初等數(shù)論教案第四節(jié)素?cái)?shù)、整數(shù)的唯一分解定理

1、第四節(jié)素?cái)?shù)、整數(shù)的唯獨(dú)分解定理第五節(jié)eratosthenes篩法 教學(xué)目的： 1、把握素?cái)?shù)的一系列性質(zhì)；2、懂得并把握唯獨(dú)分解定理.教學(xué)重點(diǎn)：素?cái)?shù)的性質(zhì)及唯獨(dú)分解定理的證明及應(yīng)用教學(xué)難點(diǎn)：唯獨(dú)分解定理的證明及應(yīng)用教學(xué)課時(shí)： 4 課時(shí)教學(xué)過(guò)程一、素?cái)?shù)1、定義 1大于 1 的整數(shù)，假如只有平凡因子，就叫素?cái)?shù)，否就叫合數(shù).2、引理 1設(shè) a 是任意大于 1 的整數(shù)，就 a 除 1 以外的最小正因子 p 是素?cái)?shù)，并且當(dāng)a 是合數(shù)時(shí)，就 pa.3、引理 2設(shè) p 是素?cái)?shù)， a 是任意整數(shù)，就 p | a 或 p, a1 .4、引理 3設(shè) p 是素?cái)?shù)， p|ab , 就 p|a 或 p|b.5、定理 1素

2、數(shù)有無(wú)窮多個(gè) .6、定理 2形如 4n-1 型的素?cái)?shù)有無(wú)窮多個(gè) .例 1寫出不超過(guò) 100 的全部的素?cái)?shù)；解將不超過(guò) 100 的正整數(shù)排列如下：123456789101112131415161718192021222324252627282930313233343536373839404142434445464748495051525354555657585960616263646566676869707172737475767778798081828384858687888990919293949596979899100按以下步驟進(jìn)行： 刪去 1，剩下的后面的第一個(gè)數(shù)是2， 2 是素?cái)?shù)； 刪

3、去 2 后面的被 2 整除的數(shù)，剩下的 2 后面的第一個(gè)數(shù)是3，3 是素?cái)?shù)； 再刪去 3 后面的被 3 整除的數(shù)，剩下的3 后面的第一個(gè)數(shù)是 5， 5 是素?cái)?shù)； 再刪去 5 后面的被 5 整除的數(shù)，剩下的5 后面的第一個(gè)數(shù)是 7， 7 是素?cái)?shù)；照以上步驟可以依次得到素?cái)?shù)2, 3, 5, 7, 11,.由引理 1 可知，不超過(guò) 100 的合數(shù)必有一個(gè)不超過(guò)10 的素約數(shù)，因此在刪去 7 后面被 7 整除的數(shù)以后， 就得到了不超過(guò)100 的全部素?cái)?shù).例 1 中所使用的查找素?cái)?shù)的方法，稱為eratosthenes篩法.它可以用來(lái)求出不超過(guò)任何固定整數(shù)的全部素?cái)?shù).在理論上這是可行的；但在實(shí)際應(yīng)用中，這

4、種方法需要大量的運(yùn)算時(shí)間，是不行取的.曾經(jīng)有人期望找到一個(gè)表示素?cái)?shù)的便利的公式，例如，是否存在一個(gè)不是常數(shù)的整系數(shù)多項(xiàng)式fx，當(dāng) xx0 時(shí)， fx都表示素?cái)?shù)？7、定理 3對(duì)于任意給定的整數(shù)x0 ，不存在整系數(shù)多項(xiàng)式f xnia i xi 0，其中an0, n0,使得當(dāng) xx0 時(shí)， fx都表示素?cái)?shù) .二、整數(shù)唯獨(dú)分解定理（算術(shù)基本定理）1、引理 1任何大于 1 的正整數(shù) n 可以寫成素?cái)?shù)之積，即n = p1p2pm，1其中 pi（1im）是素?cái)?shù) .證明：當(dāng) n = 2 時(shí)，結(jié)論明顯成立 .假設(shè)對(duì)于 2nk，式1成立， 我們來(lái)證明式 1對(duì)于 n = k1 也成立，從而由歸納法推出式1對(duì)任何大于

5、 1 的整數(shù) n 成立.假如 k1 是素?cái)?shù)，式 1明顯成立 .假如 k1 是合數(shù)， 就存在素?cái)?shù) p 與整數(shù) d，使得 k1 = pd.由于2dk，由歸納假定知存在素?cái)?shù)q1, q2, ql，使得 d = q1q2ql ，從而 k1 = pq1q2ql.證畢2、定理 1算術(shù)基本定理 任何大于 1 的整數(shù) n 可以唯獨(dú)地表示成1p2pkkn = p12，2其中 p1, p2, pk 是素?cái)?shù)， p1 < p2 << pk，1,2,k 是正整數(shù) .證明由引理 1，任何大于 1 的整數(shù) n 可以表示成式 2的形式，因此，只需證明表示式2的唯獨(dú)性 .假設(shè) pi（ 1ik）與 qj（ 1jl

