概率論第7-10章課后習(xí)題答案

1、習(xí)題七1.設(shè)總體X服從二項(xiàng)分布b（n，p），n已知，X1，X2，Xn為來(lái)自X的樣本，求參數(shù)p的矩法估計(jì).【解】因此np=所以p的矩估計(jì)量 2.設(shè)總體X的密度函數(shù)f（x,）=X1，X2，Xn為其樣本，試求參數(shù)的矩法估計(jì).【解】令E(X)=A1=,因此=所以的矩估計(jì)量為 3.設(shè)總體X的密度函數(shù)為f（x，），X1，X2，Xn為其樣本，求的極大似然估計(jì).（1） f（x，）=（2） f（x，）=【解】（1） 似然函數(shù)由知所以的極大似然估計(jì)量為.(2) 似然函數(shù),i=1,2,n.由知所以的極大似然估計(jì)量為 4.從一批炒股票的股民一年收益率的數(shù)據(jù)中隨機(jī)抽取10人的收益率數(shù)據(jù)，結(jié)果如下：序號(hào)123456789

2、10收益率0.01-0.11-0.12-0.09-0.13-0.30.1-0.09-0.1-0.11求這批股民的收益率的平均收益率及標(biāo)準(zhǔn)差的矩估計(jì)值.【解】 由知,即有于是 所以這批股民的平均收益率的矩估計(jì)值及標(biāo)準(zhǔn)差的矩估計(jì)值分別為-0.94和0.966.5.隨機(jī)變量X服從0，上的均勻分布，今得X的樣本觀測(cè)值：0.9,0.8,0.2,0.8,0.4,0.4,0.7,0.6，求的矩法估計(jì)和極大似然估計(jì)，它們是否為的無(wú)偏估計(jì).【解】(1) ,令，則且,所以的矩估計(jì)值為且是一個(gè)無(wú)偏估計(jì).(2) 似然函數(shù),i=1,2,8.顯然L=L()(>0)，那么時(shí)，L=L()最大,所以的極大似然估計(jì)值=0.

3、9.因?yàn)镋()=E(),所以=不是的無(wú)偏計(jì).6.設(shè)X1，X2，Xn是取自總體X的樣本，E（X）=，D（X）=2， =k,問(wèn)k為何值時(shí)為2的無(wú)偏估計(jì).【解】令 i=1,2,n-1,則 于是 那么當(dāng),即時(shí),有 7.設(shè)X1，X2是從正態(tài)總體N（，2）中抽取的樣本試證都是的無(wú)偏估計(jì)量，并求出每一估計(jì)量的方差.【證明】（1）,所以均是的無(wú)偏估計(jì)量.(2) 8.某車(chē)間生產(chǎn)的螺釘，其直徑XN（，2），由過(guò)去的經(jīng)驗(yàn)知道2=0.06,今隨機(jī)抽取6枚，測(cè)得其長(zhǎng)度（單位mm）如下：14.7 15.0 14.8 14.9 15.1 15.2試求的置信概率為0.95的置信區(qū)間.【解】n=6,2=0.06,=1-0.95

4、=0.05,的置信度為0.95的置信區(qū)間為.9.總體XN(,2)，2已知，問(wèn)需抽取容量n多大的樣本，才能使的置信概率為1-，且置信區(qū)間的長(zhǎng)度不大于L？【解】由2已知可知的置信度為1-的置信區(qū)間為,于是置信區(qū)間長(zhǎng)度為,那么由L,得n10.設(shè)某種磚頭的抗壓強(qiáng)度XN（，2），今隨機(jī)抽取20塊磚頭，測(cè)得數(shù)據(jù)如下（kg·cm-2）：64 69 49 92 55 97 41 84 88 9984 66 100 98 72 74 87 84 48 81（1） 求的置信概率為0.95的置信區(qū)間.（2） 求2的置信概率為0.95的置信區(qū)間.【解】 (1) 的置信度為0.95的置信區(qū)間(2)的置信度為0

