四年級(jí)_還原問題

1、還原問題解淵解淵同學(xué)們，我們先來玩一個(gè)同學(xué)們，我們先來玩一個(gè)游戲游戲.你心里想一個(gè)自然數(shù)（不要告訴任何你心里想一個(gè)自然數(shù)（不要告訴任何人），你把這個(gè)數(shù)加上人），你把這個(gè)數(shù)加上3，再乘以，再乘以5，然后，然后減去你想的這個(gè)數(shù)，然后再加上減去你想的這個(gè)數(shù)，然后再加上5，再除以，再除以2，最后減去，最后減去10.好了，告訴我最后得的結(jié)好了，告訴我最后得的結(jié)果，我馬上可以猜出你想的數(shù)是多少果，我馬上可以猜出你想的數(shù)是多少.你信你信不信？不信？一定會(huì)有同學(xué)說，這個(gè)游戲我也會(huì)玩，我反過來算一定會(huì)有同學(xué)說，這個(gè)游戲我也會(huì)玩，我反過來算就可以知道你心里想的是什么數(shù)就可以知道你心里想的是什么數(shù).比如你最后的結(jié)比

2、如你最后的結(jié)果是果是10，我就將，我就將10先加先加10，再乘以，再乘以2，再減去，再減去5，再再.哦，再怎么辦？不好辦了吧哦，再怎么辦？不好辦了吧.其實(shí)這個(gè)游戲計(jì)算程序是事先設(shè)計(jì)好了的，最其實(shí)這個(gè)游戲計(jì)算程序是事先設(shè)計(jì)好了的，最后的結(jié)果總是你所想的數(shù)的后的結(jié)果總是你所想的數(shù)的2倍，比如你想的數(shù)是倍，比如你想的數(shù)是7，按按設(shè)計(jì)設(shè)計(jì)程序計(jì)算，最后結(jié)果一定是程序計(jì)算，最后結(jié)果一定是14.我們把算式寫一下：我們把算式寫一下：（7+3）5-7+52-10=（50-7+5）2-10=482-10=14.因此只要告訴我最后結(jié)果，我一定知道你心里因此只要告訴我最后結(jié)果，我一定知道你心里想的是什么數(shù)想的是什么

3、數(shù). 不過剛才那個(gè)方法也是解下面一類問題常用不過剛才那個(gè)方法也是解下面一類問題常用的方法的方法.某數(shù)某數(shù)經(jīng)過一系列的經(jīng)過一系列的四則運(yùn)算四則運(yùn)算后，結(jié)果知道，后，結(jié)果知道，要求這個(gè)數(shù)要求這個(gè)數(shù).我們就采用反推的方法，從結(jié)果開始，原來我們就采用反推的方法，從結(jié)果開始，原來是加，現(xiàn)在就減；原來是乘，現(xiàn)在就除，最后一是加，現(xiàn)在就減；原來是乘，現(xiàn)在就除，最后一定可以求出這個(gè)數(shù)定可以求出這個(gè)數(shù).這樣一類問題，我們稱之為這樣一類問題，我們稱之為還原問題還原問題.典型例題典型例題1：1、某數(shù)加、某數(shù)加7，乘以，乘以5，再減去，再減去9，得，得51，求這，求這個(gè)數(shù)個(gè)數(shù).解解：（：（51+9）5-7=605-7

4、=12-7=5. 請(qǐng)同學(xué)們驗(yàn)證一下，按題目的運(yùn)算順序，看請(qǐng)同學(xué)們驗(yàn)證一下，按題目的運(yùn)算順序，看能否得到能否得到51.典型例題典型例題2 做一道整數(shù)加法題時(shí)，小強(qiáng)把個(gè)位上的做一道整數(shù)加法題時(shí)，小強(qiáng)把個(gè)位上的6看作看作9，把十位，把十位上的上的8看作看作3，結(jié)果得出和為，結(jié)果得出和為123。為正確的答案應(yīng)該是多。為正確的答案應(yīng)該是多少？少？解：解：把個(gè)位上的數(shù)把個(gè)位上的數(shù)6看作看作9 ，使和增加了，使和增加了96=3，把十位，把十位上的數(shù)上的數(shù)8看作看作3，使和減少了，使和減少了8030=50，因此，這道題歸，因此，這道題歸結(jié)為：某數(shù)加結(jié)為：某數(shù)加3，減，減50，得，得123，問某數(shù)是幾？要求某數(shù)

