初二期末壓軸題答案及解析

1、學(xué)習(xí)必備歡迎下載1（ 2021.鐵嶺） abc 是等邊三角形，點(diǎn)d 是射線 bc 上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)（點(diǎn)d 不與點(diǎn) b、c 重合）， ade是以 ad 為邊的等邊三角形，過(guò)點(diǎn)e 作 bc 的平行線，分別交射線ab 、ac 于點(diǎn) f、g，連接 be（ 1）如圖（ a）所示，當(dāng)點(diǎn)d 在線段 bc 上時(shí) 求證： aeb adc ； 探究四邊形bcge 是怎樣特殊的四邊形？并說(shuō)明理由；（ 2）如圖（ b）所示，當(dāng)點(diǎn)d 在 bc 的延長(zhǎng)線上時(shí)，直接寫出（1）中的兩個(gè)結(jié)論是否成立；（ 3）在（ 2）的情形下，當(dāng)點(diǎn)d 運(yùn)動(dòng)到什么位置時(shí)，四邊形bcge 是菱形？并說(shuō)明理由考點(diǎn) ： 全等三角形的判定；平行四邊形的判定

2、；菱形的判定；專題 ： 幾何綜合題；分析： 此題要嫻熟多方面的學(xué)問(wèn)，特殊是全等三角形和平行四邊形和菱形的判定解答： 證明：（ 1） abc 和ade 都是等邊三角形， ae=ad ，ab=ac ， ead= bac=60 °（ 1 分）又 eab= ead bad ， dac= bac bad ， eab= dac ， aeb adc （ 3 分） 方法一：由 得aeb adc ， abe= c=60° 又 bac= c=60 °， abe= bac ， eb gc （5 分）又 eg bc ，四邊形bcge 是平行四邊形 （6 分）方法二：證出 aeg adb

3、，得 eg=ab=bc （5 分）由 得aeb adc 得 be=cg 四邊形bcge 是平行四邊形 （6 分）（ 2） 都成立（ 8 分）（ 3）當(dāng) cd=cb（ cad=30 °或 bad=90 °或 adc=30 °）時(shí)，四邊形bcge 是菱形（ 9 分）理由：方法一：由 得 aeb adc ， be=cd （ 10 分） 又 cd=cb ，學(xué)習(xí)必備歡迎下載 be=cb （ 11 分）由 得四邊形bcge 是平行四邊形，四邊形bcge 是菱形（ 12 分）方法二：由 得aeb adc ， be=cd （ 9 分）又四邊形bcge 是菱形， be=cb （ 1

4、1 分） cd=cb （ 12 分）方法三：四邊形bcge 是平行四邊形， be cg ， eg bc， fbe= bac=60 °， f= abc=60 °（ 9 分） f= fbe=60 °， bef 是等邊三角形 （ 10 分）又 ab=bc ，四邊形bcge 是菱形， ab=be=bf ， ae fg（ 11 分） eag=30 °， ead=60 °， cad=30 度（ 12 分）點(diǎn)評(píng)： 此題考查三角形的全等以及菱形的判定2如圖，在rt abc 中， acb=90 °， b=60 °， bc=2 點(diǎn) o 是 ac

5、 的中點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)o 的直線 l 與 ab 邊相交于點(diǎn) d 過(guò)點(diǎn) c 作 ce ab 交直線 l 于點(diǎn) e，設(shè) aod= （ 1）當(dāng) 等于多少度時(shí)，四邊形edbc 是等腰梯形？并求此時(shí)ad 的長(zhǎng)；（ 2）當(dāng) =90°時(shí)，判定四邊形edbc 是否為菱形，并說(shuō)明理由考點(diǎn) ： 菱形的判定；等腰梯形的判定；分析： （ 1）要使四邊形edbc 是等腰梯形，題中已有ec ab ，求出 bc=ed ， edb= b=60 °即可；（ 2）當(dāng) =90 °時(shí)，直線l ac，可得出bc ed，利用角相等求出四邊形edbc 為平行四邊形，再加上一組鄰邊相等，即bc=bd 即可解答： 解：（

6、 1）解法一：當(dāng)=30°時(shí)，四邊形edbc 是等腰梯形 （ 1 分）當(dāng) =30°時(shí)， edb=60 °，在 rt abc 中， acb=90 °， b=60 °，bc=2 ， a=30 °， ab=4 ，（ 2 分）在等腰梯形edbc 中，過(guò)點(diǎn)c 作 db 的垂線，易得db=2+ec ，（ 3 分）所以 ab=ad+db=2+ec，又 ad=ec ，所以 ab=2+2ad ，即 4=2+2ad ，所以 ad=1 （ 4 分）解法二：當(dāng)=30°時(shí)，四邊形edbc 是等腰梯形 （ 1 分）學(xué)習(xí)必備歡迎下載 ed=bc=2 ce

7、ab a= eca點(diǎn) o 是 ac 的中點(diǎn) oa=oc又 = eoc eoc doa （ 2 分）（ 3 分） a= =30° ad=od=1 ；（ 4 分）（ 2）當(dāng) =90 °時(shí)，四邊形edbc 是菱形證明： = acb=90 °， bc ed ce ab ，四邊形edbc 是平行四邊形 （ 5 分）在 rt abc 中， acb=90 °， b=60 °，bc=2 ， a=30 °，（ 6 分）直角 abc 中， b=60 ° cab=30 ° ab=2bc=4點(diǎn) o 是 ac 的中點(diǎn)且 =90 °

