劉超_簡明應(yīng)用統(tǒng)計學_第2版 第5章_統(tǒng)計推斷：對總體參數(shù)的估計

1、5 5 - - 1 1 簡明應(yīng)用統(tǒng)計學（第簡明應(yīng)用統(tǒng)計學（第2 2版）版） 劉超，北京航空航天大學數(shù)學與系統(tǒng)科學學院劉超，北京航空航天大學數(shù)學與系統(tǒng)科學學院簡明應(yīng)用統(tǒng)計學簡明應(yīng)用統(tǒng)計學（第（第2版版）5 5 - - 2 2 簡明應(yīng)用統(tǒng)計學（第簡明應(yīng)用統(tǒng)計學（第2 2版）版） 劉超，北京航空航天大學數(shù)學與系統(tǒng)科學學院劉超，北京航空航天大學數(shù)學與系統(tǒng)科學學院第第5章章 對總體對總體參數(shù)參數(shù)的的估計估計5.1 引言引言5.2 抽樣分布與中心極限定理抽樣分布與中心極限定理5.3 三種常用的抽樣分布三種常用的抽樣分布5.4 點估計點估計5.5 區(qū)間估計區(qū)間估計5.6 合適合適樣本量的確定樣本量的確定5

2、5 - - 3 3 簡明應(yīng)用統(tǒng)計學（第簡明應(yīng)用統(tǒng)計學（第2 2版）版） 劉超，北京航空航天大學數(shù)學與系統(tǒng)科學學院劉超，北京航空航天大學數(shù)學與系統(tǒng)科學學院學習目標學習目標1. 理解為什么抽樣是了解總體的可行方法。理解為什么抽樣是了解總體的可行方法。2. 了解抽樣的幾種方法。了解抽樣的幾種方法。3. 定義和構(gòu)造樣本均值的抽樣分布。定義和構(gòu)造樣本均值的抽樣分布。4. 熟悉中心極限定理。熟悉中心極限定理。5. 知道什么是點估計和區(qū)間估計。知道什么是點估計和區(qū)間估計。6. 總體標準差已知或未知時總體標準差已知或未知時,構(gòu)造關(guān)于總體均值的構(gòu)造關(guān)于總體均值的 置信區(qū)間。置信區(qū)間。7. 構(gòu)造關(guān)于總體比例的置信

3、區(qū)間。構(gòu)造關(guān)于總體比例的置信區(qū)間。8. 確定樣本量。確定樣本量。9.掌握相關(guān)理論在統(tǒng)計軟件中的應(yīng)用。掌握相關(guān)理論在統(tǒng)計軟件中的應(yīng)用。10.掌握相應(yīng)統(tǒng)計分析結(jié)果的解讀。掌握相應(yīng)統(tǒng)計分析結(jié)果的解讀。5 5 - - 4 4 簡明應(yīng)用統(tǒng)計學（第簡明應(yīng)用統(tǒng)計學（第2 2版）版） 劉超，北京航空航天大學數(shù)學與系統(tǒng)科學學院劉超，北京航空航天大學數(shù)學與系統(tǒng)科學學院5.1 引言引言 從數(shù)據(jù)中提取與研究問題有關(guān)的信息，并從數(shù)據(jù)中提取與研究問題有關(guān)的信息，并利用它得到關(guān)于現(xiàn)實世界的結(jié)論的過程就利用它得到關(guān)于現(xiàn)實世界的結(jié)論的過程就叫做叫做統(tǒng)計推斷統(tǒng)計推斷(statistical inference)。 估計估計(es

4、timation)是統(tǒng)計推斷的重要內(nèi)容之是統(tǒng)計推斷的重要內(nèi)容之一。一。 統(tǒng)計推斷的另一個主要內(nèi)容是下一章要介統(tǒng)計推斷的另一個主要內(nèi)容是下一章要介紹的紹的假設(shè)檢驗假設(shè)檢驗(hypothesis testing)。5 5 - - 5 5 簡明應(yīng)用統(tǒng)計學（第簡明應(yīng)用統(tǒng)計學（第2 2版）版） 劉超，北京航空航天大學數(shù)學與系統(tǒng)科學學院劉超，北京航空航天大學數(shù)學與系統(tǒng)科學學院5.1 引言引言 估計是根據(jù)擁有的信息來對現(xiàn)實世界進行某種判斷。估計是根據(jù)擁有的信息來對現(xiàn)實世界進行某種判斷。 你可以根據(jù)一個人的衣著、言談和舉止判斷其身份；你你可以根據(jù)一個人的衣著、言談和舉止判斷其身份；你可以根據(jù)一個人的臉色，猜出

5、其心情和身體狀況可以根據(jù)一個人的臉色，猜出其心情和身體狀況 統(tǒng)計中的估計也不例外，它是完全根據(jù)數(shù)據(jù)做出的。統(tǒng)計中的估計也不例外，它是完全根據(jù)數(shù)據(jù)做出的。 如果我們想知道北京人認可某飲料的比例，人們只有在如果我們想知道北京人認可某飲料的比例，人們只有在北京人中進行抽樣調(diào)查以得到樣本，并用樣本中認可該北京人中進行抽樣調(diào)查以得到樣本，并用樣本中認可該飲料的比例來估計真實的比例。飲料的比例來估計真實的比例。 從不同的樣本得到的結(jié)論也不會完全一樣。雖然真實的從不同的樣本得到的結(jié)論也不會完全一樣。雖然真實的比例在這種抽樣過程中永遠也不知道；但可以知道估計比例在這種抽樣過程中永遠也不知道；但可以知道估計出來

6、的比例和真實的比例大致差多少。出來的比例和真實的比例大致差多少。5 5 - - 6 6 簡明應(yīng)用統(tǒng)計學（第簡明應(yīng)用統(tǒng)計學（第2 2版）版） 劉超，北京航空航天大學數(shù)學與系統(tǒng)科學學院劉超，北京航空航天大學數(shù)學與系統(tǒng)科學學院5.1 引言引言 人們往往先假定某數(shù)據(jù)來自一個特定的總體族人們往往先假定某數(shù)據(jù)來自一個特定的總體族（比如正態(tài)分布族）。（比如正態(tài)分布族）。 要確定是總體族的哪個成員則需要知道總體參要確定是總體族的哪個成員則需要知道總體參數(shù)值（比如總體均值和總體方差）。數(shù)值（比如總體均值和總體方差）。 人們于是可以用相應(yīng)的樣本統(tǒng)計量（比如樣本人們于是可以用相應(yīng)的樣本統(tǒng)計量（比如樣本均值和樣本方差

7、）來估計相應(yīng)的總體參數(shù)。均值和樣本方差）來估計相應(yīng)的總體參數(shù)。5 5 - - 7 7 簡明應(yīng)用統(tǒng)計學（第簡明應(yīng)用統(tǒng)計學（第2 2版）版） 劉超，北京航空航天大學數(shù)學與系統(tǒng)科學學院劉超，北京航空航天大學數(shù)學與系統(tǒng)科學學院5.1 引言引言 一些常見的涉及總體的參數(shù)包括總體均值一些常見的涉及總體的參數(shù)包括總體均值(m m)、總體標準差總體標準差(s s)或方差或方差(s s2 2)和和(Bernoulli試驗中試驗中)成成功概率功概率p等（總體中含有某種特征的個體之比等（總體中含有某種特征的個體之比例）。例）。 正態(tài)分布族中的成員被（總體）均值和標準差正態(tài)分布族中的成員被（總體）均值和標準差完全確定

