結(jié)構(gòu)力學(xué)課件：01靜定結(jié)構(gòu)位移計(jì)算

1、Displacement of Statically Determinate Structures4-1 結(jié)構(gòu)位移計(jì)算概述結(jié)構(gòu)位移計(jì)算概述4-0 理力材力相關(guān)內(nèi)容回顧理力材力相關(guān)內(nèi)容回顧4-2 變變形體形體虛功原理虛功原理4-3 單位荷載法單位荷載法4-4 圖乘法圖乘法4-5 其它外因引起的位移計(jì)算（溫度等）其它外因引起的位移計(jì)算（溫度等）4-6 互等定理互等定理AAAAAxAyFPAxAy AAAFPAxAyt 功能原理：功能原理： 可變形固體在受外力作用而變形時(shí)，外力和可變形固體在受外力作用而變形時(shí)，外力和內(nèi)力均將做功。對(duì)于彈性體，不考慮其它能內(nèi)力均將做功。對(duì)于彈性體，不考慮其它能量的損失

2、，外力在相應(yīng)位移上做的功，在數(shù)量的損失，外力在相應(yīng)位移上做的功，在數(shù)值上就等于積蓄在物體內(nèi)的應(yīng)變能值上就等于積蓄在物體內(nèi)的應(yīng)變能VW PFFWP21 軸向拉伸和壓縮軸向拉伸和壓縮WV PFPFlllFP21EAlFFPP21EAlFEAlF222N2PlxxEAxFVd)(2)(2NPF軸軸(向內(nèi)向內(nèi))力力FP，彈性彈性模量模量E，截面面積截面面積A，桿長(zhǎng)桿長(zhǎng)l WV 純彎曲：純彎曲： 橫力彎曲：橫力彎曲：lxxIExMVd)(2)(2M21EIlMM21EIlMEIlM2222彎曲彎曲MMMM彎矩彎矩M，慣性矩，慣性矩I，彈性模量彈性模量E，桿長(zhǎng)桿長(zhǎng)l，轉(zhuǎn)角，轉(zhuǎn)角(純純彎梁彎梁) 22QQQ

3、0d1222lkF lkFxVFGAGAMl剪切剪切 （相對(duì)錯(cuò)動(dòng)）（相對(duì)錯(cuò)動(dòng)）剪力剪力FQ，截面面積，截面面積A，剪切模量剪切模量G，桿長(zhǎng)，桿長(zhǎng)l，截面形狀系數(shù)截面形狀系數(shù)k。 WV ppIGlTIGlTT2212lpxxIGxTVd)(2)(2扭轉(zhuǎn)扭轉(zhuǎn)扭矩扭矩T，剪切模量剪切模量G，極慣性矩極慣性矩IP，桿長(zhǎng)桿長(zhǎng)l， PFP21FWlxEIxMVd2)(2xFxMP)(lEIlFxEIxMV6d2)(32P2，得由WV EIlF33P例：例：2? 變形能對(duì)任一載荷變形能對(duì)任一載荷Fi 的偏導(dǎo)數(shù)，等于的偏導(dǎo)數(shù)，等于Fi作用點(diǎn)作用點(diǎn)沿沿Fi方向的位移方向的位移卡氏第二定理卡氏第二定理iiFV推導(dǎo)

4、過(guò)程使用了互等定理，所以只適用推導(dǎo)過(guò)程使用了互等定理，所以只適用線彈性結(jié)構(gòu)線彈性結(jié)構(gòu) PFlEIlFxEIxMV6d2)(32P2EIlFFV33PP推導(dǎo)過(guò)程使用了互等定理，所以只適用推導(dǎo)過(guò)程使用了互等定理，所以只適用線彈性結(jié)構(gòu)線彈性結(jié)構(gòu)2? llplNNxEIxMxMxGIxTxTxEAxFxFd)()(d)()(d)()(000結(jié)結(jié)構(gòu)構(gòu)產(chǎn)產(chǎn)生生的的內(nèi)內(nèi)力力時(shí)時(shí)，移移的的方方向向加加廣廣義義單單位位力力位位移移點(diǎn)點(diǎn)，沿沿所所求求廣廣義義位位義義去去掉掉原原載載荷荷，在在所所求求廣廣結(jié)結(jié)構(gòu)構(gòu)在在原原載載荷荷下下的的內(nèi)內(nèi)力力-xMxTxF-xMxTxFNN)()()()()()(000、推導(dǎo)過(guò)程

5、使用了兩種力施加不同順序得出結(jié)果相同，推導(dǎo)過(guò)程使用了兩種力施加不同順序得出結(jié)果相同，所以只適用所以只適用線彈性結(jié)構(gòu)線彈性結(jié)構(gòu) PFxFxMP)(1xxM)(0EIlFEIdxxFl33P02P 0iiFr 剛體虛位移原理剛體虛位移原理 對(duì)于具有理想約束的剛體或?qū)τ诰哂欣硐爰s束的剛體或剛體系，其平衡的充分必要條件是，作用于剛體剛體系，其平衡的充分必要條件是，作用于剛體或剛體系的外力在任意虛位移時(shí)所做的總虛功恒或剛體系的外力在任意虛位移時(shí)所做的總虛功恒等于零，也即有如下虛功方程成立等于零，也即有如下虛功方程成立 虛功虛功=外力在外力在非非自身所產(chǎn)生的變形上所做自身所產(chǎn)生的變形上所做的功，因此它是常

