的

4、漸近線當(dāng)時，圖象的兩支分別位于一、三象限；在每個象限內(nèi)，y 隨 x 的增大而減??；當(dāng)時，圖象的兩支分別位于二、四象限；在每個象限內(nèi)，y 隨 x 的增大而增大（ 3）對稱性：圖象關(guān)于原點對稱，即若（a， b）在雙曲線的一支上，則（，）在雙曲線的另一支上圖象關(guān)于直線對稱，即若（ a， b）在雙曲線的一支上，則（，）和（，精品學(xué)習(xí)資料 可選擇p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 2 頁，共 12 頁 - - - - - - - - -精品學(xué)習(xí)資料 可選擇p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 2 頁，共 12 頁 - - - - -

5、- - - -3）在雙曲線的另一支上 4k 的幾何意義如圖 1，設(shè)點 p（a，b）是雙曲線上任意一點，作pa x 軸于 a 點， pb y 軸于b 點，則矩形pboa 的面積是（三角形 pao 和三角形 pbo 的面積都是） 如圖 2，由雙曲線的對稱性可知，p 關(guān)于原點的對稱點q 也在雙曲線上，作qc pa的延長線于c，則有三角形pqc 的面積為 圖1 圖2 5說明：（ 1）雙曲線的兩個分支是斷開的，研究反比例函數(shù)的增減性時，要將兩個分支分別討論，不能一概而論（ 2）直線與雙曲線的關(guān)系： 當(dāng)時，兩圖象沒有交點；當(dāng)時，兩圖象必有兩個交點，且這兩個交點關(guān)于原點成中心對稱（ 3）反比例函數(shù)與一次函數(shù)

6、的聯(lián)系（四）實際問題與反比例函數(shù) 1求函數(shù)解析式的方法：精品學(xué)習(xí)資料 可選擇p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 3 頁，共 12 頁 - - - - - - - - -精品學(xué)習(xí)資料 可選擇p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 3 頁，共 12 頁 - - - - - - - - -4（ 1）待定系數(shù)法；（2）根據(jù)實際意義列函數(shù)解析式 2注意學(xué)科間知識的綜合，但重點放在對數(shù)學(xué)知識的研究上（五）充分利用數(shù)形結(jié)合的思想解決問題三、例題分析1反比例函數(shù)的概念（ 1）下列函數(shù)中，y 是 x 的反比例函數(shù)的是（） ay=3x b c3x

7、y=1 d（ 2）下列函數(shù)中，y 是 x 的反比例函數(shù)的是（） a b c d答案：（ 1）c；（ 2）a2圖象和性質(zhì)（ 1）已知函數(shù)是反比例函數(shù)， 若它的圖象在第二、四象限內(nèi)，那么k=_ 若 y 隨 x 的增大而減小，那么k=_（ 2）已知一次函數(shù)y=ax+b 的圖象經(jīng)過第一、二、四象限，則函數(shù)的圖象位于第 _ 象限（ 3）若反比例函數(shù)經(jīng)過點（，2） ，則一次函數(shù)的圖象一定不經(jīng)過第 _ 象限（ 4）已知 a b0，點 p（a，b）在反比例函數(shù)的圖象上，則直線不經(jīng)過的象限是（） a第一象限 b第二象限 c 第三象限 d第四象限（ 5）若 p（2，2）和 q（m，）是反比例函數(shù)圖象上的兩點，精品

8、學(xué)習(xí)資料 可選擇p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 4 頁，共 12 頁 - - - - - - - - -精品學(xué)習(xí)資料 可選擇p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 4 頁，共 12 頁 - - - - - - - - -5則一次函數(shù)y=kx+m 的圖象經(jīng)過（） a第一、二、三象限b第一、二、四象限 c第一、三、四象限 d第二、三、四象限（ 6）已知函數(shù)和（k 0） ，它們在同一坐標(biāo)系內(nèi)的圖象大致是（） a b c d答案：（ 1） 1；（ 2）一、三；（ 3）四；（ 4）c；（ 5）c；（ 6）b3函數(shù)的增減性（ 1）在反