5、.95的置信區(qū)間11.設(shè)總體Xf(x)=X1,X2,Xn是X的一個(gè)樣本，求的矩估計(jì)量及極大似然估計(jì)量.【解】(1)又故所以的矩估計(jì)量 (2) 似然函數(shù).取對(duì)數(shù)所以的極大似然估計(jì)量為12.設(shè)總體Xf(x)= X1,X2,Xn為總體X的一個(gè)樣本（1） 求的矩估計(jì)量；（2） 求.【解】(1) 令 所以的矩估計(jì)量 (2)，又于是,所以13.設(shè)某種電子元件的使用壽命X的概率密度函數(shù)為f(x,)= 其中(>0)為未知參數(shù)，又設(shè)x1,x2,xn是總體X的一組樣本觀察值，求的極大似然估計(jì)值.【解】似然函數(shù)由那么當(dāng)所以的極大似然估計(jì)量14. 設(shè)總體X的概率分布為X0 1 2 3P2 2(1-) 2 1-2

6、其中(0<<)是未知參數(shù)，利用總體的如下樣本值3，1，3，0，3，1，2，3，求的矩估計(jì)值和極大似然估計(jì)值.【解】所以的矩估計(jì)值（2） 似然函數(shù)解得 .由于 所以的極大似然估計(jì)值為 .15.設(shè)總體X的分布函數(shù)為F（x,）=其中未知參數(shù)>1,>0，設(shè)X1,X2,Xn為來(lái)自總體X的樣本（1） 當(dāng)=1時(shí)，求的矩估計(jì)量；（2） 當(dāng)=1時(shí)，求的極大似然估計(jì)量；（3） 當(dāng)=2時(shí)，求的極大似然估計(jì)量. 【解】當(dāng)=1時(shí)，當(dāng)=2時(shí), (1) 令,于是所以的矩估計(jì)量(2) 似然函數(shù)所以的極大似然估計(jì)量(3) 似然函數(shù)顯然那么當(dāng)時(shí), ,所以的極大似然估計(jì)量.16.從正態(tài)總體XN（3.4，62

7、）中抽取容量為n的樣本，如果其樣本均值位于區(qū)間（1.4，5.4）內(nèi)的概率不小于0.95，問(wèn)n至少應(yīng)取多大？z1.281.6451.962.33j(z)0.90.950.9750.99【解】,則于是則, n35.17. 設(shè)總體X的概率密度為f(x，)=其中是未知參數(shù)（0<<1）,X1,X2,Xn為來(lái)自總體X的簡(jiǎn)單隨機(jī)樣本，記N為樣本值x1,x2,xn中小于1的個(gè)數(shù).求：（1） 的矩估計(jì)；（2） 的最大似然估計(jì). 解 (1) 由于 .令，解得，所以參數(shù)的矩估計(jì)為.似然函數(shù)為，取對(duì)數(shù)，得兩邊對(duì)求導(dǎo)，得令 得 ，所以的最大似然估計(jì)為.18.19.習(xí)題八1. 已知某煉鐵廠的鐵水含碳量在正常情

8、況下服從正態(tài)分布N(4.55,0.1082).現(xiàn)在測(cè)了5爐鐵水，其含碳量（%）分別為4.28 4.40 4.42 4.35 4.37問(wèn)若標(biāo)準(zhǔn)差不改變，總體平均值有無(wú)顯著性變化（=0.05）?【解】所以拒絕H0，認(rèn)為總體平均值有顯著性變化.2. 某種礦砂的5個(gè)樣品中的含鎳量（%）經(jīng)測(cè)定為：3.24 3.26 3.24 3.27 3.25設(shè)含鎳量服從正態(tài)分布，問(wèn)在=0.01下能否接收假設(shè)：這批礦砂的含鎳量為3.25.【解】設(shè)所以接受H0，認(rèn)為這批礦砂的含鎳量為3.25.3. 在正常狀態(tài)下，某種牌子的香煙一支平均1.1克，若從這種香煙堆中任取36支作為樣本；測(cè)得樣本均值為1.008（克），樣本方差s

