初中數(shù)學(xué)九年級(jí)《垂直于弦的直徑》教學(xué)設(shè)計(jì)

1、垂直于弦的直徑教學(xué)設(shè)計(jì)一、教學(xué)目標(biāo)（一）知識(shí)技能1知道圓是軸對(duì)稱圖形，能說(shuō)出它的對(duì)稱軸；知道圓是中心對(duì)稱圖形，它的對(duì)稱中心是圓心。2掌握垂徑定理，并會(huì)用符號(hào)表示垂徑定理。（二）數(shù)學(xué)思考1通過(guò)垂徑定理探索它的推論，初步體會(huì)“分類討論”的數(shù)學(xué)思想。2通過(guò)觀察、猜想、驗(yàn)證、歸納等數(shù)學(xué)活動(dòng)，感受數(shù)學(xué)思考的條理性，發(fā)展數(shù)形結(jié)合思想。（三）解決問(wèn)題1讓學(xué)生經(jīng)歷觀察、探究、歸納、總結(jié)等過(guò)程，獲得解決數(shù)學(xué)題的經(jīng)驗(yàn)和方法，能夠利用垂徑定理及推論解決簡(jiǎn)單的問(wèn)題。2通過(guò)推論的拓展，形成解決問(wèn)題的一些基本策略，發(fā)展學(xué)生用數(shù)學(xué)的意識(shí)；培養(yǎng)學(xué)生“方程的觀點(diǎn)”以及識(shí)別基本圖形的能力。（四）情感態(tài)度通過(guò)探究垂徑定理及其推論的

2、活動(dòng)，培養(yǎng)學(xué)生合作交流的意識(shí)和大膽猜想，樂(lè)于探究的良好思維品質(zhì)，培養(yǎng)學(xué)生觀察能力、好奇心和求知欲，并從數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)活動(dòng)中獲得成功的體驗(yàn)，樹(shù)立自信心。二、教學(xué)重點(diǎn)探索垂徑定理及其推論，并能正確運(yùn)用它們解決問(wèn)題。三、教學(xué)難點(diǎn)垂徑定理推論的探索及應(yīng)用。四、教學(xué)方法自主探究合作交流五、教學(xué)媒體多媒體六、教學(xué)過(guò)程活動(dòng)一問(wèn)題1，圓是軸對(duì)稱圖形嗎：是中心對(duì)稱圖形嗎？（類比思想）設(shè)計(jì)意圖：可請(qǐng)一位學(xué)生演示：沿著圓形紙片的任一條直徑對(duì)折，直徑兩側(cè)的兩個(gè)半圓會(huì)怎樣？從而得出：圓是軸對(duì)稱圖形，且有無(wú)數(shù)條對(duì)稱軸任何一條直徑所在的直線都是圓的對(duì)稱軸。讓學(xué)生把一個(gè)圓形紙片繞圓心旋轉(zhuǎn)180°后與原來(lái)的圓重合，說(shuō)明圓是

3、中心對(duì)稱圖形，圓心是對(duì)稱中心。（注意：其實(shí)圓繞它的圓心旋轉(zhuǎn)任意角度都能與原來(lái)的圓重合，所以是特殊的中心對(duì)稱圖形，它的特殊性是具有旋轉(zhuǎn)不變性）這一性質(zhì)后面將會(huì)用到。問(wèn)題2，利用軸對(duì)稱圖形的性質(zhì)探究，如圖：在o中，cd是直徑，ab是弦，且cdab，你在圓中能找出哪些相等的量？并證明。說(shuō)出你猜想的結(jié)論。（分組討論，小組代表敘述結(jié)論） 教師重點(diǎn)關(guān)注：學(xué)生對(duì)軸對(duì)稱圖形性質(zhì)的應(yīng)用是否熟練，適當(dāng)?shù)倪M(jìn)行復(fù)習(xí)鞏固。 設(shè)計(jì)意圖： （1）這樣設(shè)計(jì)是想通過(guò)學(xué)生對(duì)圖形的觀察和對(duì)條件的分析，自己推測(cè)可能得到的結(jié)論，培養(yǎng)學(xué)生的觀察能力和直覺(jué)的猜想能力。（2）由于學(xué)生思維的差異，各人猜想得出的結(jié)論會(huì)不同，也不一定全面，教師要

