淺談數(shù)理方程中線性邊界條件的分類

1、淺談數(shù)理方程中線性邊界條件的分類扌商要：數(shù)學(xué)物理方程中有定解離不開初始條件和邊界條件，其反映了具體問題所處的 環(huán)境和背景。本文針對線性邊界條件的分類進行歸納。關(guān)鍵i司：數(shù)學(xué)物理方程線性邊界條件分類一、引言物理課程中所研究論述的物理規(guī)律是物理量在空間和吋間中變化的規(guī)律。物理 規(guī)律用數(shù)學(xué)表達是：物理量u在各個地點和各個吋刻所取值之間的聯(lián)系。通過這種 聯(lián)系，我們就可以由邊界條件和初始條件推算出物理量在任意地點和任意時刻的 u(x,y,z, t)o同吋它也是解決問題的依據(jù)。為了解算具體問題，應(yīng)該考慮到所研究 的區(qū)域所處的環(huán)境。邊界條件和初始條件就是反映具體問題所處的環(huán)境和背景。二、線性邊界條件的分類物

2、理規(guī)律反映的是物理量在時間和空間上的聯(lián)系，與特定的周圍環(huán)境和歷史有 關(guān)。物理中的聯(lián)系總是要通過中介，周圍環(huán)境的影響是通過邊界傳給其研究對象， 所以，周圍環(huán)境的影響體現(xiàn)于邊界所處的物理狀況，即邊界條件。而不同的物理過 程，因其具體的條件不同，結(jié)果也不一樣。下面，將對線性邊界條件進行簡單的歸 納。仁第一類邊界條件這類邊界條件肓接規(guī)定了所研究的物理量在邊界上的數(shù)值。 u (兀,y,z,r)邊界xo,yo,z(ff (t, xo, y«, zo,),又稱狄利克雷dirichlet邊界條件。首先以弦振 動為例：取一根長為l的弦，把它的兩端乂=0和滅=厶固定起來，然后讓它振動。 邊界條件x=0和

3、x二厶既然是固定的，那位移u當(dāng)然始終為零。u (x,/)k=o = 0u = o = no t/(x,r)|x = / = 7vof(p® zj)w.v(x, z)|jt = « = 0, w -v = / = 0" (x)x=t 0du三|邊界xo.yoaoon kunx=a = 0對于細桿導(dǎo)熱問題，如果桿的某一端點x二a的溫度u按已知的規(guī)律f (t)變化，則 該點的邊界條件是：u(x9t)x =(l = f(t)特別是如果該端點恒溫u°，則邊界條件成為(7(x,/)|.v = « = /(wo)再如，半導(dǎo)體擴散工藝的“恒定表面濃度擴散”中，

4、硅片周圍環(huán)境是攜帶著充足 雜質(zhì)的氮氣，雜質(zhì)通過硅片表面向內(nèi)部擴散，而硅片表面的雜質(zhì)濃度保持一定。硅片 的邊界就是它的表面x二0和x二厶，邊界上的物理則是雜質(zhì)濃度u保持為常數(shù)no.u (x,/)卜=o = no t/(x,z)|x = r = /vo例1：設(shè)有一半徑為a高為h的圓柱體，其底面和側(cè)面保持恒溫uo,而頂端溫度按已 知規(guī)律變化，試寫岀其導(dǎo)熱問題的邊界條件。解：設(shè)桿的溫度為npgt)，則其邊界條件為u z = 0 = 110,11 z = h = (p,(p,t),u p = a = uo例2:考慮長為l的均勻桿的導(dǎo)熱問題若(1)桿的兩端溫度保持零度(2) 桿的兩端均絕熱(3) 桿的一端

5、為恒溫零度，另一端絕熱；試寫出該導(dǎo)熱問題在以上三種情況下 的邊界條件。解：設(shè)桿的溫度為則(1 ) ux = 0 = 0,"x = / = 0(2)因為當(dāng)沿桿長方向有熱量流動時，有其中，q為熱流強度，而桿的兩端絕熱，就意味著桿的兩端與外界沒有熱交換，亦即沒有熱量的流動(q=0)故有冷兀=0 = 0，弘兀=/ = 0(3),此時有u x = o = q,u x = 1 = 02第二類邊界條件這類邊界條件規(guī)定了所研究的物理量在邊界外法線方向上的導(dǎo)數(shù)的值単|邊界gyo,zo 二 f(t,onxo, yo, zo)又稱諾伊曼(neumanmi)邊界條件。例如作縱振動的桿的某個端點x=a受有沿端