8、；完全確定； Bernoulli分布族的成員被概率（或比例）分布族的成員被概率（或比例）p完全完全決定。決定。 因此如果能夠?qū)@些參數(shù)進行估計，總體分布因此如果能夠?qū)@些參數(shù)進行估計，總體分布也就估計出來了。也就估計出來了。5 5 - - 8 8 簡明應(yīng)用統(tǒng)計學（第簡明應(yīng)用統(tǒng)計學（第2 2版）版） 劉超，北京航空航天大學數(shù)學與系統(tǒng)科學學院劉超，北京航空航天大學數(shù)學與系統(tǒng)科學學院5.1 引言引言 估計的根據(jù)為總體抽取的樣本。估計的根據(jù)為總體抽取的樣本。 樣本的（不包含未知總體參數(shù)的）函數(shù)稱為統(tǒng)樣本的（不包含未知總體參數(shù)的）函數(shù)稱為統(tǒng)計量；而用于估計的統(tǒng)計量稱為計量；而用于估計的統(tǒng)計量稱為估計量估

9、計量(estimator)。 由于一個統(tǒng)計量對于不同的樣本取值不同，所由于一個統(tǒng)計量對于不同的樣本取值不同，所以，估計量也是隨機變量，并有其分布。以，估計量也是隨機變量，并有其分布。 如果樣本已經(jīng)得到，把數(shù)據(jù)帶入之后，估計量如果樣本已經(jīng)得到，把數(shù)據(jù)帶入之后，估計量就有了一個數(shù)值，稱為該估計量的一個就有了一個數(shù)值，稱為該估計量的一個實現(xiàn)實現(xiàn)(realization)或取值，也稱為一個或取值，也稱為一個估計值估計值(estimate)。5 5 - - 9 9 簡明應(yīng)用統(tǒng)計學（第簡明應(yīng)用統(tǒng)計學（第2 2版）版） 劉超，北京航空航天大學數(shù)學與系統(tǒng)科學學院劉超，北京航空航天大學數(shù)學與系統(tǒng)科學學院5.1

10、引言引言 通常情況下對整個總體進行全面調(diào)查不可行通常情況下對整個總體進行全面調(diào)查不可行,原原因在于因在于: 對整個總體進行調(diào)查過于費時對整個總體進行調(diào)查過于費時 檢驗可能是破壞性的檢驗可能是破壞性的 對總體進行逐一調(diào)查費用過高對總體進行逐一調(diào)查費用過高 抽樣得到的結(jié)果就可以滿足我們的要求。抽樣得到的結(jié)果就可以滿足我們的要求。 抽樣的主要目的就是通過樣本來估計總體的信息抽樣的主要目的就是通過樣本來估計總體的信息,諸如均值、標準差、分布形狀等諸如均值、標準差、分布形狀等,因為在大多數(shù)因為在大多數(shù)情況下總體的這些特征量是未知的。情況下總體的這些特征量是未知的。5 5 - - 1010 簡明應(yīng)用統(tǒng)計學

11、（第簡明應(yīng)用統(tǒng)計學（第2 2版）版） 劉超，北京航空航天大學數(shù)學與系統(tǒng)科學學劉超，北京航空航天大學數(shù)學與系統(tǒng)科學學院院5.2 抽樣分布與中心極限定理抽樣分布與中心極限定理1、抽樣分布、抽樣分布2、中心極限定理、中心極限定理5 5 - - 1111 簡明應(yīng)用統(tǒng)計學（第簡明應(yīng)用統(tǒng)計學（第2 2版）版） 劉超，北京航空航天大學數(shù)學與系統(tǒng)科學學劉超，北京航空航天大學數(shù)學與系統(tǒng)科學學院院抽樣分布抽樣分布 (sampling distribution)1.相同樣本量的樣本統(tǒng)計量會隨著樣本不同而不同，即樣本統(tǒng)計量作為隨機樣本的函數(shù)也是隨機的，也有自己的分布2.樣本統(tǒng)計量的概率分布，是一種理論分布在重復(fù)選取容

12、量為n的樣本時，由該統(tǒng)計量的所有可能取值形成的相對頻數(shù)分布 3.隨機變量是 樣本統(tǒng)計量樣本統(tǒng)計量樣本均值, 樣本比例，樣本方差等4.結(jié)果來自容量相同容量相同的所有所有可能樣本5.提供了樣本統(tǒng)計量長遠而穩(wěn)定的信息，是進行推斷的理論基礎(chǔ)，也是抽樣推斷科學性的重要依據(jù) 5 5 - - 1212 簡明應(yīng)用統(tǒng)計學（第簡明應(yīng)用統(tǒng)計學（第2 2版）版） 劉超，北京航空航天大學數(shù)學與系統(tǒng)科學學劉超，北京航空航天大學數(shù)學與系統(tǒng)科學學院院樣本均值的抽樣分布樣本均值的抽樣分布1. 在重復(fù)選取容量為n的樣本時，由樣本均值的所有可能取值形成的相對頻數(shù)分布2. 一種理論概率分布3. 推斷總體均值m的理論基礎(chǔ)5 5 - -

13、 1313 簡明應(yīng)用統(tǒng)計學（第簡明應(yīng)用統(tǒng)計學（第2 2版）版） 劉超，北京航空航天大學數(shù)學與系統(tǒng)科學學劉超，北京航空航天大學數(shù)學與系統(tǒng)科學學院院樣本均值的抽樣分布樣本均值的抽樣分布（例題分析）（例題分析）【例5.1】表5.1是從某企業(yè)80名員工月收入數(shù)據(jù)中隨機選取的6名員工的月收入(此處為了簡便,假定其為總體,單位:元)。X1X2X3X4X5X61427 1716 1844 2037 2366 2949很容易得到均值=2056.5元。為獲得樣本均值的抽樣分布,假設(shè)樣本量取為2,表5.2列出了所有15種可能的樣本和相應(yīng)的總和及樣本均值。5 5 - - 1414 簡明應(yīng)用統(tǒng)計學（第簡明應(yīng)用統(tǒng)計學（

14、第2 2版）版） 劉超，北京航空航天大學數(shù)學與系統(tǒng)科學學劉超，北京航空航天大學數(shù)學與系統(tǒng)科學學院院樣本組合總和1X1,X231431571.52X1,X332711635.53X1,X4346417324X1,X537931896.55X1,X6437621886X2,X3356017807X2,X437531876.58X2,X5408220419X2,X646652332.510X3,X438811940.511X3,X54210210512X3,X647932396.513X4,X544032201.5樣本均值的抽樣分布樣本均值的抽樣分布（例題分析）（例題分析）5 5 - - 1515

15、簡明應(yīng)用統(tǒng)計學（第簡明應(yīng)用統(tǒng)計學（第2 2版）版） 劉超，北京航空航天大學數(shù)學與系統(tǒng)科學學劉超，北京航空航天大學數(shù)學與系統(tǒng)科學學院院可得到如下的結(jié)論：可得到如下的結(jié)論：（1）樣本均值分布的均值等于總體均值： 。（2）樣本均值分布的延伸范圍小于總體分布。樣本均值的起止點分別為1571.5元和2657.5元，而總體值則從1427元至2949元不等。事實上，樣本均值分布的標準差等于總體標準差除以樣本量的算術(shù)平方根，即為 。注意到如果我們增加樣本量，那么樣本均值分布的范圍將縮小。（3）樣本均值的抽樣分布形態(tài)與總體頻數(shù)分布形態(tài)不同。樣本均值分布更接近鐘形，近似于正態(tài)概率分布。xmm/ns樣本均值的抽樣分

