概率論論文-淺談中心極限定理

1、淺談中心極限定理摘要：中心極限定理的產(chǎn)牛具有一定的客觀背景，最常見的是林德們格-萊維中心極限定理 和棣莫弗-拉普拉斯中心極限定理。它們表明了當(dāng)n充分大時，方差存在的n個獨(dú)立同分布 的隨機(jī)變量和近似服從正態(tài)分布，在實(shí)際屮的應(yīng)用相當(dāng)廣泛。木文討論了屮心極限定理的內(nèi) 涵及其在生活實(shí)踐中的應(yīng)用。關(guān)鍵詞：中心極限定理；正態(tài)分布；生活中的應(yīng)用。引言：在實(shí)際問題中，常常需要考慮許多隨機(jī)因素所產(chǎn)生的總的影響，如測量誤差、炮彈 射擊的落點(diǎn)與目標(biāo)的偏差等。同時許多觀察表明，若一個隨機(jī)變量是由大量相關(guān)獨(dú)立的隨機(jī) 因素的綜合影響所構(gòu)成的，而其中每一個隨機(jī)因素的單獨(dú)作用是微小的，則這樣的隨機(jī)變量 通常是服從或近似服從正

2、態(tài)分布。這種現(xiàn)象就是中心極限定理產(chǎn)生的客觀背景。在概率論與數(shù)理統(tǒng)計中，中心極限定理是非常重要的一節(jié)內(nèi)容，而且是概率論與數(shù)理統(tǒng) 計z間承前啟后的一個重要紐帶。王勇老師講到屮心極限定理時，曾非常激動地說這個定理 一被提出便震驚了全世界，而且重復(fù)了數(shù)遍。由此足以見得小心極限定理的重要性。目前我們研究的是獨(dú)立同分布條件下的中心極限定理：林德伯格-萊維中心極限定理：設(shè)x是獨(dú)立同分布的隨機(jī)變量序列，且=>0存在,若記x x/ -y. = /=,則對任意實(shí)數(shù)y,有, 1limpm y=e（y）=.e 2 dr. "t8-8丁2兀這個屮心極限定理是由林德伯格和萊維分別獨(dú)立的在1920年獲得的，

3、定理告訴我們，對于獨(dú)立同分布的隨機(jī)變量序列，其共同分布可以是離散分布，也可以是連續(xù)分布，可以是正態(tài)分布，也可以是非正態(tài)分布，只要其共同分布的方差存在，且不為零，就可以使用該定理的結(jié)論。只有當(dāng)n充分大時，人才近似服從標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布“（0,1）,而當(dāng)門較小時，此種 近似不能保證。也就是說，在n充分大時，可用"（°）近似計算與益有關(guān)事件的概率，而n較小時，此種計算的近似程度是得不到保障的。當(dāng)人 n（°）吋，則有s x,no屮 /=!，巾2）,壬n（“,冬） n現(xiàn)如今旅游、汽車等行業(yè)越來越受歡迎。在這些行業(yè)中就會用得到中心極限定理。 例如，某汽車銷售點(diǎn)每天出售的汽車服從參數(shù)

4、為2二2的泊松分布，若一年365天都經(jīng)營汽車銷售，且每天出售的汽車數(shù)是相互獨(dú)立的，求一年屮售出700輛以上汽車的概率。1 解：設(shè)空為第i天出售的汽車的數(shù)量，則x&+e+ §365為一年的總銷量，由e($)=畑(纟)=2 ,知 e© = 365x2=730利用屮心極限定理得塵(700 -730)p(>700)=l-p(700)1v730- 二卜(一 i. n)=o. 8665在理論中，我們也可用它來解決一些比較抽象的問題，比如下面的極限求解問題。 例如，利用中心極限定理證明：lime-"£ =丄態(tài)£! 2證明：設(shè)'獨(dú)立同分布

5、且'p(l), k=l, 2.則 a二氏乞)習(xí)，=%t由泊松分布的可加性知心1p(n)” ya" 工心pk=k=0 /=!“ £k=o k'彳滋-必0 k=)又由中心極限定理知:p£ (,-i)<ok=如果在林德伯格-勒維屮心極限定理屮，x”服從二項(xiàng)分布，就可以得到以下的定理。 棣莫弗-拉普拉斯中心極限定理：設(shè)n重伯努利試驗(yàn)中，事件a在每次試驗(yàn)中出現(xiàn)的概 y* 二 spp2 dt率為p (0<p<l),記”為n次試驗(yàn)中事件a出現(xiàn)的次數(shù)，且記 gq，則對任意lim p(y； s y) = 0(刃=實(shí)數(shù)y，有“too廠二:s” 一 w