9、2=0.1(g2).問(wèn)這堆香煙是否處于正常狀態(tài).已知香煙（支）的重量（克）近似服從正態(tài)分布（取=0.05）.【解】設(shè)所以接受H0，認(rèn)為這堆香煙（支）的重要（克）正常.4.某公司宣稱由他們生產(chǎn)的某種型號(hào)的電池其平均壽命為21.5小時(shí)，標(biāo)準(zhǔn)差為2.9小時(shí).在實(shí)驗(yàn)室測(cè)試了該公司生產(chǎn)的6只電池，得到它們的壽命（以小時(shí)計(jì)）為19，18，20，22，16，25，問(wèn)這些結(jié)果是否表明這種電池的平均壽命比該公司宣稱的平均壽命要短？設(shè)電池壽命近似地服從正態(tài)分布（取=0.05）.【解】所以接受H0，認(rèn)為電池的壽命不比該公司宣稱的短.5.測(cè)量某種溶液中的水分，從它的10個(gè)測(cè)定值得出=0.452(%),s=0.037(

10、%).設(shè)測(cè)定值總體為正態(tài)，為總體均值，為總體標(biāo)準(zhǔn)差，試在水平=0.05下檢驗(yàn).（1） H0：=0.5(%)；H1：0.5(%).（2） =0.04(%)；0.04(%).【解】(1)所以拒絕H0，接受H1.(2)所以接受H0，拒絕H1.6.某種導(dǎo)線的電阻服從正態(tài)分布N（，）.今從新生產(chǎn)的一批導(dǎo)線中抽取9根，測(cè)其電阻，得s=0.008歐.對(duì)于=0.05，能否認(rèn)為這批導(dǎo)線電阻的標(biāo)準(zhǔn)差仍為0.005?【解】故應(yīng)拒絕H0，不能認(rèn)為這批導(dǎo)線的電阻標(biāo)準(zhǔn)差仍為0.005.7.有兩批棉紗，為比較其斷裂強(qiáng)度，從中各取一個(gè)樣本，測(cè)試得到：第一批棉紗樣本：n1=200，=0.532kg, s1=0.218kg；第二

11、批棉紗樣本：n2=200，=0.57kg, s2=0.176kg.設(shè)兩強(qiáng)度總體服從正態(tài)分布，方差未知但相等，兩批強(qiáng)度均值有無(wú)顯著差異？(=0.05)【解】所以接受H0，認(rèn)為兩批強(qiáng)度均值無(wú)顯著差別.8.兩位化驗(yàn)員A，B對(duì)一種礦砂的含鐵量各自獨(dú)立地用同一方法做了5次分析，得到樣本方差分別為0.4322(%2)與0.5006(%2).若A，B所得的測(cè)定值的總體都是正態(tài)分布，其方差分別為A2，B2，試在水平=0.05下檢驗(yàn)方差齊性的假設(shè)【解】那么所以接受H0，拒絕H1.9.10.11.12.習(xí)題九1 燈泡廠用4種不同的材料制成燈絲，檢驗(yàn)燈線材料這一因素對(duì)燈泡壽命的影響.若燈泡壽命服從正態(tài)分布，不同材料

12、的燈絲制成的燈泡壽命的方差相同，試根據(jù)表中試驗(yàn)結(jié)果記錄，在顯著性水平0.05下檢驗(yàn)燈泡壽命是否因燈絲材料不同而有顯著差異？試驗(yàn)批號(hào)1 2 3 4 5 6 78燈絲材料水平A1A2A3A416001580146015101610164015501520165016401600153016801700162015701700175016401600172016601680180017401820【解】=69895900-69700188.46=195711.54,=69744549.2-69700188.46=44360.7,=151350.8,故燈絲材料對(duì)燈泡壽命無(wú)顯著影響.表9-1-1方差分析