6、力所做的功，所以沒(méi)有的功，因此它是常力所做的功，所以沒(méi)有這一系數(shù)。這一系數(shù)。 02BPlYlFFPAXBYAYl/2l/20PYFYBA0XA FPFP/2FP/2對(duì)一變形體對(duì)一變形體力狀態(tài)：平衡方程力狀態(tài)：平衡方程滿足平衡條件滿足平衡條件位移狀態(tài)：協(xié)調(diào)方程位移狀態(tài)：協(xié)調(diào)方程滿足協(xié)調(diào)條件：光滑、連續(xù)、滿足約束、微小滿足協(xié)調(diào)條件：光滑、連續(xù)、滿足約束、微小FP4.2 變形體虛功原理變形體虛功原理 不光滑不光滑不連續(xù)不連續(xù)不滿足約束不滿足約束4.2 變形體虛功原理變形體虛功原理 FPFP/2FP/2對(duì)一變形體對(duì)一變形體力狀態(tài)：平衡方程力狀態(tài)：平衡方程滿足平衡條件滿足平衡條件位移狀態(tài)：協(xié)調(diào)方程位移狀

7、態(tài)：協(xié)調(diào)方程滿足協(xié)調(diào)條件：光滑、滿足約束、微小滿足協(xié)調(diào)條件：光滑、滿足約束、微小FP物理方程物理方程4.2 變形體虛功原理變形體虛功原理 FPFP/2FP/2對(duì)一變形體對(duì)一變形體力狀態(tài)：平衡方程力狀態(tài)：平衡方程滿足平衡條件滿足平衡條件位移狀態(tài)：協(xié)調(diào)方程位移狀態(tài)：協(xié)調(diào)方程滿足協(xié)調(diào)條件：光滑、連續(xù)、滿足約束、微小滿足協(xié)調(diào)條件：光滑、連續(xù)、滿足約束、微小力的狀態(tài)和位移狀態(tài)無(wú)關(guān)力的狀態(tài)和位移狀態(tài)無(wú)關(guān)虛虛虛虛4.2 變形體虛功原理變形體虛功原理 關(guān)鍵點(diǎn)：關(guān)鍵點(diǎn)：u力狀態(tài)和位移狀態(tài)都是對(duì)力狀態(tài)和位移狀態(tài)都是對(duì)同一個(gè)同一個(gè)結(jié)構(gòu)而言結(jié)構(gòu)而言u(píng)虛力狀態(tài)：滿足虛力狀態(tài)：滿足平衡條件平衡條件u虛位移狀態(tài)：滿足虛位移

8、狀態(tài)：滿足協(xié)調(diào)條件協(xié)調(diào)條件u虛力狀態(tài)和虛位移狀態(tài)之間不強(qiáng)調(diào)因果：虛力狀態(tài)和虛位移狀態(tài)之間不強(qiáng)調(diào)因果：“虛虛”指的是力狀態(tài)和位移狀態(tài)間指的是力狀態(tài)和位移狀態(tài)間可以無(wú)關(guān)可以無(wú)關(guān)，不是指，不是指“假設(shè)假設(shè)”、“虛假虛假”4.2 變形體虛功原理變形體虛功原理 力在力在自身自身所產(chǎn)生的位移上所作的功所產(chǎn)生的位移上所作的功P1F1P121FW 力在力在非自身非自身所產(chǎn)生的位移上所作的功所產(chǎn)生的位移上所作的功2P1FW 4.2 變形體虛功原理變形體虛功原理 1P1F1P2F2剛體虛位移原理剛體虛位移原理 對(duì)于具有理想約束的剛體或剛體系，其對(duì)于具有理想約束的剛體或剛體系，其平衡的充分必要條件是，作用于剛體或剛

9、體平衡的充分必要條件是，作用于剛體或剛體系的外力在任意剛體虛位移時(shí)所做的總虛功系的外力在任意剛體虛位移時(shí)所做的總虛功恒等于零恒等于零4.2 變形體虛功原理變形體虛功原理 力狀態(tài)平衡力狀態(tài)平衡位移狀態(tài)協(xié)位移狀態(tài)協(xié)調(diào)調(diào)前前 提提虛功原理宣告了一個(gè)數(shù)學(xué)等式虛功原理宣告了一個(gè)數(shù)學(xué)等式4.2 變形體虛功原理變形體虛功原理 力狀態(tài)平衡力狀態(tài)平衡位移狀態(tài)協(xié)位移狀態(tài)協(xié)調(diào)調(diào)前前 提提虛功原理宣告了一個(gè)數(shù)學(xué)等式虛功原理宣告了一個(gè)數(shù)學(xué)等式4.2 變形體虛功原理變形體虛功原理 整體是平衡的整體是平衡的局部是平衡的局部是平衡的外力外力分割面內(nèi)力分割面內(nèi)力變形體上的力狀態(tài)變形體上的力狀態(tài)4.2 變形體虛功原理變形體虛功原

10、理 力狀態(tài)平衡力狀態(tài)平衡位移狀態(tài)協(xié)位移狀態(tài)協(xié)調(diào)調(diào)前前 提提虛功原理宣告了一個(gè)數(shù)學(xué)等式虛功原理宣告了一個(gè)數(shù)學(xué)等式4.2 變形體虛功原理變形體虛功原理 變形體上的位移狀態(tài)變形體上的位移狀態(tài)位移是協(xié)調(diào)的位移是協(xié)調(diào)的初始位形初始位形變形位移變形位移剛體位移剛體位移4.2 變形體虛功原理變形體虛功原理 力狀態(tài)平衡力狀態(tài)平衡位移狀態(tài)協(xié)位移狀態(tài)協(xié)調(diào)調(diào)前前 提提虛功原理宣告了一個(gè)數(shù)學(xué)等式虛功原理宣告了一個(gè)數(shù)學(xué)等式4.2 變形體虛功原理變形體虛功原理 4.2 變形體虛功原理變形體虛功原理 原理的表述：原理的表述： 任何一個(gè)處于平衡狀態(tài)的變形體，當(dāng)任何一個(gè)處于平衡狀態(tài)的變形體，當(dāng)發(fā)生任意一個(gè)虛位移時(shí)，變形體所受外

