【測(cè)繪課件】第6章 測(cè)量誤差及數(shù)理的基本知識(shí)

1、2021年11月22日星期一 合肥工業(yè)大學(xué)土建學(xué)院測(cè)量工程系1測(cè) 量 學(xué)第第6章章 測(cè)量誤差及數(shù)據(jù)處理的基本知識(shí)測(cè)量誤差及數(shù)據(jù)處理的基本知識(shí)2021年11月22日星期一 合肥工業(yè)大學(xué)土建學(xué)院測(cè)量工程系2第第6 6章章 測(cè)量誤差及數(shù)據(jù)處理的基本知識(shí) 6.1 6.1 概述概述 6.2 6.2 測(cè)量誤差的種類測(cè)量誤差的種類 6.3 6.3 偶然誤差的特性及其概率密度函數(shù)偶然誤差的特性及其概率密度函數(shù) 6.4 6.4 衡量觀測(cè)值精度的指標(biāo)衡量觀測(cè)值精度的指標(biāo) 6.5 6.5 誤差傳播定律誤差傳播定律 6.6 6.6 同精度直接觀測(cè)平差同精度直接觀測(cè)平差 6.7 6.7 不同精度直接觀測(cè)平差不同精度直接

2、觀測(cè)平差 6.8 6.8 最小二乘法原理及其應(yīng)用最小二乘法原理及其應(yīng)用 2021年11月22日星期一 合肥工業(yè)大學(xué)土建學(xué)院測(cè)量工程系3 測(cè)量與觀測(cè)值測(cè)量與觀測(cè)值 觀測(cè)觀測(cè)與觀測(cè)值的分類與觀測(cè)值的分類 觀測(cè)條件觀測(cè)條件 等精度觀測(cè)和不等精度觀測(cè)等精度觀測(cè)和不等精度觀測(cè) 直接觀測(cè)和間接觀測(cè)直接觀測(cè)和間接觀測(cè) 獨(dú)立獨(dú)立觀測(cè)和非獨(dú)立觀測(cè)觀測(cè)和非獨(dú)立觀測(cè)6.1 6.1 測(cè)量誤差概述測(cè)量誤差概述2021年11月22日星期一 合肥工業(yè)大學(xué)土建學(xué)院測(cè)量工程系46.1 6.1 測(cè)量誤差概述測(cè)量誤差概述 測(cè)量誤差及其來(lái)源測(cè)量誤差及其來(lái)源 測(cè)量誤差的來(lái)源測(cè)量誤差的來(lái)源（1 1）儀器誤差：儀器誤差：儀器精度的局限、軸

3、系殘余誤差等。儀器精度的局限、軸系殘余誤差等。（2 2）人為誤差：人為誤差：判斷力和分辨率的限制、經(jīng)驗(yàn)等。判斷力和分辨率的限制、經(jīng)驗(yàn)等。（3 3）外界條件的影響：外界條件的影響：溫度變化、風(fēng)、大氣折光等溫度變化、風(fēng)、大氣折光等 測(cè)量誤差的表現(xiàn)形式測(cè)量誤差的表現(xiàn)形式 測(cè)量誤差（真誤差測(cè)量誤差（真誤差=觀測(cè)值-真值）xl jiijllxl（觀測(cè)值與真值之差）（觀測(cè)值與觀測(cè)值之差）2021年11月22日星期一 合肥工業(yè)大學(xué)土建學(xué)院測(cè)量工程系5例：例： 誤差誤差 處理方法處理方法 鋼尺尺長(zhǎng)誤差鋼尺尺長(zhǎng)誤差 l ld d 計(jì)算改正計(jì)算改正 鋼尺溫度誤差鋼尺溫度誤差 l lt t 計(jì)算改正計(jì)算改正 水準(zhǔn)儀

