高等數(shù)學(xué)(黃立宏)(第三版)習(xí)題七課后答案

1、習(xí)題七1. 在空間直角坐標(biāo)系中，定出下列各點(diǎn)的位置：A(1,2,3); B(-2,3,4); C(2,-3,-4);D(3,4,0); E(0,4,3); F(3,0,0).解：點(diǎn)A在第卦限；點(diǎn)B在第卦限；點(diǎn)C在第卦限；點(diǎn)D在xOy面上；點(diǎn)E在yOz面上；點(diǎn)F在x軸上.2. xOy坐標(biāo)面上的點(diǎn)的坐標(biāo)有什么特點(diǎn)？yOz面上的呢？zOx面上的呢？答: 在xOy面上的點(diǎn)，z=0;在yOz面上的點(diǎn)，x=0;在zOx面上的點(diǎn)，y=0.3. x軸上的點(diǎn)的坐標(biāo)有什么特點(diǎn)？y軸上的點(diǎn)呢？z軸上的點(diǎn)呢？答：x軸上的點(diǎn)，y=z=0;y軸上的點(diǎn)，x=z=0;z軸上的點(diǎn)，x=y=0.4. 求下列各對(duì)點(diǎn)之間的距離：（1

2、） （0，0，0），（2，3，4）； （2） （0，0，0）， （2，-3，-4）；（3） （-2，3，-4），（1，0，3）； （4） （4，-2，3）， （-2，1，3）.解：（1）(2) (3) (4) .5. 求點(diǎn)（4，-3，5）到坐標(biāo)原點(diǎn)和各坐標(biāo)軸間的距離.解：點(diǎn)(4，-3，5)到x軸，y軸，z軸的垂足分別為（4，0，0），（0，-3，0），（0，0，5）.故 .6. 在z軸上，求與兩點(diǎn)A（-4，1，7）和B（3，5，-2）等距離的點(diǎn).解：設(shè)此點(diǎn)為M（0，0，z），則解得 即所求點(diǎn)為M（0，0，）.7. 試證：以三點(diǎn)A（4，1，9），B（10，-1，6），C（2，4，3）為頂點(diǎn)的三角

3、形是等腰直角三角形.證明：因?yàn)閨AB|=|AC|=7.且有|AC|2+|AB|2=49+49=98=|BC|2.故ABC為等腰直角三角形.8. 驗(yàn)證：.證明：利用三角形法則得證.見(jiàn)圖7-1 圖7-19. 設(shè)試用a, b, c表示解：10. 把ABC的BC邊分成五等份，設(shè)分點(diǎn)依次為D1，D2，D3，D4，再把各分點(diǎn)與A連接，試以，表示向量,和.解：11. 設(shè)向量的模是4，它與投影軸的夾角是60°，求這向量在該軸上的投影.解：設(shè)M的投影為，則12. 一向量的終點(diǎn)為點(diǎn)B（2，-1，7），它在三坐標(biāo)軸上的投影依次是4，-4和7，求這向量的起點(diǎn)A的坐標(biāo).解：設(shè)此向量的起點(diǎn)A的坐標(biāo)A(x, y,

4、 z)，則解得x=-2, y=3, z=0故A的坐標(biāo)為A(-2, 3, 0).13. 一向量的起點(diǎn)是P1（4，0，5），終點(diǎn)是P2（7，1，3），試求：（1） 在各坐標(biāo)軸上的投影； （2） 的模；（3） 的方向余弦； （4） 方向的單位向量.解：（1） (2) (3) .(4) .14. 三個(gè)力F1=(1,2,3), F2=(-2,3,-4), F3=(3,-4,5)同時(shí)作用于一點(diǎn). 求合力R的大小和方向余弦.解：R=（1-2+3，2+3-4，3-4+5）=（2，1，4）15. 求出向量a= i +j+k, b=2i-3j+5k和c =-2i-j+2k的模，并分別用單位向量來(lái)表達(dá)向量a, b,