8、 od bc ad=ab=2在 rtaod 中， a=30 °， ad=2 bd=2 ，bd=bc （ 7 分）又四邊形edbc 是平行四邊形，四邊形edbc 是菱形（ 8 分）點(diǎn)評(píng)： 嫻熟把握菱形的性質(zhì)及判定，懂得等腰梯形的性質(zhì)3（ 2021.郴州）如圖1，已知正比例函數(shù)和反比例函數(shù)的圖象都經(jīng)過(guò)點(diǎn)m （ 2， 1），且 p（ 1， 2）為雙曲線上的一點(diǎn)，q 為坐標(biāo)平面上一動(dòng)點(diǎn)，pa 垂直于 x 軸， qb 垂直于 y 軸，垂足分別是a 、b（ 1）寫出正比例函數(shù)和反比例函數(shù)的關(guān)系式；（ 2）當(dāng)點(diǎn) q 在直線 mo 上運(yùn)動(dòng)時(shí)，直線mo 上是否存在這樣的點(diǎn)q，使得 obq 與 oap

9、面積相等？假如存在，懇求出點(diǎn)的坐標(biāo)，假如不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由；學(xué)習(xí)必備歡迎下載（ 3）如圖 2，當(dāng)點(diǎn) q 在第一象限中的雙曲線上運(yùn)動(dòng)時(shí)，作以op、oq 為鄰邊的平行四邊形opcq ，求平行四邊形 opcq 周長(zhǎng)的最小值考點(diǎn) ： 反比例函數(shù)綜合題；專題 ： 壓軸題；分析： （ 1）正比例函數(shù)和反比例函數(shù)的圖象都經(jīng)過(guò)點(diǎn)m （ 2， 1），設(shè)出正比例函數(shù)和反比例函數(shù)的解析式，運(yùn)用待定系數(shù)法可求它們解析式；（ 2）由于 p（ 1， 2）為雙曲線y=上的一點(diǎn)，所以 obq 、 oap 面積為 2，依據(jù)反比例函數(shù)的圖象和性質(zhì)，點(diǎn)q 在雙曲線上，即符合條件的點(diǎn)存在，是正比例函數(shù)和反比例函數(shù)的圖象的交點(diǎn)；（ 3

10、）由于四邊形opcq 是平行四邊形，所以op=cqoq=pc ，而點(diǎn) p（ 1， 2）是定點(diǎn)，所以op 的長(zhǎng)也是定長(zhǎng)，所以要求平行四邊形opcq 周長(zhǎng)的最小值就只需求oq 的最小值解答：解：（ 1）設(shè)正比例函數(shù)解析式為y=kx ，將點(diǎn) m （ 2， 1）坐標(biāo)代入得k=，所以正比例函數(shù)解析式為y=x ，同樣可得，反比例函數(shù)解析式為；（ 2）當(dāng)點(diǎn) q 在直線 om 上運(yùn)動(dòng)時(shí)，設(shè)點(diǎn) q 的坐標(biāo)為q（ m，m），于是 sobq2=|ob ×bq|=× m ×m=m ，而 soap=|（ 1） ×（ 2）|=1，所以有，m2=1，解得 m= ±2，所以點(diǎn)

11、 q 的坐標(biāo)為q1（ 2， 1）和 q2（ 2， 1）；（ 3）由于四邊形opcq 是平行四邊形，所以op=cq ， oq=pc ，學(xué)習(xí)必備歡迎下載而點(diǎn) p（ 1， 2）是定點(diǎn)，所以op 的長(zhǎng)也是定長(zhǎng)，所以要求平行四邊形opcq 周長(zhǎng)的最小值就只需求oq 的最小值，（ 8 分）由于點(diǎn) q 在第一象限中雙曲線上，所以可設(shè)點(diǎn)q 的坐標(biāo)為q（ n，），由勾股定理可得2oq =n2+=（ n）2+4，所以當(dāng)（ n）2=0 即 n=0 時(shí)， oq2 有最小值4，又由于 oq 為正值，所以oq 與 oq2 同時(shí)取得最小值，所以 oq 有最小值 2，由勾股定理得op=，所以平行四邊形opcq 周長(zhǎng)的最小值是

12、2（op+oq ） =2（+2）=2+4（ 10 分） 點(diǎn)評(píng)： 此題難度稍大，考查一次函數(shù)反比例函數(shù)二次函數(shù)的圖形和性質(zhì)，綜合性比較強(qiáng)要留意對(duì)各個(gè)知識(shí)點(diǎn)的敏捷應(yīng)用4閱讀探究：例：如圖1， abc 是等邊三角形，點(diǎn)m 是邊 bc 的中點(diǎn)， amn=60 °，且 mn 交三角形外角的平分線cn 于點(diǎn) n、求證： am=mn 思路點(diǎn)撥：取的ab 中點(diǎn) p，連接 pm ，易證 apm mcq 從而 am=mn 問(wèn)題解決：（ 1）如圖 2，四邊形 abcd是正方形，點(diǎn)m 是邊 bc 的中點(diǎn)， cn 是正方形abcd的外角 dcq 的平分線 填空：當(dāng) amn=90° °時(shí)，

13、am=mn ； 證明 的結(jié)論（ 2）請(qǐng)依據(jù)例題和問(wèn)題（1）的解題過(guò)程，在正五邊形abcde中推廣出一個(gè)類似的真命題（請(qǐng)?jiān)趫D3中作出相應(yīng)圖形，標(biāo)注必要的字母，并寫出已知和結(jié)論，無(wú)需證明）考點(diǎn) ： 正方形的性質(zhì)；全等三角形的判定與性質(zhì)；等邊三角形的性質(zhì)；分析： （ 1）當(dāng) amn=90 °時(shí)， am=mn 取的 ab 中點(diǎn) p，連接 pm ，依據(jù)正方形的性質(zhì)，四邊相等，四個(gè)角都是直角， 以及直角三角形中斜邊的中線等于斜邊的一半等結(jié)論，最終能證明 apm mcq從而得到結(jié)論（ 2）依據(jù)例題和問(wèn)題（1）可知都是取一個(gè)邊的中點(diǎn)，所以正五邊形abcde 中點(diǎn) m 是邊 bc 的中點(diǎn)， cn 是正