4、視準(zhǔn)軸誤差水準(zhǔn)儀視準(zhǔn)軸誤差i i 操作時(shí)抵消操作時(shí)抵消( (前后視等距前后視等距) ) 經(jīng)緯儀視準(zhǔn)軸誤差經(jīng)緯儀視準(zhǔn)軸誤差c c 操作時(shí)抵消操作時(shí)抵消( (盤左盤右取平均盤左盤右取平均) ) 2.2.系統(tǒng)誤差系統(tǒng)誤差 誤差出現(xiàn)的大小、符號(hào)相同，或按誤差出現(xiàn)的大小、符號(hào)相同，或按 規(guī)律性變化，具有規(guī)律性變化，具有積累性積累性。 系統(tǒng)誤差可以消除或減弱系統(tǒng)誤差可以消除或減弱。 ( (計(jì)算改正、觀測(cè)方法、儀器檢校計(jì)算改正、觀測(cè)方法、儀器檢校) )測(cè)量誤差分為：測(cè)量誤差分為：粗差粗差、系統(tǒng)誤差系統(tǒng)誤差和和偶然誤差偶然誤差6.2 6.2 測(cè)量誤差的種類測(cè)量誤差的種類1.1.粗差粗差( (錯(cuò)誤錯(cuò)誤) )超限

5、的誤差超限的誤差2021年11月22日星期一 合肥工業(yè)大學(xué)土建學(xué)院測(cè)量工程系63.3.偶然誤差偶然誤差誤差出現(xiàn)的大小、符號(hào)各不相同，誤差出現(xiàn)的大小、符號(hào)各不相同， 表面看無(wú)規(guī)律性。表面看無(wú)規(guī)律性。 例：估讀數(shù)、氣泡居中判斷、瞄準(zhǔn)、對(duì)中等誤差，例：估讀數(shù)、氣泡居中判斷、瞄準(zhǔn)、對(duì)中等誤差， 導(dǎo)致觀測(cè)值產(chǎn)生誤差導(dǎo)致觀測(cè)值產(chǎn)生誤差 。 準(zhǔn)確度(測(cè)量成果與真值的差異） 最或是值（最接近真值的估值，最可靠值） 測(cè)量平差（求解最或是值并評(píng)定精度）4.4.幾個(gè)概念幾個(gè)概念: : 精（密）度（觀測(cè)值之間的離散程度）2021年11月22日星期一 合肥工業(yè)大學(xué)土建學(xué)院測(cè)量工程系7舉例舉例: : 在某測(cè)區(qū)，等精度觀測(cè)

6、了在某測(cè)區(qū)，等精度觀測(cè)了358358個(gè)三角形的內(nèi)個(gè)三角形的內(nèi) 角之和，得到角之和，得到358358個(gè)三角形閉合差個(gè)三角形閉合差 i i( (偶然誤偶然誤 差，也即真誤差差，也即真誤差) ) ，然后對(duì)三角形閉合差，然后對(duì)三角形閉合差 i i 進(jìn)行分析。進(jìn)行分析。 分析結(jié)果表明，分析結(jié)果表明，當(dāng)觀測(cè)次數(shù)很多時(shí)，偶然當(dāng)觀測(cè)次數(shù)很多時(shí)，偶然 誤差的出現(xiàn)，呈現(xiàn)出統(tǒng)計(jì)學(xué)上的規(guī)律性。誤差的出現(xiàn)，呈現(xiàn)出統(tǒng)計(jì)學(xué)上的規(guī)律性。而而 且，觀測(cè)次數(shù)越多，規(guī)律性越明顯。且，觀測(cè)次數(shù)越多，規(guī)律性越明顯。6.3 6.3 偶然誤差的特性偶然誤差的特性2021年11月22日星期一 合肥工業(yè)大學(xué)土建學(xué)院測(cè)量工程系82021年11月

7、22日星期一 合肥工業(yè)大學(xué)土建學(xué)院測(cè)量工程系9用用頻率直方圖頻率直方圖表示的偶然誤差統(tǒng)計(jì)：表示的偶然誤差統(tǒng)計(jì)：頻率直方圖的中間高、兩邊低，并向橫軸逐漸逼近，頻率直方圖的中間高、兩邊低，并向橫軸逐漸逼近， 對(duì)稱于對(duì)稱于y軸。軸。頻率直方圖中，每一條形的面積表示誤差出現(xiàn)在該區(qū)頻率直方圖中，每一條形的面積表示誤差出現(xiàn)在該區(qū) 間的頻率間的頻率k/n，而所有條形的，而所有條形的總面積等于總面積等于1。各條形頂邊中點(diǎn)各條形頂邊中點(diǎn)連線經(jīng)光滑后的曲連線經(jīng)光滑后的曲線形狀，表現(xiàn)出偶線形狀，表現(xiàn)出偶然誤差的普遍規(guī)律然誤差的普遍規(guī)律 圖6-1 誤差統(tǒng)計(jì)直方圖2021年11月22日星期一 合肥工業(yè)大學(xué)土建學(xué)院測(cè)量工