9、比例函數(shù)的圖象上有兩點，且，則的值為（） a正數(shù) b負(fù)數(shù) c非正數(shù) d非負(fù)數(shù)（ 2）在函數(shù)（a 為常數(shù)）的圖象上有三個點，則函數(shù)值、的大小關(guān)系是（） a b cd（ 3）下列四個函數(shù)中：； y 隨 x 的增大而減小的函數(shù)有（） a0個 b1個 c2個 d3個（ 4）已知反比例函數(shù)的圖象與直線y=2x 和 y=x+1 的圖象過同一點，則當(dāng)x0精品學(xué)習(xí)資料 可選擇p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 5 頁，共 12 頁 - - - - - - - - -精品學(xué)習(xí)資料 可選擇p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 5 頁，共 12

10、頁 - - - - - - - - -6時，這個反比例函數(shù)的函數(shù)值y 隨 x 的增大而（填“ 增大 ” 或 “ 減小 ” ） 答案：（ 1）a；（ 2）d；（ 3）b注意，（ 3）中只有 是符合題意的，而 是在 “ 每一個象限內(nèi) ” y 隨 x 的增大而減小4解析式的確定（ 1）若與成反比例，與成正比例，則y 是 z 的（） a正比例函數(shù) b反比例函數(shù) c一次函數(shù) d不能確定（ 2）若正比例函數(shù)y=2x 與反比例函數(shù)的圖象有一個交點為（2，m） ，則m=_ ，k=_ ，它們的另一個交點為_ （ 3）已知反比例函數(shù)的圖象經(jīng)過點，反比例函數(shù)的圖象在第二、四象限，求的值（ 4）已知一次函數(shù)y=x+m

11、 與反比例函數(shù)（）的圖象在第一象限內(nèi)的交點為 p （x 0，3） 求 x 0的值； 求一次函數(shù)和反比例函數(shù)的解析式（ 5）為了預(yù)防 “ 非典 ” ，某學(xué)校對教室采用藥薰消毒法進(jìn)行消毒已知藥物燃燒時，室內(nèi)每立方米空氣中的含藥量y （毫克）與時間x （分鐘）成正比例，藥物燃燒完后，y與 x 成反比例（如圖所示） ，現(xiàn)測得藥物 8分鐘燃畢，此時室內(nèi)空氣中每立方米的含藥量為6毫克請根據(jù)題中所提供的信息解答下列問題： 藥物燃燒時y 關(guān)于 x 的函數(shù)關(guān)系式為_ ，自變量x 的取值范圍是_；藥物燃燒后y 關(guān)于 x 的函數(shù)關(guān)系式為_精品學(xué)習(xí)資料 可選擇p d f - - - - - - - - - - - -

12、 - - 第 6 頁，共 12 頁 - - - - - - - - -精品學(xué)習(xí)資料 可選擇p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 6 頁，共 12 頁 - - - - - - - - -7 研究表明，當(dāng)空氣中每立方米的含藥量低于1.6毫克時學(xué)生方可進(jìn)教室，那么從消毒開始，至少需要經(jīng)過_ 分鐘后，學(xué)生才能回到教室； 研究表明，當(dāng)空氣中每立方米的含藥量不低于3毫克且持續(xù)時間不低于10 分鐘時，才能有效殺滅空氣中的病菌，那么此次消毒是否有效？為什么？答案：（ 1）b；（ 2）4，8， （，） ；（ 3）依題意，且，解得（ 4） 依題意，解得 一次函數(shù)解析式為，反比例函

13、數(shù)解析式為（ 5），； 30； 消毒時間為（分鐘），所以消毒有效5面積計算（ 1）如圖，在函數(shù)的圖象上有三個點a、b、c，過這三個點分別向x 軸、 y軸作垂線，過每一點所作的兩條垂線段與x 軸、 y 軸圍成的矩形的面積分別為、，則（） a b c d 第（ 1）題圖第（2）題圖精品學(xué)習(xí)資料 可選擇p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 7 頁，共 12 頁 - - - - - - - - -精品學(xué)習(xí)資料 可選擇p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 7 頁，共 12 頁 - - - - - - - - -8（ 2）如圖， a、b