13、表方差來(lái)源平方和S自由度均方和F值因素影響44360.7314786.92.15誤差151350.8226879.59總和195711.54252. 一個(gè)年級(jí)有三個(gè)小班，他們進(jìn)行了一次數(shù)學(xué)考試，現(xiàn)從各個(gè)班級(jí)隨機(jī)地抽取了一些學(xué)生，記錄其成績(jī)?nèi)缦拢?3 6688 7768 4189 6078 3179 5982 4548 7856 6843 9391 6291 5380 3651 7671 7973 7785 9671 1574 808756試在顯著性水平0.05下檢驗(yàn)各班級(jí)的平均分?jǐn)?shù)有無(wú)顯著差異.設(shè)各個(gè)總體服從正態(tài)分布，且方差相等.【解】=199462-185776.9=13685.1,=186

14、112.25-185776.9=335.35,=13349.65,故各班平均分?jǐn)?shù)無(wú)顯著差異.表9-2-1方差分析表方差來(lái)源平方和S自由度均方和F值因素影響335.352167.680.465誤差13349.6537360.80總和13685393. 下面記錄了3位操作工分別在不同機(jī)器上操作3天的日產(chǎn)量.操作工機(jī)器甲乙丙A115 15 1719 19 1616 18 21A217 17 1715 15 1519 22 22A315 17 1618 17 1618 18 18A418 20 2215 16 1717 17 17取顯著性水平=0.05,試分析操作工之間，機(jī)器之間以及兩者交互作用有無(wú)顯

15、著差異？【解】由已知r=4,s=3,t=3.的計(jì)算如表9-3-1.表9-3-1Tij機(jī)器工作操甲乙丙475455156514563159485154153604851159206198223627表9-3-2得方差分析表方差來(lái)源平方和S自由度均方和F值因素A（機(jī)器）2.7530.92=053因素B（操作工）27.17213.58=7.89交互作用A×B73.50612.25=7.12誤差4.33241.72總和1094.75接受假設(shè)，拒絕假設(shè).即機(jī)器之間無(wú)顯著差異，操作之間以及兩者的交互作用有顯著差異.4. 為了解3種不同配比的飼料對(duì)仔豬生長(zhǎng)影響的差異，對(duì)3種不同品種的豬各選3頭進(jìn)行

16、試驗(yàn)，分別測(cè)得其3個(gè)月間體重增加量如下表所示，取顯著性水平=0.05，試分析不同飼料與不同品種對(duì)豬的生長(zhǎng)有無(wú)顯著影響？假定其體重增長(zhǎng)量服從正態(tài)分布，且各種配比的方差相等.體重增長(zhǎng)量因素B（品種）B1B2B3因素A（飼料）A1A2A3515352565758454947【解】由已知r=s=3,經(jīng)計(jì)算=52, =50.66,=53=52.34, =52, =57, =47,表9-4-1得方差分析表方差來(lái)源平方和S自由度均方和F值飲料作用8.6824.345.23品種作用15027590.36試驗(yàn)誤差3.3240.83總和162由于因而接受假設(shè),拒絕假設(shè).即不同飼料對(duì)豬體重增長(zhǎng)無(wú)顯著影響,豬的品種對(duì)

17、豬體重增長(zhǎng)有顯著影響.5.研究氯乙醇膠在各種硫化系統(tǒng)下的性能（油體膨脹絕對(duì)值越小越好）需要考察補(bǔ)強(qiáng)劑（A）、防老劑（B）、硫化系統(tǒng)（C）3個(gè)因素（各取3個(gè)水平），根據(jù)專(zhuān)業(yè)理論經(jīng)驗(yàn)，交互作用全忽略，根據(jù)選用L9(34)表作9次試驗(yàn)及試驗(yàn)結(jié)果見(jiàn)下表：表頭設(shè)計(jì)試驗(yàn)列號(hào)試驗(yàn)號(hào)1 2 3 4結(jié)果1234567891 1 1 11 2 2 21 3 3 32 1 2 32 2 3 12 3 1 23 1 3 23 2 1 33 3 2 17.255.485.355.404.425.904.685.905.63試作最優(yōu)生產(chǎn)條件的直觀分析，并對(duì)3因素排出主次關(guān)系.給定=0.05,作方差分析與(1)比較.【解】

