【最新】高中數(shù)學-2015年普通高等學校招生全國統(tǒng)一考試數(shù)學理試題（湖北卷含答案）

1、絕密啟用前2015年普通高等學校招生全國統(tǒng)一考試（湖北卷）數(shù) 學（理工類）本試題卷共6頁，22題，其中第15、16題為選考題。全卷滿分150分。考試用時120分鐘。?？荚図樌⒁馐马棧?答卷前，先將自己的姓名、準考證號填寫在試題卷和答題卡上，并將準考證號條形碼粘貼在答題卡上的指定位置。用2B鉛筆將答題卡上試卷類型A后的方框涂黑。2選擇題的作答：每小題選出答案后，用2B鉛筆把答題卡上對應題目的答案標號涂黑。寫在試題卷、草稿紙和答題卡上的非答題區(qū)域均無效。3填空題和解答題的作答：用簽字筆直接答在答題卡上對應的答題區(qū)域內。寫在試題卷、草稿紙和答題卡上的非答題區(qū)域均無效。4選考題的作答：先把所選題目的

2、題號在答題卡上指定的位置用2B鉛筆涂黑，再在答題卡上對應的答題區(qū)域內答題。寫在試題卷、草稿紙和答題卡上的非答題區(qū)域均無效。5考試結束后，請將本試題卷和答題卡一并上交。一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分. 在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.1為虛數(shù)單位，的共軛復數(shù)為A B C1 D 2我國古代數(shù)學名著數(shù)書九章有“米谷粒分”題：糧倉開倉收糧，有人送來米1534 石，驗得米內夾谷，抽樣取米一把，數(shù)得254粒內夾谷28粒，則這批米內夾谷約為 A134石 B169石 C338石 D1365石3已知的展開式中第4項與第8項的二項式系數(shù)相等，則奇數(shù)項的二項式系數(shù)和為A B

3、C D4設，這兩個正態(tài)分布密度曲線如圖所示下列結論中正確的是A B C對任意正數(shù)， 第4題圖D對任意正數(shù)，5設，. 若p：成等比數(shù)列；q：，則Ap是q的充分條件，但不是q的必要條件 Bp是q的必要條件，但不是q的充分條件Cp是q的充分必要條件 Dp既不是q的充分條件，也不是q的必要條件6已知符號函數(shù) 是上的增函數(shù)，則 A B C D7在區(qū)間上隨機取兩個數(shù)，記為事件“”的概率，為事件“”的概率，為事件“”的概率，則 A B C D 8將離心率為的雙曲線的實半軸長和虛半軸長同時增加個單位 長度，得到離心率為的雙曲線，則 A對任意的， B當時，；當時， C對任意的， D當時，；當時，9已知集合，定義

4、集合 ，則中元素的個數(shù)為 A77 B49 C45 D3010設，表示不超過的最大整數(shù). 若存在實數(shù)，使得， 同時成立，則正整數(shù)的最大值是 A3 B4 C5 D6二、填空題：本大題共6小題，考生需作答5小題，每小題5分，共25分請將答案填在答題卡對應題號的位置上答錯位置，書寫不清，模棱兩可均不得分 （一）必考題（1114題）11已知向量，則 12函數(shù)的零點個數(shù)為 第13題圖第14題圖xO yTCN AMB13如圖，一輛汽車在一條水平的公路上向正西行駛，到處時測得公路北側一山頂D在西偏北的方向上，行駛600m后到達處，測得此山頂在西偏北的方向上，仰角為，則此山的高度 m. 14如圖，圓與軸相切于點

5、，與軸正半軸交于兩點（B在A的上方）， 且（）圓的標準方程為 ；（）過點任作一條直線與圓相交于兩點，下列三個結論：； ； 其中正確結論的序號是 . （寫出所有正確結論的序號）（二）選考題（請考生在第15、16兩題中任選一題作答，請先在答題卡指定位置將你所選的題目序號后的方框用2B鉛筆涂黑如果全選，則按第15題作答結果計分）第15題圖15（選修4-1：幾何證明選講）如圖，PA是圓的切線，A為切點，PBC是圓的割線，且，則 . 16（選修4-4：坐標系與參數(shù)方程）在直角坐標系xOy中，以O為極點，x軸的正半軸為極軸建立極坐標系. 已知直線l的極坐標方程為，曲線C的參數(shù)方程為 ( t為參數(shù)) ，l與

6、C相交于AB兩點，則 .三、解答題：本大題共6小題，共75分 解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟17（本小題滿分11分）某同學用“五點法”畫函數(shù)在某一個周期內的圖象時，列表并填入了部分數(shù)據(jù)，如下表：0050 （）請將上表數(shù)據(jù)補充完整，填寫在答題卡上相應位置，并直接寫出函數(shù)的解 析式；（）將圖象上所有點向左平行移動個單位長度，得到的圖象. 若圖象的一個對稱中心為，求的最小值. 18（本小題滿分12分）設等差數(shù)列的公差為d，前n項和為，等比數(shù)列的公比為q已知，（）求數(shù)列，的通項公式；（）當時，記，求數(shù)列的前n項和 19（本小題滿分12分）第19題圖九章算術中，將底面為長方形且有一條側棱與底面垂