11、力發(fā)生任意一個(gè)虛位移時(shí)，變形體所受外力在虛位移時(shí)所作的總虛功在虛位移時(shí)所作的總虛功We，恒等于變，恒等于變形體所接受的總虛變形功形體所接受的總虛變形功Wi。也即恒有。也即恒有如下虛功方程成立如下虛功方程成立We = =Wiu 外力虛功外力虛功=外力外力虛位移虛位移 =外力外力（剛體虛位移（剛體虛位移+變形虛位移）變形虛位移）u 虛變形功虛變形功=力力變形虛位移變形虛位移 =（外力（外力+分割面內(nèi)力）分割面內(nèi)力）變形虛位移變形虛位移變形位移變形位移剛體位移剛體位移分割面內(nèi)力外力4.2 變形體虛功原理變形體虛功原理 變形位移變形位移剛體位移剛體位移分割面內(nèi)力外力證明：計(jì)算各分割體上所有力所做虛功之

12、和證明：計(jì)算各分割體上所有力所做虛功之和W：W=（力（力虛位移）虛位移）= (外力外力+分割面內(nèi)力分割面內(nèi)力)虛位移虛位移= 力力 (剛體虛位移剛體虛位移+變形虛位移變形虛位移)兩種算法兩種算法第一種第一種第二種第二種4.2 變形體虛功原理變形體虛功原理 變形位移變形位移剛體位移剛體位移分割面內(nèi)力外力證明：計(jì)算各分割體上所有力所做虛功之和證明：計(jì)算各分割體上所有力所做虛功之和W：W=（力（力虛位移）虛位移）= (外力外力+分割面內(nèi)力分割面內(nèi)力)虛位移虛位移= (外力外力虛位移虛位移)+(分割面內(nèi)力分割面內(nèi)力虛位移虛位移)等于零等于零為什么？為什么？第一種算法第一種算法4.2 變形體虛功原理變形

13、體虛功原理 (分割面內(nèi)力虛位移)=0，為什么？u 相鄰分割體間內(nèi)力是作用力與反作用力相鄰分割體間內(nèi)力是作用力與反作用力的關(guān)系，大小相等方向相反的關(guān)系，大小相等方向相反u 虛位移是協(xié)調(diào)的，相鄰分割體的分割面虛位移是協(xié)調(diào)的，相鄰分割體的分割面的虛位移相等的虛位移相等虛位移相等虛位移相等大小相等，方向相反大小相等，方向相反第一種算法第一種算法4.2 變形體虛功原理變形體虛功原理 變形位移變形位移剛體位移剛體位移分割面內(nèi)力外力證明：計(jì)算各分割體上所有力所做虛功之和證明：計(jì)算各分割體上所有力所做虛功之和W：W=（力（力虛位移）虛位移）= (外力外力+分割面內(nèi)力分割面內(nèi)力)虛位移虛位移= (外力外力虛位移

14、虛位移)+(分割面內(nèi)力分割面內(nèi)力虛位移虛位移)= (外力外力虛位移虛位移)= We等于零等于零外力總虛功外力總虛功第一種算法第一種算法4.2 變形體虛功原理變形體虛功原理 變形位移變形位移剛體位移剛體位移分割面內(nèi)力外力證明：計(jì)算各分割體上所有力所做虛功之和證明：計(jì)算各分割體上所有力所做虛功之和W：W=（力（力虛位移）虛位移）= (外力外力+分割面內(nèi)力分割面內(nèi)力)虛位移虛位移= 力力 (剛體虛位移剛體虛位移+變形虛位移變形虛位移)兩種算法兩種算法第一種第一種第二種第二種4.2 變形體虛功原理變形體虛功原理 變形位移變形位移剛體位移剛體位移分割面內(nèi)力外力證明：計(jì)算各分割體上所有力所做虛功之和證明：

15、計(jì)算各分割體上所有力所做虛功之和W：W=（力（力虛位移）虛位移）= 力力 (剛體虛位移剛體虛位移+變形虛位移變形虛位移) = (力力 剛體虛位移剛體虛位移)+ (力力變形虛位移變形虛位移)等于零等于零第二種算法第二種算法4.2 變形體虛功原理變形體虛功原理 變形位移變形位移剛體位移剛體位移分割面內(nèi)力外力 (力 剛體虛位移)=0，為什么？u 各分割體上的力系是平衡的各分割體上的力系是平衡的u 剛體虛位移原理：力系平衡剛體虛位移原理：力系平衡剛體虛功剛體虛功=0第二種算法第二種算法4.2 變形體虛功原理變形體虛功原理 變形位移變形位移剛體位移剛體位移分割面內(nèi)力外力證明：計(jì)算各分割體上所有力所做虛功

