高考數(shù)學(xué)壓軸題精選(一)(老師用)

1、-作者xxxx-日期xxxx高考數(shù)學(xué)壓軸題精選(一)(老師用)【精品文檔】高考數(shù)學(xué)壓軸題精選(一)1（本小題滿分12分）設(shè)函數(shù)在上是增函數(shù)。求正實(shí)數(shù)的取值范圍；設(shè)，求證：解：（1）對(duì)恒成立，對(duì)恒成立又為所求。（2）取，一方面，由（1）知在上是增函數(shù)，即另一方面，設(shè)函數(shù)在上是增函數(shù)且在處連續(xù)，又當(dāng)時(shí)，即綜上所述，2已知橢圓C的一個(gè)頂點(diǎn)為，焦點(diǎn)在x軸上，右焦點(diǎn)到直線的距離為（1）求橢圓C的方程；（2）過(guò)點(diǎn)F（1，0）作直線l與橢圓C交于不同的兩點(diǎn)A、B，設(shè)，若的取值范圍。解：（1）由題意得：1分由題意所以橢圓方程為3分（2）容易驗(yàn)證直線l的斜率不為0。故可設(shè)直線l的方程為中，得設(shè)則5分有由7分又故

2、8分令，即而，10分3設(shè)函數(shù)（1）若時(shí)函數(shù)有三個(gè)互不相同的零點(diǎn)，求的范圍；（2）若函數(shù)在內(nèi)沒(méi)有極值點(diǎn)，求的范圍；（3）若對(duì)任意的，不等式在上恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍解：（1）當(dāng)時(shí)，因?yàn)橛腥齻€(gè)互不相同的零點(diǎn)，所以，即有三個(gè)互不相同的實(shí)數(shù)根。令，則。因?yàn)樵诤途鶠闇p函數(shù)，在為增函數(shù)，的取值范圍（2）由題可知，方程在上沒(méi)有實(shí)數(shù)根，因?yàn)?，所以?），且，函數(shù)的遞減區(qū)間為，遞增區(qū)間為和；當(dāng)時(shí)，又，而，又在上恒成立，即，即在恒成立。的最小值為4（本題滿分14分）已知橢圓的離心率為，直線與以原點(diǎn)為圓心、以橢圓的短半軸長(zhǎng)為半徑的圓相切。（）求橢圓的方程；（）設(shè)橢圓的左焦點(diǎn)為F1，右焦點(diǎn)為F2，直線過(guò)點(diǎn)F1，且垂

3、直于橢圓的長(zhǎng)軸，動(dòng)直線垂直于點(diǎn)P，線段PF2的垂直平分線交于點(diǎn)M，求點(diǎn)M的軌跡C2的方程；（）若AC、BD為橢圓C1的兩條相互垂直的弦，垂足為右焦點(diǎn)F2，求四邊形ABCD的面積的最小值解：（）相切橢圓C1的方程是3分（）MP=MF2，動(dòng)點(diǎn)M到定直線的距離等于它到定點(diǎn)F2（2，0）的距離，動(dòng)點(diǎn)M的軌跡C是以為準(zhǔn)線，F(xiàn)2為焦點(diǎn)的拋物線點(diǎn)M的軌跡C2的方程為6分（）當(dāng)直線AC的斜率存在且不為零時(shí)，設(shè)直線AC的斜率為k，則直線AC的方程為聯(lián)立所以9分由于直線BD的斜率為代換上式中的k可得，四邊形ABCD的面積為12分由所以時(shí)取等號(hào)13分易知，當(dāng)直線AC的斜率不存在或斜率為零時(shí)，四邊形ABCD的面積5（

4、本小題滿分14分）已知橢圓1（a>b>0）的左右焦點(diǎn)分別為F1F2，離心率e，右準(zhǔn)線方程為x2（1）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）過(guò)點(diǎn)F1的直線l與該橢圓相交于MN兩點(diǎn)，且|，求直線l的方程解析：（1）由條件有解得a，c1b1所以，所求橢圓的方程為y21（2）由（1）知F1（1,0）F2（1,0）若直線l的斜率不存在，則直線l的方程為x1，將x1代入橢圓方程得y±不妨設(shè)MN，（4,0）|4，與題設(shè)矛盾直線l的斜率存在設(shè)直線l的斜率為k，則直線l的方程為yk（x1）設(shè)M（x1，y1）N（x2，y2），聯(lián)立消y得（12k2）x24k2x2k220由根與系數(shù)的關(guān)系知x1x2，從而y1