14、五邊形abcde的外角 dcq 的平分線，當(dāng)amn=108 °求證： am=mn 解答： （ 1）解： 填空：當(dāng) amn=90 °時(shí)， am=mn ；（ 2 分） 證明：取的ab 中點(diǎn) p，連接 pm ，（ 3 分）四邊形abcd是正方形，學(xué)習(xí)必備歡迎下載 pam+ amb=90 °， amn=90 °， cmn+ amb=90 °， pam=cmn ，（ 4 分）點(diǎn) m 是邊 bc 的中點(diǎn)， 點(diǎn) p 是邊 ab 的中點(diǎn)， ab=bc ， ap=mc ，bp=bm ， b=90 °， bpm 是等腰直角三角形， bpm=45 

15、6;， apm=135 °， dcb=90 °， dcq=90 °， ncq=45 °， mcn=135 °， apm= mcn ，（ 5 分） apm mcn ， am=mn；（ 6 分）（ 2）正五邊形abcde中點(diǎn) m 是邊 bc 的中點(diǎn)， cn 是正五邊形abcde的外角 dcq 的平分線，當(dāng) amn=108 °求證： am=mn （ 8 分）（圖形和文字均正確得（2 分），否就不得分）點(diǎn)評(píng)： 此題考查懂得題意才能，依據(jù)例題可類比做其他題目，此題考查了正方形的性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)以及等邊三角形的性質(zhì)學(xué)習(xí)必備歡迎下載5（

16、 2006.沈陽(yáng)）如圖1，在正方形abcd 中，點(diǎn) e、f 分別為邊bc 、cd 的中點(diǎn)， af 、de 相交于點(diǎn)g， 就可得結(jié)論： af=de ， af de （不須證明） （ 1）如圖 ，如點(diǎn) e、f 不是正方形abcd 的邊 bc、cd 的中點(diǎn)，但滿意ce=df ，就上面的結(jié)論 、 是否仍舊成立； （請(qǐng)直接回答“成立 ”或“不成立 ”）（ 2）如圖 ，如點(diǎn) e、f 分別在正方形abcd 的邊 cb 的延長(zhǎng)線和dc 的延長(zhǎng)線上，且ce=df ，此時(shí)上面的結(jié)論 、 是否仍舊成立？如成立，請(qǐng)寫出證明過(guò)程；如不成立，請(qǐng)說(shuō)明理由（ 3）如圖 ，在（ 2）的基礎(chǔ)上，連接ae 和 ef，如點(diǎn) m 、n

17、、p、q 分別為 ae 、ef 、fd、ad 的中點(diǎn)，請(qǐng)先判定四邊形mnpq 是“矩形、菱形、正方形、等腰梯形”中的哪一種，并寫出證明過(guò)程考點(diǎn) ： 正方形的性質(zhì)；直角三角形全等的判定；正方形的判定；專題 ： 幾何綜合題；分析： （ 1）依據(jù)正方形的性質(zhì)證明 dec afd 即可知道結(jié)論成立（ 2）由已知得四邊形abcd 為正方形，證明rt adf rt ecd，然后推出 ade+ daf=90 °；進(jìn)而得出af de；（ 3）第一依據(jù)題意證明四邊形mnpq 是菱形， 然后又由于af de ，得出四邊形mnpq 為正方形解答： 解：（ 1） df=ce ， ad=dc ，且 adf=

18、dce ， dec afd ；結(jié)論 、 成立（ 1 分）（ 2）結(jié)論 、 仍舊成立理由為：四邊形abcd為正方形， ad=dc=cb且 adc= dcb=90 °，在 rt adf 和 rt ecd 中， rt adf rt ecd （ sas），（3 分） af=de ， daf= cde ， ade+ cde=90 °， ade+ daf=90 °， agd=90 °， af de ；（ 5 分）（ 3）結(jié)論：四邊形mnpq 是正方形（ 6 分）證明： am=me ， aq=qd ，學(xué)習(xí)必備歡迎下載 mq de 且 mq=de ，同理可證： pn d

19、e， pn=de ； mn af ， mn=af ； pq af ， pq=af ； af=de ， mn=np=pq=qm，四邊形mnpq 是菱形，（ 8 分）又 af de ， mqp= qmn= mnp= npq=90 °，四邊形mnpq 是正方形（ 10 分）點(diǎn)評(píng)： 此題考查的是全等三角形的判定，正方形的判定以及正方形的性質(zhì)，難度一般6在直角坐標(biāo)系xoy 中，將面積為3 的直角三角形ago 沿直線 y=x 翻折，得到三角形cho ，連接 ac ，已知反比例函數(shù)的圖象過(guò) a 、c 兩點(diǎn)，如圖 （ 1） k 的值是6；（ 2）在直線y=x 圖象上任取一點(diǎn)d，作 ab ad ， a