18、(1) 對(duì)試驗(yàn)結(jié)果進(jìn)行極差計(jì)算，得表9-5-1.表9-5-118.0817.3319.0517.30T=50.0115.7215.8016.5116.0616.2116.8814.4516.652.361.534.461.24由于要求油體膨脹越小越好，所以從表9-5-1的極差Rj的大小順序排出因素的主次順序?yàn)椋褐鞔蜝,A,C最優(yōu)工藝條件為：.(2) 利用表9-5-1的結(jié)果及公式,得表9-5-2.表9-5-2A1B2C341.0340.4123.5390.256表9-5-2中第4列為空列，因此,其中，所以=0.128方差分析表如表9-5-3.表9-5-3方差來(lái)源顯著性A1.03420.5174.

19、039B0.41220.2061.609C3.53921.76913.828e0.25620.128由于，故因素C作用較顯著，A次之，B較次，但由于要求油體膨脹越小越好，所以主次順序?yàn)椋築AC，這與前面極差分析的結(jié)果是一致的.6. 某農(nóng)科站進(jìn)行早稻品種試驗(yàn)（產(chǎn)量越高越好），需考察品種（A），施氮肥量（B），氮、磷、鉀肥比例（C），插植規(guī)格（D）4個(gè)因素，根據(jù)專(zhuān)業(yè)理論和經(jīng)驗(yàn)，交互作用全忽略，早稻試驗(yàn)方案及結(jié)果分析見(jiàn)下表：因素試驗(yàn)號(hào)A品種B施氮肥量C氮、磷、鉀肥比例D插植規(guī)格試驗(yàn)指標(biāo)產(chǎn)量123456781（科6號(hào)）12(科5號(hào))21(科7號(hào))12(珍珠矮)21(20)2(25)1212121(22

20、1)2(323)1221211(5×6)2(6×6)21122119.020.021.922.321.021.018.018.2(1) 試作出最優(yōu)生產(chǎn)條件的直觀分析，并對(duì)4因素排出主次關(guān)系.(2) 給定=0.05,作方差分析，與(1)比較.【解】被考察因素有4個(gè)：A，B，C，D每個(gè)因素有兩個(gè)水平，所以選用正交表L8（27），進(jìn)行極差計(jì)算可得表9-6-1.表9-6-1列號(hào)水平試驗(yàn)號(hào)1A23B4C5D67試驗(yàn)結(jié)果1111111119.02111222220.03122112221.94122221122.35212121221.06212212121.07221122118.0

21、8221211218.2T1j83.281.075.279.980.180.580.3T=161.4T2j78.280.486.281.581.380.981.1Rj5.00.611.01.61.20.40.8從表9-6-1的極差Rj的大小順序排出因素的主次為：最優(yōu)方案為：(2) 利用表9-6-1的結(jié)果及公式得表9-6-2.表9-6-21A23B4C5D673.1250.04515.1250.3200.1800.0200.080表9-6-2中第1,3,7列為空列，因此se=s1+s3+s7=18.330,fe=3,所以=6.110.而在上表中其他列中.故將所有次均并入誤差，可得整理得方差分析表

22、為表9-6-3.表9-6-3方差來(lái)源顯著性A0.04510.0450.017B0.32010.3200.119C0.18010.1800.067D0.02010.0200.007e18.33036.11018.89572.699由于，故4因素的影響均不顯著，但依順序?yàn)椋号c（1）中極差分析結(jié)果一致. 習(xí)題十1. 在硝酸鈉(NaNO3)的溶解度試驗(yàn)中，測(cè)得在不同溫度x()下，溶解于100份水中的硝酸鈉份數(shù)y的數(shù)據(jù)如下，試求y關(guān)于x的線性回歸方程.xi0 4 10 15 21 29 36 51 68yi66.7 71.0 76.3 80.6 85.7 92.9 99.4 113.6 125.1【解】