8、程系10從誤差統(tǒng)計(jì)表和頻率直方圖中，可以歸納出偶然誤從誤差統(tǒng)計(jì)表和頻率直方圖中，可以歸納出偶然誤 差的差的四個(gè)特性四個(gè)特性：特性(1)、(2)、(3)決定了特性(4)，特性特性(4)具有實(shí)用意義。具有實(shí)用意義。 3.3.偶然誤差的特性偶然誤差的特性(1)(1)在一定的觀測(cè)條件下，偶然誤差的絕對(duì)值不會(huì)超過(guò)一定在一定的觀測(cè)條件下，偶然誤差的絕對(duì)值不會(huì)超過(guò)一定 的限值的限值( (有界性有界性) )；(2)(2)絕對(duì)值小的誤差比絕對(duì)值大的誤差出現(xiàn)的機(jī)會(huì)多絕對(duì)值小的誤差比絕對(duì)值大的誤差出現(xiàn)的機(jī)會(huì)多( (趨向性趨向性) )；(3)(3)絕對(duì)值相等的正誤差和負(fù)誤差出現(xiàn)的機(jī)會(huì)相等絕對(duì)值相等的正誤差和負(fù)誤差出現(xiàn)

9、的機(jī)會(huì)相等( (對(duì)稱性對(duì)稱性) )；(4)(4)當(dāng)觀測(cè)次數(shù)無(wú)限增加時(shí)，偶然誤差的算術(shù)平均值趨近于零當(dāng)觀測(cè)次數(shù)無(wú)限增加時(shí)，偶然誤差的算術(shù)平均值趨近于零 ( (抵償性抵償性) )： 0limlim21nnnnn2021年11月22日星期一 合肥工業(yè)大學(xué)土建學(xué)院測(cè)量工程系11偶然誤差具有正態(tài)分布的特性偶然誤差具有正態(tài)分布的特性當(dāng)觀測(cè)次數(shù)當(dāng)觀測(cè)次數(shù)n n無(wú)限增多無(wú)限增多( (n n)、誤差區(qū)間誤差區(qū)間d d 無(wú)限縮小無(wú)限縮小( (d d 0)0)時(shí)，各矩形的頂邊就連成一條光滑的曲線，時(shí)，各矩形的頂邊就連成一條光滑的曲線，這條曲線稱為這條曲線稱為“正態(tài)分布曲正態(tài)分布曲線線”，又稱為，又稱為“高斯誤差分高

10、斯誤差分布曲線布曲線”。所以偶然誤差所以偶然誤差具有具有正態(tài)分布正態(tài)分布的特性。的特性。圖6-1 誤差統(tǒng)計(jì)直方圖2021年11月22日星期一 合肥工業(yè)大學(xué)土建學(xué)院測(cè)量工程系121.1.方差與標(biāo)準(zhǔn)差方差與標(biāo)準(zhǔn)差 由正態(tài)分布密度函數(shù) 22221axex式中 、 為常數(shù)；a =2.72828ex=y正態(tài)分布曲線(a=0)令：令： ，上式為：ax22221)(efy6.4 6.4 衡量精度的指標(biāo)衡量精度的指標(biāo)2021年11月22日星期一 合肥工業(yè)大學(xué)土建學(xué)院測(cè)量工程系13標(biāo)準(zhǔn)差 的數(shù)學(xué)意義22221)(efy 表示表示 的的離散程度離散程度x=y較小較大nnnnlimlim2稱為標(biāo)準(zhǔn)差標(biāo)準(zhǔn)差：nnnn

11、nlimlim22222122上式中， 稱為方差方差：2021年11月22日星期一 合肥工業(yè)大學(xué)土建學(xué)院測(cè)量工程系14測(cè)量工作中，用中誤差中誤差作為衡量觀測(cè)值精度的標(biāo)準(zhǔn)。中誤差中誤差: :觀測(cè)次數(shù)無(wú)限多時(shí)，用標(biāo)準(zhǔn)差觀測(cè)次數(shù)無(wú)限多時(shí)，用標(biāo)準(zhǔn)差 表示偶然誤差的離散情形：表示偶然誤差的離散情形：nnlim上式中，偶然誤差上式中，偶然誤差 為觀測(cè)值為觀測(cè)值 與真值與真值x之差：之差：觀測(cè)次數(shù)觀測(cè)次數(shù)n n有限有限時(shí)，用時(shí)，用中誤差中誤差m表示偶然誤差的離散情形：表示偶然誤差的離散情形：nnmn22221i=i - x2021年11月22日星期一 合肥工業(yè)大學(xué)土建學(xué)院測(cè)量工程系15p123表5-2202