20、c cb ，線段 od 交 ac 于點(diǎn) f，交 ab 于點(diǎn) e， p為直線 od 上一動(dòng)點(diǎn)，連接pb、pc、ce如圖 ，已知點(diǎn)a 的橫坐標(biāo)為1，當(dāng)四邊形aecd 為正方形時(shí)，求三角形pbc 的面積；如圖 ，如已知四邊形pebc 為菱形，求證四邊形pbcd 是平行四邊形；如 d、p 兩點(diǎn)均在直線y=x 上運(yùn)動(dòng)，當(dāng) adc=60 °，且三角形pbc 的周長(zhǎng)最小時(shí)，請(qǐng)直接寫出三角形pbc 與四邊形abcd 的面積之比考點(diǎn) ： 反比例函數(shù)綜合題；專題 ： 代數(shù)幾何綜合題；分析： （ 1）已知 aog 的面積為3，即 a 點(diǎn)橫、縱坐標(biāo)的乘積為6，由此可得k 的值（ 2） 已知了 a 點(diǎn)橫坐標(biāo)，

21、 依據(jù)雙曲線的解析式可確定a 點(diǎn)坐標(biāo)， 依據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)即可得到點(diǎn)c 的坐標(biāo)；如四邊形aecd 是正方形，易證得四邊形ebcd 是平行四邊形，即ed、 bc 間的距離相等，因此 pcb 的面積是定值，且是正方形面積的一半，由此得解 易知 ago 、 cho 關(guān)于直線y=x 對(duì)稱，那么od 垂直平分ac ，由于 ab ad ，就必有 ec cd ，再依據(jù)菱形的對(duì)角線相互垂直，即可得到所求的結(jié)論 由于 od 垂直平分 ac ，且 d 在直線 od 上，如 adc=60 °，那么 acd 是等邊三角形， 在 rtead中， af de ，且 ade=30 °，易證得 df=3ef

22、，即 dac 是 aec 面積的 3 倍；由于 a 、c 關(guān)于直線 y=x 對(duì)稱，因此當(dāng)p、e 重合時(shí)， pbc 的周長(zhǎng)最小，此時(shí)e 是斜邊 ab 的中點(diǎn)，即ae=be ，由此可證得 bpc、 aec 的面積相等，即： acd 也是 pbc 面積的 3 倍，由此可求得四邊形學(xué)習(xí)必備歡迎下載abcd和pbc 的面積比解答： （ 1）解：設(shè)a （ a， b），（ a 0， b 0）；就 ag=a ，og=b ，由 ago 的面積是3，即 ab=6； k=ab=6 （ 1 分）（ 2）解：（一）雙曲線的解析式為：， a 為雙曲線上的點(diǎn)，且橫坐標(biāo)為1， 可求得 a 點(diǎn)縱坐標(biāo)為6；又四邊形abcd為正方

23、形，點(diǎn)e 在直線 y=x 上， e（1， 1）， abcd為正方形邊長(zhǎng)為5，對(duì)角線ac 長(zhǎng)為， ac ed ， ae cd ；又 ab ad ， ed bc ， eb cd，四邊形ebcd 為平行四邊形， ed bc ， ed=bc ， fc bc ，正方形abcd對(duì)角線 ac=， spbc=（4 分）（二）證明：四邊形pebc 為菱形， ep bc； ago 與 cho 關(guān)于 y=x 對(duì)稱， od 平分 ac ； 又 ab ad ， ec cd ； 又 ec pb， pb cd ；四邊形pbcd 為平行四邊形 （ 6 分）（三） od 垂直平分ac ， ad=cd ， ae=ec ，且 f

24、是 ac 的中點(diǎn)；在 rt abc 中， f 是 ac 中點(diǎn)，且ef ac 、bc ac ， ef 是 abc 的中位線，即e 是 ab 的中點(diǎn)， ae=be ；由于 a 、c 關(guān)于直線y=x 對(duì)稱，所以當(dāng)p、e 重合時(shí)， pbc 的周長(zhǎng)最?。淮藭r(shí) ap=bp ，即 spbc=s aec ； adc 中，由于od 垂直平分ac ，如 adc=60 °，可得： abc 是等邊三角形，且ade=30 °；在 rt ade 中， af de， ade=30 °，易得 df=3ef ； sadc =3saec=3spbc，學(xué)習(xí)必備歡迎下載故：（ 8 分）點(diǎn)評(píng)： 此題是反比

25、例函數(shù)的綜合題，涉及到反比例函數(shù)解析式的確定、圖形面積的求法、平行四邊形及正方形的性質(zhì)、線段垂直平分線的性質(zhì)以及軸對(duì)稱圖形的性質(zhì)等學(xué)問(wèn)，綜合性強(qiáng)，難度較大7如圖， 在等腰 rt abc 與等腰 rt dbe 中， bde= acb=90 °，且 be 在 ab 邊上， 取 ae 的中點(diǎn) f，cd 的中點(diǎn) g，連接 gf（ 1） fg 與 dc 的位置關(guān)系是fg cd， fg 與 dc 的數(shù)量關(guān)系是fg=cd；（ 2）如將 bde 繞 b 點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)180°，其它條件不變，請(qǐng)完成下圖，并判定（1）中的結(jié)論是否仍舊成立？請(qǐng)證明你的結(jié)論考點(diǎn) ： 全等三角形的判定與性質(zhì)；等腰直角

26、三角形；專題 ： 探究型；分析： （ 1）證 fg 和 cd 的大小和位置關(guān)系， 我們已知了g 是 cd 的中點(diǎn)，猜想應(yīng)當(dāng)是fg cd ，fg=cd 可通過(guò)構(gòu)建三角形連接fd， fc，證三角形dfc 是等腰直角三角形來(lái)得出上述結(jié)論，可通過(guò)全等三角形來(lái)證明； 延長(zhǎng) de 交 ac 于 m ，連接 fm ，證明三角形def 和 fmc 全等即可 我們發(fā)覺(jué)bdmc 是個(gè)矩形，因此bd=cm=de 由于三角形deb 和 abc 都是等腰直角三角形，bed= a=45 °，因此 aem= a=45 °，這樣我們得出三角形aem 是個(gè)等腰直角三角形，f 是斜邊 ae 的中點(diǎn)，因 此 m

