全概率公式與貝葉斯公式

1、§ 6.全概率公式與貝葉斯公式J例1市場(chǎng)上供應(yīng)的燈泡中，甲廠產(chǎn)品占70%,乙廠占30%,甲廠產(chǎn)品的合格率是95%,乙廠的合格率是80% 若用事件A，A分別表示甲、乙兩廠的產(chǎn)品，B表示產(chǎn)品 為合格品。求市場(chǎng)上買(mǎi)一個(gè)燈泡的合格率，及買(mǎi)到合格 燈泡是甲廠生產(chǎn)的概率。解：B二AB+AE且AB與AE互不相容。P(B)=P(AB+AB) =P(AB)+P(AB) =P(A)P(B IA)+P(A)P(B IA)=0.7 X 0.95+0.3 X 0.8=0.9050.7x0.950.7 x 0.95 + 0.3x0.8a 0.735B定理1 (全概率公式)若事件A1A,構(gòu)成一個(gè)完備事件組 并且都

2、具有正概率，則對(duì)任何一個(gè)事件B有P(B) =P(Ai)P(B|AJ1 證：A,A2,兩兩互斥，故AjBB,兩兩互斥且B = BQ 二 B(工AJ=AiB由加法法則 11P(B) =P(AiB)1再由乘法法則P(AiB) = P(AJP(B|AJ故 P(B) =P(Ai)P(B|Ai)矗定理2 (貝葉斯公式)若事件構(gòu)成一個(gè)完備事件組,且都具有正概率，則對(duì)任何一個(gè)概率不為零的事件有P(AB) =P(Am)P(B|AQP(Ai)P(B|AJ1證:P(Am | B)=P(AaP(B)_ P(Am)P(B|AJ工 P(AJP(B|AJ1各原因下條件概率已知金吆求事件發(fā)生概率求是某種原因造成得概率”事件已

3、發(fā)生3J例2設(shè)5支槍中有2支未經(jīng)試射校正，3支已校正。 一射手用校正過(guò)的槍射擊，中靶率為0.9,用未校 正過(guò)的槍射擊，中靶率為0.4。(1) 該射手任取一支槍射擊，中靶的概率是多少？(2) 若任取一支槍射擊,結(jié)果未中靶，求該槍未校 正的概率。解：設(shè)A表示塔已校正，B表示射擊中靶 貝iJp(A) = |, P(A) = | P(B|A) = 0.9(l)P(B) = P(A)P(B IA) +P(A)P(B | A)=- x0.9 + x 0.4 =0.755 P(入 IBH =入)=(八 I 丿 P(A)P(B| A) + P(A)P(B|A)彳 x0.6-x0.6 + -x0.1P(B |

4、A) = 0.1 P(B | A) = O.£P(B |A) = 0.6= 0.85J例3有三個(gè)同樣的箱子，A箱中有4個(gè)黑球1個(gè)白球,B箱中有3個(gè)黑球3個(gè)白球，C箱中有3個(gè)黑球5個(gè)白球?，F(xiàn)任取一箱，再?gòu)闹腥稳∫磺?，?1) 此球是白球的概率(2) 若取出的是白球，求它取自B箱的概率。解：用A、B、C表示A、B、C三個(gè)箱子取球 用D表示取岀的是白球。則A、B、C是完備事件組。且 P(A) = P(B) = P(C) = | p(d|a)=4 p(d|b)= 1 P(D|C) = |52o7(l)P(D) = P(A)P(D | A) + P(B)P(D | B) + P(C)P(D |

5、 C) 111115=x + Xx 3 53 23 8_ 53"120a 0.44253#(2)P(B | D)=P(B)P(D | B)P( A)P(D | A) + P(B)P(D | B) + P(C)P(D | C)1 1x 3 2 thrnr5 x+x+x 3 5 3 2 3 8 « 0.37853#J例4（抽簽的公正性）設(shè)10支簽中有4支難簽。甲、乙、丙 依次不放回的抽取。求各人抽到難簽的概率。解：分別用A、B、C表示甲、乙、丙抽到難簽。P(A) =410= 0.4P(B) = P(A)P(B I A)+P(A)P(B I A)436436 八，10 90 99