16、布樣本均值的抽樣分布（例題分析）（例題分析）5 5 - - 1616 簡明應(yīng)用統(tǒng)計學（第簡明應(yīng)用統(tǒng)計學（第2 2版）版） 劉超，北京航空航天大學數(shù)學與系統(tǒng)科學學劉超，北京航空航天大學數(shù)學與系統(tǒng)科學學院院樣本比例的抽樣分布樣本比例的抽樣分布1. 在重復(fù)選取容量為n的樣本時，由樣本比例的所有可能取值形成的相對頻數(shù)分布2. 一種理論概率分布3. 當樣本容量很大時，樣本比例的抽樣分布可用正態(tài)分布近似 4. 推斷總體比例的理論基礎(chǔ)5 5 - - 1717 簡明應(yīng)用統(tǒng)計學（第簡明應(yīng)用統(tǒng)計學（第2 2版）版） 劉超，北京航空航天大學數(shù)學與系統(tǒng)科學學劉超，北京航空航天大學數(shù)學與系統(tǒng)科學學院院樣本比例的抽樣分布

17、樣本比例的抽樣分布(數(shù)學期望與方差)1. 樣本比例的數(shù)學期望2. 樣本比例的方差重復(fù)抽樣不重復(fù)抽樣( )E p2(1)pns2(1)1pNnnNs5 5 - - 1818 簡明應(yīng)用統(tǒng)計學（第簡明應(yīng)用統(tǒng)計學（第2 2版）版） 劉超，北京航空航天大學數(shù)學與系統(tǒng)科學學劉超，北京航空航天大學數(shù)學與系統(tǒng)科學學院院樣本均值的抽樣分布樣本均值的抽樣分布與中心極限定理與中心極限定理X總體分布總體分布抽樣分布抽樣分布x當總體服從正態(tài)分布N(,2)時，來自該總體的所有容量為n的樣本的均值x也服從正態(tài)分布，x 的數(shù)學期望為，方差為2/n。即xN(,2/n)50 xm50m10s45xns162.5xns5 5 -

18、- 1919 簡明應(yīng)用統(tǒng)計學（第簡明應(yīng)用統(tǒng)計學（第2 2版）版） 劉超，北京航空航天大學數(shù)學與系統(tǒng)科學學劉超，北京航空航天大學數(shù)學與系統(tǒng)科學學院院中心極限定理中心極限定理(central limit theorem)當樣本容量足夠大時(n 30) ，樣本均值的抽樣分布逐漸趨于正態(tài)分布從均值為m，方差為s 2的一個任意總體中抽取容量為n的樣本，當n充分大時，樣本均值的抽樣分布近似服從均值為、方差為2/n的正態(tài)分布一個任意分布的總體xnssxmm5 5 - - 2020 簡明應(yīng)用統(tǒng)計學（第簡明應(yīng)用統(tǒng)計學（第2 2版）版） 劉超，北京航空航天大學數(shù)學與系統(tǒng)科學學劉超，北京航空航天大學數(shù)學與系統(tǒng)科學學

19、院院中心極限定理中心極限定理 (central limit theorem) x 的分布趨的分布趨于正態(tài)分布于正態(tài)分布的過程的過程5 5 - - 2121 簡明應(yīng)用統(tǒng)計學（第簡明應(yīng)用統(tǒng)計學（第2 2版）版） 劉超，北京航空航天大學數(shù)學與系統(tǒng)科學學劉超，北京航空航天大學數(shù)學與系統(tǒng)科學學院院中心極限定理中心極限定理 (central limit theorem)U01, n=1Density0.00.20.40.60.81.00.00.20.40.60.81.0U01, n=3Density0.00.20.40.60.81.00.00.51.01.52.0U01, n=100Density0.40

20、0.450.500.55024681012對U(0,1)分布按照三種樣本量大小n=1,3,100分別取1000個樣本計算出均值，得到的直方圖5 5 - - 2222 簡明應(yīng)用統(tǒng)計學（第簡明應(yīng)用統(tǒng)計學（第2 2版）版） 劉超，北京航空航天大學數(shù)學與系統(tǒng)科學學劉超，北京航空航天大學數(shù)學與系統(tǒng)科學學院院5.3 三種常用的抽樣三種常用的抽樣分布分布 5.3.1 2分布分布5.3.2 t 分布分布5.3.3 F 分布分布5 5 - - 2323 簡明應(yīng)用統(tǒng)計學（第簡明應(yīng)用統(tǒng)計學（第2 2版）版） 劉超，北京航空航天大學數(shù)學與系統(tǒng)科學學劉超，北京航空航天大學數(shù)學與系統(tǒng)科學學院院 2 分布分布5 5 - -

21、 2424 簡明應(yīng)用統(tǒng)計學（第簡明應(yīng)用統(tǒng)計學（第2 2版）版） 劉超，北京航空航天大學數(shù)學與系統(tǒng)科學學劉超，北京航空航天大學數(shù)學與系統(tǒng)科學學院院 2分布分布(2 distribution)1.由阿貝(Abbe) 于1863年首先給出，后來由海爾墨特(Hermert)和卡皮爾遜(KPearson) 分別于1875年和1900年推導出來2.設(shè) ，則3.令 ，則 Y 服從自由度為1的2分布，即 4.當總體 ，從中抽取容量為n的樣本，則2212()(1)niixxns2(1)Y2Yz2( ,)XNm s(0,1)XzNms2( ,)XNm s5 5 - - 2525 簡明應(yīng)用統(tǒng)計學（第簡明應(yīng)用統(tǒng)計學（

22、第2 2版）版） 劉超，北京航空航天大學數(shù)學與系統(tǒng)科學學劉超，北京航空航天大學數(shù)學與系統(tǒng)科學學院院 2分布分布(性質(zhì)和特點)1.分布的變量值始終為正 2.分布的形狀取決于其自由度n的大小，通常為不對稱的正偏分布，但隨著自由度的增大逐漸趨于對稱 3.期望為：E(2)=n，方差為：D(2)=2n(n為自由度) 4.可加性：若U和V為兩個獨立的2分布隨機變量，U2(n1)，V2(n2),則U+V這一隨機變量服從自由度為n1+n2的2分布 5 5 - - 2626 簡明應(yīng)用統(tǒng)計學（第簡明應(yīng)用統(tǒng)計學（第2 2版）版） 劉超，北京航空航天大學數(shù)學與系統(tǒng)科學學劉超，北京航空航天大學數(shù)學與系統(tǒng)科學學院院 2分