27、f=ef ， amf= bed=45 °，那么這兩個(gè)角的補(bǔ)角也應(yīng)當(dāng)相等，由此可得出def= fmc ，這樣就構(gòu)成了三角形def 和 emc 的全等的全部條件，可得到df=fc ，即三角形dfc 是等腰三角 形，下面證直角 依據(jù)兩三角形全等，我們?nèi)阅艿贸鰉fc= dfe ，我們知道 mfc+ cfe=90 °，因此 dfe+ cfe= dfc=90 °，這樣就得出三角形dfc 是等腰直角三角形了，也就能得出fg cd ， fg=cd 的結(jié)論了（ 2）和（ 1）的證法完全一樣 解答： 解：（ 1）fg cd ， fg=cd （ 2）延長(zhǎng) ed 交 ac 的延長(zhǎng)線于m

28、，連接 fc、fd 、fm ，四邊形bcmd是矩形 cm=bd 又 abc 和 bde 都是等腰直角三角形， ed=bd=cm e= a=45 °， aem 是等腰直角三角形學(xué)習(xí)必備歡迎下載又 f 是 ae 的中點(diǎn)， mf ae ，ef=mf ， def= fmc=135 ° efd mfc fd=fc ， efd= mfc 又 efd+ dfm=90 °， mfc+ dfm=90 °即 cdf 是等腰直角三角形， 又 g 是 cd 的中點(diǎn)， fg=cd ， fg cd 點(diǎn)評(píng)： 此題中通過(guò)構(gòu)建全等三角形來(lái)證明線段和角相等是解題的關(guān)鍵8（ 2021.呼和浩

29、特）如圖，正方形oabc 的面積為4，點(diǎn) o 為坐標(biāo)原點(diǎn)，點(diǎn)b 在函數(shù) y=（ k 0，x 0）的圖象上，點(diǎn)p（ m， n）是函數(shù)y=（k 0， x 0）的圖象上異于b 的任意一點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)p 分別作 x 軸、 y軸的垂線，垂足分別為e， f（ 1）設(shè)矩形oepf 的面積為s1，試判定s1 是否與點(diǎn)p 的位置有關(guān)； （不必說(shuō)明理由）（ 2）從矩形oepf 的面積中減去其與正方形oabc 重合的面積，剩余面積記為s2，寫出 s2 與 m 的函數(shù)關(guān)系，并標(biāo)明m 的取值范疇考點(diǎn) ： 反比例函數(shù)綜合題；專題 ： 綜合題；分析： （ 1）點(diǎn) p 是函數(shù) y=的圖象上一點(diǎn)，因此矩形oepf 面積肯定是4，所以

30、 s1 與點(diǎn) p 的位置無(wú)關(guān)；（ 2）觀看圖形，s2 為兩矩形面積之差，依據(jù)坐標(biāo)意義，可用m 代數(shù)式表示它們面積，即解解答： 解：（ 1）s1 與點(diǎn) p 的位置無(wú)關(guān)；（ 2）正方形oabc 的面積為 4， oc=oa=2 b （ 2， 2）學(xué)習(xí)必備歡迎下載把 b（ 2， 2）代入 y=中， 2=； k= 4解析式為y= p（ m， n）在 y= 的圖象上， 當(dāng) p 在 b 點(diǎn)上方時(shí)，s2=（ m） 2（ m）=4+2m （ 2m 0）； 當(dāng) p 在 b 點(diǎn)下方時(shí)，s2=s 矩形 peofs 矩形 maof =m×（） 2×（，=4+（ m 2）點(diǎn)評(píng)： 此題考查了反比例函數(shù)與

31、正方形性質(zhì)的綜合應(yīng)用，綜合性較強(qiáng)，同學(xué)們要重點(diǎn)把握9（ 1）如圖 1，點(diǎn) e， f， m ， n 分別是菱形abcd四條邊上的點(diǎn)，如ae=bf=cm=dn，求證：四邊形efmn 是平行四邊形；（ 2）如圖 2，當(dāng) e， f， m ，n 分別是菱形abcd四條邊的中點(diǎn)時(shí)，試判定四邊形efmn 的外形，并說(shuō)明理由考點(diǎn) ： 矩形的判定；全等三角形的判定與性質(zhì)；平行四邊形的判定；菱形的性質(zhì)；專題 ： 證明題；分析： （ 1）運(yùn)用菱形的性質(zhì)，證明三角形全等，利用三角形全等的性質(zhì)證明en=mf ， ef=mn ，依據(jù)兩組對(duì)邊分別相等的四邊形是平行四邊形得證學(xué)習(xí)必備歡迎下載（ 2）第一連接 ac 、bd 要

32、證四邊形 efmn 是矩形，只要證得 ne nm 即可先由菱形的對(duì)角線相互垂直，得 ac bd ，再結(jié)合題意證得四邊形 efmn 是平行四邊形，利用平行四邊形的性質(zhì)， 易證 ne nm ，從而證得四邊形 efmn 是矩形解答： （ 1）證明：四邊形abcd 是菱形， ab=bc=cd=da ae=bf=cm=dn ，又 a= c， b= d， aen cmf ， bfe dnm en=mf ， ef=mn 四邊形 efmn 是平行四邊形（ 2）四邊形efmn 是矩形證明：連接ac 、bd ， ac bd ， e，f， m ， n 分別是菱形 abcd 四條邊的中點(diǎn) ne bd ， mf bd

