《拉氏變換》課件

1、第九章第九章 拉普拉斯變換拉普拉斯變換9.1 9.1 拉普拉斯變換的概念拉普拉斯變換的概念9.2 9.2 拉氏變換的性質(zhì)拉氏變換的性質(zhì)9.3 9.3 拉氏逆變換拉氏逆變換9.4 9.4 拉氏變換的應(yīng)用拉氏變換的應(yīng)用 )()()()(0)( dtetftuetfFtfLtjwt 引引 言言Fourier變換的限制變換的限制:絕對可積絕對可積在整個數(shù)軸上有定義在整個數(shù)軸上有定義指數(shù)衰減函數(shù)指數(shù)衰減函數(shù)e t ( 00)單位階躍函數(shù)單位階躍函數(shù)u(t)演變?yōu)槔献儞Q演變?yōu)槔献儞Q雙邊拉氏變換雙邊拉氏變換: )()()( dtetftfLtjw 傅氏變換傅氏變換: )()( dtetftfLjwt傅氏

2、變換與拉氏變換的關(guān)系0)(0 tft當(dāng)當(dāng)0 )()()()( jsetutfFtfLt tjs 雙邊拉氏變換雙邊拉氏變換 tjs 傅氏變換傅氏變換 tjs0 單邊拉氏變換單邊拉氏變換9.1 9.1 拉普拉斯變換的概念拉普拉斯變換的概念一、拉氏變換的定義一、拉氏變換的定義 設(shè)函數(shù)設(shè)函數(shù)f(t)當(dāng)當(dāng)t0時有定義，而且積分時有定義，而且積分 0)(dtetfst在在s的某一域內(nèi)收斂的某一域內(nèi)收斂(s是一個復(fù)參量是一個復(fù)參量) ，則由此積，則由此積分決定的函數(shù)可寫為分決定的函數(shù)可寫為 0)()(dtetfsFst稱稱F(s)為為f(t)的拉普拉斯變換的拉普拉斯變換(簡稱拉氏變換簡稱拉氏變換)或象或象函

3、數(shù)，記為函數(shù)，記為F(s)=Lf(t).又稱又稱 f(t)為為F(s)的拉普拉斯逆變換的拉普拉斯逆變換(簡稱為拉氏逆簡稱為拉氏逆變換變換)或象原函數(shù)，即或象原函數(shù)，即f(t)=L 1F(s)解解: 由拉氏變換的定義有由拉氏變換的定義有 0d1)(tetuLstsesst101 0d1)sgn(tetLsts1 0d11teLsts1 例例1 分別求出單位階躍函數(shù)分別求出單位階躍函數(shù)u(t),符號函數(shù)符號函數(shù)sgnt,以以 及及f(t)=1的拉氏變換的拉氏變換(Res 0)(Res 0)(Res 0)例例2 求出指數(shù)函數(shù)求出指數(shù)函數(shù)f (t) = e kt 的拉氏變換的拉氏變換解解: 0)(0d

4、d)(teteetfLtksstktks 1(Res Rek)例例3 求正弦函數(shù)求正弦函數(shù)f(t)=sinkt(k為實數(shù)為實數(shù))的的laplace變換變換解解: 根據(jù)定義有根據(jù)定義有 0sin)(sindtktektLst 022)cossin(ktkktsksest0Re(s) 22 ksk同理可得同理可得0Re(s) cos22 kssktL二、拉氏變換的存在定理二、拉氏變換的存在定理拉氏變換存在定理拉氏變換存在定理: : 設(shè)函數(shù)設(shè)函數(shù)f (t)滿足下列條件：滿足下列條件：2 2f (t)在在t0的任一有限區(qū)間上分段連續(xù)，間斷點的任一有限區(qū)間上分段連續(xù)，間斷點的個數(shù)是有限個，且都是第一類間

5、斷點；的個數(shù)是有限個，且都是第一類間斷點；3 3f (t)是指數(shù)級函數(shù)是指數(shù)級函數(shù)(增長速度不超過指數(shù)函數(shù)增長速度不超過指數(shù)函數(shù))1 1當(dāng)當(dāng)t0時，時，f (t)=0；則則f (t)的拉氏變換的拉氏變換 0)()(dtetfsFst在半平面在半平面Re(s)c 一定存在，一定存在，F(xiàn)(s)是解析函數(shù)。是解析函數(shù)。即存在常數(shù)即存在常數(shù)M 0及及c 0使使| f(t)|Mect (0t (Res Re ) 0)(0)(tsttsese ss四、常用函數(shù)的拉氏變換公式四、常用函數(shù)的拉氏變換公式 )0)(Re(,1)()1( sstuL )(Re(1)()3( stLd d )0)(Re(,cos)5

6、(22 skssktL )0)(Re(,sin )4(22 skskktL)Re()(Re(,1 )2(kskseLkt (1) 線性性質(zhì)線性性質(zhì))()(),()(sGtgLsFtfL 且且有有設(shè)設(shè)a a、 為常數(shù)為常數(shù), , ).()()()(2121sFsFtftfL 則有則有9.2 9.2 拉氏變換的性質(zhì)拉氏變換的性質(zhì)例例1: 求常數(shù)求常數(shù)A的的Laplace變換變換. 0dtAest 0dteAstsA/ 例例2: 求函數(shù)求函數(shù)f(t)=A(1 e a at)的的Laplace變換變換. 0)1()(dteeAtfLstta a解解: 0)()(dtetftfLst解解:)11(a a

