第十一章第4節(jié)函數(shù)展開成冪級(jí)數(shù)

1、2一、泰勒級(jí)數(shù)上節(jié)例題上節(jié)例題)11()1ln()1(11 xxnxnnnnnnxxaxf)()(00 存在冪級(jí)數(shù)在其收斂存在冪級(jí)數(shù)在其收斂域內(nèi)以域內(nèi)以f(x)為和函數(shù)為和函數(shù)問題問題: 1.如果能展開如果能展開, 是什么是什么?na2.展開式是否唯一展開式是否唯一?3.在什么條件下才能展開成冪級(jí)數(shù)在什么條件下才能展開成冪級(jí)數(shù)?3n階泰勒公式若函數(shù) 在 的某鄰域內(nèi)具有 階導(dǎo)數(shù) , )(xf0 x1n則在該)()(0 xfxf)(00 xxxf200)(!2)(xxxf nnxxnxf)(!)(00)()(xrn其中)(xrn( 在 x 與 之間)0 x稱為拉格朗日余項(xiàng)拉格朗日余項(xiàng) .此式稱為

2、的 階泰勒公式階泰勒公式 , )(xfn10) 1()(! ) 1()(nnxxnf鄰域內(nèi)有 :4如果 在 的某鄰域內(nèi)存在任意階導(dǎo)數(shù) , )(xf0 x則稱下)(0 xf)(00 xxxf200)(!2)(xxxf nnxxnxf)(!)(00)(為 的泰勒級(jí)數(shù)泰勒級(jí)數(shù) . )(xf列級(jí)數(shù)當(dāng) 時(shí), 泰勒級(jí)數(shù)變?yōu)?.00 x稱為麥克勞林級(jí)數(shù)麥克勞林級(jí)數(shù) .)(0fxf)(0220 xf!)( nnxnf!)()(05待解決的問題待解決的問題 :1) 對(duì)此級(jí)數(shù), 它的收斂域是什么 ？2) 在收斂域上 , 和函數(shù)是否為?)(xf的的xexf)(麥克勞林級(jí)數(shù)麥克勞林級(jí)數(shù)nxnexexee)(!)(!)

3、(222222222nnxne)(!202)(0 xf)(00 xxxf200)(!2)(xxxf nnxxnxf)(!)(00)(處的泰勒級(jí)數(shù)處的泰勒級(jí)數(shù)在在如如2xexfx,)(nnxn01!nxnxx!121126定理定理 1各階導(dǎo)數(shù), 設(shè)函數(shù) 在點(diǎn) 的某一鄰域 內(nèi)具有0 x)(xf)(0 x則)(xf條件條件是)(xf的泰勒公式中的余項(xiàng)滿足0)(limxrnn證明證明:,)(!)()(000)(nnnxxnxfxf令)()()(1xrxsxfnn)(limxrnn)()(lim1xsxfnn,0)(0 xxknkknxxkxfxs)(!)()(000)(1)(0 xx在該鄰域內(nèi)能展開成

4、泰勒級(jí)數(shù)的充要充要7定理定理2 若 能展成 x 的冪級(jí)數(shù), 則這種展開式是)(xf唯一唯一的 , 且與它的麥克勞林級(jí)數(shù)相同.證證: 設(shè)),(,)(2210rrxxaxaxaaxfnn則在收斂區(qū)間內(nèi);2)(121nnxnaxaaxf)0(1fa;) 1(!2)(22 nnxannaxf)0(!212fa ;!)()(nnanxf)0(!1)(nnfna 顯然結(jié)論成立 .)0(0fa 8二二. 函數(shù)展開成冪級(jí)數(shù)函數(shù)展開成冪級(jí)數(shù)1. 直接展開法直接展開法由上述泰勒級(jí)數(shù)理論可知 , )(xf第一步第一步 求函數(shù)及其各階導(dǎo)數(shù)在 x = 0 處的值 ;第二步第二步 寫出麥克勞林級(jí)數(shù) , 并求出其收斂半徑

5、r ;第三步第三步 判別在收斂區(qū)間),(rr是否)(limxrnn內(nèi)為0 .函數(shù)展開成冪級(jí)數(shù)的步驟如下 :9例例1. 將函數(shù))(xfxe展開成 x 的冪級(jí)數(shù). 解解: )()(xfn,xe), 2, 1, 0(1) 0()(nfnxe1級(jí)數(shù)的收斂半徑為 ,r對(duì)任何有限數(shù) x , 其余項(xiàng)有 )(xrne! ) 1( n1nxxe! ) 1(1nxn故xenxnxxx!1!31!21132 limnr!1n! ) 1(1nn0),(x( 在 0 與 x 之間 )x2!21x3!31xnxn!1nnxn01!10)2sin(2) 12sin(kk例例2. 將函數(shù)xxfsin)(展開成 x 的冪級(jí)數(shù).

6、 解解: )()(xfn)0()(nfxsinx)2sin(nx級(jí)數(shù)的收斂半徑為 ,r對(duì)任何有限數(shù) x , 其余項(xiàng)有 )(xrn) 1(sin(2 n! ) 1( n1nx! ) 1(1nxnkcosk) 1(12 kn), 2, 1, 0(k3!31x5!51x121! ) 12(1) 1(nnxn),(x12153! ) 12(1) 1(!51!31sinnnxnxxxxn0kn2,) 1(k,01122142221141211nnxnxxx! )()(!cos類似可推出類似可推出),(x),(x12153! ) 12(1) 1(!51!31sinnnxnxxxx1201211nnnxn!