33、ne mf 同理，得： nm ac ， ef ac nm ef四邊形 efmn 是平行四邊形 ne bd ，ac bd ， ne ac nm ac ， ne nm 平行四邊形 efmn 是矩形點(diǎn)評(píng)： 平行四邊形的判定方法共有五種，應(yīng)用時(shí)要仔細(xì)領(lǐng)悟它們之間的聯(lián)系與區(qū)分，同時(shí)要依據(jù)條件合理、敏捷地挑選方法10已知：如圖，在四邊形abfc 中， acb=90 °， bc 的垂直平分線ef 交 bc 于點(diǎn) d，交 ab 于點(diǎn) e，且 cf=ae （ 1）求證：四邊形becf 是菱形；（ 2）當(dāng) a 的大小為多少度時(shí)，四邊形becf 是正方形？學(xué)習(xí)必備歡迎下載考點(diǎn) ： 正方形的判定；線段垂直平

34、分線的性質(zhì)；菱形的判定；分析： （ 1）依據(jù)中垂線的性質(zhì)：中垂線上的點(diǎn)到線段兩個(gè)端點(diǎn)的距離相等，有be=ec ，bf=fc ，依據(jù)四邊相等的四邊形是菱形即可判定；（ 2）由菱形的性質(zhì)知，對(duì)角線平分一組對(duì)角，即當(dāng)abc=45 °時(shí)， ebf=90 °，就菱形為正方形，依據(jù)直角三角形中兩個(gè)角銳角互余得，a=45 度解答： 解：（ 1） ef 垂直平分bc， cf=bf ， be=ce ， bde=90 °， bd=cd ，又 acb=90 °， ef ac ， d 為 bc 中點(diǎn)， e 為 ab 中點(diǎn)，即 be=ae ， cf=ae ， cf=be ， cf

35、=fb=be=ce ，四邊形becf 是菱形（ 2）當(dāng) a=45 °時(shí)，四邊形becf 是正方形證明： a=45 °， acb=90 °， cba=45 °， ebf=2 cba=90 °，菱形 becf 是正方形點(diǎn)評(píng)： 此題主要考查了菱形的判定方法以及正方形的判定和中垂線的性質(zhì)、直角三角形的性質(zhì)等學(xué)問(wèn)，依據(jù)已知得出cba=45 °是解題關(guān)鍵11（ 2002.煙臺(tái)）如圖，點(diǎn)a 、b 在反比例函數(shù)的圖象上，且點(diǎn)a 、b 的橫坐標(biāo)分別為a、2a（a 0）， ac x 軸，垂足為點(diǎn)c，且 aoc 的面積為2（ 1）求該反比例函數(shù)的解析式；（

36、 2）如點(diǎn)（ a， y1），（ 2a， y2）在該反比例函數(shù)的圖象上，試比較y 1 與 y2 的大??；（ 3）求 aob 的面積學(xué)習(xí)必備歡迎下載考點(diǎn) ： 反比例函數(shù)綜合題；專題 ： 運(yùn)算題；數(shù)形結(jié)合；aoc分析： （ 1）由 s=xy=2 ，設(shè)反比例函數(shù)的解析式y(tǒng)=，就 k=xy=4 ；（ 2）由于反比例函數(shù)的性質(zhì)是：在x 0 時(shí)， y 隨 x 的增大而減小，a 2a，就 y1 y 2；（ 3）連接 ab ，過(guò)點(diǎn) b 作 be x 軸，交 x 軸于 e 點(diǎn)，通過(guò)分割面積法saob =saoc+s 梯形 aceb sboe 求得解答： 解：（ 1） saoc=2 ， k=2s aoc=4； y=

37、；（ 2） k 0，函數(shù) y 在各自象限內(nèi)隨x 的增大而減?。?a 0， 2a a； y 1 y2；（ 3）連接 ab ，過(guò)點(diǎn) b 作 be x 軸，saoc=sboe=2， a （ a，）， b（ 2a，）；s 梯形 =，學(xué)習(xí)必備歡迎下載 saob =saoc+s 梯形 aceb sboe=3點(diǎn)評(píng)： 此題重點(diǎn)檢查函數(shù)性質(zhì)的應(yīng)用和圖形的分割轉(zhuǎn)化思想同學(xué)們要嫻熟把握這類題型12（ 2021.黃石）如圖， abc 中，點(diǎn) o 是邊 ac 上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，過(guò)o 作直線 mn bc ，設(shè) mn 交 bca的平分線于點(diǎn)e，交 bca 的外角平分線于點(diǎn)f（ 1）探究：線段oe 與 of 的數(shù)量關(guān)系并加以證明；

38、（ 2）當(dāng)點(diǎn) o 在邊 ac 上運(yùn)動(dòng)時(shí)，四邊形bcfe 會(huì)是菱形嗎？如是，請(qǐng)證明；如不是，就說(shuō)明理由；（ 3）當(dāng)點(diǎn) o 運(yùn)動(dòng)到何處，且 abc 滿意什么條件時(shí)，四邊形aecf 是正方形？考點(diǎn) ： 正方形的判定；平行線的性質(zhì)；角平分線的性質(zhì)；等腰三角形的性質(zhì)；菱形的判定；專題 ： 幾何綜合題；分析： （ 1）利用平行線的性質(zhì)由角相等得出邊相等；（ 2）假設(shè)四邊形bcfe ，再證明與在同一平面內(nèi)過(guò)同一點(diǎn)有且只有一條直線與已知直線垂直相沖突；（ 3）利用平行四邊形及等腰直角三角形的性質(zhì)證明四邊形aecf 是正方形解答： 解：（ 1）oe=of 證明如下： ce 是 acb 的平分線， 1=2 mn

