數(shù)值計(jì)算方法 用逐次松弛法求方程組的解

1、中北大學(xué)理學(xué)院課程設(shè)計(jì) 題目：用逐次松弛法求方程組的解 課程：數(shù)值計(jì)算方法 成員： 1107014124 董強(qiáng) 1107014126 李迎 1107014128 馮夢文題目用逐次松弛法求方程組的解具體內(nèi)容 已知方程組：取初值，要求。要求 1.認(rèn)真讀題，了解問題的數(shù)學(xué)原形；2.選擇合適問題求解的數(shù)值計(jì)算方法；3.設(shè)計(jì)程序并進(jìn)行計(jì)算；4.對結(jié)果進(jìn)行解釋說明采用方法及結(jié)果說明根據(jù)題目要求用松弛法求解給出方程組的解。1、松弛法是在高斯迭代法的基礎(chǔ)上為提高收斂速度，采用加權(quán)平均而得到的新算法。高斯迭代法 再由與加權(quán)平均得，最終超松弛法的迭代矩陣為 2、容易判斷給出的系數(shù)矩陣是對稱正定矩陣，所以只要選擇的

2、加速因子w只要滿足0<w<2, 則解方程組的SOR（超松弛法）方法收斂。 3、對于最佳松弛因子的選擇方法，則是根據(jù)不同的加速因子在相同的系數(shù)矩陣下迭代次數(shù)最少的為最優(yōu)，具體的迭代次數(shù)見附錄，最后選擇最佳加速因子w=1.3，得到結(jié)果為，并且所得的精度滿足題目的要求。成員 董強(qiáng) 李迎 馮夢文 已知方程組： 取初值，要求。一、問題分析 求解這個(gè)方程組，從題目中我們可以看出，有三種方法，雅可比迭代法、高賽德爾迭代法、逐次超松弛法。但是迭代發(fā)收斂速度太慢，就會(huì)增加計(jì)算量，而失去使用價(jià)值。逐次超松弛(Successive Over Relaxation)迭代法，簡稱SOR迭

3、代法，它是在GS法基礎(chǔ)上為提高收斂速度，采用加權(quán)平均而得到的新算法。它是大型解稀疏矩陣方程組的有效方法之一，具有計(jì)算公式簡單，程序設(shè)計(jì)容易，占用計(jì)算機(jī)內(nèi)存少等優(yōu)點(diǎn)，但需要選擇加速因子。超松弛迭代法的理論基礎(chǔ) 逐次超松弛(Successive Over Relaxation)迭代法，簡稱SOR迭代法，它是在GS法基礎(chǔ)上為提高收斂速度，采用加權(quán)平均而得到的新算法，設(shè)解方程(7.1.3)的GS法記為 (1)再由與加權(quán)平均得 這里0稱為松弛參數(shù)，將(1)代入則得 (2)該法稱為SOR迭代法，WTBX0稱為松弛因子，當(dāng)=1時(shí)(2)式即為高斯-賽德爾迭代法，簡記GS法，將(2）寫成矩陣形式，則得 即從而k

4、=0、1、2、于是得SOR迭代的矩陣表示加速因子w的選擇 對于SOR法，松弛因子的選擇對于收斂速度影響較大，關(guān)于最優(yōu)松弛因子W的研究較為復(fù)雜，對此我們選用不同的松弛因子比較其收斂速度。由SOR法收斂，則0<W<2 因此我們在（0，2）中選取不同的松弛因子并比較得出近似的最優(yōu)松弛因子。二、問題求解 取 W=1.1代入程序進(jìn)行計(jì)算取W=1.2 代入程序計(jì)算取w=1.3帶入程序計(jì)算結(jié)果說明及分析： 不同松弛因子的收斂速度比較不同松弛因子的迭代次數(shù)松弛因子迭代次數(shù)松弛因子迭代次數(shù)0.13391.1190.21791.2140.31201.3120.4881.4150.5691.5190.6

5、551.6250.7451.7350.8361.8510.9391.9961.028注：w=1時(shí)，是高斯賽德爾迭代法。 最后對于不同的w取值，我們進(jìn)行計(jì)算并列表比較，可以發(fā)現(xiàn)不同w取值迭代收斂速度不同，當(dāng)w=1.3時(shí)，迭代收斂速度最快。 最終方程組的解為與精確解接近，且滿足題目所要求的精度 附錄：計(jì)算程序#include<iostream>#include<math.h>#include<iomanip>using namespace std; #define kk 50 /定義最大方程元數(shù)int n,i,c,j,ll,hh,gg,mm,f=1;double

6、 Akkkk,xkkkk,bkk,ykk,akk,zkk,m,nn,d,e=1,w,fff ;void main()cout<<"*"<<endl;cout<<"*數(shù)值計(jì)算方法之逐次超松弛法求解線性方程組*"<<endl;cout<<"*制作人：董強(qiáng) 李迎 馮夢文*"<<endl;cout<<"*說明：方程最多個(gè)數(shù)為50*"<<endl;cout<<"*"<<endl;/*數(shù)據(jù)

7、的輸入*/*bb:*/cout<<"輸入的方程元數(shù)"<<endl;cin>>n;cout<<"請輸入方程系數(shù)矩陣:"<<endl;for(i=0;i<n;i+) for(j=0;j<n;j+) cin>>Aij;cout<<"請輸入右邊向量:"<<endl;for(i=0;i<n;i+) cin>>bi;cout<<"輸入你想要的迭代精度(建議1e-5以上)！"<<e

8、ndl;cin>>fff;cout<<"輸入最大迭代次數(shù)（建議300次以上）！"<<endl;cin>>mm;for(i=0;i<n;i+) bi=bi/Aii; for(j=0;j<n;j+) if(i=j) xii=0; else xij=-Aij/Aii; /*賦迭代初值*cout<<"輸入迭代初值"<<endl;for(i=0;i<n;i+) cin>>yi; /*逐次超松弛法*dd: cout<<"輸入加速因子W(0<

9、;W<2)："<<endl;cin>>w;if(w>=2) cout<<"輸入錯(cuò)誤！加速因子W(0<W<2)："<<endl; cout<<"請重新輸入："<<endl; cin>>w;if(w<=0) cout<<"輸入錯(cuò)誤！加速因子W(0<W<2)："<<endl; cout<<"請重新輸入："<<endl; cin>>

10、;w;cout<<" " for(i=1;i<n+1;i+) cout<<"X"<<i<<""<<" "cout<<"精度"cout<<endl;cout<<"迭代初值為： "cout<<setiosflags(ios:fixed); for(i=0;i<n;i+) cout<<yi<<" " cout<&l

11、t;endl;while(e>fff) for(i=0;i<n;i+) zi=yi; nn=0; for(j=0;j<n;j+) nn=nn+xij*yj; yi=(1-w)*zi+w*(nn+bi); e=fabs(z0-y0); if(fabs(zi-yi)>e) e=fabs(zi-yi); if(i=0) cout<<setiosflags(ios:fixed); cout<<"第"<<setw(3)<<setprecision(3)<<f+<<"次迭代&quo

12、t;<<" " cout<<setiosflags(ios:fixed); cout<<setw(8)<<setprecision(8)<<yi<<" " cout<<e; cout<<endl; if(f>mm) cout<<"迭代次數(shù)大于"<<mm<<"次"<<endl; cout<<"認(rèn)為方程發(fā)散，迭代不收斂"<<endl; exit(1); cout<<endl; cout<<endl; cout<<"方程迭代了"<<f-1<<"次,達(dá)到你所要求的精度"<<fff<<endl; cout<<"最后