5、 c.解：16. 設(shè)m=3i+5j+8k, n=2i-4j-7k, p=5i+j-4k,求向量a=4m+3n-p在x軸上的投影及在y軸上的分向量.解：a=4(3i+5j+8k)+3(2i-4j-7k)-(5i+j-4k)=13i+7j+15k在x軸上的投影ax=13,在y軸上分向量為7j.17.解：設(shè)則有 求得. 設(shè)在面上的投影向量為則有 則 則 求得 又則 從而求得或18. 已知兩點(diǎn)M1（2，5，-3），M2（3，-2，5），點(diǎn)M在線段M1M2上，且，求向徑的坐標(biāo).解：設(shè)向徑=x, y, z因?yàn)?，所以，?.19. 已知點(diǎn)P到點(diǎn)A（0，0，12）的距離是7，的方向余弦是，求點(diǎn)P的坐標(biāo).解：設(shè)

6、P的坐標(biāo)為（x, y, z）, 得又故點(diǎn)P的坐標(biāo)為P（2，3，6）或P（）.20. 已知a, b的夾角，且，計(jì)算：(1) a·b; (2) (3a-2b)·(a + 2b).解：（1）a·b =(2) 21. 已知a =(4,-2, 4), b=(6,-3, 2),計(jì)算：（1）a·b; (2) (2a-3b)·(a + b)； （3）解：（1）(2) (3) 22. 已知四點(diǎn)A（1，-2，3），B（4，-4，-3），C（2，4，3），D（8，6，6），求向量在向量上的投影.解：=3，-2，-6，=6，2，323. 若向量a+3b垂直于向量7a-

7、5b,向量a-4b垂直于向量7a-2b,求a和b的夾角.解: (a+3b)·(7a-5b) = (a-4b)·(7a-2b) = 由及可得：又，所以,故.24. 設(shè)a=(-2,7,6),b=(4, -3, -8),證明：以a與b為鄰邊的平行四邊形的兩條對(duì)角線互相垂直.證明：以a,b為鄰邊的平行四邊形的兩條對(duì)角線分別為a+b,ab,且a+b=2,4, -2a-b=-6,10,14又(a+b)·(a-b)= 2×(-6)+4×10+(-2)×14=0故(a+b)(a-b).25. 已知a =3i+2j-k, b =i-j+2k,求：(1)

8、 a×b; (2) 2a×7b;(3) 7b×2a; (4) a×a.解：（1） (2) (3) (4) .26. 已知向量a和b互相垂直，且.計(jì)算：(1) |(ab)×(ab)|；(2) |(3ab)×(a2b)|.（1）(2) 27. 求垂直于向量3i-4j-k和2i-j +k的單位向量，并求上述兩向量夾角的正弦.解：與平行的單位向量.28. 一平行四邊形以向量a =(2,1,1)和b=(1,2,1)為鄰邊，求其對(duì)角線夾角的正弦.解：兩對(duì)角線向量為，因?yàn)?所以 .即為所求對(duì)角線間夾角的正弦.29. 已知三點(diǎn)A(2,-1,5), B

9、(0,3,-2), C(-2,3,1)，點(diǎn)M，N，P分別是AB，BC，CA的中點(diǎn)，證明：.證明：中點(diǎn)M，N，P的坐標(biāo)分別為故 .30.（1）解: 則 若共面，則有后與是垂直的. 從而 反之亦成立. （2） 由行列式性質(zhì)可得: 故31. 四面體的頂點(diǎn)在(1,1,1),(1,2,3),(1,1,2)和(3,-1,2)求四面體的表面積.解：設(shè)四頂點(diǎn)依次取為A, B, C, D.則由A，B，D三點(diǎn)所確定三角形的面積為.同理可求其他三個(gè)三角形的面積依次為.故四面體的表面積.32.解：設(shè)四面體的底為，從點(diǎn)到底面的高為，則 ， 而 又所在的平面方程為: 則 故33. 已知三點(diǎn)A(2,4,1), B(3,7,