12、1年11月22日星期一 合肥工業(yè)大學(xué)土建學(xué)院測(cè)量工程系16 m m1 1小于小于m m2 2, ,說(shuō)明第一組觀測(cè)值的誤差分布比較說(shuō)明第一組觀測(cè)值的誤差分布比較集中集中， 其其精度較高精度較高；相對(duì)地，第二組觀測(cè)值的誤差分布比；相對(duì)地，第二組觀測(cè)值的誤差分布比 較較離散，離散，其其精度較低：精度較低： m1=2.7是第一組觀測(cè)值的中誤差； m2=3.6是第二組觀測(cè)值的中誤差。2021年11月22日星期一 合肥工業(yè)大學(xué)土建學(xué)院測(cè)量工程系172.2.容許誤差容許誤差(極限誤差) 根據(jù)誤差分布的密度函數(shù)，誤差出現(xiàn)在微分區(qū)間d內(nèi)的概率為：demdfpm22221)()(誤差出現(xiàn)在k倍中誤差區(qū)間內(nèi)的概率為

13、：kmkmmdemkmp22221)( 將k=1、2、3分別代入上式，可得到偶然誤差分別出現(xiàn)在一倍、二倍、三倍中誤差區(qū)間內(nèi)的概率： p(| m)=0.683=68.3 p(|2m)=0.954=95.4 p(|3m)=0.997=99.7 測(cè)量中，一般取兩倍中誤差(2m)作為容許誤差，也稱為限差：|容|=3|m| 或 |容|=2|m|2021年11月22日星期一 合肥工業(yè)大學(xué)土建學(xué)院測(cè)量工程系18 3.3.相對(duì)誤差相對(duì)誤差(相對(duì)中誤差) 誤差絕對(duì)值與觀測(cè)量之比。 用于表示距離距離的精度。用分子為1的分?jǐn)?shù)表示。分?jǐn)?shù)值較小相對(duì)精度較高；分?jǐn)?shù)值較大相對(duì)精度較低。 k2k1，所以距離，所以距離s2精度

14、較高精度較高。例例2 2：用鋼尺丈量?jī)啥尉嚯x分別得用鋼尺丈量?jī)啥尉嚯x分別得s s1 1=100=100米米, ,m m1 1=0.02m=0.02m； s s2 2=200=200米米, ,m m2 2=0.02m=0.02m。計(jì)算。計(jì)算s s1 1、s s2 2的相對(duì)誤差。的相對(duì)誤差。 0.02 1 0.02 1 k1= = ； k2= = 100 5000 200 10000解：解：2021年11月22日星期一 合肥工業(yè)大學(xué)土建學(xué)院測(cè)量工程系19一一.一般函數(shù)的中誤差一般函數(shù)的中誤差令 的系數(shù)為 ， (c)式為：ixiixff由于 和 是一個(gè)很小的量，可代替代替上式中的 和 ： ixidx

15、dznnxxfxxfxxf2211(c)代入(b)得對(duì)(a)全微分：nndxxfdxxfdxxfdz2211(b)設(shè)有函數(shù)：),(21nxxxfz為獨(dú)立獨(dú)立觀測(cè)值ix設(shè) 有真誤差 ，函數(shù) 也產(chǎn)生真誤差ixixz(a)6.5 6.5 誤差傳播定律誤差傳播定律2021年11月22日星期一 合肥工業(yè)大學(xué)土建學(xué)院測(cè)量工程系20)()(22)(11)()2()2(22)2(11)2() 1 () 1 (22) 1 (11) 1 (knnkkknnnnxfxfxfxfxfxfxfxfxf對(duì)z觀測(cè)了k次，有k個(gè)式(d)對(duì)(d)式中的一個(gè)式子取平方：（i，j=1n且ij）jijinnxxffxxffxxffxfxfxf2223131212122222221212(e)對(duì)k個(gè)(e)式取總和：njijijijinnxxffxfxfxf1,222222212122(f)2021年11月22日星期一 合肥工業(yè)大學(xué)土建學(xué)院測(cè)量工程系21njijijijinnxxffxfxfxf1