5、，問某數(shù)是幾？要求某數(shù)，采用倒推法：也就是采用倒推法：也就是123加上加上50，減去，減去3 。即。即123503=170。 正確的答案應(yīng)該是正確的答案應(yīng)該是170。 典型例題典型例題3：某人去儲(chǔ)蓄所取款，第一次取了存款數(shù)的一半還多某人去儲(chǔ)蓄所取款，第一次取了存款數(shù)的一半還多5元，元，第二次取了余下的一半還多第二次取了余下的一半還多10元，最后剩元，最后剩125元。他原元。他原有存款多少元？有存款多少元？解：第一次取款后還剩錢數(shù)：解：第一次取款后還剩錢數(shù)： （12510）2=270（元）（元） 他原有存款數(shù)：他原有存款數(shù)： （2705）2=550（元）（元）答：他原有存款答：他原有存款550元

6、。元。 典型例題典型例題4：在做一道加法題時(shí)，小胖把個(gè)位上的在做一道加法題時(shí)，小胖把個(gè)位上的5看成看成9，把，把十位上的十位上的8看成了看成了3，結(jié)果得到，結(jié)果得到123，問正確答案，問正確答案應(yīng)該是多少？應(yīng)該是多少？ 分析分析：由于小胖粗心看錯(cuò)了題，得到錯(cuò)誤的結(jié)果，可以：由于小胖粗心看錯(cuò)了題，得到錯(cuò)誤的結(jié)果，可以利用還原的方法去求出正確的答案利用還原的方法去求出正確的答案.解：解：小胖把個(gè)位上的小胖把個(gè)位上的5看成看成9，多加了，多加了4，因此要減去，因此要減去4；他把十位上的他把十位上的8看成了看成了3，少加了，少加了50，所以應(yīng)當(dāng)再加上，所以應(yīng)當(dāng)再加上50.這樣正確的答案應(yīng)該是：這樣正確

7、的答案應(yīng)該是：123-4+50=169.典型例題典型例題5：有一個(gè)數(shù)，把它乘以有一個(gè)數(shù)，把它乘以4以后減去以后減去46，再把所得，再把所得的差除以的差除以3，然后減去，然后減去10，最后得，最后得4。問：這個(gè)。問：這個(gè)數(shù)是幾？數(shù)是幾？ 分析：分析：這個(gè)問題是由（這個(gè)問題是由（446）3104，求，求出。我們倒著看，如果除以出。我們倒著看，如果除以3以后不減去以后不減去10，那么，那么商應(yīng)該是商應(yīng)該是41014；如果在減去；如果在減去46以后不除以以后不除以3，那么差該是那么差該是14342；可知這個(gè)數(shù)乘以；可知這個(gè)數(shù)乘以4后的積為后的積為424688，因此這個(gè)數(shù)是，因此這個(gè)數(shù)是884=22。解

8、解：（：（410）346422。例例6學(xué)校運(yùn)來學(xué)校運(yùn)來36棵樹苗，樂樂與歡歡兩人爭(zhēng)著去栽，樂樂棵樹苗，樂樂與歡歡兩人爭(zhēng)著去栽，樂樂先拿了若干樹苗，歡歡看到樂樂拿得太多，就搶了先拿了若干樹苗，歡歡看到樂樂拿得太多，就搶了10棵，樂樂不肯，又從歡歡那里搶回來棵，樂樂不肯，又從歡歡那里搶回來6棵，這時(shí)樂樂拿棵，這時(shí)樂樂拿的棵數(shù)是歡歡的的棵數(shù)是歡歡的2倍。問：最初樂樂拿了多少棵樹苗？倍。問：最初樂樂拿了多少棵樹苗？ 分析：分析： 先求樂樂與歡歡現(xiàn)在各拿了多少棵樹苗。先求樂樂與歡歡現(xiàn)在各拿了多少棵樹苗。 學(xué)校共有樹苗學(xué)校共有樹苗36棵，樂樂拿的樹苗數(shù)是歡歡的棵，樂樂拿的樹苗數(shù)是歡歡的2倍，所以歡歡現(xiàn)在拿