23、布分布(圖示)自由度為自由度為2,4和和9的的2分布密度曲線圖分布密度曲線圖5 5 - - 2727 簡明應(yīng)用統(tǒng)計學（第簡明應(yīng)用統(tǒng)計學（第2 2版）版） 劉超，北京航空航天大學數(shù)學與系統(tǒng)科學學劉超，北京航空航天大學數(shù)學與系統(tǒng)科學學院院t 分布分布5 5 - - 2828 簡明應(yīng)用統(tǒng)計學（第簡明應(yīng)用統(tǒng)計學（第2 2版）版） 劉超，北京航空航天大學數(shù)學與系統(tǒng)科學學劉超，北京航空航天大學數(shù)學與系統(tǒng)科學學院院t 分布分布1. 高塞特(W.S.Gosset)于1908年在一篇以“Student”(學生)為筆名的論文中首次提出2. t 分布是類似正態(tài)分布的一種對稱分布，它通常要比正態(tài)分布平坦和分散3. 一

24、個特定的分布依賴于稱之為自由度的參數(shù)。隨著自由度的增大，分布也逐漸趨于正態(tài)分布 5 5 - - 2929 簡明應(yīng)用統(tǒng)計學（第簡明應(yīng)用統(tǒng)計學（第2 2版）版） 劉超，北京航空航天大學數(shù)學與系統(tǒng)科學學劉超，北京航空航天大學數(shù)學與系統(tǒng)科學學院院t 分布分布 (圖示)-4-20240.00.10.20.30.4N(0,1)t(1)t(10)自由度分別為自由度分別為1，10的的t分布和標準正態(tài)分布的密度曲線圖分布和標準正態(tài)分布的密度曲線圖(虛線為虛線為t分布分布)5 5 - - 3030 簡明應(yīng)用統(tǒng)計學（第簡明應(yīng)用統(tǒng)計學（第2 2版）版） 劉超，北京航空航天大學數(shù)學與系統(tǒng)科學學劉超，北京航空航天大學數(shù)學

25、與系統(tǒng)科學學院院F 分布分布5 5 - - 3131 簡明應(yīng)用統(tǒng)計學（第簡明應(yīng)用統(tǒng)計學（第2 2版）版） 劉超，北京航空航天大學數(shù)學與系統(tǒng)科學學劉超，北京航空航天大學數(shù)學與系統(tǒng)科學學院院F分布分布(F distribution)1.由統(tǒng)計學家費希爾(R.A.Fisher) 提出的，以其姓氏的第一個字母來命名2.設(shè)若U為服從自由度為n1的2分布，即U2(n1)，V為服從自由度為n2的2分布，即V2(n2),且U和V相互獨立，則稱F為服從自由度n1和n2的F分布，記為1212( ,)U nFV nFF n n5 5 - - 3232 簡明應(yīng)用統(tǒng)計學（第簡明應(yīng)用統(tǒng)計學（第2 2版）版） 劉超，北京航

26、空航天大學數(shù)學與系統(tǒng)科學學劉超，北京航空航天大學數(shù)學與系統(tǒng)科學學院院F分布分布(圖示)0123450.00.20.40.60.81.0F(2,30)F(10,30)F(20,30)自由度分別為（自由度分別為（2,30），（），（10,30），（），（20,30）的）的F分布的密度曲線圖分布的密度曲線圖5 5 - - 3333 簡明應(yīng)用統(tǒng)計學（第簡明應(yīng)用統(tǒng)計學（第2 2版）版） 劉超，北京航空航天大學數(shù)學與系統(tǒng)科學學劉超，北京航空航天大學數(shù)學與系統(tǒng)科學學院院5.4 點點估計估計7.1.1 估計量與估計值估計量與估計值7.1.2 點估計點估計7.1.3 評價估計量的標準評價估計量的標準5 5 -

27、- 3434 簡明應(yīng)用統(tǒng)計學（第簡明應(yīng)用統(tǒng)計學（第2 2版）版） 劉超，北京航空航天大學數(shù)學與系統(tǒng)科學學劉超，北京航空航天大學數(shù)學與系統(tǒng)科學學院院估計量與估計值估計量與估計值5 5 - - 3535 簡明應(yīng)用統(tǒng)計學（第簡明應(yīng)用統(tǒng)計學（第2 2版）版） 劉超，北京航空航天大學數(shù)學與系統(tǒng)科學學劉超，北京航空航天大學數(shù)學與系統(tǒng)科學學院院統(tǒng)計量統(tǒng)計量(statistic)1. 設(shè)X1,X2,Xn是從總體X中抽取的容量為n的一個樣本，如果由此樣本構(gòu)造一個函數(shù)T(X1,X2,Xn)，不依賴于任何未知參數(shù)，則稱函數(shù)T(X1,X2,Xn)是一個統(tǒng)計量樣本均值、樣本比例、樣本方差等都是統(tǒng)計量2. 統(tǒng)計量是樣本的

28、一個函數(shù)3. 統(tǒng)計量是統(tǒng)計推斷的基礎(chǔ)5 5 - - 3636 簡明應(yīng)用統(tǒng)計學（第簡明應(yīng)用統(tǒng)計學（第2 2版）版） 劉超，北京航空航天大學數(shù)學與系統(tǒng)科學學劉超，北京航空航天大學數(shù)學與系統(tǒng)科學學院院估計量與估計值估計量與估計值 (estimator & estimated value)1. 估計量：用于估計總體參數(shù)的隨機變量如樣本均值，樣本比例, 樣本方差等例如: 樣本均值就是總體均值m的一個估計量2. 參數(shù)用 表示，估計量用 表示3. 估計值：估計參數(shù)時計算出來的統(tǒng)計量的具體值如果樣本均值 x =80，則80就是m的估計值5 5 - - 3737 簡明應(yīng)用統(tǒng)計學（第簡明應(yīng)用統(tǒng)計學（第2

29、2版）版） 劉超，北京航空航天大學數(shù)學與系統(tǒng)科學學劉超，北京航空航天大學數(shù)學與系統(tǒng)科學學院院點估計點估計 5 5 - - 3838 簡明應(yīng)用統(tǒng)計學（第簡明應(yīng)用統(tǒng)計學（第2 2版）版） 劉超，北京航空航天大學數(shù)學與系統(tǒng)科學學劉超，北京航空航天大學數(shù)學與系統(tǒng)科學學院院點估計點估計 (point estimate)1.用樣本的估計量的某個取值直接作為總體參數(shù)的估計值例如：用樣本均值直接作為總體均值的估計；用兩個樣本均值之差直接作為總體均值之差的估計2.無法給出估計值接近總體參數(shù)程度的信息雖然在重復(fù)抽樣條件下，點估計的均值可望等于總體真值，但由于樣本是隨機的，抽出一個具體的樣本得到的估計值很可能不同于

30、總體真值一個點估計量的可靠性是由它的抽樣標準誤差來衡量的，這表明一個具體的點估計值無法給出估計的可靠性的度量 5 5 - - 3939 簡明應(yīng)用統(tǒng)計學（第簡明應(yīng)用統(tǒng)計學（第2 2版）版） 劉超，北京航空航天大學數(shù)學與系統(tǒng)科學學劉超，北京航空航天大學數(shù)學與系統(tǒng)科學學院院評價估計量的標準評價估計量的標準5 5 - - 4040 簡明應(yīng)用統(tǒng)計學（第簡明應(yīng)用統(tǒng)計學（第2 2版）版） 劉超，北京航空航天大學數(shù)學與系統(tǒng)科學學劉超，北京航空航天大學數(shù)學與系統(tǒng)科學學院院無偏性無偏性(unbiasedness)無偏性：無偏性：估計量抽樣分布的數(shù)學期望等于被 估計的總體參數(shù)P( )5 5 - - 4141 簡明應(yīng)