6、0_P(C) = P(AB)P(C | AB)+P( AB)P(C | AB)+P( AB)P(C | AB)+P( AB)P(C | AB)=P(A)P(B | A)P(C | AB) + P(A)P(B | A)P(C | AB)P(A)P(B | A)P(C | AB) + P(A)P(B | A)P(C | AB)432463643643654x X |X X |x X |X X |X X 10981098109810 981098= 0.4720J例5設(shè)驗(yàn)血診斷某種疾病的誤診率僅為5%,即若用A表 示驗(yàn)血陽(yáng)性，B表示受驗(yàn)者患病，則P(A |B) = P(A |B) = 5%o若受檢人

7、群中僅有0. 5%患此病, 即P(B)二0005o求一個(gè)驗(yàn)血陽(yáng)性的人確患此病的概率。解:0,005x0.95"0.005x0.95 + 0.995x0.05q 0.087若有10000人受檢，患病者僅50人，其中驗(yàn)血陽(yáng)性約47.5人而9950健康人中，驗(yàn)血陽(yáng)性者為9950X0.05=497.5人一丄 L型 L d LJI L 8§7獨(dú)立試驗(yàn)概型(一)事件的獨(dú)立性定義1若事件發(fā)生的可能性不受事件B發(fā)生與否的影響, 即P(AIB)二P(A),則稱(chēng)事件A獨(dú)立于事件B。若 P(A) = P(A | B) = 2則 P(B) = P(B IA)故若A獨(dú)立于B,貝UB也獨(dú)立于A,稱(chēng)事件

8、A與事件B相互 獨(dú)立。B定義2若n (n>2)個(gè)事件任何一個(gè)事件發(fā)生的 可能性都不受其它一個(gè)或兒個(gè)事件發(fā)生與否的影響， 稱(chēng)A,A2，. ,An相互獨(dú)立。關(guān)于獨(dú)立性有如下性質(zhì)：事件A與B獨(dú)立的充分必要條件是P(AB)二P(A)P(B) 證：必要性若A與B中有一個(gè)事件概率為零，結(jié)論成立。 設(shè)A與B的概率都不為零，由獨(dú)立性P(BIA)=P(B)而由乘法法則可得P(AB)=P(A)P(BIA) =P(A)P(B)充分性設(shè)P0,則 若事件A與B獨(dú)立,貝IJA與麗與B,A與帥的 每一對(duì)事件都相互獨(dú)立。P(A| B)=P(AB)P(B)P(A)P(B)P(B)二 P(A)證：P(AB) = P(A -

9、 AB)=P(A) 一 P(AB)=P(A)-P(A)P(B) =P(A)(1-P(B)=P(A)P(B)由(1)可知，A與B?蟲(chóng)立。 類(lèi)似可證其它兩對(duì)事件獨(dú)立。(3) 若事件A】,A”.,A.相互獨(dú)立，則有P(A1.An)=P(A1).P(An)證：P( A1 An)=P(A 1 )P( AA J P(AA1 An一 1)而 P(A2IA1)=P(A2),. ,P(AA. A. J 二 P(AJ故 P(A1.An)=P(A1)P(A2).P(An)(4) 若事件A,A2，.,An相互獨(dú)立,則有P(A+. + An)=l玖瓦).呷£) _ 證：由于A, An對(duì)立，瓦，町也對(duì)立P(A

10、+ . + An)1P(A+. +An)=l-P(Aj.An)=1 P(£).P(兀)17J例1設(shè)甲、乙兩射手獨(dú)立地射擊同一目標(biāo)，他們擊中 目標(biāo)的概率分別為0.9和0.8。求一次射擊中，目標(biāo)被 擊中的概率。解：分別用A,B表示甲、乙擊中目標(biāo)。目標(biāo)被擊中，即至少有一人擊中，即A+BA與B獨(dú)立。故P(A+B)=P(A)+P(B)-P(AB)二 P(A)+P(B)-P(A)P(B) =0.9+0.8-0.9X0.8=0.98或由性質(zhì)(4)P( A + E) = 1 P(A)P(B)=1-0.1X02 =0.98一 11 一| 鼻 13J例2名士兵用步槍射擊飛機(jī)，命中率為0.004o求： 若