7、 )()(nnnxn20211! )()(12例例3. 將函數(shù)mxxf)1 ()(展開成 x 的冪級(jí)數(shù), 其中m 為任意常數(shù) . 解解: 容易求出 ,1)0(f,)0(mf,) 1()0( mmf, ) 1()2)(1()0()(nmmmmfn于是mx)1 ( mx12!2) 1(xmmnxnnmmm!) 1() 1(由于1limnnnaar!) 1() 1(nnmmman! ) 1()() 1(1nnmmman因此, 對(duì)任意常數(shù))1, 1(nmnn1lim1級(jí)數(shù)在開區(qū)間內(nèi)收斂 .m , 13為了避免研究余項(xiàng) , 設(shè)此級(jí)數(shù)的和函數(shù)為 11, )(xxf2!2) 1(xmmnxnnmmm!) 1

8、() 1(1! ) 1() 1() 1(111)(nxnnmmxmmxfxmxf1)()()1 (xfx)(xmfmxxf)1 ()(,1)()(00 xxdxxmdxxfxf)1ln()0(ln)(lnxmfxf1)0(,f推導(dǎo)14由此得 2!2) 1(xmmnxnnmmm!) 1() 1(xmxm1)1 ()11(x稱為二項(xiàng)展開式二項(xiàng)展開式 .說明：說明：1 . 在1x處的收斂性與m有關(guān) . 2. 當(dāng) m 為正整數(shù)時(shí), 級(jí)數(shù)為 x 的 m 次多項(xiàng)式, 上式就是代數(shù)學(xué)中的二項(xiàng)式定理二項(xiàng)式定理.nnxnnmmm011!)()(15對(duì)應(yīng)m,21,211的二項(xiàng)展開式分別為xx21112421x36

9、4231x)11(x48642531x111 x24231x3642531x)11(x486427531xx21111 x2x3x)11(x4xx2!2) 1(xmmnxnnmmm!) 1() 1(xmxm1)1 ()11(x162. 間接展開法間接展開法211x x11 利用一些已知的函數(shù)展開式及冪級(jí)數(shù)的運(yùn)算性質(zhì), 將所給函數(shù)展開成 冪級(jí)數(shù). 例例4. 將函數(shù)展開成 x 的冪級(jí)數(shù).解解: nxxx21)11(x把 x 換成 , 得2x211xnnxxx242) 1(1)11(x的展式的展式記住記住mxxxxexx)( ,cos,sin,:1111117例例5. 將函數(shù))(xf)1ln(x展開

10、成 x 的冪級(jí)數(shù) .解解: xxf11)()11() 1(0 xxnnn從 0 到 x 積分xdxxxnnn00) 1()1ln(,1) 1(01nnnxn上式右端的冪級(jí)數(shù)在 收斂 ,1x而 在 有)1ln(x1x定義, 且連續(xù) , 所以展開式對(duì) 也是成立的 , 于是收斂1x區(qū)間為.11x利用此題可得11) 1(41312112lnnn11x11x186例例.sin的的冪冪級(jí)級(jí)數(shù)數(shù)展展成成將將xxy2:解解xy22121cos0! )2(1) 1(2121nnnnx2)2(,! )()(nnnnxn21121221),(x:另解另解xxxy22sincossin12021211nnnxn)(!

11、 )()(dxxnynxnn)(! )()(120021211 ,! )()(nnnnxn21121221),(x197例例的冪級(jí)數(shù)的冪級(jí)數(shù)展成展成將將xxxxf1212)(:解解)()(xxxf2121131111110 xxxnnn)(而而11110 xxxnn2122110 xxxnnn20)()(xxxf2121131(21nnnx01)()nnnx02nnnnx011321)(2121x2112153! ) 12(1) 1(!51!31sinnnxnxxxxnnxnxxx2142! )2(1) 1(!41!211cos例例8. 將xsin展成4x解解: )(sinsin44xx)si

12、n(cos)cos(sin4444xx)sin()cos(4421xx2132)4(!31)4(!21)4(121xxx)(x的冪級(jí)數(shù). 2)4(!21x4)4(!41x1)4(x3)4(!31x5)4(!51x22例例9. 將3412 xx展成 的冪級(jí)數(shù). 1x解解: )3)(1(13412xxxx)3(21)1 (21xx 14121x 4121x222) 1(xnnnx2) 1() 1( 81141x224) 1(xnnnx4) 1() 1(nnnnnx) 1(2121) 1(3220)31(x)21(x 18141x12310例例.!的和函數(shù)的和函數(shù)求求nnnxnn0221:解解nnn

13、xnnxs0221!)(nnxnnnn)(!)(211001221211221nnnnnnxnxnxn)(!)()!()()!(000221212212nnkkkkxnxkxxkx)(!)(!)(!)(22124xexx)(x24內(nèi)容小結(jié)內(nèi)容小結(jié)1. 函數(shù)的冪級(jí)數(shù)展開法(1) 直接展開法利用泰勒公式 ;(2) 間接展開法利用冪級(jí)數(shù)的性質(zhì)及已知展開式的函數(shù) .2. 常用函數(shù)的冪級(jí)數(shù)展開式xe1),(x)1 (lnxx1, 1(xx2!21x,!1nxn221x331x441x11) 1(nnxn25! ) 12() 1(12nxnnxsinx!33x!55x!77xxcos1!22x!44x!66x! )2() 1(2nxnnmx)1 ( 1xm2!2) 1(xmm,!) 1() 1(nxnnmmm當(dāng) m = 1 時(shí)x11,