16、之和證明：計(jì)算各分割體上所有力所做虛功之和W：W=（力（力虛位移）虛位移）= 力力 (剛體虛位移剛體虛位移+變形虛位移變形虛位移) = (力力 剛體虛位移剛體虛位移)+ (力力變形虛位移變形虛位移)= (力力變形虛位移變形虛位移)= Wi等于零等于零總虛變形功總虛變形功第二種算法第二種算法4.2 變形體虛功原理變形體虛功原理 We = W =Wi 說(shuō)明說(shuō)明u 虛功原理涉及的兩個(gè)狀態(tài)：虛力狀態(tài)需要滿足虛功原理涉及的兩個(gè)狀態(tài)：虛力狀態(tài)需要滿足平平衡方程衡方程，虛位移滿足，虛位移滿足協(xié)調(diào)條件協(xié)調(diào)條件u 原理的證明過(guò)程沒(méi)有涉及材料、形狀等其他信息，原理的證明過(guò)程沒(méi)有涉及材料、形狀等其他信息，因此適用于

17、因此適用于任何結(jié)構(gòu)任何結(jié)構(gòu)u Wi= (力力變形虛變形虛) = (外力外力變形虛變形虛+內(nèi)力內(nèi)力變變形虛形虛) 當(dāng)隔離體是當(dāng)隔離體是微元體微元體時(shí)，外力時(shí)，外力變形虛位變形虛位移是移是高階小量高階小量，此時(shí)，此時(shí)Wi =(內(nèi)力內(nèi)力變形虛位移變形虛位移)。一些書籍將一些書籍將Wi稱為內(nèi)力功，容易引起誤解稱為內(nèi)力功，容易引起誤解外力總虛功外力總虛功總虛變形功總虛變形功4.2 變形體虛功原理變形體虛功原理 qpFPxWe = W =WiWe 的計(jì)算的計(jì)算:當(dāng)無(wú)集中荷載時(shí)：當(dāng)無(wú)集中荷載時(shí)： 4.2 變形體虛功原理變形體虛功原理 q(s)ijp(s)m(s)*jM*QjF取任一單元取任一單元*NjF*Q

18、iF*iM*NiFu(s)v(s)(s)We =pu+qv+mdsjii,jsmvqupWdeqpFPxWe = W =WiWe 的計(jì)算的計(jì)算:當(dāng)無(wú)集中荷載時(shí)當(dāng)無(wú)集中荷載時(shí), We =pu+qv+mds 當(dāng)有集中荷載時(shí)當(dāng)有集中荷載時(shí)We =pu+qv+mds + FPxu+FPyv+M i集中荷載集中荷載集中荷載處對(duì)應(yīng)位移集中荷載處對(duì)應(yīng)位移 4.2 變形體虛功原理變形體虛功原理 qpWe = W =WiWi 的計(jì)算的計(jì)算:微段拉伸微段拉伸微段剪切微段剪切微段彎曲微段彎曲取微段取微段,其受力如下其受力如下變形可看成有如下幾部分變形可看成有如下幾部分微段受力微段受力微段扭轉(zhuǎn)微段扭轉(zhuǎn)4.2 變形體虛

19、功原理變形體虛功原理 qpWe = W =WiWi 的計(jì)算的計(jì)算:以水平方向外力以水平方向外力功為例加以說(shuō)明功為例加以說(shuō)明微段受力微段受力微段拉伸微段拉伸dWi=-FN*0+(FN+dFN)(ds) +pds(0.5 ds) =0.5p ds2+ dFNds +FN ds = FN ds4.2 變形體虛功原理變形體虛功原理 qpWe = W =WiWi 的計(jì)算的計(jì)算:Wi =FN+FQ+Mx+Mds 對(duì)于直桿體系，由于變形互不耦聯(lián)，所以對(duì)于直桿體系，由于變形互不耦聯(lián)，所以We =pu+qv+mds + FPxu+FPyv+M i適用范圍：適用范圍：1、嚴(yán)格的說(shuō)僅適用于直桿系、嚴(yán)格的說(shuō)僅適用于直

20、桿系2、線性和非線性都適用、線性和非線性都適用3、小曲率曲桿近似適用、小曲率曲桿近似適用4.2 變形體虛功原理變形體虛功原理 We = W =Wi 1）單位位移法單位位移法：虛功原理用于：虛功原理用于虛設(shè)的虛設(shè)的協(xié)協(xié)調(diào)位移狀態(tài)調(diào)位移狀態(tài)與與實(shí)際的實(shí)際的平衡力狀態(tài)平衡力狀態(tài)之間。之間。例例. 求求 A 端的支座反力端的支座反力(Reaction at Support)。FPABaC(a)b解：去掉解：去掉A端約束并代以反力端約束并代以反力 X，則即為，則即為體系實(shí)際的虛力狀態(tài)如圖體系實(shí)際的虛力狀態(tài)如圖(b)待分析平衡的力狀態(tài)待分析平衡的力狀態(tài)X(b)FP4.2 變形體虛功原理變形體虛功原理 0P

21、CXFX 0XPXbXFaPabX待分析平衡的力狀態(tài)待分析平衡的力狀態(tài)X(b)FP由外力虛功總和為零，即：由外力虛功總和為零，即：X C (c)直線直線虛設(shè)協(xié)調(diào)的位移狀態(tài)虛設(shè)協(xié)調(diào)的位移狀態(tài)構(gòu)造相應(yīng)的虛位移狀態(tài)構(gòu)造相應(yīng)的虛位移狀態(tài).(1)對(duì)靜定結(jié)構(gòu)，這里實(shí)際用的是剛體虛位移原理，實(shí)質(zhì)上是對(duì)靜定結(jié)構(gòu)，這里實(shí)際用的是剛體虛位移原理，實(shí)質(zhì)上是實(shí)際受力狀態(tài)的平衡方程實(shí)際受力狀態(tài)的平衡方程(2)虛位移與實(shí)際力狀態(tài)無(wú)關(guān)虛位移與實(shí)際力狀態(tài)無(wú)關(guān),故可設(shè)故可設(shè)(3)求解時(shí)關(guān)鍵一步是找出虛位移狀態(tài)的位移關(guān)系。求解時(shí)關(guān)鍵一步是找出虛位移狀態(tài)的位移關(guān)系。(4)用幾何法來(lái)解靜力平衡問(wèn)題用幾何法來(lái)解靜力平衡問(wèn)題0 BM1