11、250名士兵同時(shí)射擊，飛機(jī)被擊中的概率。(2)多少名士兵同時(shí)射擊，才能使飛機(jī)被擊中的概率達(dá) 到 99%?解：用Aj表示第i名士兵擊中飛機(jī)，P(AJ=0.004(1) P(A1 +. +A25O) = 1-P(Ai).P(A25o)=1-0.996叫 0.63(2) 設(shè)要n名士兵同時(shí)射擊P(Aj + A=l P(Ai)P(An)= 1 0.996“ =0.99即0.996n=0.01故V"150J例3甲、乙、丙3部機(jī)床獨(dú)立工作，由一個(gè)工人照管， 某段時(shí)間內(nèi)它們不需要工人照管的概率分別為0.9, 0.8及0.85。求在這段時(shí)間內(nèi)有機(jī)床需要工人照管的概 率以及機(jī)床因無(wú)人照管而停工的概率。解

12、：用A、B、C分別表示在這段時(shí)間內(nèi)機(jī)床甲、乙、 丙不需要照管。貝IJA、B、C相互獨(dú)立，且P(A)二 0.9P(B)二 0.8P(C)=0.85P(A + B + C)= P(ABC)= 1-P(ABC) =1-P(A)P(B)P(C) =1 一 0.9 x 0.8 x 0.85 = 0.388P(AB + BC+AC)=P(AB) + P(BC) + P(AC) - 2P(ABC)= 0.1x 0.2 + 0.2 x0.15 + 0.1x0.15 2x0.1x 0.2 x0.15=0.059佔(zhàn)J例4圖中開(kāi)關(guān)a、b、c開(kāi)或關(guān)a、_、的概率都是05且各開(kāi)關(guān)是J°°°

13、°否關(guān)閉相互獨(dú)立。求燈亮的| n 概率以及若已見(jiàn)燈亮，開(kāi)關(guān)ac與b同時(shí)關(guān)閉的概率。解：令A(yù)、B> C分別表示開(kāi)關(guān)a、b、c關(guān)閉，D表示燈亮P(D)=P(AB+C)=P(AB)+P(C)-P(ABC)二 P(A)P(B)+P(C)-P(A)P(B)P(C)二 0.5 X 0.5+0.5-0.5 X 0.5 X 0.5二 0.625由于ABuD, ABD二ABP(AB | D)=0.4P(ABD) P(AB) _ 0.5x0.5P(D) 一 P(D) 一 0.625J例5甲、乙、丙三人獨(dú)立射擊一個(gè)目標(biāo)，命中率分別為0.4, 0.5, 0.7,若只有一人擊中，目標(biāo)被摧毀的概率是0.2

14、,若二人擊中，則目標(biāo)被摧毀的概率是0.6,若三人 都擊中，目標(biāo)一定被摧毀。若目標(biāo)被摧毀，求它是一人 摧毀的概率。解：用4表示有i個(gè)人擊中目標(biāo)，i=0,1,2,3用B表示目標(biāo)被摧毀。P(BIAo)二 0P(BIAJ 二 0.2 P(BIA2)=0.6 P(BIA3)=1P(Ao)=O.6X 0.5X0.3=0.09P(AJ 二 0.4 X 0.5 X 0.3+0.6 X 0.5 X 0.3+0.6 X 0.5 X 0.7 二 0.36P(A2)=0.4 X 0.5 X 0.3+0.4 X 0.5 X 0.7+0.6 X 0.5 X 0.7 二 0.41P(A3)二0.4 X 0.5 X 0.7