10、5), C(4,10,9)，證：此三點(diǎn)共線.證明：,顯然則故A，B，C三點(diǎn)共線.34. 一動(dòng)點(diǎn)與M0(1,1,1)連成的向量與向量n=(2,3,-4)垂直，求動(dòng)點(diǎn)的軌跡方程.解：設(shè)動(dòng)點(diǎn)為M(x, y, z)因,故.即2(x-1)+3(y-1)-4(z-1)=0整理得：2x+3y-4z-1=0即為動(dòng)點(diǎn)M的軌跡方程.35. 求通過(guò)下列兩已知點(diǎn)的直線方程：（1） （1，-2，1）， （3，1，-1）； （2） （3，-1，0），（1，0，-3）.解：（1）兩點(diǎn)所確立的一個(gè)向量為s=3-1，1+2，-1-1=2，3，-2故直線的標(biāo)準(zhǔn)方程為： 或 （2）直線方向向量可取為s=1-3，0+1，-3-0=-

11、2，1，-3故直線的標(biāo)準(zhǔn)方程為： 或 36. 求直線的標(biāo)準(zhǔn)式方程和參數(shù)方程.解：所給直線的方向向量為 另取x0=0代入直線一般方程可解得y0=7,z0=17于是直線過(guò)點(diǎn)（0，7，17），因此直線的標(biāo)準(zhǔn)方程為:且直線的參數(shù)方程為：37. 求過(guò)點(diǎn)(4,1,-2)且與平面3x-2y+6z=11平行的平面方程.解：所求平面與平面3x-2y+6z=11平行故n=3,-2,6，又過(guò)點(diǎn)(4,1,-2)故所求平面方程為：3(x-4)-2(y-1)+6(z+2)=0即3x-2y+6z+2=0.38. 求過(guò)點(diǎn)M0(1,7,-3)，且與連接坐標(biāo)原點(diǎn)到點(diǎn)M0的線段OM0垂直的平面方程.解：所求平面的法向量可取為故平面

12、方程為：x-1+7(y-7)-3(z +3)=0即x+7y-3z-59=039. 設(shè)平面過(guò)點(diǎn)(1,2,-1)，而在x軸和z軸上的截距都等于在y軸上的截距的兩倍，求此平面方程.解：設(shè)平面在y軸上的截距為b則平面方程可定為又(1,2,-1)在平面上，則有得b=2.故所求平面方程為40. 求過(guò)(1,1,-1), (-2,-2,2)和（1，-1，2）三點(diǎn)的平面方程.解：由平面的三點(diǎn)式方程知代入三已知點(diǎn)，有化簡(jiǎn)得x-3y-2z=0即為所求平面方程.41. 指出下列各平面的特殊位置，并畫(huà)出其圖形：(1) y =0; (2) 3x-1=0;(3) 2x-3y-6=0; (4) x y =0;(5) 2x-3

13、y+4z=0.解：(1) y =0表示xOz坐標(biāo)面（如圖7-2）(2) 3x-1=0表示垂直于x軸的平面.(如圖7-3) 圖7-2 圖7-3(3) 2x-3y-6=0表示平行于z軸且在x軸及y軸上的截距分別為x=3和y =-2的平面.(如圖7-4)(4) x y=0表示過(guò)z軸的平面（如圖7-5）(5) 2x-3y+4z=0表示過(guò)原點(diǎn)的平面（如圖7-6）. 圖7-4 圖7-5 圖7-642. 通過(guò)兩點(diǎn)（1，1，1，）和（2，2，2）作垂直于平面x+y-z=0的平面.解：設(shè)平面方程為Ax+By+Cz+D=0則其法向量為n=A,B,C已知平面法向量為n1=1,1,-1過(guò)已知兩點(diǎn)的向量l=1,1,1由