31、用統(tǒng)計學（第簡明應(yīng)用統(tǒng)計學（第2 2版）版） 劉超，北京航空航天大學數(shù)學與系統(tǒng)科學學劉超，北京航空航天大學數(shù)學與系統(tǒng)科學學院院有效性有效性(efficiency)有效性：有效性：對同一總體參數(shù)的兩個無偏點估計 量，有更小標準差的估計量更有效 的抽樣分布的抽樣分布的抽樣分布的抽樣分布P( )5 5 - - 4242 簡明應(yīng)用統(tǒng)計學（第簡明應(yīng)用統(tǒng)計學（第2 2版）版） 劉超，北京航空航天大學數(shù)學與系統(tǒng)科學學劉超，北京航空航天大學數(shù)學與系統(tǒng)科學學院院一致性一致性(consistency)一致性：一致性：隨著樣本量的增大，估計量的 值越來越接近被估計的總體參數(shù)P( )5 5 - - 4343 簡明應(yīng)用

32、統(tǒng)計學（第簡明應(yīng)用統(tǒng)計學（第2 2版）版） 劉超，北京航空航天大學數(shù)學與系統(tǒng)科學學劉超，北京航空航天大學數(shù)學與系統(tǒng)科學學院院區(qū)間估計區(qū)間估計5 5 - - 4444 簡明應(yīng)用統(tǒng)計學（第簡明應(yīng)用統(tǒng)計學（第2 2版）版） 劉超，北京航空航天大學數(shù)學與系統(tǒng)科學學劉超，北京航空航天大學數(shù)學與系統(tǒng)科學學院院區(qū)間估計區(qū)間估計 (interval estimate)1.在點估計的基礎(chǔ)上，給出總體參數(shù)估計的一個區(qū)間范圍，該區(qū)間由樣本統(tǒng)計量加減估計誤差而得到2.根據(jù)樣本統(tǒng)計量的抽樣分布能夠?qū)颖窘y(tǒng)計量與總體參數(shù)的接近程度給出一個概率度量比如，某班級平均分數(shù)在7585之間，置信水平是95% 樣本統(tǒng)計量樣本統(tǒng)計量

33、(點估計點估計)置信區(qū)間置信區(qū)間置信下限置信下限置信上限置信上限5 5 - - 4545 簡明應(yīng)用統(tǒng)計學（第簡明應(yīng)用統(tǒng)計學（第2 2版）版） 劉超，北京航空航天大學數(shù)學與系統(tǒng)科學學劉超，北京航空航天大學數(shù)學與系統(tǒng)科學學院院區(qū)間估計的圖示區(qū)間估計的圖示5 5 - - 4646 簡明應(yīng)用統(tǒng)計學（第簡明應(yīng)用統(tǒng)計學（第2 2版）版） 劉超，北京航空航天大學數(shù)學與系統(tǒng)科學學劉超，北京航空航天大學數(shù)學與系統(tǒng)科學學院院置信水平置信水平(confidence level) 1. 將構(gòu)造置信區(qū)間的步驟重復(fù)很多次，置信區(qū)間包含總體參數(shù)真值的次數(shù)所占的比例稱為置信水平 2. 表示為 (1 - 為是總體參數(shù)未在區(qū)間內(nèi)

34、的比例3. 常用的置信水平值有 99%, 95%, 90% 相應(yīng)的相應(yīng)的 為0.01，0.05，0.105 5 - - 4747 簡明應(yīng)用統(tǒng)計學（第簡明應(yīng)用統(tǒng)計學（第2 2版）版） 劉超，北京航空航天大學數(shù)學與系統(tǒng)科學學劉超，北京航空航天大學數(shù)學與系統(tǒng)科學學院院置信區(qū)間置信區(qū)間 (confidence interval)1.由樣本統(tǒng)計量所構(gòu)造的總體參數(shù)的估計區(qū)間稱為置信區(qū)間2.統(tǒng)計學家在某種程度上確信這個區(qū)間會包含真正的總體參數(shù)，所以給它取名為置信區(qū)間 3.用一個具體的樣本所構(gòu)造的區(qū)間是一個特定的區(qū)間，我們無法知道這個樣本所產(chǎn)生的區(qū)間是否包含總體參數(shù)的真值我們只能是希望這個區(qū)間是大量包含總體參

35、數(shù)真值的區(qū)間中的一個，但它也可能是少數(shù)幾個不包含參數(shù)真值的區(qū)間中的一個總體參數(shù)以一定的概率落在這一區(qū)間的表述是錯誤的5 5 - - 4848 簡明應(yīng)用統(tǒng)計學（第簡明應(yīng)用統(tǒng)計學（第2 2版）版） 劉超，北京航空航天大學數(shù)學與系統(tǒng)科學學劉超，北京航空航天大學數(shù)學與系統(tǒng)科學學院院置信區(qū)間置信區(qū)間 (confidence interval) 不同樣本量和不同置信度的置信區(qū)間的長短和覆蓋情況不同樣本量和不同置信度的置信區(qū)間的長短和覆蓋情況5 5 - - 4949 簡明應(yīng)用統(tǒng)計學（第簡明應(yīng)用統(tǒng)計學（第2 2版）版） 劉超，北京航空航天大學數(shù)學與系統(tǒng)科學學劉超，北京航空航天大學數(shù)學與系統(tǒng)科學學院院 前面提到

36、，不要認為由前面提到，不要認為由某一樣本某一樣本數(shù)據(jù)得數(shù)據(jù)得到總體參數(shù)的到總體參數(shù)的某一個某一個95%置信區(qū)間，就置信區(qū)間，就以為以為該該區(qū)間以區(qū)間以0.95的概率覆蓋總體參數(shù)。的概率覆蓋總體參數(shù)。 置信度置信度95%僅僅描述用來構(gòu)造該區(qū)間上僅僅描述用來構(gòu)造該區(qū)間上下界的下界的統(tǒng)計量統(tǒng)計量(是隨機的是隨機的)覆蓋總體參數(shù)覆蓋總體參數(shù)的概率；的概率； 也就是說，無窮次重復(fù)抽樣所得到的所也就是說，無窮次重復(fù)抽樣所得到的所有區(qū)間中有有區(qū)間中有95%包含參數(shù)。包含參數(shù)。關(guān)于置信區(qū)間的注意點關(guān)于置信區(qū)間的注意點5 5 - - 5050 簡明應(yīng)用統(tǒng)計學（第簡明應(yīng)用統(tǒng)計學（第2 2版）版） 劉超，北京航空航

37、天大學數(shù)學與系統(tǒng)科學學劉超，北京航空航天大學數(shù)學與系統(tǒng)科學學院院 但是把一個樣本數(shù)據(jù)帶入統(tǒng)計量的公式但是把一個樣本數(shù)據(jù)帶入統(tǒng)計量的公式所得到的一個區(qū)間，只是這些區(qū)間中的所得到的一個區(qū)間，只是這些區(qū)間中的一個。一個。 這個非隨機的區(qū)間是否包含那個非隨機這個非隨機的區(qū)間是否包含那個非隨機的總體參數(shù)，誰也不可能知道。非隨機的總體參數(shù)，誰也不可能知道。非隨機的數(shù)目之間沒有概率可言。的數(shù)目之間沒有概率可言。關(guān)于置信區(qū)間的注意點關(guān)于置信區(qū)間的注意點5 5 - - 5151 簡明應(yīng)用統(tǒng)計學（第簡明應(yīng)用統(tǒng)計學（第2 2版）版） 劉超，北京航空航天大學數(shù)學與系統(tǒng)科學學劉超，北京航空航天大學數(shù)學與系統(tǒng)科學學院院