5、y2k（x1x22）又（x11，y1），（x21，y2），（x1x22，y1y2）|2（x1x22）2（y1y2）2222化簡(jiǎn)得40k423k2170，解得k21或k2（舍）k±1所求直線l的方程為yx1或yx16.（本小題滿分12分）已知，函數(shù)，（其中為自然對(duì)數(shù)的底數(shù)）（1）判斷函數(shù)在區(qū)間上的單調(diào)性；（2）是否存在實(shí)數(shù)，使曲線在點(diǎn)處的切線與軸垂直? 若存在，求出的值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由解（1）：，令，得若，則，在區(qū)間上單調(diào)遞增. 若，當(dāng)時(shí)，函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減，當(dāng)時(shí)，函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增，若，則，函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減. 6分（2）解：，由（1）可知，當(dāng)時(shí)，此時(shí)在區(qū)間上的最小值為，

6、即當(dāng)，曲線在點(diǎn)處的切線與軸垂直等價(jià)于方程有實(shí)數(shù)解而，即方程無(wú)實(shí)數(shù)解故不存在，使曲線在處的切線與軸垂直12分7（本小題滿分12分）已知線段，的中點(diǎn)為，動(dòng)點(diǎn)滿足（為正常數(shù)）（1）建立適當(dāng)?shù)闹苯亲鴺?biāo)系，求動(dòng)點(diǎn)所在的曲線方程；（2）若，動(dòng)點(diǎn)滿足，且，試求面積的最大值和最小值解（1）以為圓心，所在直線為軸建立平面直角坐標(biāo)系.若，即，動(dòng)點(diǎn)所在的曲線不存在；若，即，動(dòng)點(diǎn)所在的曲線方程為；若，即，動(dòng)點(diǎn)所在的曲線方程為.4分(2)當(dāng)時(shí)，其曲線方程為橢圓.由條件知兩點(diǎn)均在橢圓上，且設(shè)，的斜率為，則的方程為，的方程為解方程組得，同理可求得，面積=8分令則令所以，即當(dāng)時(shí)，可求得,故，故的最小值為，最大值為1. 12分

7、8.（本小題滿分12分）設(shè)上的兩點(diǎn)，已知向量,若且橢圓的離心率e=,短軸長(zhǎng)為，為坐標(biāo)原點(diǎn).（）試問(wèn)：AOB的面積是否為定值？如果是，請(qǐng)給予證明；如果不是，請(qǐng)說(shuō)明理由解：橢圓的方程為 4分(2) 當(dāng)直線AB斜率不存在時(shí)，即,由5分又在橢圓上，所以所以三角形的面積為定值.6分當(dāng)直線AB斜率存在時(shí)：設(shè)AB的方程為y=kx+b ，D=(2kb)2-4(k2+4)(b2-4)>08分而, 10分 S=|AB|=|b|=1綜上三角形的面積為定值1.12分9.已知函數(shù)的導(dǎo)數(shù)a，b為實(shí)數(shù)，(1) 若在區(qū)間上的最小值、最大值分別為、1，求a、b的值；(2) 在 (1) 的條件下，求曲線在點(diǎn)P（2，1）處的

8、切線方程；(3) 設(shè)函數(shù)，試判斷函數(shù)的極值點(diǎn)個(gè)數(shù)解：(1) 由已知得， 由，得， 當(dāng)時(shí)，遞增；當(dāng)時(shí)， 遞減 在區(qū)間上的最大值為，又， 由題意得，即，得 故，為所求(2) 由 (1) 得，點(diǎn)在曲線上當(dāng)切點(diǎn)為時(shí)，切線的斜率， 的方程為，即 (3二次函數(shù)的判別式為令，得：令，得 ，當(dāng)時(shí)，函數(shù)為單調(diào)遞增，極值點(diǎn)個(gè)數(shù)為0；當(dāng)時(shí)，此時(shí)方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，根據(jù)極值點(diǎn)的定義，可知函數(shù)有兩個(gè)極值點(diǎn)10.已知函數(shù)f(x)=(1)當(dāng)時(shí), 求的最大值;(2) 設(shè), 是圖象上不同兩點(diǎn)的連線的斜率，否存在實(shí)數(shù)，使得恒成立?若存在,求的取值范圍;若不存在,請(qǐng)說(shuō)明理由(2)存在符合條件解: 因?yàn)?不妨設(shè)任意不同兩點(diǎn)，其