9、倍，所以歡歡現(xiàn)在拿了了36（21）=12（棵）樹苗，而樂樂現(xiàn)在拿了（棵）樹苗，而樂樂現(xiàn)在拿了12224（棵）樹苗，（棵）樹苗，樂樂從歡歡那里搶走了樂樂從歡歡那里搶走了6棵后是棵后是24棵，如果不搶，那么樂樂有樹苗棵，如果不搶，那么樂樂有樹苗24-618（棵），歡歡看樂樂拿得太多，去搶了（棵），歡歡看樂樂拿得太多，去搶了10棵，如果歡歡不搶，那么樂棵，如果歡歡不搶，那么樂樂就有樂就有 181028（棵）。（棵）。解：解：365（12）2-610=28（棵）（棵）例例7植樹節(jié)學(xué)校要栽植樹節(jié)學(xué)校要栽102棵樹苗，小強(qiáng)和小明兩人爭(zhēng)著去栽，棵樹苗，小強(qiáng)和小明兩人爭(zhēng)著去栽，小強(qiáng)先拿了若干樹苗，小強(qiáng)先拿了若

10、干樹苗， 小明見小強(qiáng)拿得太多，就搶了小明見小強(qiáng)拿得太多，就搶了10棵，小強(qiáng)不肯，又從小明那里搶回來棵，小強(qiáng)不肯，又從小明那里搶回來6棵，這時(shí)小強(qiáng)棵，這時(shí)小強(qiáng)拿的棵數(shù)是小明的拿的棵數(shù)是小明的2倍。問：最初小強(qiáng)拿了多少棵樹苗？倍。問：最初小強(qiáng)拿了多少棵樹苗？ 分析：分析：先求小強(qiáng)和小明現(xiàn)在拿了多少棵樹苗。學(xué)校共有樹苗先求小強(qiáng)和小明現(xiàn)在拿了多少棵樹苗。學(xué)校共有樹苗102棵，小棵，小強(qiáng)拿的樹苗是小明的強(qiáng)拿的樹苗是小明的2倍，所以小明現(xiàn)在拿了倍，所以小明現(xiàn)在拿了102（21）=34（顆），而小強(qiáng)先在拿了（顆），而小強(qiáng)先在拿了342=68（棵）樹苗，小強(qiáng)從小名那里搶回（棵）樹苗，小強(qiáng)從小名那里搶回來來6棵

11、后是棵后是68棵，如果不搶，那么小強(qiáng)有樹苗棵，如果不搶，那么小強(qiáng)有樹苗686=62（棵），小明（棵），小明看小強(qiáng)拿得太多，搶了看小強(qiáng)拿得太多，搶了10棵，如果小明不搶，那么小強(qiáng)就有棵，如果小明不搶，那么小強(qiáng)就有6210=72（棵）。（棵）。 解：解：102（12）610=72（棵）（棵） 例例8甲、乙、丙三組共有圖書甲、乙、丙三組共有圖書90本，乙組向甲組借本，乙組向甲組借3本后，本后，又送給丙組又送給丙組5本，結(jié)果三個(gè)組擁有相等數(shù)目的圖書。問：本，結(jié)果三個(gè)組擁有相等數(shù)目的圖書。問：甲、乙、丙三個(gè)組原來各有多少本圖書？甲、乙、丙三個(gè)組原來各有多少本圖書？分析與解：分析與解：盡管甲、乙、丙三個(gè)組