6、）都是素?cái)?shù)，p1p2pk，q1q2ql，3并且n = p1p2pk = q1q2ql ，4就必有某個(gè) qj（ 1jl），使得 p1qj，所以 p1 = qj；又有某個(gè) pi（ 1 ik），使得 q1pi，所以 q1 = pi.于是，由式 3可知 p1 = q1，從而由式4得到p2pk = q2ql .重復(fù)上述這一過(guò)程，得到k = l，pi = qi ， 1ik .證畢3、定義 1使用定理 1 中的記號(hào)，稱1p2pkn = p12k是 n 的標(biāo)準(zhǔn)分解式，其中pi （1ik）是素?cái)?shù)， p1 < p2 << pk，i（1ik）是正整數(shù) .推論 1使用式 2中的記號(hào)，有 n 的正因數(shù)

7、 d 必有形式1p2d = p12p， iz ，0ii， 1ik；kkk n 的正倍數(shù) m 必有形式m = p1 1p2 2pk km ， mn， in， ii，1ik.證明：留作習(xí)題 .qk1lp1pk1r，s推論 2設(shè)正整數(shù) a 與 b 的標(biāo)準(zhǔn)分解式是1ap1pk1ql ， b1kr1s其中 pi（1ik）， qi（1il）與 ri（ 1is）是兩兩不相同的素?cái)?shù)，i ， i（ 1ik）， i（ 1il）與 i （1is）都是非負(fù)整數(shù)，p1p，k就a, b =1ki = mini,i， 1ik，a, b =p1 1pk k q1 1ql lr1 1rs s ， i = maxi,i，1ik.

8、證明：留作習(xí)題 .k為了便利，推論2 常表達(dá)為下面的形式：推論 2設(shè)正整數(shù) a 與 b 的標(biāo)準(zhǔn)分解式是1p2ap12k11pkpp， b12p k ，其中 p1, p2, pk 是互不相同的素?cái)?shù)，i， i（ 1ik）都是非負(fù)整數(shù)，就pp21 a, b11p k ，mini ,i， 1ik，ki.kipp12a, b11p k ，maxi ,i ， 1ik推論 3設(shè) a， b， c， n 是正整數(shù)，ab = cn ， a, b = 1，5就存在正整數(shù) u，v，使得a = un，b = vn，c = uv， u, v = 1.證明 :設(shè) c =p1 1 p 21p k k，其中 p1, p2, p

9、k 是互不相同的素?cái)?shù)，i（ 1ik）是正整數(shù) .又設(shè)1p2ap12p k ， bp 1 p 1kk12p，k其中i ， i（ 1ik）都是非負(fù)整數(shù) .由式5及推論 2 可知mini,i = 0，ii = ni，1ik， 因此，對(duì)于每個(gè)i（1ik），等式i = n i ， i = 0 與i = 0， i = n i有且只有一個(gè)成立 .這就證明白推論 .證畢例 1寫出 51480 的標(biāo)準(zhǔn)分解式 .解:我們有51480 = 2 25740 = 22 12870 = 23 6435= 23 5 1287 = 23 5 3 429= 23 5 32 143 = 23 32 5 11 13.例 2設(shè) a，

10、b，c 是整數(shù)，證明： a, ba, b = ab； a, b, c = a, b, a, c.p，解：為了表達(dá)便利，不妨假定a， b， c 是正整數(shù) . 設(shè)1p2ap12p k ， bp 1 p 1kk12k其中 p1, p2, pk 是互不相同的素?cái)?shù)，i， i （1ik）都是非負(fù)整數(shù).由定理 1 推論 2 ，有a, b a, bp1p21111p1p 2p k ，ikkpk ，imin maxi ,i ， 1ik，i ,i ， 1ik；由此知kpia, ba, b =iii 1kmin ipi 1i , i maxi , i kpiii =ab；i 1 設(shè)kiapi ， bi 1kkip，

11、ip i ， cii 1i 1其中 p1, p2, pk 是互不相同的素?cái)?shù)，i， i， i（ 1ik）都是非負(fù)整數(shù).由定理 1 推論 2 ，有 a, b, c 其中，對(duì)于 1ik，有kip i ，i 1kp，i a, b, a, cii 1i = mini , maxi,i ，i = maxmini,i, mini,i ，不妨設(shè)ii ，就mini,imini,i，所以i = mini,i =i ，即a, b, c = a, b, a, c.注：利用定理 1 可以簡(jiǎn)單地處理很多像例2 這樣的問(wèn)題 .例 3證明： n1113512n1（ n2）不是整數(shù) .解：設(shè) 3k2n1 < 3k + 1.對(duì)于任意的 1in， 2i13k，記2i1 =