7、 ssA 00dteAedtAesttsta a 00dteAedtAesttsta a例例3 求正弦函數(shù)求正弦函數(shù)f(t)=sinkt(k為實數(shù)為實數(shù))的的laplace變換變換1121jksjksj 22ksk dteeejstjktjkt 0)(21 0sin)(dtktetfLst解解:例例4 求余弦函數(shù)求余弦函數(shù)f(t)=coskt(k為實數(shù)為實數(shù))的的laplace變換變換dteeestjktjkt 0)(21(2) 相似性質(zhì)相似性質(zhì)(a為正實數(shù)為正實數(shù)) asFaatfL1設(shè)設(shè)Lf(t)=F(s), 則當(dāng)則當(dāng)a為正實數(shù)時為正實數(shù)時 0d)()(teatfatfLst證明：證明：

8、0cos)(dtktetfLst解解:1121jksjks 22kss ，令令at 0d)()(aefatfLas 0d)(1 asefa asFa1(3)微分性質(zhì)微分性質(zhì) 推論：推論： )(tfLn )0()0()(21fsfssFsnnn ),0()1( nf)0()()(fssFtfL 設(shè)設(shè)Lf(t)=F(s), 則有則有證明：證明： tetsfetftetfstststd)()(d000 )0()(fssF sin1022wtwswsw 22wss 例例5 求函數(shù)求函數(shù) f(t)=coswt 的拉氏變換的拉氏變換例例6 求函數(shù)求函數(shù) f(t) = t m 的拉氏變換的拉氏變換解解: 由

9、于由于0)0()0()0(1 mfff!)(mtfm 而而故故)()( !tfLstfLmLmm 根據(jù)線性性質(zhì)有根據(jù)線性性質(zhì)有smLmmL!1 ! ! )(sin1costwdtdwLtwL 解解:故故1! msmtLm( (4)4)象函數(shù)微分性質(zhì)象函數(shù)微分性質(zhì) 一般地，有一般地，有 ,)1(sFdsdtftLnnnn )1(dd)(sstLtfL 21s 例例7 求函數(shù)求函數(shù) f(t) = t 的拉氏變換的拉氏變換解解: 由于由于sL1)1( 故故例例8 求函數(shù)求函數(shù) f(t) = te at 的拉氏變換的拉氏變換 )()(sFdsdttfL 設(shè)設(shè)Lf(t)=F(s), 則則2)(1as (

10、5)(5)積分性質(zhì)積分性質(zhì) )1(dd)(assteLtfLat 解解: 由于由于aseLat 1)(故故例例9 求函數(shù)求函數(shù) f(t) = tsinkt 的拉氏變換的拉氏變換222)(2ksks )(ddsin)(22kskskttLtfL 解解: 由于由于22)(sinkskktL 故故 sFsdttfLt10 設(shè)設(shè)Lf(t)=F(s), 則則0)0()()( gtftg且且則則)(1d)(0sFsttfLt 即即推論推論: : .1000sFsdttfdtdtLnnttt 次次證明：證明：,d)()(0ttftgt 設(shè)設(shè)),0()()(gtgsLtgL 由由微微分分性性質(zhì)質(zhì)有有例例10

11、求函數(shù)求函數(shù) 的拉氏變換的拉氏變換 ttdtttf02sin)(2sin)()(0 ttdttLtfLsF解解: 由拉氏變換積分性質(zhì)有由拉氏變換積分性質(zhì)有2sin1ttLs 422sin2 stL由由于于由微分性質(zhì)有由微分性質(zhì)有222)4(4422sin sssttL22)4(4)( stfL故故( (6)6)象函數(shù)積分性質(zhì)象函數(shù)積分性質(zhì) 若若Lf(t)=F(s)，則，則 sdssFtftL1 0)()(dtetfsFst證明：證明：兩邊對兩邊對s s積分：積分： sstsstetfssFdd)(d)(0交換積分次序交換積分次序: :tsetfIstsdd)(0 tettfstsd1)(0 t

12、ettftsd)(0 次次nsssndssFdsdstftL 1推論推論:例例11 求函數(shù)求函數(shù) f(t) = sint / t 的拉氏變換的拉氏變換dssttLtfLs 11sin)(2解解: 由于由于11)(sin2 stL則由象函數(shù)積分性質(zhì)有則由象函數(shù)積分性質(zhì)有= arccots)(ttfL sarcdtettstcotsin0 即即令令s = 0得得2sin0 dttt(7) 延遲性質(zhì)延遲性質(zhì) 若若t 0, b0, 求單位階躍函數(shù)求單位階躍函數(shù)1, t b/a,0, t tjwsdsesFjtfjjst 積分路線是平行于虛軸的直線積分路線是平行于虛軸的直線Res=反演積分公式反演積分公

13、式dsesFjtutfstjj )(21)()(一、求解常微分方程一、求解常微分方程( (組組) )2.4 2.4 拉氏變換的應(yīng)用拉氏變換的應(yīng)用象原函數(shù)象原函數(shù) (方程的解方程的解) 象函數(shù)象函數(shù) 微分方程微分方程象函數(shù)的代象函數(shù)的代數(shù)方程數(shù)方程取取Laplace變換變換取取Laplace逆變換逆變換解代數(shù)方程解代數(shù)方程例例19 求解微分方程求解微分方程0)0()0(,cos2)(2)(2)( xxtetxtxtxt解解: 設(shè)設(shè)Lx(t)=X(s), 方程兩邊取拉氏變換方程兩邊取拉氏變換,1)1()1(2)(2)(2)(22 sssXssXsXs,1)1()1(2)(22 sssX解此方程得解此方程得:求拉氏逆變換得求拉氏逆變換得: 1)1()1(2)()(2211 ssLsXLtx)11(21 sLet1121 sLtetttetsin )1(2)(221 ssLetxt解解:,11)()( ssYsX解此方程組得解此方程組得:取拉氏逆變換得取拉氏逆變換得 x(t) = y(t)