7、直的四棱錐稱之為陽馬，將四個面都為直角三角形的四面體稱之為鱉臑如圖，在陽馬中，側棱底面，且，過棱的中點，作交于點，連接 （）證明：試判斷四面體是否為鱉臑，若是，寫出其每個面的直角（只需寫出結論）；若不是，說明理由；（）若面與面所成二面角的大小為， 求的值20（本小題滿分12分）某廠用鮮牛奶在某臺設備上生產兩種奶制品生產1噸產品需鮮牛奶2噸，使用設備1小時，獲利1000元；生產1噸產品需鮮牛奶1.5噸，使用設備1.5小時，獲利1200元要求每天產品的產量不超過產品產量的2倍，設備每天生產兩種產品時間之和不超過12小時. 假定每天可獲取的鮮牛奶數(shù)量W（單位：噸）是一個隨機變量，其分布列為W1215

8、18P0.30.50.2該廠每天根據(jù)獲取的鮮牛奶數(shù)量安排生產，使其獲利最大，因此每天的最大獲利（單位：元）是一個隨機變量（）求的分布列和均值；（） 若每天可獲取的鮮牛奶數(shù)量相互獨立，求3天中至少有1天的最大獲利超過10000元的概率21（本小題滿分14分）一種作圖工具如圖1所示是滑槽的中點，短桿ON可繞O轉動，長桿MN通過N處鉸鏈與ON連接，MN上的栓子D可沿滑槽AB滑動，且，當栓子D在滑槽AB內作往復運動時，帶動N繞轉動一周（D不動時，N也不動），M處的筆尖畫出的曲線記為C以為原點，所在的直線為軸建立如圖2所示的平面直角坐標系（）求曲線C的方程；（）設動直線與兩定直線和分別交于兩點若直線總與

9、曲線有且只有一個公共點，試探究：OPQ的面積是否存在最小值？若存在，求出該最小值；若不存在，說明理由xDOMNy第21題圖2第21題圖122（本小題滿分14分）已知數(shù)列的各項均為正數(shù)，e為自然對數(shù)的底數(shù)（）求函數(shù)的單調區(qū)間，并比較與e的大??；（）計算，由此推測計算的公式，并給出證明；（）令，數(shù)列，的前項和分別記為, 證明：. 絕密啟用前 2015年普通高等學校招生全國統(tǒng)一考試（湖北卷）數(shù)學（理工類）試題參考答案一、選擇題（本大題共10小題，每小題5分，共50分）1A 2B 3D 4C 5A 6B 7B 8D 9C 10B二、填空題（本大題共6小題，考生需作答5小題，每小題5分，共25分）119

10、 122 1314（）；（） 15 16三、解答題（本大題共6小題，共75分）17（11分）（）根據(jù)表中已知數(shù)據(jù)，解得. 數(shù)據(jù)補全如下表：00500且函數(shù)表達式為. （）由（）知 ，得. 因為的對稱中心為，. 令，解得， . 由于函數(shù)的圖象關于點成中心對稱，令， 解得，. 由可知，當時，取得最小值. 18（12分）（）由題意有， 即解得 或 故或（）由，知，故，于是， . -可得，故. 19（12分）（解法1）（）因為底面，所以， 由底面為長方形，有，而，所以. 而，所以. 又因為，點是的中點，所以. 而，所以平面. 而，所以.又，所以平面. 由平面，平面，可知四面體的四個面都是直角三角形，即

11、四面體是一個鱉臑，其四個面的直角分別為. （）如圖1，在面內，延長與交于點，則是平面與平面 的交線. 由（）知，所以. 又因為底面，所以. 而，所以. 故是面與面所成二面角的平面角， 設，有，在RtPDB中, 由, 得, 則 , 解得. 所以 故當面與面所成二面角的大小為時，. （解法2）（）如圖2，以為原點，射線分別為軸的正半軸，建立空間直角坐標系. 設，則，點是的中點，所以，于是，即. 又已知，而，所以. 因, , 則, 所以.由平面，平面，可知四面體的四個面都是直角三角形，第19題解答圖2第19題解答圖1即四面體是一個鱉臑，其四個面的直角分別為. （）由，所以是平面的一個法向量；由（）知

12、，所以是平面的一個法向量. 若面與面所成二面角的大小為，則，解得. 所以 故當面與面所成二面角的大小為時，. 20（12分）（）設每天兩種產品的生產數(shù)量分別為，相應的獲利為，則有 （1）第20題解答圖1第20題解答圖2第20題解答圖3目標函數(shù)為 當時，（1）表示的平面區(qū)域如圖1，三個頂點分別為 將變形為，當時，直線：在軸上的截距最大，最大獲利當時，（1）表示的平面區(qū)域如圖2，三個頂點分別為將變形為，當時，直線：在軸上的截距最大，最大獲利當時，（1）表示的平面區(qū)域如圖3，四個頂點分別為. 將變形為，當時，直線：在軸上的截距最大，最大獲利 故最大獲利的分布列為816010200108000.30.

13、50.2 因此， （）由（）知，一天最大獲利超過10000元的概率，由二項分布，3天中至少有1天最大獲利超過10000元的概率為 21（14分）（）設點，依題意，第21題解答圖，且，所以，且即且 由于當點不動時，點也不動，所以不恒等于0，于是，故，代入，可得，即所求的曲線的方程為 （）（1）當直線的斜率不存在時，直線為或，都有. （2）當直線的斜率存在時，設直線， 由 消去，可得.因為直線總與橢圓有且只有一個公共點，所以，即. 又由 可得；同理可得.由原點到直線的距離為和，可得. 將代入得，. 當時，；當時，.因，則，所以，當且僅當時取等號.所以當時，的最小值為8.綜合（1）（2）可知，當直線與橢圓在四個頂點處相切時，OPQ的面