4、認(rèn)同這樣的差異，保護(hù)學(xué)生的積極性。（3）在學(xué)生猜對(duì)了全部結(jié)論后，師生再共同研究證明方法，（大屏幕投影已知、求證、證明全過(guò)程）由教師板書(shū)已知、求證和證明。（4）引導(dǎo)學(xué)生歸納結(jié)論，得出垂徑定理：垂直于弦的直徑平分這條弦并且平這條弦所對(duì)的兩條弧。幾何語(yǔ)言為cd為直徑，cdab。cd平分弦ab、cd平分弧ab、cd平分弧acb。問(wèn)題3，請(qǐng)畫(huà)圖說(shuō)明垂徑定理的條件和結(jié)論，（學(xué)生自己畫(huà)）并判斷下列圖形是否符合垂徑定理的基本要求。教師重點(diǎn)關(guān)注：學(xué)生對(duì)垂徑定理的理解是否全面、到位。設(shè)計(jì)意圖：1讓學(xué)生自己畫(huà)圖，分清垂徑定理的條件和結(jié)論，有利于學(xué)生清楚地認(rèn)識(shí)該定理的條件和結(jié)論。條件是：cd為直徑，cdab。 結(jié)論是

5、：cd平分弦ab、cd平分弧ab 、cd平分弧acb。2認(rèn)識(shí)定理中的垂徑，可以是直徑、半徑、過(guò)圓心且垂直于弦的直線或線段?；顒?dòng)二問(wèn)題4，引申思考：垂徑定理可以改述為：一條直線滿足條件：1過(guò)圓心，2垂直于弦，則可以推出結(jié)論3平分弦所對(duì)的優(yōu)弧，4平分弦所對(duì)的劣弧，5平分弦。對(duì)于一個(gè)圓和一條直線來(lái)說(shuō)，如果以1，2，3，4，5五個(gè)條件中的任意兩個(gè)作為題設(shè)那么其它三個(gè)就都是結(jié)論，這樣我們能得到9個(gè)推論都是正確的。本教材只介紹了一個(gè)推論即：平分弦（不是直徑）的直徑垂直于弦，并且平分弦所對(duì)的兩條弧。即由1，3推出2，4，5。說(shuō)明：這里對(duì)“弦”限制不能去掉，否則該結(jié)論不成立。大家都知道兩條直徑一定互相平分，但

6、不一定垂直。師生共同討論、證明，大屏幕投影已知、求證、證明全過(guò)程或由教師板書(shū)已知、求證和證明。設(shè)計(jì)意圖：這套教材削弱了對(duì)幾何證明的要求，所以推出格式?jīng)]有給出，其它幾個(gè)推論也沒(méi)有拓展出來(lái)，只作簡(jiǎn)單說(shuō)明而已，大屏幕投影給出推論的幾可語(yǔ)言?；顒?dòng)三問(wèn)題5，現(xiàn)在我們用垂徑定理解決本節(jié)前面提出的求趙州橋橋拱半徑的問(wèn)題。學(xué)生思考：1如何把實(shí)際圖形轉(zhuǎn)換成幾何圖形。2利用垂徑定理構(gòu)建什么直角三角形？應(yīng)用八年級(jí)所學(xué)的什么定理？應(yīng)用什么思想來(lái)解決這個(gè)問(wèn)題？解決問(wèn)題：如圖，用弧acb表示橋拱，設(shè)弧acb所在圓的圓心為o，半徑為r，連結(jié)ab，弦ab的長(zhǎng)即為橋的跨度。 想一想：如何確定拱高（弧的中點(diǎn)到弦的距離） 即過(guò)圓心