38、置信區(qū)間的論述是由區(qū)間和置信度兩部分組置信區(qū)間的論述是由區(qū)間和置信度兩部分組成。成。 有些新聞媒體報道一些調(diào)查結(jié)果只給出百分有些新聞媒體報道一些調(diào)查結(jié)果只給出百分比和誤差（即置信區(qū)間），并不說明置信度，比和誤差（即置信區(qū)間），并不說明置信度，也不給出被調(diào)查的人數(shù)，這是不負責的表現(xiàn)。也不給出被調(diào)查的人數(shù)，這是不負責的表現(xiàn)。 因為降低置信度可以使置信區(qū)間變窄（顯得因為降低置信度可以使置信區(qū)間變窄（顯得“精確精確”），有誤導讀者之嫌。在公布調(diào)查），有誤導讀者之嫌。在公布調(diào)查結(jié)果時給出被調(diào)查人數(shù)是負責任的表現(xiàn)。這結(jié)果時給出被調(diào)查人數(shù)是負責任的表現(xiàn)。這樣則可以由此推算出置信度（由后面給出的樣則可以由此推

39、算出置信度（由后面給出的公式），反之亦然。公式），反之亦然。關(guān)于置信區(qū)間的注意點關(guān)于置信區(qū)間的注意點5 5 - - 5252 簡明應(yīng)用統(tǒng)計學（第簡明應(yīng)用統(tǒng)計學（第2 2版）版） 劉超，北京航空航天大學數(shù)學與系統(tǒng)科學學劉超，北京航空航天大學數(shù)學與系統(tǒng)科學學院院 一個描述性例子：有一個描述性例子：有10000個人回答的調(diào)查顯示，個人回答的調(diào)查顯示，同意某觀點人的比例為同意某觀點人的比例為70%（有（有7000人同意），人同意），可算出總體中同意該觀點的比例的可算出總體中同意該觀點的比例的95%置信區(qū)置信區(qū)間為（間為（0.691，0.709）；）； 另一個調(diào)查聲稱有另一個調(diào)查聲稱有70%的比例反對該

40、種觀點，的比例反對該種觀點，還說總體中反對該觀點的置信區(qū)間也是（還說總體中反對該觀點的置信區(qū)間也是（0.691，0.709）。）。 到底相信誰呢？實際上，第二個調(diào)查隱瞞了置到底相信誰呢？實際上，第二個調(diào)查隱瞞了置信度。如果第二個調(diào)查僅僅調(diào)查了信度。如果第二個調(diào)查僅僅調(diào)查了50個人，有個人，有35個人反對該觀點。則其置信區(qū)間的置信度僅個人反對該觀點。則其置信區(qū)間的置信度僅有有11%。關(guān)于置信區(qū)間的注意點關(guān)于置信區(qū)間的注意點5 5 - - 5353 簡明應(yīng)用統(tǒng)計學（第簡明應(yīng)用統(tǒng)計學（第2 2版）版） 劉超，北京航空航天大學數(shù)學與系統(tǒng)科學學劉超，北京航空航天大學數(shù)學與系統(tǒng)科學學院院單單個總體參數(shù)的區(qū)

41、間估計個總體參數(shù)的區(qū)間估計5 5 - - 5454 簡明應(yīng)用統(tǒng)計學（第簡明應(yīng)用統(tǒng)計學（第2 2版）版） 劉超，北京航空航天大學數(shù)學與系統(tǒng)科學學劉超，北京航空航天大學數(shù)學與系統(tǒng)科學學院院兩個總體參數(shù)的區(qū)間估計兩個總體參數(shù)的區(qū)間估計5 5 - - 5555 簡明應(yīng)用統(tǒng)計學（第簡明應(yīng)用統(tǒng)計學（第2 2版）版） 劉超，北京航空航天大學數(shù)學與系統(tǒng)科學學劉超，北京航空航天大學數(shù)學與系統(tǒng)科學學院院總體均值（差）的區(qū)間估計總體均值（差）的區(qū)間估計1. 單個總體均值的區(qū)間估計單個總體均值的區(qū)間估計2. 獨立總體均值差的區(qū)間估計獨立總體均值差的區(qū)間估計3. 配對總體均值差的區(qū)間估計配對總體均值差的區(qū)間估計5 5

42、- - 5656 簡明應(yīng)用統(tǒng)計學（第簡明應(yīng)用統(tǒng)計學（第2 2版）版） 劉超，北京航空航天大學數(shù)學與系統(tǒng)科學學劉超，北京航空航天大學數(shù)學與系統(tǒng)科學學院院單個單個總體均值的區(qū)間估計總體均值的區(qū)間估計 (正態(tài)總體、s已知，或非正態(tài)總體、大樣本)5 5 - - 5757 簡明應(yīng)用統(tǒng)計學（第簡明應(yīng)用統(tǒng)計學（第2 2版）版） 劉超，北京航空航天大學數(shù)學與系統(tǒng)科學學劉超，北京航空航天大學數(shù)學與系統(tǒng)科學學院院總體均值的區(qū)間估計總體均值的區(qū)間估計(大樣本大樣本)1.假定條件總體服從正態(tài)分布,且方差(s) 已知如果不是正態(tài)分布，可由正態(tài)分布來近似 (n 30)2.使用正態(tài)分布統(tǒng)計量 z3. 總體均值 m 在1-

43、置信水平下的置信區(qū)間為5 5 - - 5858 簡明應(yīng)用統(tǒng)計學（第簡明應(yīng)用統(tǒng)計學（第2 2版）版） 劉超，北京航空航天大學數(shù)學與系統(tǒng)科學學劉超，北京航空航天大學數(shù)學與系統(tǒng)科學學院院總體均值的區(qū)間估計總體均值的區(qū)間估計(例題分析例題分析)【例例5.7】某地區(qū)成年人睡眠時間服從正態(tài)分布。一項隨機抽樣調(diào)查得到16個成年人的睡眠時間數(shù)據(jù)(單位:小時)如表5.3所示。假設(shè)已知總體標準差為0.3小時,試估計成年人平均睡眠時間的95%置信區(qū)間。6.56.86.877.17.27.27.47.47.57.57.57.67.888.55 5 - - 5959 簡明應(yīng)用統(tǒng)計學（第簡明應(yīng)用統(tǒng)計學（第2 2版）版）

44、劉超，北京航空航天大學數(shù)學與系統(tǒng)科學學劉超，北京航空航天大學數(shù)學與系統(tǒng)科學學院院總體均值的區(qū)間估計總體均值的區(qū)間估計(例題分析例題分析)解：解：已知N(m，0.32)，n=16, 1- = 95%，z/2=1.96。根據(jù)樣本數(shù)據(jù)計算得： 。由于是正態(tài)總體，且方差已知?？傮w均值m在1-置信水平下的置信區(qū)間為所以，成年人平均睡眠時間的置信區(qū)間為7.2155小時7.5095小時。7.3625x 20.37.3625 1.96167.36250.1477.2155,7.5095xzns5 5 - - 6060 簡明應(yīng)用統(tǒng)計學（第簡明應(yīng)用統(tǒng)計學（第2 2版）版） 劉超，北京航空航天大學數(shù)學與系統(tǒng)科學學劉