14、題知n·n1=0, n·l=0即所求平面方程變?yōu)锳x-Ay+D=0又點(diǎn)（1，1，1）在平面上，所以有D=0故平面方程為x-y=0.43. 決定參數(shù)k的值，使平面x+ky-2z=9適合下列條件：（1）經(jīng)過(guò)點(diǎn)（5，-4，6）； （2） 與平面2x-3y+z=0成的角.解：（1） 因平面過(guò)點(diǎn)（5，-4，6）故有 5-4k-2×6=9得k=-4.（2） 兩平面的法向量分別為n1=1,k,-2 n2=2,-3,1且解得44. 確定下列方程中的l和m:(1) 平面2x+ly+3z-5=0和平面mx-6y-z+2=0平行; (2) 平面3x-5y+lz-3=0和平面x+3y+2

15、z+5=0垂直.解：（1）n1=2,l,3, n2=m,-6,-1(2) n1=3, -5, l , n2=1,3,245. 通過(guò)點(diǎn)（1，-1，1）作垂直于兩平面x-y+z-1=0和2x+y+z+1=0的平面.解：設(shè)所求平面方程為Ax+By+Cz+D=0其法向量n=A,B,Cn1=1,-1,1, n2=2,1,1又（1，1，1）在所求平面上，故AB+C+D=0，得D=0故所求平面方程為即2x-y-3z=046. 求平行于平面3x-y+7z=5,且垂直于向量i-j+2k的單位向量.解：n1=3,-1,7, n2=1,-1,2.故則47. 求下列直線與平面的交點(diǎn)：(1) , 2x+3y+z-1=0

16、;(2) , x+2y-2z+6=0.解：（1）直線參數(shù)方程為代入平面方程得t=1故交點(diǎn)為（2，-3，6）.（2） 直線參數(shù)方程為代入平面方程解得t=0.故交點(diǎn)為（-2，1，3）.48. 求下列直線的夾角：（1） 和 ；（2） 和 解：（1）兩直線的方向向量分別為：s1=5, -3,3×3, -2,1=3,4, -1s2=2,2, -1×3,8,1=10, -5,10由s1·s2=3×10+4×(-5)+( -1) ×10=0知s1s2從而兩直線垂直，夾角為.(2) 直線的方向向量為s1=4, -12,3,直線的方程可變?yōu)?可求得其方

17、向向量s2=0,2, -1×1,0,0=0, -1, -2,于是49. 求滿足下列各組條件的直線方程：（1）經(jīng)過(guò)點(diǎn)（2，-3，4），且與平面3x-y+2z-4=0垂直；（2）過(guò)點(diǎn)（0，2，4），且與兩平面x+2z=1和y-3z=2平行；（3）過(guò)點(diǎn)（-1，2，1），且與直線平行.解：（1）可取直線的方向向量為s=3，-1，2故過(guò)點(diǎn)（2，-3，4）的直線方程為（2）所求直線平行兩已知平面，且兩平面的法向量n1與n2不平行，故所求直線平行于兩平面的交線，于是直線方向向量故過(guò)點(diǎn)（0，2，4）的直線方程為（3）所求直線與已知直線平行，故其方向向量可取為s=2，-1，3故過(guò)點(diǎn)（-1，2，1）的直

18、線方程為.50. 試定出下列各題中直線與平面間的位置關(guān)系：（1）和4x-2y-2z=3;（2）和3x-2y+7z=8;（3）和x+y+z=3.解：平行而不包含. 因?yàn)橹本€的方向向量為s=-2，-7，3平面的法向量n=4，-2，-2，所以于是直線與平面平行.又因?yàn)橹本€上的點(diǎn)M0（-3，-4，0）代入平面方程有.故直線不在平面上.(2) 因直線方向向量s等于平面的法向量，故直線垂直于平面.(3) 直線在平面上，因?yàn)?而直線上的點(diǎn)（2，-2，3）在平面上.51. 求過(guò)點(diǎn)（1，-2，1），且垂直于直線的平面方程.解：直線的方向向量為,取平面法向量為1，2，3，故所求平面方程為即x+2y+3z=0.52