39、bc ， 1=3 2=3 oe=oc 同理可證oc=of oe=of （ 3 分）（ 2）四邊形bcfe 不行能是菱形，如bcfe 為菱形，就bf ec，而由（ 1）可知 fc ec，在平面內(nèi)過(guò)同一點(diǎn)f 不行能有兩條直線同垂直于一條直線（ 3 分）（ 3）當(dāng)點(diǎn) o 運(yùn)動(dòng)到 ac 中點(diǎn)時(shí)，且 abc 是等腰直角三角形（acb=90 °）時(shí)，四邊形aecf 是正方形理由如下： o 為 ac 中點(diǎn)， oa=oc ， 由（ 1）知 oe=of ，四邊形aecf 為平行四邊形； ef bc， acb=90 °， .aecf 為矩形，又 ac ef .aecf 是正方形當(dāng)點(diǎn) o 為 a

40、c 中點(diǎn)且 abc 是以 acb 為直角的等腰直角三角形時(shí)，四邊形 aecf 是正方形（ 3學(xué)習(xí)必備歡迎下載分）點(diǎn)評(píng)： 此題考查的是平行線、角平分線、等腰三角形的性質(zhì)及正方形、平行四邊形的性質(zhì)與判定，涉及面較廣，在解答此類題目時(shí)要留意角的運(yùn)用，一般通過(guò)角判定一些三角形，多邊形的外形，需同學(xué)們嫻熟把握13（2021 .密云縣）附加題：已知：如圖，正比例函數(shù)y=ax 的圖象與反比例函數(shù)y=的圖象交于點(diǎn)a（ 3，2）（ 1）試確定上述正比例函數(shù)和反比例函數(shù)的表達(dá)式；（ 2）依據(jù)圖象回答，在第一象限內(nèi)，當(dāng)x 取何值時(shí)，反比例函數(shù)的值大于正比例函數(shù)的值；（ 3） m （ m， n）是反比例函數(shù)圖象上的一

41、動(dòng)點(diǎn)，其中0 m 3，過(guò)點(diǎn) m 作直線 mn x 軸，交 y 軸于點(diǎn)b；過(guò)點(diǎn) a 作直線 ac y 軸交 x 軸于點(diǎn) c，交直線 mb 于點(diǎn) d 當(dāng)四邊形oadm的面積為6 時(shí)，請(qǐng)判定線段 bm 與 dm 的大小關(guān)系，并說(shuō)明理由考點(diǎn) ： 反比例函數(shù)綜合題；專題 ： 探究型；分析： （ 1）將 a （ 3， 2）分別代入y=， y=ax 中，得 ak 的值，進(jìn)而可得正比例函數(shù)和反比例函數(shù)的表達(dá)式；（ 2）觀看圖象，得在第一象限內(nèi)，當(dāng)0 x 3 時(shí)，反比例函數(shù)的圖象在正比例函數(shù)的上方；故反比例函數(shù)的值大于正比例函數(shù)的值；（ 3）有 somb =soac=×|k|=3，可得 s 矩形 ob

42、dc 為 12；即 oc .ob=12 ；進(jìn)而可得mn 的值，故可得 bm 與 dm 的大?。槐容^可得其大小關(guān)系解答： 解：（ 1）將 a （ 3， 2）分別代入y=， y=ax 中，得： 2=， 3a=2 k=6 ， a=（ 2 分）反比例函數(shù)的表達(dá)式為：y=（3 分）正比例函數(shù)的表達(dá)式為y=x （ 4 分）學(xué)習(xí)必備歡迎下載（ 2）觀看圖象，得在第一象限內(nèi)，當(dāng)0 x 3 時(shí)，反比例函數(shù)的值大于正比例函數(shù)的值（ 6 分）（ 3） bm=dm （7 分）理由： mn x 軸， ac y 軸，四邊形ocdb 是平行四邊形， x 軸 y 軸， .ocdb 是矩形 somb =soac=×|

43、k|=3，又 s 四邊形 oadm =6， s 矩形 obdc=s 四邊形 oadm +s omb +s oac=3+3+6=12 ， 即 oc.ob=12 oc=3 ob=4 （8 分）即 n=4 m= mb=， md=3 = mb=md （ 9 分）點(diǎn)評(píng)： 此題綜合考查了反比例函數(shù)，正比例函數(shù)等多個(gè)學(xué)問(wèn)點(diǎn)此題難度稍大，綜合性比較強(qiáng)，留意對(duì)各個(gè)學(xué)問(wèn)點(diǎn)的敏捷應(yīng)用14請(qǐng)閱讀以下材料：?jiǎn)栴}：如圖，在正方形abcd和平行四邊形befg 中，點(diǎn) a ， b， e 在同一條直線上，p 是線段 df 的中點(diǎn)，連接 pg，pc探究：當(dāng) pg 與 pc 的夾角為多少度時(shí)，平行四邊形befg 是正方形？小聰同學(xué)

44、的思路是：第一可以說(shuō)明四邊形befg 是矩形；然后延長(zhǎng)gp 交 dc 于點(diǎn) h ，構(gòu)造全等三角形，經(jīng)過(guò)推理可以探究出問(wèn)題的答案請(qǐng)你參考小聰同學(xué)的思路，探究并解決這個(gè)問(wèn)題（ 1）求證：四邊形befg 是矩形；（ 2） pg 與 pc 的夾角為90度時(shí)，四邊形befg 是正方形理由：學(xué)習(xí)必備歡迎下載考點(diǎn) ： 矩形的判定；正方形的判定與性質(zhì)；專題 ： 證明題；分析： （ 1）由正方形abcd ，易得 ebg=90 °，依據(jù)有一個(gè)角是直角的平行四邊形是矩形，即可證得四邊形 befg 是矩形；（ 2）第一作幫助線：延長(zhǎng)gp 交 dc 于點(diǎn) h ，依據(jù)正方形與平行四邊形的性質(zhì)，利用aas 易得