12、之間將圖書借來借去，但圖書盡管甲、乙、丙三個(gè)組之間將圖書借來借去，但圖書的總數(shù)的總數(shù)90本沒有變，由最后三個(gè)組擁有相同數(shù)目的圖書知道，每本沒有變，由最后三個(gè)組擁有相同數(shù)目的圖書知道，每個(gè)組都有圖書個(gè)組都有圖書90330（本）。根據(jù)題目條件，原來各組的圖書（本）。根據(jù)題目條件，原來各組的圖書為為甲組有甲組有30333（本），（本），乙組有乙組有303532（本），（本），丙組有丙組有30525（本）。（本）。例例9將將8個(gè)數(shù)從左至右排成一行，從第三個(gè)數(shù)開始，每個(gè)數(shù)個(gè)數(shù)從左至右排成一行，從第三個(gè)數(shù)開始，每個(gè)數(shù)都恰好等于前面兩個(gè)數(shù)之和。如果第七個(gè)數(shù)和第八個(gè)都恰好等于前面兩個(gè)數(shù)之和。如果第七個(gè)數(shù)和第八

13、個(gè)數(shù)分別是數(shù)分別是81和和131，那么第一個(gè)數(shù)是多少？，那么第一個(gè)數(shù)是多少？ 解：解：已知第七個(gè)數(shù)是已知第七個(gè)數(shù)是81，第八個(gè)數(shù)是，第八個(gè)數(shù)是131，根據(jù)，根據(jù)“每個(gè)數(shù)都恰好等于前面每個(gè)數(shù)都恰好等于前面兩個(gè)數(shù)之和兩個(gè)數(shù)之和”這一規(guī)律，可知第六個(gè)數(shù)這一規(guī)律，可知第六個(gè)數(shù)81（第七個(gè)數(shù)）（第七個(gè)數(shù)）=131（第八個(gè)（第八個(gè)數(shù)），可求第六個(gè)數(shù)等于數(shù)），可求第六個(gè)數(shù)等于13181=50。同理：第五個(gè)數(shù)。同理：第五個(gè)數(shù)50（第六個(gè)數(shù)）（第六個(gè)數(shù)）=81（第七個(gè)數(shù)），可以求出第五個(gè)數(shù)等于（第七個(gè)數(shù)），可以求出第五個(gè)數(shù)等于8150=31。第四個(gè)數(shù)：第四個(gè)數(shù)：5031=19第三個(gè)數(shù)：第三個(gè)數(shù)：3119=12第

14、二個(gè)數(shù)：第二個(gè)數(shù)：1912=7第一個(gè)數(shù)：；第一個(gè)數(shù)：；127=5答：第一個(gè)數(shù)是答：第一個(gè)數(shù)是5。例例10一捆電線，第一次用去全長的一半多一捆電線，第一次用去全長的一半多3米，第二次用去米，第二次用去余下的一半少余下的一半少10米，第三次用去米，第三次用去15米，最后還剩米，最后還剩7米，米，這捆電線原有多少米？這捆電線原有多少米？分析：分析：由逆推法知，第二次用完還剩下由逆推法知，第二次用完還剩下157=22（米），第一（米），第一次用完還剩下（次用完還剩下（2210）224（米），原來電線長（米），原來電線長（243）254（米）。（米）。解：解：（15710）23254（米）。 例例11有

15、一堆棋子，把它四等分后剩下一枚，取走三份又一枚；有一堆棋子，把它四等分后剩下一枚，取走三份又一枚；剩下的再四等分又剩一枚，再取走三份又一枚；剩下的剩下的再四等分又剩一枚，再取走三份又一枚；剩下的再四等分又剩一枚。問：原來至少有多少枚棋子？再四等分又剩一枚。問：原來至少有多少枚棋子？分析與解：分析與解： 棋子最少的情況是最后一次四等分時(shí)每份為棋子最少的情況是最后一次四等分時(shí)每份為1枚。逆推得到枚。逆推得到第三次分之前有第三次分之前有1415（枚），（枚），第二次分之前有第二次分之前有51121（枚），（枚），第一次分之前有第一次分之前有214185（枚）。（枚）。所以原來至少有所以原來至少有85

