算術(shù)幾何平均值不等式

1、算術(shù) -幾何平均值不等式信息來源：維基百科在數(shù)學(xué)中，算術(shù)-幾何平均值不等式 是一個(gè)常見而基本的 不等式，表現(xiàn)了兩類平均數(shù)： 算術(shù)平均數(shù)和幾何平均數(shù) 之間恒定的不等關(guān)系。設(shè) 為 個(gè)正實(shí)數(shù)，它們的 算術(shù)平均數(shù) 是，它們的 幾何平均數(shù) 是。算術(shù) -幾何平均值不等式表明，對(duì)任意的正 實(shí)數(shù)，總有：等號(hào)成立 當(dāng)且僅當(dāng)算術(shù) -幾何平均值不等式僅適用于正實(shí)數(shù)，是 對(duì)數(shù)函數(shù) 之 凹性 的體現(xiàn)，在數(shù)學(xué)、自然科學(xué)、工程科學(xué)以及經(jīng)濟(jì)學(xué)等其它學(xué)科都有應(yīng)用 算術(shù) -幾何平均值不等式經(jīng)常被簡稱為 平均值不等式 （或 均值不等式 ），盡管后者是一組包括它的不等式的合稱。例子在 的情況，設(shè) : ， 那么.可見歷史上的證明的情況

2、很早就為人所知，但對(duì)于一般的 ，不等式并不容易證明。 1729 年， 英國數(shù)學(xué)家麥克勞林 最早給出歷史上，算術(shù) -幾何平均值不等式擁有眾多證明。了一般情況的證明，用的是 調(diào)整法 ，然而這個(gè)證明并不嚴(yán)謹(jǐn)，是錯(cuò)誤的?？挛鞯淖C明1821 年，法國數(shù)學(xué)家 柯西在他的著作 分析教程 中給出了一個(gè)使用 逆向歸納法 的證明 1： 命題 ： 對(duì)任意的 個(gè)正實(shí)數(shù) ，成立。證明：對(duì)于 個(gè)正實(shí)數(shù) ，成立，那么時(shí)， 顯然成立。假設(shè)那么由于 成立，但是， ，因此上式正好變成也就是說假設(shè) 成立，那么 成立。證明：對(duì)于 個(gè)正實(shí)數(shù) ，設(shè)綜上可以得到結(jié)論：對(duì)任意的 自然數(shù) ，命題都成立。 這是因?yàn)橛汕皟蓷l可以得到：對(duì)任意的自然

3、數(shù) ，命題都成立。 因此對(duì)任意的，可以先找 使得 ，再結(jié)合第三條就可以得到命題 成立了。歸納法的證明使用常規(guī)數(shù)學(xué)歸納法的證明則有 喬治·克里斯托 ( George Chrystal )在其著作代數(shù)論( algebra )的第二卷中給出的 2 ：有由對(duì)稱性不妨設(shè) 是 中最大的，由于，設(shè) ，則 ，并且根據(jù) 二項(xiàng)式定理 ，于是完成了從 到 的證明。 此外還有更簡潔的歸納法證明 3：在 的情況下有不等式 和成立，于是：所以從而有基于琴生不等式的證明，因此算術(shù) -幾何平均不等式等價(jià)于：。由于對(duì)數(shù)函數(shù) 是一個(gè)凹函數(shù) ，由琴生不等式 可知上式成立?；谂判虿坏仁降淖C明令 ，于是有 ，再作代換，運(yùn)用

4、 排序不等式 得到：于是得到 ，即原不等式成立。 此外還有基于 伯努利不等式 或借助調(diào)整法、輔助函數(shù)求導(dǎo)和加強(qiáng)命題的證明推廣算術(shù)-幾何平均不等式有很多不同形式的推廣加權(quán)算術(shù) -幾何平均不等式不僅“均勻”的算術(shù)平均數(shù)和幾何平均數(shù)之間有不等式，加權(quán)的算術(shù)平均數(shù)和幾何平均數(shù)之間也有不等式。設(shè) 且 ，那么：。加權(quán)算術(shù) -幾何平均不等式可以由琴生不等式得到。矩陣形式和 為正實(shí)數(shù)，并對(duì)于系數(shù)都是正實(shí)數(shù)的矩陣算術(shù) -幾何平均不等式可以看成是一維 向量 的系數(shù)的平均數(shù)不等式。對(duì)于二維的矩陣，一樣有類似的不等式：個(gè)橫行取的 個(gè)幾何平均數(shù)的算術(shù)平均。也就是說：對(duì) 個(gè)縱列取算術(shù)平均數(shù)，它們的幾何平均小于等于對(duì)極限形

5、式也稱為 積分形式 ：對(duì)任意在區(qū)間 上可積的正值函數(shù) ，都有這實(shí)際上是在算術(shù) -幾何平均值不等式取成后，將兩邊的 黎曼和 中的 趨于無窮大 后得到的形式。參考來源1. Augustin-Louis Cauchy, Cours d'analyse de l'é cole Royale Polytechnique, premier partie, Analyse alg ébrique, Paris, 1821. p457.2. George Chrystal, Algebra:An Elementary Text-Book, Part II, Chapter XXIV.p46.3. P. H. Diananda , A Simple Proof of the Arithmetic Mean Geometric Mean Inequality ,The American Mathematical Monthly, Vol. 67, No. 10 (Dec., 1960), pp. 1007匡繼昌，常用不等式，山東科技出版社。 李勝宏，平均不等式與柯西不等式，華東師大出版社。 莫里