45、超，北京航空航天大學數(shù)學與系統(tǒng)科學學院院總體均值的區(qū)間估計總體均值的區(qū)間估計(例題分析例題分析)【例例5.8】想了解某企業(yè)員工的平均收入,我們已經(jīng)隨機抽取了企業(yè)80名員工月收入的信息。數(shù)據(jù)見表5.4。此處標準差未知。計算月收入的95%置信區(qū)間。2120 2037 1745 2059 2365 2445 1427 1502 2568 27871659 2117 3285 1625 1705 2129 2132 2161 2567 12551294 1687 2225 2228 2503 2153 2444 1689 1700 14361716 1669 2066 2361 1790 1720 2

46、077 2278 2366 29281764 1898 2105 2280 1279 1526 3293 1440 1497 17361844 1872 1633 1982 1677 1763 1796 1985 2329 24902608 2949 1589 1874 1937 2157 2245 2534 1764 20612122 2766 1944 1489 1782 2324 1745 1856 1864 21305 5 - - 6161 簡明應(yīng)用統(tǒng)計學（第簡明應(yīng)用統(tǒng)計學（第2 2版）版） 劉超，北京航空航天大學數(shù)學與系統(tǒng)科學學劉超，北京航空航天大學數(shù)學與系統(tǒng)科學學院院總體均值的區(qū)間

47、估計總體均值的區(qū)間估計(例題分析例題分析)解：解：已知n=80, 1- = 95%，z/2=1.96。根據(jù)樣本數(shù)據(jù)計算得： 總體均值m在1- 置信水平下的置信區(qū)間為企業(yè)員工平均月收入的置信區(qū)間為1928.88元2119.84元2024.36435.705xs，2435.7052024.36 1.96802024.3695.481928.88,2119.84sxzn5 5 - - 6262 簡明應(yīng)用統(tǒng)計學（第簡明應(yīng)用統(tǒng)計學（第2 2版）版） 劉超，北京航空航天大學數(shù)學與系統(tǒng)科學學劉超，北京航空航天大學數(shù)學與系統(tǒng)科學學院院總體均值的區(qū)間估計總體均值的區(qū)間估計 (正態(tài)總體、s未知、小樣本)5 5 -

48、 - 6363 簡明應(yīng)用統(tǒng)計學（第簡明應(yīng)用統(tǒng)計學（第2 2版）版） 劉超，北京航空航天大學數(shù)學與系統(tǒng)科學學劉超，北京航空航天大學數(shù)學與系統(tǒng)科學學院院總體均值的區(qū)間估計總體均值的區(qū)間估計 (小樣本小樣本)1. 假定條件總體服從正態(tài)分布,但方差(s) 未知小樣本 (n 30)2. 使用 t 分布統(tǒng)計量3. 總體均值 m 在1-置信水平下的置信區(qū)間為5 5 - - 6464 簡明應(yīng)用統(tǒng)計學（第簡明應(yīng)用統(tǒng)計學（第2 2版）版） 劉超，北京航空航天大學數(shù)學與系統(tǒng)科學學劉超，北京航空航天大學數(shù)學與系統(tǒng)科學學院院總體均值的區(qū)間估計總體均值的區(qū)間估計(例題分析例題分析)【例例5.9】繼續(xù)看例5.7,現(xiàn)在假設(shè)不

49、知道總體方差,試給出該地區(qū)成年人平均睡眠時間的95%置信區(qū)間。解：解： n=16, 1- = 95%，自由度16-1=15，t/2=2.1315。根據(jù)樣本數(shù)據(jù)計算得： ?？傮w均值m在1-置信水平下的置信區(qū)間為所以，成年人平均睡眠時間的置信區(qū)間為7.1001小時7.6249小時。7.36250.4924xs，20.47247.36252.1315167.36250.26247.1001,7.6249sxtn5 5 - - 6565 簡明應(yīng)用統(tǒng)計學（第簡明應(yīng)用統(tǒng)計學（第2 2版）版） 劉超，北京航空航天大學數(shù)學與系統(tǒng)科學學劉超，北京航空航天大學數(shù)學與系統(tǒng)科學學院院確定何時使用正態(tài)分布或確定何時使用

50、正態(tài)分布或t分布分布5 5 - - 6666 簡明應(yīng)用統(tǒng)計學（第簡明應(yīng)用統(tǒng)計學（第2 2版）版） 劉超，北京航空航天大學數(shù)學與系統(tǒng)科學學劉超，北京航空航天大學數(shù)學與系統(tǒng)科學學院院兩個總體均值之差的區(qū)間估計兩個總體均值之差的區(qū)間估計(獨立大樣本)5 5 - - 6767 簡明應(yīng)用統(tǒng)計學（第簡明應(yīng)用統(tǒng)計學（第2 2版）版） 劉超，北京航空航天大學數(shù)學與系統(tǒng)科學學劉超，北京航空航天大學數(shù)學與系統(tǒng)科學學院院兩個總體均值之差的估計兩個總體均值之差的估計(大樣本大樣本)1.假定條件兩個總體都服從正態(tài)分布，s1、 s2已知若不是正態(tài)分布, 可以用正態(tài)分布來近似(n130和n230)兩個樣本是獨立的隨機樣本2

51、.使用正態(tài)分布統(tǒng)計量 z5 5 - - 6868 簡明應(yīng)用統(tǒng)計學（第簡明應(yīng)用統(tǒng)計學（第2 2版）版） 劉超，北京航空航天大學數(shù)學與系統(tǒng)科學學劉超，北京航空航天大學數(shù)學與系統(tǒng)科學學院院兩個總體均值之差的估計兩個總體均值之差的估計 (大樣本大樣本)1.s1， s2已知時，兩個總體均值之差m1-m2在1- 置信水平下的置信區(qū)間為2.s1、 s2未知時，兩個總體均值之差m1-m2在1- 置信水平下的置信區(qū)間為5 5 - - 6969 簡明應(yīng)用統(tǒng)計學（第簡明應(yīng)用統(tǒng)計學（第2 2版）版） 劉超，北京航空航天大學數(shù)學與系統(tǒng)科學學劉超，北京航空航天大學數(shù)學與系統(tǒng)科學學院院兩個總體均值之差的估計兩個總體均值之差

52、的估計(例題分析例題分析)【例例】某地區(qū)教育管理部門想估計兩所中學的學生高考時的英語平均分數(shù)之差，為此在兩所中學獨立抽取兩個隨機樣本，有關(guān)數(shù)據(jù)如右表 。建立兩所中學高考英語平均分數(shù)之差95%的置信區(qū)間。 中學中學1中學中學2n1=46n1=33S1=5.8 S2=7.2861x782x5 5 - - 7070 簡明應(yīng)用統(tǒng)計學（第簡明應(yīng)用統(tǒng)計學（第2 2版）版） 劉超，北京航空航天大學數(shù)學與系統(tǒng)科學學劉超，北京航空航天大學數(shù)學與系統(tǒng)科學學院院兩個總體均值之差的估計兩個總體均值之差的估計(例題分析例題分析)解解: 兩個總體均值之差在1-置信水平下的置信區(qū)間為 兩所中學高考英語平均分數(shù)之差的置信區(qū)間