16、枚棋子。枚棋子。例例12甲、乙、丙三人錢數(shù)各不相同，甲最多，他拿出一些錢給乙和丙，甲、乙、丙三人錢數(shù)各不相同，甲最多，他拿出一些錢給乙和丙，使乙和丙的錢數(shù)都比原來增加了兩倍，結(jié)果乙的錢最多使乙和丙的錢數(shù)都比原來增加了兩倍，結(jié)果乙的錢最多;接著乙拿接著乙拿出一些錢給甲和丙，使甲和丙的錢數(shù)都比原來增加了兩倍，結(jié)果出一些錢給甲和丙，使甲和丙的錢數(shù)都比原來增加了兩倍，結(jié)果丙的錢最多丙的錢最多;最后丙拿出一些錢給甲和乙，使甲和乙的錢數(shù)都比原最后丙拿出一些錢給甲和乙，使甲和乙的錢數(shù)都比原來增加了兩倍，結(jié)果三人錢數(shù)一樣多了。如果他們?nèi)斯灿衼碓黾恿藘杀?，結(jié)果三人錢數(shù)一樣多了。如果他們?nèi)斯灿?1元，元，那么

17、三人原來的錢分別是多少元那么三人原來的錢分別是多少元?分析：分析：三人最后一樣多，所以都是三人最后一樣多，所以都是813=27元，然后我們開始元，然后我們開始還原：還原：(1)甲和乙把錢還給丙：每人增加甲和乙把錢還給丙：每人增加2倍，就應(yīng)該是原來的倍，就應(yīng)該是原來的3倍，所以甲和乙都是倍，所以甲和乙都是273=9，丙是，丙是81-9-9=63;(2) 甲和丙把錢甲和丙把錢還給乙：甲還給乙：甲93=3，丙，丙633=21，乙，乙81-3-21=57;(3) 最后是乙最后是乙和丙把錢還給甲：乙和丙把錢還給甲：乙573=19，丙，丙213=7，甲，甲81-19-7=55元元.例例13三（三（1）班小

18、圖書箱第一天借出了存書的一半，第）班小圖書箱第一天借出了存書的一半，第2天又天又借出借出43本，還剩本，還剩32本。小圖書箱原有圖書多少本？本。小圖書箱原有圖書多少本？ 分析：分析：經(jīng)過兩天借出圖書，小圖書最后還剩經(jīng)過兩天借出圖書，小圖書最后還剩32本書。由此可以往前推算：本書。由此可以往前推算：第第2天沒借出天沒借出43本前（也就是第本前（也就是第1天借出圖書后），應(yīng)有（天借出圖書后），應(yīng)有（3243）本書，）本書，再根據(jù)再根據(jù)“第第1天借出了存書的一半天借出了存書的一半”，可推算出這，可推算出這75本書也就是第本書也就是第1天借天借出后的另一半，即相當(dāng)于第出后的另一半，即相當(dāng)于第1天借出的

19、本數(shù)。這樣，小圖書箱原有的圖書天借出的本數(shù)。這樣，小圖書箱原有的圖書本數(shù)可求得。本數(shù)可求得。 解解: 第第1天借書后還剩的本數(shù)：天借書后還剩的本數(shù)：324375（本）（本） 原有圖書的本數(shù)：原有圖書的本數(shù)：752150（本）（本）綜合算式：（綜合算式：（3243）2150（本）（本）例例14倉庫里有一批大米。第一天售出的重量比總數(shù)的一半倉庫里有一批大米。第一天售出的重量比總數(shù)的一半少少12噸。第二天售出的重量比剩下的一半少噸。第二天售出的重量比剩下的一半少12噸，結(jié)噸，結(jié)果還剩下果還剩下19噸。這個(gè)倉庫原有大米多少噸？噸。這個(gè)倉庫原有大米多少噸？分析：分析：如果第二天剛好售出剩下的一半，就應(yīng)是

20、（如果第二天剛好售出剩下的一半，就應(yīng)是（1912）噸。）噸。第一天售出以后剩下的噸數(shù)是（第一天售出以后剩下的噸數(shù)是（1912）2噸。以下類推。噸。以下類推。解解 （1912）262 （噸）（噸）（6212）2100（噸）（噸）例例15有一堆西瓜第一次搬走一半，第二次搬走剩下的一半多有一堆西瓜第一次搬走一半，第二次搬走剩下的一半多3個(gè)，第三次搬走剩下的一半少個(gè)，第三次搬走剩下的一半少3個(gè)，第四次搬走剩下個(gè)，第四次搬走剩下的一半多的一半多3個(gè)，第五次搬走剩下的一半，最后還剩個(gè)，第五次搬走剩下的一半，最后還剩3個(gè)，個(gè)，這堆西瓜原有多少個(gè)？這堆西瓜原有多少個(gè)？ 解：解：這道題我們可以從最后還剩下的這道