22、xcXba We = W =Wi例例. 求求 A 端支座發(fā)生豎向位移端支座發(fā)生豎向位移 c 時(shí)引起時(shí)引起C點(diǎn)的豎向點(diǎn)的豎向位移位移 .(a)ABaCbAC c 2）單位荷載法單位荷載法：虛功原理用于：虛功原理用于虛設(shè)的虛設(shè)的平平衡力狀態(tài)衡力狀態(tài)與與實(shí)際的實(shí)際的協(xié)調(diào)位移狀態(tài)協(xié)調(diào)位移狀態(tài)之間。之間。解：首先構(gòu)造出相應(yīng)的虛設(shè)力狀態(tài)。解：首先構(gòu)造出相應(yīng)的虛設(shè)力狀態(tài)。1ABC(b)AF4.2 變形體虛功原理變形體虛功原理 在擬求位移之點(diǎn)（在擬求位移之點(diǎn)（C點(diǎn)）沿?cái)M求位移方向點(diǎn)）沿?cái)M求位移方向（豎向）設(shè)置（豎向）設(shè)置單位荷載單位荷載。由由 求得：求得： 0BMabFA虛功方程為：虛功方程為：01cFA c

23、ab 這便是這便是單位荷載法單位荷載法 (Dummy-Unit Load Method)它是它是 Maxwell, 1864和和Mohr, 1874提出，故提出，故也稱為也稱為Maxwell-Mohr Method(a)ABaCbAC c1ABC(b)AF(1)所建立的所建立的虛功方程虛功方程,實(shí)質(zhì)上是實(shí)質(zhì)上是幾何方程幾何方程。(2)虛設(shè)的力狀態(tài)與實(shí)虛設(shè)的力狀態(tài)與實(shí)際位移狀態(tài)無(wú)關(guān)，故際位移狀態(tài)無(wú)關(guān)，故可設(shè)單位廣義力可設(shè)單位廣義力 P=1(3)求解時(shí)關(guān)鍵一步是求解時(shí)關(guān)鍵一步是找出虛力狀態(tài)的靜力找出虛力狀態(tài)的靜力平衡關(guān)系。平衡關(guān)系。(4)是用靜力平衡法來(lái)是用靜力平衡法來(lái)解幾何問(wèn)題。解幾何問(wèn)題。單位

24、位移法單位位移法的虛功方程的虛功方程 平衡方程平衡方程單位荷載法單位荷載法的虛功方程的虛功方程 幾何方程幾何方程 第一種應(yīng)用一些文獻(xiàn)稱為第一種應(yīng)用一些文獻(xiàn)稱為“虛位移原理虛位移原理”，而將第二種應(yīng)用稱為而將第二種應(yīng)用稱為“虛力原理虛力原理”。更確切的。更確切的說(shuō)法為，說(shuō)法為，兩種應(yīng)用的依據(jù)是上述兩原理的必要兩種應(yīng)用的依據(jù)是上述兩原理的必要性命題性命題。上述兩原理都是充分、必要性命題，。上述兩原理都是充分、必要性命題，它們和虛功原理是有區(qū)別的它們和虛功原理是有區(qū)別的。 虛位移原理虛位移原理:一個(gè)力系平衡的充分必要條件是一個(gè)力系平衡的充分必要條件是:對(duì)對(duì) 任意協(xié)調(diào)位移任意協(xié)調(diào)位移,虛功方程成立虛功

25、方程成立. 虛力原理虛力原理:一個(gè)位移是協(xié)調(diào)的充分必要條件是一個(gè)位移是協(xié)調(diào)的充分必要條件是:對(duì)對(duì) 任意平衡力系任意平衡力系,虛功方程成立虛功方程成立”。利用虛功原理計(jì)利用虛功原理計(jì)算結(jié)構(gòu)位移算結(jié)構(gòu)位移實(shí)際位移狀態(tài)實(shí)際位移狀態(tài)FP?BxABC虛設(shè)的力狀態(tài)虛設(shè)的力狀態(tài)ABC1單位荷載法單位荷載法：虛功原理用：虛功原理用于于實(shí)際的實(shí)際的協(xié)調(diào)位移狀態(tài)協(xié)調(diào)位移狀態(tài)與與虛設(shè)的虛設(shè)的平衡力狀態(tài)平衡力狀態(tài)之間。之間。 利用虛功原理計(jì)利用虛功原理計(jì)算結(jié)構(gòu)位移算結(jié)構(gòu)位移虛設(shè)的力狀態(tài)虛設(shè)的力狀態(tài)1ABCWe = W =Wi對(duì)于直桿體系：對(duì)于直桿體系：We = =Ni+Qi+Mi ds =Wi實(shí)際位移狀態(tài)實(shí)際位移狀態(tài)