15、二0.143P(B) = XP(AJP(B|AJ = 0458i=o17(二)獨(dú)立試驗(yàn)序列概型進(jìn)行n次試驗(yàn)，若任何一次試驗(yàn)中各結(jié)果發(fā)生的可能性 都不受其它各次試驗(yàn)結(jié)果發(fā)生情況的影響，則稱(chēng)這n次 試驗(yàn)是相互獨(dú)立的。在同樣條件下重復(fù)進(jìn)行試驗(yàn)的數(shù)學(xué)模型稱(chēng)為獨(dú)立試驗(yàn)序 列概型。若在每次試驗(yàn)中只關(guān)心某事件A發(fā)生或不發(fā)生，且每次 試驗(yàn)結(jié)果與其它各次試驗(yàn)結(jié)果無(wú)關(guān)，即在每次試驗(yàn)中事 件A發(fā)生的概率都是p(0<p<l)o 這樣的n次重復(fù)試驗(yàn)稱(chēng)為n重貝努里試驗(yàn)。J例6 批產(chǎn)品的廢品率為p,(O<p<l)重復(fù)抽取n次， 求有k次取到廢品的概率。解：設(shè)所求事件的概率為P(B),事件B由下列m個(gè)

16、互 不相容的事件組成：B二(廢，廢，正，正)B2=(廢，廢，正，廢，正，.»正) Bm二(正，正，廢，廢)P(B1)=P(B2H. =P(Bm)=pHl-p)nk 而m = C,故mP(B)=工 P(BJ = mP(BJ = Cpk(i p)nki=l19一般地，有如下的定理:黑定理1 （貝努里定理）設(shè)一次試驗(yàn)中事件A發(fā)生的概率 為p, （0<p<l）,貝怙重貝努里試驗(yàn)中，事件A恰好發(fā)生 k次的概率Pk）為Pn（k） = C：pkqi,（k = O,l,.,n）其中q = l-pJ例7 條自動(dòng)生產(chǎn)線上產(chǎn)品的一級(jí)品率為0.6,現(xiàn)在檢查了 10件，求至少有兩件一級(jí)品的概率。解

17、：設(shè)B表不至少有兩件一級(jí)品10P(B) = Plo(k)=i_Plo(O)-Plo(l)k=2=1-O.410 C；o x 0.6 x 0.49 卜 0.998J例8某藥物對(duì)某病的治愈率為0.8,求10位服藥的 病人中至少有6人治愈的概率。解：設(shè)A表示至少有6人治愈。10P(A) = £P10(k)k=6=P1O +P10(7)+P10(8)+P10 +P|°(10)=CfoO.86O.24 +CoO.87O.23 +CoO.88O.22 +CoO.89O.2+O.810q097而正好有8人治愈的概率為P1o(8) = CoO.88O.22 =0.30231J例9在四次獨(dú)立

18、試驗(yàn)中，A至少出現(xiàn)一次的概率為0.59,求A至多出現(xiàn)一次的概率。解：設(shè)在一次試驗(yàn)中A出現(xiàn)的概率為p則A至少出現(xiàn)一次的概率為4 P4(k) = l-P4(0) = l-(l-p)4=0.59 k=l 故 (l-p)4=0.41l-p 二 0.8 p 二0.2A至多出現(xiàn)一次的概率為：P4(0)+P4(l)=(l-p)4+C；p(l-p)3=0.84 +C x0.2x0.8二 0.82一 工.j 11 一! 鼻 2233J例10份賭注問(wèn)題)甲、乙各下注a元，以猜硬幣方式 賭博，五局三勝，勝者獲得全部賭注。若甲贏得第 一局后，賭博被迫中止，賭注該如何分？ 解法一：每局雙方獲勝的可能性均為丄。2應(yīng)按照比賽雙方最終獲勝的可能性分賭注。即在余下的四局中甲贏得2局以上即可。 甲最終獲勝的概率為P4 +P4(3)+P4(4)11=162+ C；乙勝的概率為2,賭注應(yīng)按11： 5的比例分配。16解法二甲方在第三局結(jié)束賭博獲得勝利的概率為£4一般情況下不必比到第五局，有一方贏得三局即中止。(1、2( 1 P(B4)= Cx-x-L)p(b3)=(-J 什 甲方在第四總霜束疇博獲勝