53、為5.03分10.97分22121221222()5.87.2(8678)1.96463382.97(5.03,10.97)ssxxznn5 5 - - 7171 簡明應(yīng)用統(tǒng)計學（第簡明應(yīng)用統(tǒng)計學（第2 2版）版） 劉超，北京航空航天大學數(shù)學與系統(tǒng)科學學劉超，北京航空航天大學數(shù)學與系統(tǒng)科學學院院兩個總體均值之差的區(qū)間估計兩個總體均值之差的區(qū)間估計(獨立小樣本)5 5 - - 7272 簡明應(yīng)用統(tǒng)計學（第簡明應(yīng)用統(tǒng)計學（第2 2版）版） 劉超，北京航空航天大學數(shù)學與系統(tǒng)科學學劉超，北京航空航天大學數(shù)學與系統(tǒng)科學學院院兩個總體均值之差的估計兩個總體均值之差的估計(小樣本小樣本: s s1 12 2

54、 s s 2 22 2 )1.假定條件兩個總體都服從正態(tài)分布兩個總體方差未知但相等：s1=s2兩個獨立的小樣本(n130和n230)2.總體方差的合并估計量3.估計量x1-x2的抽樣標準差5 5 - - 7373 簡明應(yīng)用統(tǒng)計學（第簡明應(yīng)用統(tǒng)計學（第2 2版）版） 劉超，北京航空航天大學數(shù)學與系統(tǒng)科學學劉超，北京航空航天大學數(shù)學與系統(tǒng)科學學院院兩個總體均值之差的估計兩個總體均值之差的估計(小樣本小樣本: s s1 12 2 s s2 22 2 )1.兩個樣本均值之差的標準化2. 兩個總體均值之差m1-m2在1- 置信水平下的置信區(qū)間為5 5 - - 7474 簡明應(yīng)用統(tǒng)計學（第簡明應(yīng)用統(tǒng)計學（

55、第2 2版）版） 劉超，北京航空航天大學數(shù)學與系統(tǒng)科學學劉超，北京航空航天大學數(shù)學與系統(tǒng)科學學院院兩個總體均值之差的估計兩個總體均值之差的估計(例題分析例題分析)【例例5.10】兩個企業(yè)生產(chǎn)同樣的產(chǎn)品,某日從兩個企業(yè)分別隨機抽取20名工人進行觀察,不久企業(yè)2進行了創(chuàng)新改革,隨后對其又進行了一次調(diào)查,數(shù)據(jù)如表5.5所示。試以95%的置信水平建立兩個企業(yè)平均日產(chǎn)量差值的置信區(qū)間。假設(shè)方差相等。序號企業(yè)1企業(yè)2企業(yè)2(改革后)序號企業(yè)1企業(yè)2企業(yè)2(改革后)134151411251515214313412969335262313332735411591424152053019241514293661

56、93329161112177212428172128258139151831222193612201918101410171924201923315 5 - - 7575 簡明應(yīng)用統(tǒng)計學（第簡明應(yīng)用統(tǒng)計學（第2 2版）版） 劉超，北京航空航天大學數(shù)學與系統(tǒng)科學學劉超，北京航空航天大學數(shù)學與系統(tǒng)科學學院院兩個總體均值之差的估計兩個總體均值之差的估計(例題分析例題分析)從兩個企業(yè)的箱線圖可以看出企業(yè)從兩個企業(yè)的箱線圖可以看出企業(yè)1和企業(yè)和企業(yè)2的產(chǎn)量有差異。的產(chǎn)量有差異。5 5 - - 7676 簡明應(yīng)用統(tǒng)計學（第簡明應(yīng)用統(tǒng)計學（第2 2版）版） 劉超，北京航空航天大學數(shù)學與系統(tǒng)科學學劉超，北京航

57、空航天大學數(shù)學與系統(tǒng)科學學院院兩個總體均值之差的估計兩個總體均值之差的估計(例題分析例題分析)解解: 根據(jù)樣本數(shù)據(jù)計算得 合并估計量為兩個企業(yè)平均日產(chǎn)量差值的95%置信區(qū)間為-2.787個8.287個2222112221.75,8.789 ,19.00,8.510 xsxs222(20 1) 8.789(20 1) 8.51074.8332020211(21.75 19)2.02474.8332.755.5372020ps5 5 - - 7777 簡明應(yīng)用統(tǒng)計學（第簡明應(yīng)用統(tǒng)計學（第2 2版）版） 劉超，北京航空航天大學數(shù)學與系統(tǒng)科學學劉超，北京航空航天大學數(shù)學與系統(tǒng)科學學院院兩個總體均值之差

58、的估計兩個總體均值之差的估計(小樣本小樣本: s s1 12 2 s s 2 22 2 )1.假定條件兩個總體都服從正態(tài)分布兩個總體方差未知且不相等：s1s2兩個獨立的小樣本(n130和n230)2.使用統(tǒng)計量5 5 - - 7878 簡明應(yīng)用統(tǒng)計學（第簡明應(yīng)用統(tǒng)計學（第2 2版）版） 劉超，北京航空航天大學數(shù)學與系統(tǒng)科學學劉超，北京航空航天大學數(shù)學與系統(tǒng)科學學院院兩個總體均值之差的估計兩個總體均值之差的估計(小樣本小樣本: s s1 12 2 s s2 22 2 )兩個總體均值之差m1-m2在1- 置信水平下的置信區(qū)間為5 5 - - 7979 簡明應(yīng)用統(tǒng)計學（第簡明應(yīng)用統(tǒng)計學（第2 2版）

59、版） 劉超，北京航空航天大學數(shù)學與系統(tǒng)科學學劉超，北京航空航天大學數(shù)學與系統(tǒng)科學學院院兩個總體均值之差的估計兩個總體均值之差的估計(例題分析例題分析)【例例5.10】沿用前例。數(shù)據(jù)如前。假定兩個企業(yè)產(chǎn)量服從正態(tài)分布，且方差不相等且方差不相等。以95%的置信水平建立兩種方法組裝產(chǎn)品所需平均時間差值的置信區(qū)間。 解解: 根據(jù)樣本數(shù)據(jù)計算得 自由度為2222112221.75,8.789 ,19.00,8.510 xsxs228.7898.510(21.75 19)2.0262.755.543202022222228.7898.510202037.961388.789 208.510 2020 12

60、0 1v兩個企業(yè)平均日產(chǎn)量差值的95%置信區(qū)間為-2.793個8.293個5 5 - - 8080 簡明應(yīng)用統(tǒng)計學（第簡明應(yīng)用統(tǒng)計學（第2 2版）版） 劉超，北京航空航天大學數(shù)學與系統(tǒng)科學學劉超，北京航空航天大學數(shù)學與系統(tǒng)科學學院院兩個總體均值之差的估計兩個總體均值之差的估計(SPSS)第第1步：步：在SPSS中打開20 products(independent).sav,第第2步：步：在分析獨立樣本均值差的置信區(qū)間前需要定義變量G來 區(qū)分不同企業(yè)。輸入原始數(shù)據(jù),在變量G中,企業(yè)1輸入1, 企業(yè)2輸入2。第第3步：步：選擇 AnalyzeCompare MeansIndependent Sample