26、FP?ABC =Ni +Qi+Mi ds一般公式的普遍性表現(xiàn)在：一般公式的普遍性表現(xiàn)在：1. 結(jié)構(gòu)類型：梁、剛架、桁架、拱、組合結(jié)構(gòu)；結(jié)構(gòu)類型：梁、剛架、桁架、拱、組合結(jié)構(gòu)； 靜定和超靜定結(jié)構(gòu)；靜定和超靜定結(jié)構(gòu)；2. 材料性質(zhì)：線性、非線性；材料性質(zhì)：線性、非線性；3. 變形類型：彎曲變形、拉變形類型：彎曲變形、拉(壓壓)變形、剪切變形變形、剪切變形4. 位移種類：位移種類：廣義位移廣義位移5. 位移原因：荷載、位移原因：荷載、溫度改變、支座移動(dòng)溫度改變、支座移動(dòng)等；等； 4. 位移種類：位移種類：廣義位移廣義位移xyAAFP線位移，角位移，相對(duì)線位移、角位移等統(tǒng)稱線位移，角位移，相對(duì)線位移、

27、角位移等統(tǒng)稱廣義位移廣義位移線位移線位移 角位移角位移 DC 相對(duì)線位移相對(duì)線位移 CDDCFP 相對(duì)角位移相對(duì)角位移 4. 位移種類：位移種類：廣義位移廣義位移例例:巧妙：所加單位廣義力與所求廣義位移巧妙：所加單位廣義力與所求廣義位移相對(duì)應(yīng)，相對(duì)應(yīng)，該單位該單位廣義力在所求廣義位移上所做廣義力在所求廣義位移上所做虛功等于所求廣義位移值虛功等于所求廣義位移值2)求求A截面轉(zhuǎn)角截面轉(zhuǎn)角3)求求AB兩點(diǎn)相對(duì)水平位移兩點(diǎn)相對(duì)水平位移4)求求AB兩截面相對(duì)轉(zhuǎn)角兩截面相對(duì)轉(zhuǎn)角1P1P1P1)求求A點(diǎn)水平位移點(diǎn)水平位移AWeeWBAWeeW ABBAFP 1PBA?AB(b)A?A(a)P=1P=1P=1

28、試確定指定廣義位移對(duì)應(yīng)的單位廣義力。試確定指定廣義位移對(duì)應(yīng)的單位廣義力。ABCd?BC(c)dP1dP1ABC2d1d(d)?ACAB11d11d21d21d試確定指定廣義位移對(duì)應(yīng)的單位廣義力。試確定指定廣義位移對(duì)應(yīng)的單位廣義力。BCCBCBdPW)(1)(eAB?AB(e)P=1P=1C(f)C左右=？P=1P=1試確定指定廣義位移對(duì)應(yīng)的單位廣義力。試確定指定廣義位移對(duì)應(yīng)的單位廣義力。P=1?A(g)A?AB(h)ABP=1P=1試確定指定廣義位移對(duì)應(yīng)的單位廣義力。試確定指定廣義位移對(duì)應(yīng)的單位廣義力。 =Ni+Qi+Mi ds一般公式的普遍性表現(xiàn)在：一般公式的普遍性表現(xiàn)在：1. 結(jié)構(gòu)類型：梁

29、、剛架、桁架、拱、組合結(jié)構(gòu)；結(jié)構(gòu)類型：梁、剛架、桁架、拱、組合結(jié)構(gòu)； 靜定和超靜定結(jié)構(gòu)；靜定和超靜定結(jié)構(gòu)；2. 材料性質(zhì)：線性、非線性；材料性質(zhì)：線性、非線性；3. 變形類型：彎曲變形、拉變形類型：彎曲變形、拉(壓壓)變形、剪切變形變形、剪切變形4. 位移種類：位移種類：廣義位移廣義位移5. 位移原因：荷載、位移原因：荷載、溫度改變、支座移動(dòng)溫度改變、支座移動(dòng)等；等； =Ni +Qi+Mi ds5. 位移原因：荷載、位移原因：荷載、溫度改變、支座移動(dòng)溫度改變、支座移動(dòng)等；等；FP?ABCWe = kt =Nit +Qit+Mit ds =Wi荷載荷載+溫度改變溫度改變? =Ni +Qi+Mi

30、ds5. 位移原因：荷載、溫度改變、位移原因：荷載、溫度改變、支座移動(dòng)支座移動(dòng)等；等；We = kC+R1 C1 +R2 C2+R3 C3 =0 =Wi1c2c3cKKKC1K1R2R3RiikcCR荷載荷載+溫度改變溫度改變 +支座移動(dòng)？支座移動(dòng)？ =NiP +QiP+MiP ds僅僅荷載作用下：荷載作用下：對(duì)于由對(duì)于由線彈性線彈性直桿直桿組成的結(jié)構(gòu)，有：組成的結(jié)構(gòu)，有：EANPPGAQk PPEIMPP式中：式中：E 彈性模量；彈性模量； G 剪切模量；剪切模量；A 橫截面積；橫截面積； I 截面慣性矩；截面慣性矩；k 截面形狀系數(shù)。如：對(duì)矩形截截面形狀系數(shù)。如：對(duì)矩形截面面k=6/5;圓

31、形截面圓形截面k=10/9。 =NiP +QiP+MiP ds僅僅荷載作用下：荷載作用下：對(duì)于由對(duì)于由線彈性線彈性直桿直桿組成的結(jié)構(gòu)，有：組成的結(jié)構(gòu)，有：dsEIMMGAQkQEANNiPiPiP 軸向軸向 剪切剪切 彎曲彎曲 dsEIMMGAQkQEANNiPPPipii 例例1 ：已知圖示梁的：已知圖示梁的E 、G,求求A點(diǎn)的豎向位移。點(diǎn)的豎向位移。lhbqA解：構(gòu)造虛設(shè)單位力狀態(tài)解：構(gòu)造虛設(shè)單位力狀態(tài).1PxqPQPM1 PiQiMxl 列出兩種狀態(tài)各桿的內(nèi)力方程列出兩種狀態(tài)各桿的內(nèi)力方程0)(, 0)(xNxNPi)()(, 1)(xlqxQxQPi2/)()(,)(2xlqxMlxx