23、經(jīng)計(jì)算得，故從而回歸方程：2. 測(cè)量了9對(duì)父子的身高，所得數(shù)據(jù)如下（單位：英寸）.父親身高xi60 62 64 66 67 68 70 72 74兒子身高yi63.6 65.2 66 66.9 67.1 67.4 68.3 70.1 70求（1） 兒子身高y關(guān)于父親身高x的回歸方程.（2） 取=0.05，檢驗(yàn)兒子的身高y與父親身高x之間的線性相關(guān)關(guān)系是否顯著.（3） 若父親身高70英寸，求其兒子的身高的置信度為95%的預(yù)測(cè)區(qū)間.【解】經(jīng)計(jì)算得，故回歸方程：故拒絕H0，即兩變量的線性相關(guān)關(guān)系是顯著的.從而其兒子的身高的置信度為95%的預(yù)測(cè)區(qū)間為(68.5474±0.9540)=(67.

24、5934,69.5014).3.隨機(jī)抽取了10個(gè)家庭，調(diào)查了他們的家庭月收入x（單位：百元）和月支出y(單位：百元)，記錄于下表：x20 15 20 25 16 20 18 19 22 16y18 14 17 20 14 19 17 18 20 13求：(1) 在直角坐標(biāo)系下作x與y的散點(diǎn)圖，判斷y與x是否存在線性關(guān)系.(2) 求y與x的一元線性回歸方程.(3) 對(duì)所得的回歸方程作顯著性檢驗(yàn).（=0.025）【解】(1) 散點(diǎn)圖如右，從圖看出，y與x之間具有線性相關(guān)關(guān)系.(2) 經(jīng)計(jì)算可得從而回歸方程：題3圖故拒絕H0,即兩變量的線性相關(guān)關(guān)系是顯著的.4.設(shè)y為樹(shù)干的體積，x1為離地面一定高度

25、的樹(shù)干直徑，x2為樹(shù)干高度，一共測(cè)量了31棵樹(shù)，數(shù)據(jù)列于下表，作出y對(duì)x1,x2的二元線性回歸方程，以便能用簡(jiǎn)單分法從x1和x2估計(jì)一棵樹(shù)的體積，進(jìn)而估計(jì)一片森林的木材儲(chǔ)量.x1(直徑) x2(高) y(體積)x1(直徑) x2(高) y(體積)8.3 70 10.312.9 85 33.88.6 65 10.313.3 86 27.48.8 63 10.213.7 71 25.710.5 72 10.413.8 64 24.910.7 81 16.814.0 78 34.510.8 83 18.814.2 80 31.711.0 66 19.715.5 74 36.311.0 75 15.6

26、16.0 72 38.311.1 80 18.216.3 77 42.611.2 75 22.617.3 81 55.411.3 79 19.917.5 82 55.711.4 76 24.217.9 80 58.311.4 76 21.018.0 80 51.511.7 69 21.418.0 80 51.012.0 75 21.320.6 87 77.012.9 74 19.1【解】根據(jù)表中數(shù)據(jù)，得正規(guī)方程組解之得，b0=-54.5041,b1=4.8424,b2=0.2631.故回歸方程：=-54.5041+4.8424x1+0.2631x2.5.一家從事市場(chǎng)研究的公司，希望能預(yù)測(cè)每日出版的報(bào)紙?jiān)诟鞣N不同居民區(qū)內(nèi)的周末發(fā)行量，兩個(gè)獨(dú)立變量，即總零售額和人口密度被選作自變量.由n=25個(gè)居民區(qū)組成的隨機(jī)樣本所給出的結(jié)果列表如下，求日?qǐng)?bào)周末發(fā)行量y關(guān)于總零售額x1和人口密度x2的線性回歸方程.居民區(qū)日?qǐng)?bào)周末發(fā)行量yi(×104份)總零售額xi1(105元)人口密度xi2(×0.001m2)13.021.