6、ft它表明，n充分大時，wpq分布近似服從與標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布，常稱為“二項(xiàng)分布收斂于正態(tài)分布”，正態(tài)分布是二項(xiàng)分布的極限分布，當(dāng)n充分大時，我們可以利用該定 理的結(jié)論來計算二項(xiàng)分布的概率。棣莫弗-拉普拉斯屮心極限定理的應(yīng)用也很廣泛，例如：假設(shè)某校要建新校區(qū)，里面有 學(xué)生5000人，只有一個開水房。由于每天傍晚打開水的人較多，經(jīng)常出現(xiàn)同學(xué)排長隊的現(xiàn) 象，為此校學(xué)生會特向后勤集團(tuán)提議增設(shè)水龍頭。假設(shè)后勤集團(tuán)經(jīng)過調(diào)查，發(fā)現(xiàn)每個學(xué)生在 傍晚一般有1%的時問要占用一個水龍頭，現(xiàn)有水龍頭45個，現(xiàn)在總務(wù)處遇到的問題是：(1) 未新裝水龍頭前，擁擠的概率是多少？(2) 至少要裝多少個水龍頭，才能以95%以上的概

7、率保證不擁擠？ 2解：(1)設(shè)同一時刻,5000個學(xué)生中占用水龍頭的人數(shù)為x,則x 5(5000，°°1)5000、o.o1ao.995000擁擠的概率是:45p = p(§ > 45) = 1 - p (0 % 5 45) = 1 工k=()由棣莫弗一拉普拉斯中心極限定理,n=5000, p二0.01, q二0.99,np = 50,冷npq = 7.04故45-500-50?(0<<45) = 0()一二颯一0.71) 一0(7.1)二0.23897.047.04即擁擠的概率為p(> 45) = 1-0.2389 = 0.7611(2)

8、欲求m,使得p<° - °*95 ,則由棣莫弗一拉普拉斯中心極限定理可知,由于0(0-507.040(m 一 507.04)-0(7.04)=0(_7.09) = 0)>0.950-507.04)> 0.95>1.645查表得7.04 即 m > 61.6故需裝62個水龍頭，才能以95%以上的概率保證不擁擠。保險與我們的生活息息相關(guān)。中心極限定理在保險行業(yè)方面也有很大應(yīng)用。例如，某保險公司有2500個人參加保險，每人每年付1200元保險費(fèi)，在一年內(nèi)一個人 死亡的概率為0. 002,死亡時其家屬可向保險公司領(lǐng)得20萬元。問：(1)保險公司虧本的概

9、 率有多大？(2)保險公司一年的利潤不少于1010萬元，200萬元的概率各為多大？ 3分析：首先，我們先設(shè)一年內(nèi)死亡的人數(shù)為隨機(jī)變量x,保險公司虧本的概率為p。因 為題中人和人之間是獨(dú)立的，而且死亡的概率都一樣為0.002,因此比較容易看出，此題中 的x是服從二項(xiàng)分布的，我們也可用二項(xiàng)分布的方法把p具體地求出來，但要想求出p(x=k) =2500 |0.002a (0.998)2500a絕非易事，更何況還要算上幾個呢？為此我們不k )妨用中心極限定理來求解它。解：設(shè)x為一年內(nèi)死亡的人數(shù),則x3(25000002), np = 5, np(l-p) = 1.99由棣莫弗一拉普拉斯屮心極限泄理知p

10、 (虧本)=p (20x > 300) = p (x >15) = 1p(x< 15) = 10(4.48)v499=1-0. 99993=0. 00007所以，保險公司虧本的概率為0. 00007,兒乎為0。(2) rh棣莫弗一拉普拉斯中心極限定理知in _ 5p(利潤>100) = p(300-20x> 100) = p(x 510) = 0(=) = 0.98v499p(利潤>200) = p(300一20x >200) = p(x <5)«= 0.5以上結(jié)果說明，保險公司兒乎不可能虧本.不過，關(guān)鍵z處是對死亡率的估計必須正確, 如果所估計的死亡率比實(shí)際低，甚至低得多，那么，情況就會不同。結(jié)論屮心極限定理為數(shù)理統(tǒng)計在統(tǒng)計學(xué)屮的應(yīng)用鋪平了道路。用樣本推斷總體的關(guān)鍵在于掌 握樣本特征值的抽樣分布，而中心極限定理表明，只要樣本容量足夠地大，得自未知總體的 樣本特征值就近似服從正態(tài)分布。從而，只要采用大量觀察法獲得足夠多的隨機(jī)樣本數(shù)據(jù), 幾乎就可以把數(shù)理統(tǒng)計的全部處理問題的方法