9、中則由知: 1+又故故存在符合條件12分解法二:據(jù)題意在圖象上總可以在找一點(diǎn)使以P為切點(diǎn)的切線平行圖象上任意兩點(diǎn)的連線,即存在故存在符合條件11ABC是直線上的三點(diǎn)，向量滿足：-y+2·+ln(x+1)·= ；（）求函數(shù)y=f(x)的表達(dá)式； （）若x0, 證明f(x)；（）當(dāng)時(shí),x及b都恒成立，求實(shí)數(shù)m的取值范圍。解I）由三點(diǎn)共線知識(shí)，,ABC三點(diǎn)共線，.，f(x)=ln(x+1)4分()令g(x)=f(x),由，x>0g(x)在 (0,+)上是增函數(shù),故g(x)>g(0)=0,即f(x)>8分（III）原不等式等價(jià)于,令h(x)=由當(dāng)x-1,1時(shí),h(

10、x)max=0, m2-2bm-30,令Q(b)= m2-2bm-3，則由Q(1)0及Q（-1)0解得m-3或m3. 12分12.已知經(jīng)過(guò)點(diǎn)，且與圓內(nèi)切.（）求動(dòng)圓的圓心的軌跡的方程.（）以為方向向量的直線交曲線于不同的兩點(diǎn)，在曲線上是否存在點(diǎn)使四邊形為平行四邊形（為坐標(biāo)原點(diǎn)）.若存在，求出所有的點(diǎn)的坐標(biāo)與直線的方程；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.解:（）依題意，動(dòng)圓與定圓相內(nèi)切，得|，可知到兩個(gè)定點(diǎn)、的距離和為常數(shù)，并且常數(shù)大于，所以點(diǎn)的軌跡為橢圓，可以求得，所以曲線的方程為5分（）假設(shè)上存在點(diǎn)，使四邊形為平行四邊形由（）可知曲線E的方程為.設(shè)直線的方程為，.由，得，由得，且，7分則，上的點(diǎn)使四邊形

11、為平行四邊形的充要條件是，即且，又，所以可得，9分可得，即或當(dāng)時(shí)，直線方程為；當(dāng)時(shí)，直線方程為13.已知函數(shù)和的圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，且()求函數(shù)的解析式；()解不等式；()若在上是增函數(shù)，求實(shí)數(shù)的取值范圍解：()設(shè)函數(shù)的圖象上任意一點(diǎn)關(guān)于原點(diǎn)的對(duì)稱點(diǎn)為，則點(diǎn)在函數(shù)的圖象上()由當(dāng)時(shí)，此時(shí)不等式無(wú)解。當(dāng)時(shí)，解得。因此，原不等式的解集為。（）14.已知函數(shù)（1）若函數(shù)在定義域內(nèi)單調(diào)遞增，求的取值范圍；（2）若且關(guān)于x的方程在上恰有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，求實(shí)數(shù)的取值范圍；（3）設(shè)各項(xiàng)為正的數(shù)列滿足：求證：解：（1）依題意在時(shí)恒成立，即在恒成立.則在恒成立，即當(dāng)時(shí)，取最小值的取值范圍是（2）設(shè)則列表：&#

12、173;極大值¯極小值­極小值，極大值，又方程在1，4上恰有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根.則，得（3）設(shè)，則在為減函數(shù)，且故當(dāng)時(shí)有.假設(shè)則，故從而即，15（本小題滿分14分）如圖，設(shè)拋物線的焦點(diǎn)為F，動(dòng)點(diǎn)P在直線上運(yùn)動(dòng)，過(guò)P作拋物線C的兩條切線PA、PB，且與拋物線C分別相切于A、B兩點(diǎn).（1）求APB的重心G的軌跡方程.（2）證明PFA=PFB.解：（1）設(shè)切點(diǎn)A、B坐標(biāo)分別為，切線AP的方程為： 切線BP的方程為：解得P點(diǎn)的坐標(biāo)為：所以APB的重心G的坐標(biāo)為 ，所以，由點(diǎn)P在直線l上運(yùn)動(dòng)，從而得到重心G的軌跡方程為： （2）方法1：因?yàn)橛捎赑點(diǎn)在拋物線外，則同理有AFP=PFB.