6、點外法線方向的外力f(t),根據(jù)胡克定律，該端點的張應(yīng)力yu與外力的關(guān)系為n xax=as = /(r)=0o 當(dāng) f(t)h0 時,其中s為桿的橫截面積。如該端點是自由的，f(t)=o,則他a x=a對 x二l 端點，對 x=0 端點，m)/ys。又如細桿導(dǎo)熱問題，若桿的某個端點x二a有熱流f(t)沿該端點外法線方向流出,則根據(jù)熱傳導(dǎo)定律，邊界條件為-kuflx=(=f(t)；如熱流f(t)是流入，則邊界條件為一心=-/(/)。如果端點絕熱。則冷 =0。n x=axn x=a該端點的熱流強度為零，而沿x方向的熱流強度等于熱傳導(dǎo)系數(shù)k溫度ux的乘積 變號因此：uv(x,z) x = a = 0

7、再如，半導(dǎo)體擴散工藝的“限定源擴散”中沒有外來的雜質(zhì)通過硅片表面進入 硅片，只是硅片表層己有的雜質(zhì)向硅片深部擴散。從“限度源”這個條件并不能推 斷在硅片表面的濃度u的值。但是，限定源意味著通過硅片表面x=0和x二l的擴散流強度為零，而沿x方向的擴散流強度對于擴散系數(shù)d與濃度梯度冷的乘積變號,因此ux(x,t)x=l =0 o例3:分別寫出以下關(guān)于桿的縱振動問題的定解條件。（1）均勻細桿長為l,在x=0端固定，而在另一端受著一個沿桿長方向的力q, 如果在開始一瞬間，突然停止這個力的作用，求桿的縱向振動。（2）長為l而固定于x二0 端的均勻細桿，處于靜止?fàn)顟B(tài)中，在x二0時，一 個沿著桿長方向的力q

8、加在桿的另一端上，求在t>0時桿上各點的位移。解：設(shè)桿作縱振動的位移u（x, t）,則（1） 其邊界條件為a=()=0因為在x二l端雖然受到一個力q,但這個力在開始的一瞬間已停止，所以對于整個振動 過程而言x=l端并不受力，力q只是引起了初始位移。設(shè)桿的橫截面積為s,則又hooke 定律有=q s所以（2） 其邊界條件為m/lo=o 代仁=備因為力q自t=0時作用在x二l端后，就沒有停止和撤消過。故q導(dǎo)致的是邊界條件而不 是初始條件。由于開始時桿是處于靜止?fàn)顟B(tài)中所以初始條件為f |/=()=0第三類邊界條件這類邊界條件規(guī)定了所研究的物理量及其外法向?qū)?shù)的線性組合在邊界上的數(shù)值。例如，細桿

9、導(dǎo)熱問題，如果桿的某一端點x二8自由冷卻，即桿端和周圍介質(zhì)按照 牛頓冷卻交換熱量，從“自由冷卻”這個條件既不能推斷在該端點的溫度u的值，也不能推斷在該端點的溫度梯度他的值。但是，自由冷卻規(guī)定了從桿端流出的熱流強度s與溫度差（ux=（i - q）之間的關(guān)系-kun = h（u -q）n x=ax=a艮卩 o +=0（h=k/h）o對于兩端x二0和x二l都是自由冷卻的桿，在x二l的一端，外法向n就是x方向，所以自 由冷卻條件可表為（u + hux）x=l =0；在x二0的一端，外法向n是一 x方向，所以自由冷卻條件可表為（弘-hux）x=q = 0。值得注意的是，如果桿端跟在周圍介質(zhì)的熱傳導(dǎo)交換系

10、數(shù)h遠遠大于桿的熱傳導(dǎo)系數(shù)k, 則h = k/ho,上述邊界條件就退化為第一類邊界條件=0和比/x=l例4導(dǎo)出長為l的桿的縱向振動問題下列情況下的邊界條件：一端固定，另一 端為彈性連接（即通過某彈性體而連接與定點）解：設(shè)桿的x=0端固定，另一端為彈性連接，而該特性體的倔強系數(shù)為k。顯 然對于x二l端，可以直接利用uxx=l二丄懇j rs注意到耳）（/）為彈性力-k“l(fā)"，所以有（“+hu）l=i=°其中 /7 = >0o以上邊界條件都是線性的，有些邊界條件甚至是非線性的。例如，在熱傳導(dǎo)問題屮, 如果物體表面按斯蒂芬定律向周圉輻射熱量，那就是出現(xiàn)非線性邊界條件。對于非線性 邊界條件，就不加以說明了。結(jié)束語邊界條件在專業(yè)領(lǐng)域的應(yīng)用十分廣泛。對于旋轉(zhuǎn)對稱的三維問題，只要給出體系的 邊界條件，我們就可以求解常微分方程。在導(dǎo)體靜電學(xué)中也用到了邊界條件來解體。在 重力場粒子的運動的研究中就，邊界條件更是發(fā)揮了關(guān)鍵的作用。參考文獻1. 姚端正 數(shù)學(xué)物理方法學(xué)習(xí)指導(dǎo)(m)北京科學(xué)出版社20012. 谷超豪等數(shù)學(xué)物理方程(m)高等教育出版社20023