32、MPidsEIMMGAQkQEANNiPPPAyii dxEIxlqGAkxlql2)()(03)(8242EIqlGAqkl )(8242EIqlGAqklAy討論：討論：2MQ4GAlEIkEIqlM84 2GAqkl2Q56,12,3kbhIbhA設(shè)桿件設(shè)桿件截面截面為為 b h 的矩形截面桿，有：的矩形截面桿，有：?jiǎn)栴}：?jiǎn)栴}： 的取值范圍是什么？的取值范圍是什么？GE)1(2 EG5.00 32GE2MQ52lhGE )(8242EIqlGAqklAy討論：討論：1001MQ2MQ52lhGE 對(duì)于細(xì)長(zhǎng)桿對(duì)于細(xì)長(zhǎng)桿,剪切變形對(duì)位移的貢獻(xiàn)剪切變形對(duì)位移的貢獻(xiàn)與彎曲變形相比可略去不計(jì)與彎曲

33、變形相比可略去不計(jì).?。喝。?， ，101lh5 .2GE dsEIMMGAQkQEANNiPPPipii 例例 2：求剛架：求剛架A點(diǎn)的豎向位移。點(diǎn)的豎向位移。（實(shí)際位移狀態(tài)）（實(shí)際位移狀態(tài)）解：構(gòu)造虛設(shè)狀態(tài)解：構(gòu)造虛設(shè)狀態(tài)（虛擬力狀態(tài)）（虛擬力狀態(tài)）分別列出實(shí)際狀態(tài)和虛擬狀態(tài)分別列出實(shí)際狀態(tài)和虛擬狀態(tài)中各桿的內(nèi)力方程（或畫出內(nèi)中各桿的內(nèi)力方程（或畫出內(nèi)力圖），如：力圖），如： dsEIMMGAQkQEANNiPPPipii 例例 2：求剛架：求剛架A點(diǎn)的豎向位移。點(diǎn)的豎向位移。（實(shí)際位移狀態(tài)）（實(shí)際位移狀態(tài)）解：構(gòu)造虛設(shè)狀態(tài)解：構(gòu)造虛設(shè)狀態(tài)分別列出實(shí)際狀態(tài)和虛擬狀態(tài)分別列出實(shí)際狀態(tài)和虛擬狀

34、態(tài)中各桿的內(nèi)力方程（或畫出內(nèi)中各桿的內(nèi)力方程（或畫出內(nèi)力圖），如：力圖），如：qxxPFQqlqlPFNx221qxPM221ql dsEIMMGAQkQEANNiPPPipii 例例 2：求剛架：求剛架A點(diǎn)的豎向位移。點(diǎn)的豎向位移。解：構(gòu)造虛設(shè)狀態(tài)解：構(gòu)造虛設(shè)狀態(tài)分別列出實(shí)際狀態(tài)和虛擬狀態(tài)分別列出實(shí)際狀態(tài)和虛擬狀態(tài)中各桿的內(nèi)力方程（或畫出內(nèi)中各桿的內(nèi)力方程（或畫出內(nèi)力圖），如：力圖），如：（虛擬力狀態(tài)）（虛擬力狀態(tài)）xxlMx1PFQ1PFN dsEIMMGAQkQEANNiPPPipii 例例 2：求剛架：求剛架A點(diǎn)的豎向位移。點(diǎn)的豎向位移。xxlMx1PFQ1PFN荷荷載載內(nèi)內(nèi)力力圖圖q

35、xxPFQqlqlPFNx221qxPM221ql單單位位內(nèi)內(nèi)力力圖圖 dsEIMMGAQkQEANNiPPPipii GAsFFkEAsFFEIsMMPPPAydddQQNN )54581(85224GAlkEIAlIEIql 將內(nèi)力方程代入公式將內(nèi)力方程代入公式討論：討論：2254)(,58)(,1)(GAlkEIAlIQAyNAyMAy 軸向軸向剪切剪切彎曲彎曲 引入符號(hào)引入符號(hào) 56,12,3kbhIbhA22)(252)(,)(152)(lhGElhQAyNAy 設(shè)桿件設(shè)桿件截面截面為為 b h 的矩形截面桿，有：的矩形截面桿，有：)54581 (85224GAlkEIAlIEIql

36、Ay?。喝。?， ，有：，有：101lh5 .2GE5001)(,7501)(QAyNAy )54581 (85224GAlkEIAlIEIqlAy%13. 0)()(,%2 . 0)()(MAyNAyMAyQAy 因此因此,對(duì)受彎細(xì)長(zhǎng)桿件對(duì)受彎細(xì)長(zhǎng)桿件,通常略去通常略去FN, FQ的影響的影響。)500175011(854EIqlAy 即：即： GAsFFkEAsFFEIsMMPPPPdddQQNN 一般來(lái)說(shuō)，剪切變形影響很小，通常忽略不計(jì)。一般來(lái)說(shuō)，剪切變形影響很小，通常忽略不計(jì)。 1. 對(duì)梁和剛架：對(duì)梁和剛架：EIsMMPPd 2. 對(duì)桁架：對(duì)桁架： EAlFFEAsFFPPPNNNNd