13、方法2：當(dāng)所以P點(diǎn)坐標(biāo)為，則P點(diǎn)到直線AF的距離為：即所以P點(diǎn)到直線BF的距離為：所以d1=d2，即得AFP=PFB.當(dāng)時(shí)，直線AF的方程：直線BF的方程：所以P點(diǎn)到直線AF的距離為：，同理可得到P點(diǎn)到直線BF的距離，因此由d1=d2，可得到AFP=PFB.16.已知（1）求函數(shù)的圖像在處的切線方程；（2）設(shè)實(shí)數(shù)，求函數(shù)在上的最小值；（3）證明對(duì)一切，都有成立解：（1）定義域?yàn)橛趾瘮?shù)的在處的切線方程為：，即3分（2）令得當(dāng)，單調(diào)遞減，當(dāng)，單調(diào)遞增 5分（i）當(dāng)時(shí)，在單調(diào)遞增，6分（ii）當(dāng)即時(shí)，7分（iii）當(dāng)即時(shí)，在單調(diào)遞減，8分(3)問(wèn)題等價(jià)于證明，由(2)可知的最小值是，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取得最

14、小值10分設(shè)，則，當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)單調(diào)遞減。故，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取得最大值12分所以且等號(hào)不同時(shí)成立，即從而對(duì)一切，都有成立13分17（本小題滿分14分）已知函數(shù)處取得極值（I）求實(shí)數(shù)的值；（II）若關(guān)于x的方程在區(qū)間0，2上恰有兩個(gè)不同的實(shí)數(shù)根，求實(shí)數(shù)b的取值范圍；（III）證明：對(duì)任意正整數(shù)n，不等式都成立解：（I）2分時(shí)，取得極值，3分故，解得a=1，經(jīng)檢驗(yàn)a=1符合題意4分（II）由a=1知得令則上恰有兩個(gè)不同的實(shí)數(shù)根等價(jià)于在0，2上恰有兩個(gè)不同的實(shí)數(shù)根5分6分當(dāng)上單調(diào)遞增當(dāng)上單調(diào)遞減依題意有9分（III）的定義域?yàn)?0分由（1）知11分令（舍去），單調(diào)遞增；當(dāng)x>0時(shí)，單調(diào)遞減上

15、的最大值（12分）（當(dāng)且僅當(dāng)x=0時(shí)，等號(hào)成立）13分對(duì)任意正整數(shù)n，取得， 14分18. (本小題滿分12分) 已知橢圓（）的左、右焦點(diǎn)分別為，為橢圓短軸的一個(gè)頂點(diǎn)，且是直角三角形，橢圓上任一點(diǎn)到左焦點(diǎn)的距離的最大值為（1）求橢圓的方程；（2）與兩坐標(biāo)軸都不垂直的直線：交橢圓于兩點(diǎn)，且以線段為直徑的圓恒過(guò)坐標(biāo)原點(diǎn)，當(dāng)面積的最大值時(shí)，求直線的方程.解：（1）由題意得，2分，則3分所以橢圓的方程為4分（2）設(shè)，聯(lián)立得，5分又以線段為直徑的圓恒過(guò)坐標(biāo)原點(diǎn)，所以即，代入得7分=-9分設(shè)，則當(dāng)，即時(shí)，面積取得最大值，11分又，所以直線方程為-12分19.(本小題滿分12分) 已知函數(shù)（1）若對(duì)任意的恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍；（2）當(dāng)時(shí)，設(shè)函數(shù)，若，求證解：（1）1分，即在上恒成立設(shè)，時(shí)，單調(diào)減，單調(diào)增，所以時(shí)，有最大值3分，所以5分（2）當(dāng)時(shí)，,所以在上是增函數(shù)，上是減函數(shù)6分因?yàn)椋约赐?分所以又因?yàn)楫?dāng)且僅當(dāng)“”時(shí)，取等號(hào)10分又，11分所以所以所以：12分20本小題滿分12分的內(nèi)切圓與三邊的切點(diǎn)分別為，已知，內(nèi)切圓圓心，設(shè)點(diǎn)的軌跡為.