7、作弦ab的垂線oc，垂足為d， oc與弧ab相交于點(diǎn)c， 則d是ab的中點(diǎn)，c是弧ab中點(diǎn)，cd即為拱高，然后利用勾股定理列出關(guān)于半徑r的方程即可解決問(wèn)題。設(shè)計(jì)意圖：在本次活動(dòng)中教師應(yīng)關(guān)注：1學(xué)生能否正確的繪出幾何圖形，連出相關(guān)的線段。2學(xué)生能否正確的使用垂徑定理做出恰當(dāng)?shù)妮o助線，找出相關(guān)的量。3學(xué)生能否把垂徑定理和勾股定理結(jié)合起來(lái)，得到半徑r，圓心到弦的距離d和弦長(zhǎng)a之間的關(guān)系：r2 =d2 +()2 ,據(jù)此關(guān)系式在a、r、d三個(gè)量中，已知任意兩個(gè)可以求出第三個(gè)量，這就是十分重要的方程思想。4利用所學(xué)的數(shù)學(xué)知識(shí)，解決生活中的實(shí)際問(wèn)題，加強(qiáng)數(shù)學(xué)與生活的聯(lián)系，體驗(yàn)數(shù)學(xué)是描述現(xiàn)實(shí)世界的重要手段，即

8、培養(yǎng)學(xué)生用數(shù)學(xué)知識(shí)解決實(shí)際問(wèn)題的能力，樹(shù)立了學(xué)生學(xué)好數(shù)學(xué)的信心。問(wèn)題6，判斷1平分弦的直徑垂直于弦（ ） 2平分弦的直徑平分弦所對(duì)的兩條弧（ ）小馬利用垂徑定理的推論認(rèn)為這兩句話是正確的。聰明的同學(xué)，你能告訴他究竟錯(cuò)在哪里嗎？同桌討論：教師可提示將被平分的弦進(jìn)行分類：它為直徑；它為非直徑。設(shè)計(jì)意圖：通過(guò)替人排憂解難，強(qiáng)化“推論”中對(duì)“弦”的限制條件不能丟失。問(wèn)題7，課本30頁(yè)練習(xí)12在o中，弦ab的長(zhǎng)為8cm，半徑r為5cm，e為弦ab的中點(diǎn)，求圓心o到弦ab的距離。教師重點(diǎn)關(guān)注：學(xué)生能否熟練應(yīng)用垂徑定理及其推論。設(shè)計(jì)意圖：對(duì)學(xué)生進(jìn)行推理訓(xùn)練，讓學(xué)生明白解決問(wèn)題要有依據(jù)，進(jìn)一步提高學(xué)生的邏輯思

9、維能力和幾何語(yǔ)言表達(dá)能力，然后通過(guò)變式訓(xùn)練加深對(duì)新知識(shí)的理解，培養(yǎng)學(xué)生分析、探究問(wèn)題的能力。問(wèn)題8，課本30頁(yè)練習(xí)2。教師重點(diǎn)關(guān)注：學(xué)生對(duì)矩形的證明思路是否明確。設(shè)計(jì)意圖：加強(qiáng)知識(shí)間聯(lián)系，達(dá)到復(fù)習(xí)鞏固的目的。活動(dòng)四拓廣探索：ab、cd為o的兩條平行弦，o的半徑為5cm，ab=8cm，cd=6cm，求ab、cd間的距離。學(xué)生試著自己完成。然后教師展示部分學(xué)生答案，加以訂正，最后教師給出圖形和完整解題過(guò)程。教師重點(diǎn)關(guān)注：學(xué)生能否將本題分為兩種情況來(lái)解決。設(shè)計(jì)意圖：培養(yǎng)學(xué)生用所學(xué)知識(shí)解決問(wèn)題的能力，強(qiáng)化訓(xùn)練分類討論的數(shù)學(xué)思想，使學(xué)生養(yǎng)成仔細(xì)審題、考慮問(wèn)題全面的良好學(xué)習(xí)品質(zhì)和個(gè)性思維品質(zhì)，進(jìn)一步提高學(xué)生自身的素質(zhì)。七、小結(jié)這節(jié)課你有哪些收獲？有何體會(huì)？你認(rèn)為自己的表現(xiàn)如何？教師引導(dǎo)學(xué)生回顧、思考、交流。教師重點(diǎn)關(guān)注：1學(xué)生的歸納總結(jié)能力。2能否對(duì)問(wèn)題有進(jìn)一步的思考。3