19、. 求過(guò)點(diǎn)（1，-2，3）和兩平面2x-3y+z=3, x+3y+2z+1=0的交線的平面方程.解：設(shè)過(guò)兩平面的交線的平面束方程為其中為待定常數(shù)，又因?yàn)樗笃矫孢^(guò)點(diǎn)（1，-2，3）故解得=-4.故所求平面方程為2x+15y+7z+7=053. 求點(diǎn)（-1，2，0）在平面x+2y-z+1=0上的投影.解：過(guò)點(diǎn)（-1，2，0）作垂直于已知平面的直線，則該直線的方向向量即為已知平面的法向量，即s=n=1，2，-1所以垂線的參數(shù)方程為將其代入平面方程可得(-1+t)+2(2+2t)-(-t)+1=0得于是所求點(diǎn)（-1，2，0）到平面的投影就是此平面與垂線的交點(diǎn)54. 求點(diǎn)（3，-1，2）到直線的距離.

20、解：過(guò)點(diǎn)（3，-1，2）作垂直于已知直線的平面，平面的法向量可取為直線的方向向量即故過(guò)已知點(diǎn)的平面方程為y+z=1.聯(lián)立方程組解得即為平面與直線的垂足于是點(diǎn)到直線的距離為55. 求點(diǎn)（1，2，1）到平面x+2y+2z-10=0距離.解：過(guò)點(diǎn)（1，2，1）作垂直于已知平面的直線，直線的方向向量為s=n=1，2，2所以垂線的參數(shù)方程為將其代入平面方程得.故垂足為，且與點(diǎn)（1，2，1）的距離為即為點(diǎn)到平面的距離.56. 建立以點(diǎn)（1，3，-2）為中心，且通過(guò)坐標(biāo)原點(diǎn)的球面方程.解：球的半徑為設(shè)(x,y,z)為球面上任一點(diǎn)，則(x-1)2+(y-3)2+(z+2)2=14即x2+y2+z2-2x-6y

21、+4z=0為所求球面方程.57. 一動(dòng)點(diǎn)離點(diǎn)（2，0，-3）的距離與離點(diǎn)（4，-6，6）的距離之比為3，求此動(dòng)點(diǎn)的軌跡方程.解：設(shè)該動(dòng)點(diǎn)為M(x,y,z)，由題意知化簡(jiǎn)得：8x2+8y2+8z2-68x+108y-114z+779=0即為動(dòng)點(diǎn)的軌跡方程.58. 指出下列方程所表示的是什么曲面，并畫(huà)出其圖形：（1）; （2）;（3）; （4）;（5）; （6）.解：（1）母線平行于z軸的拋物柱面，如圖7-7.（2）母線平行于z軸的雙曲柱面,如圖7-8. 圖7-7 圖7-8（3）母線平行于y軸的橢圓柱面，如圖7-9.（4）母線平行于x軸的拋物柱面，如圖7-10. 圖7-9 圖7-10（5）母線平行于z軸的兩平面，如圖7-11. （6）z軸，如圖7-12. 圖7-11 圖7-1259. 指出下列方程表示怎樣的曲面，并作出圖形：（1）; （2）;（3）; （4）;（5）.解：（1）半軸分別為1，2，3的橢球面，如圖7-13. (2) 頂點(diǎn)在（0，0，-9）的橢圓拋物面，如圖7-14. 圖7-13 圖7-14(3) 以x軸為中心軸的雙葉雙曲面，如圖7-15. (4) 單葉雙曲面，如圖7-16. 圖7-15 圖7-16(5) 頂點(diǎn)在坐標(biāo)原點(diǎn)的圓錐面，其中心軸是z軸，如圖7-17. 圖7-17 60. 作出下列曲面所圍成的立體的圖形：