14、是函數(shù)的圖象上關(guān)于原點o 對稱的任意兩點，ac/y 軸，bc/x 軸， abc 的面積 s，則（） as=1 b1s2 cs=2 ds2（ 3）如圖， rtaob 的頂點 a 在雙曲線上，且 s aob=3 ，求 m 的值 第（ 3）題圖第（4）題圖（ 4）已知函數(shù)的圖象和兩條直線y=x ，y=2x 在第一象限內(nèi)分別相交于p1和p2兩點，過p1分別作 x 軸、 y 軸的垂線p1q1 ， p1r1 ，垂足分別為q1，r1，過 p2 分別作 x 軸、 y 軸的垂線p2 q 2 ，p2 r 2 ，垂足分別為q 2，r 2，求矩形o q 1p1 r 1 和 o q 2p2 r 2 的周長，并比較它們的

15、大?。?5）如圖，正比例函數(shù)y=kx （ k0）和反比例函數(shù)的圖象相交于a、c 兩點，過 a 作 x 軸垂線交x 軸于 b，連接 bc，若 abc 面積為 s，則 s=_ 第（ 5）題圖第（6）題圖（ 6）如圖在 rtabo 中，頂點a 是雙曲線與直線在第四象限的交點， ab x 軸于 b 且 s abo=精品學(xué)習(xí)資料 可選擇p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 8 頁，共 12 頁 - - - - - - - - -精品學(xué)習(xí)資料 可選擇p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 8 頁，共 12 頁 - - - - - - - -

16、 -9 求這兩個函數(shù)的解析式； 求直線與雙曲線的兩個交點a、c 的坐標(biāo)和 aoc 的面積（7）如圖，已知正方形oabc 的面積為 9，點 o 為坐標(biāo)原點，點 a、c 分別在 x 軸、 y 軸上，點b 在函數(shù)（ k0，x0）的圖象上，點p （m， n）是函數(shù)（k0，x0）的圖象上任意一點，過p 分別作 x 軸、 y 軸的垂線，垂足為 e、f，設(shè)矩形oepf 在正方形oabc 以外的部分的面積為s 求 b 點坐標(biāo)和k 的值； 當(dāng)時，求點p 的坐標(biāo)； 寫出 s 關(guān)于 m 的函數(shù)關(guān)系式答案：（ 1）d；（ 2）c；（ 3）6；（ 4），矩形 o q 1p1 r 1 的周長為 8，o q 2p2 r 2

17、 的周長為，前者大（ 5）1（ 6） 雙曲線為，直線為； 直線與兩軸的交點分別為（0，）和（，0） ，且 a（1，）和c（，1） ，因此面積為 4（ 7） b（3， 3） ，；精品學(xué)習(xí)資料 可選擇p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 9 頁，共 12 頁 - - - - - - - - -精品學(xué)習(xí)資料 可選擇p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 9 頁，共 12 頁 - - - - - - - - -10時，e（6，0） ，；6綜合應(yīng)用（ 1）若函數(shù) y=k1x （k1 0）和函數(shù)（k2 0）在同一坐標(biāo)系內(nèi)的圖象沒有公共點，則

18、 k1和 k2（） a互為倒數(shù) b符號相同 c絕對值相等 d符號相反（2）如圖，一次函數(shù)的圖象與反比例數(shù)的圖象交于a、b 兩點： a（，1） ，b（1，n） 求反比例函數(shù)和一次函數(shù)的解析式； 根據(jù)圖象寫出使一次函數(shù)的值大于反比例函數(shù)的值的x 的取值范圍（ 3）如圖所示，已知一次函數(shù)（k 0）的圖象與x 軸、y 軸分別交于a、b 兩點，且與反比例函數(shù)（m 0）的圖象在第一象限交于c 點， cd 垂直于 x 軸，垂足為d，若 oa=ob=od=1 求點 a、b、d 的坐標(biāo)； 求一次函數(shù)和反比例函數(shù)的解析式精品學(xué)習(xí)資料 可選擇p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 10 頁，共 12 頁 - - - - - - - - -精品學(xué)習(xí)資料 可選擇p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 10 頁，共 12 頁 - - - - - - - - -11（4）如圖，一次函數(shù)的圖