21、題我們可以從最后還剩下的3個(gè)出發(fā)，逐步向前推算，第個(gè)出發(fā)，逐步向前推算，第五次搬之前、第四次搬之前五次搬之前、第四次搬之前直到第一次搬之前，還原到原有直到第一次搬之前，還原到原有數(shù)。數(shù)。第五次搬走前：第五次搬走前：32=69(個(gè)個(gè))，第四次搬走前：（，第四次搬走前：（63）2=18(個(gè)個(gè))，第三次搬走前：（，第三次搬走前：（183）2=30（個(gè)），第二次（個(gè)），第二次搬走前：（搬走前：（303）2=66（個(gè)），第一次搬走前：（個(gè)），第一次搬走前：662=132（個(gè)）。（個(gè)）。答：這堆西瓜原有答：這堆西瓜原有132個(gè)。個(gè)。 例例16甲、乙兩個(gè)港口各停有小船若干只，如果按下面的辦法移動(dòng)船只：甲、乙

22、兩個(gè)港口各停有小船若干只，如果按下面的辦法移動(dòng)船只：第一次從甲港開出和乙港同樣多的船只，第二次從乙港開出和甲第一次從甲港開出和乙港同樣多的船只，第二次從乙港開出和甲港同樣多的船只，那么照這樣四次后，甲、乙兩港所停的船只數(shù)港同樣多的船只，那么照這樣四次后，甲、乙兩港所停的船只數(shù)都是都是48只，求甲、乙兩港原來各停有多少只小船？只，求甲、乙兩港原來各停有多少只小船？解：解：這道題可以從結(jié)果甲乙兩港都是各停有小船這道題可以從結(jié)果甲乙兩港都是各停有小船48只出發(fā)，倒推分別求只出發(fā)，倒推分別求出第四次前、第三次潛、第二次前、第一次前各有多少只。出第四次前、第三次潛、第二次前、第一次前各有多少只。第四次前

23、甲港：第四次前甲港：482=24（只）；（只）； 乙港：乙港：2448=72（只）。（只）。第三次前甲港：第三次前甲港：2436=6（只）；（只）； 乙港：乙港：722=36（只）。（只）。 第二次前甲港：第二次前甲港：602=30（只）；（只）； 乙港：乙港：3630=66（只）。（只）。第一次前甲港：第一次前甲港：3033=63（只）；（只）； 乙港：乙港：662=33（只）。（只）。答：甲港原來停有63只小船；乙港原來停有33只小船。 例例17甲、乙、丙、丁四人各有故事書若干本，甲將自己的甲、乙、丙、丁四人各有故事書若干本，甲將自己的故事書拿一部分給乙、丙、丁，使他們的書增加故事書拿一部

24、分給乙、丙、丁，使他們的書增加1倍，倍，然后，乙又拿出一部分故事書使甲、乙、丙的書增加然后，乙又拿出一部分故事書使甲、乙、丙的書增加1倍，然后，丙又拿出一部分故事書使得甲、乙、丁的倍，然后，丙又拿出一部分故事書使得甲、乙、丁的書增加書增加1倍，最后，丁也拿出一部分故事書使得甲、乙、倍，最后，丁也拿出一部分故事書使得甲、乙、丙的書增加丙的書增加1倍時(shí)，甲、乙、丙、丁手中都有倍時(shí)，甲、乙、丙、丁手中都有32本書。本書。甲、乙、丙、丁四人原來各有多少本書？甲、乙、丙、丁四人原來各有多少本書？解析：解析：我們還是采取倒推的方法。從最后一次丁分書以后開始考慮。我們還是采取倒推的方法。從最后一次丁分書以后開始考慮。由于丁拿出一部分書給甲、乙、丙后，甲、乙、丙的書各自增加了由于丁拿出一部分書給甲、乙、丙后，甲、乙、丙的書各自增加了1倍，都倍，都是是32本，說明在此之前，甲、乙、丙手中的書都為：本，說明在此