45、dhp fgp，就有 hp=gp，當(dāng) cpg=90°時(shí)，利用sas 易證 cph cpg，依據(jù)全等三角 形與正方形的性質(zhì)，即可得bg=gf ，依據(jù)有一組鄰邊相等的平行四邊形是菱形，可得.befg 是菱形，而 ebg=90 °，即得四邊形befg 是正方形解答： 解：（ 1）正方形abcd 中， abc=90 °，（ 1 分） ebg=90 °，（ 2 分） .befg 是矩形（ 3 分）（ 2） 90°；（4 分）理由：延長(zhǎng)gp 交 dc 于點(diǎn) h，正方形abcd和平行四邊形befg 中， ab dc ，be gf， dc gf， hdp= g

46、fp， dhp= fgp，（ 5 分） p 是線段 df 的中點(diǎn)， dp=fp ， dhp fgp， hp=gp ，（ 6 分）當(dāng) cpg=90°時(shí)， cph=cpg ， cp=cp， cph cpg， ch=cg ，（7 分）正方形abcd中， dc=bc ， dh=bg ，（ 8 分） dhp fgp， dh=gf ， bg=gf ， .befg 是菱形，（ 9 分）由（ 1）知四邊形befg 是矩形，四邊形befg 是正方形 （ 10 分）點(diǎn)評(píng)： 此題考查了正方形的判定與性質(zhì)、矩形的判定與性質(zhì)、菱形的判定以及全等三角形的判定與性質(zhì)等學(xué)問(wèn)此題綜合性比較強(qiáng)，解題時(shí)要留意數(shù)形結(jié)合思想

47、的應(yīng)用學(xué)習(xí)必備歡迎下載交于點(diǎn) a 、c，其中點(diǎn)a 在2m+115如圖，直線y=kx+2k （ k 0）與 x 軸交于點(diǎn) b ，與雙曲線y=（ m+5 ） x第一象限，點(diǎn)c 在第三象限（ 1）求雙曲線的解析式；（ 2）求 b 點(diǎn)的坐標(biāo)；（ 3）如 s aob=2 ，求 a 點(diǎn)的坐標(biāo)；（ 4）在（ 3）的條件下，在x 軸上是否存在點(diǎn)p，使 aop 是等腰三角形？如存在，請(qǐng)直接寫出p 點(diǎn)的坐標(biāo)；如不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由考點(diǎn) ： 反比例函數(shù)綜合題；專題 ： 開(kāi)放型；分類爭(zhēng)論；分析： （ 1）依據(jù)雙曲線函數(shù)的定義可以確定m 的值；（ 2）利用 y=kx+2k 當(dāng) y=0 時(shí)， x=2 就知道 b 的坐標(biāo)；（

48、 3）依據(jù)（ 1）知道 ob=2 ，而 saob =2，利用它們可以求出a 的坐標(biāo)；（ 4）存在點(diǎn)p，使 aop 是等腰三角形只是確定p 坐標(biāo)時(shí)，題目沒(méi)有說(shuō)明誰(shuí)是腰，是底，所以要分類爭(zhēng)論，不要漏解解答： 解：（ 1） y= （ m+5 ） x2m+1 是雙曲線 m= 1（ 2 分）（3 分）（ 2）直線y=kx+2k （ k 0）與 x 軸交于點(diǎn)b當(dāng) y=0 時(shí)， 0=kx+2k x= 2（ 5 分） b （ 2， 0）（ 6 分）（ 3） b（ 2， 0） ob=2 （7 分）過(guò) a 作 ad x 軸于點(diǎn) d點(diǎn) a 在雙曲線y=上，設(shè) a （ a， b） ab=4，ad=b （ 8 分）學(xué)習(xí)

49、必備歡迎下載又 aob=ob.ad=×2b=2 b=2 （ 9 分） a=2， a （ 2， 2）（10 分）（ 4） p1（ 2， 0），p2（ 4，0）， p3（ 2， 0）， p4 （2， 0）（寫對(duì)一個(gè)得一分） （ 14 分）點(diǎn)評(píng)： 此題考查了反比例函數(shù)的定義確定函數(shù)的解析式，也考查了利用函數(shù)的性質(zhì)確定點(diǎn)的坐標(biāo)，最終考查了依據(jù)圖形變換求點(diǎn)的坐標(biāo)16（ 2007.巴中）在學(xué)習(xí)勾股定理時(shí)，我們學(xué)會(huì)運(yùn)用圖（i）驗(yàn)證它的正確性；圖中大正方形的面積可表示為：（ a+b）2，也可表示為：2c+4.（ab），即（ a+b） 22222 ，這種依據(jù)圖形可以極簡(jiǎn)潔地直觀推論或驗(yàn)證數(shù)學(xué)=c +4.（ab）由此推出勾股定理a +b =c規(guī)律和公式的方法，簡(jiǎn)稱“無(wú)字證明 ”（ 1）請(qǐng)你用圖（ ii ）（ 20xx年國(guó)際數(shù)字家大會(huì)會(huì)標(biāo)）的面積表達(dá)式驗(yàn)證勾股定理（其中四個(gè)直角三角形全等）；=x（