37、 3. 對(duì)組合結(jié)構(gòu)：對(duì)組合結(jié)構(gòu)： EAlFFEIsMMPPPNNd 解：解：例例3:求圖示桁架求圖示桁架(各桿各桿EA相同相同)k點(diǎn)水平位移點(diǎn)水平位移.Paak100PPP2NP11122NiEAlNNiPkx)()21 (2222) 1)() 1)(1EAPaaPaPaPEA 練習(xí)練習(xí):求圖示桁架求圖示桁架(各桿各桿EA相同相同)k點(diǎn)豎向位移點(diǎn)豎向位移.aaPk1110200P2PNPNiEAlNNiPkx)()221 (2)2)(2(11EAPaaPaPEA 作業(yè)作業(yè):4-34-4一、概述一、概述 EIsMMPiPd剛架與梁的位移計(jì)算公式為：剛架與梁的位移計(jì)算公式為：4.4 圖乘法圖乘法

38、在桿件數(shù)量多的在桿件數(shù)量多的情況下，不方便情況下，不方便. ?CyBAkN/m2m4kN6m2m3CEIxdxfxgiP)()(特點(diǎn)：?jiǎn)挝涣?nèi)力特點(diǎn)：?jiǎn)挝涣?nèi)力圖為直線段或若干圖為直線段或若干直線組成的折線段直線組成的折線段 EIxxkxfd)( dxxxfEIk)( EIsMMPiPd dxxxfEIk)(cxEIkEIyc圖乘法求位移公式為圖乘法求位移公式為: EIycip 圖乘法是圖乘法是Vereshagin于于1925年提出的，他當(dāng)時(shí)年提出的，他當(dāng)時(shí)為莫斯科鐵路運(yùn)輸學(xué)院為莫斯科鐵路運(yùn)輸學(xué)院的的學(xué)生學(xué)生。4.4 圖乘法圖乘法 EIycip 1. 圖乘法的應(yīng)用條件：圖乘法的應(yīng)用條件：（1）

39、等截面直桿，）等截面直桿，EI為常數(shù)；為常數(shù)；（2）兩個(gè)）兩個(gè)M圖中應(yīng)有一個(gè)是直線；圖中應(yīng)有一個(gè)是直線；（3） 應(yīng)取自直線圖中。應(yīng)取自直線圖中。cy3. 若若 與與 在桿件的同側(cè)，在桿件的同側(cè)， 取正值；取正值；反之，取負(fù)值。反之，取負(fù)值。cycy應(yīng)用注意事項(xiàng)應(yīng)用注意事項(xiàng)2. 當(dāng)兩個(gè)圖形均為直線圖形時(shí)當(dāng)兩個(gè)圖形均為直線圖形時(shí),取那個(gè)圖形取那個(gè)圖形的面積均可的面積均可4.4 圖乘法圖乘法 例例1. 試求圖示梁試求圖示梁B端轉(zhuǎn)角端轉(zhuǎn)角.EIycBAB1MMPMi)(1612142112PPEIlFlFlEI EIycip 4.4 圖乘法圖乘法 ABPF2/ l2/ lEIB4/PlF1解：作荷載彎

40、矩圖和單位解：作荷載彎矩圖和單位荷載彎矩圖荷載彎矩圖例例2. 試求圖示結(jié)構(gòu)試求圖示結(jié)構(gòu)B點(diǎn)豎向位移點(diǎn)豎向位移.EIycByMPMi)(34)3221(13PPPEIlFlllFlllFEI1 EIycip 4.4 圖乘法圖乘法 lPFEIBEIllFPl解：作荷載彎矩圖和單位荷載解：作荷載彎矩圖和單位荷載彎矩圖彎矩圖幾種常見(jiàn)圖形的面積和形心位置的確定方法幾種常見(jiàn)圖形的面積和形心位置的確定方法二次拋物線二次拋物線4.4 圖乘法圖乘法 M圖圖21EIqlqllEIB3224121)8132(1（ ）PM圖圖281qlBAq1例例3:求圖示梁求圖示梁(EI=常數(shù)常數(shù),跨長(zhǎng)為跨長(zhǎng)為l)B截面轉(zhuǎn)角截面轉(zhuǎn)

41、角B EIycip 4.4 圖乘法圖乘法 解：作荷載彎矩圖和解：作荷載彎矩圖和單位荷載彎矩圖單位荷載彎矩圖 EIycip 例例 4. 已知已知 EI 為常數(shù)，求剛架為常數(shù)，求剛架C、D兩點(diǎn)兩點(diǎn)距離的改變距離的改變 。CD 4.4 圖乘法圖乘法 EIycip 解：作荷載彎矩圖和單位荷載彎矩圖解：作荷載彎矩圖和單位荷載彎矩圖)(12832132EIqhlhlqlEIEIycCD hyc24.4 圖乘法圖乘法 EIycip 2l2l例例 5. 設(shè)設(shè) EI 為常數(shù)，求為常數(shù)，求 Cy 4.4 圖乘法圖乘法 EIycip 解：作荷載彎矩圖和單位荷載彎矩圖解：作荷載彎矩圖和單位荷載彎矩圖BAq281qlP

42、M圖圖CABFP=1M圖圖4l4212155() () 2()32884384CyllqlqlEIEI對(duì)嗎？對(duì)嗎？4.4 圖乘法圖乘法 EIycip B求求1ABmkN 20mkN 40m10EI4020MPMi3/23/1)(3500)3120102132401021(1EIEIB4020例例 6.4.4 圖乘法圖乘法 ABmkN 20ABmkN 40 EIycip B求求1ABmkN 20mkN 40m10EI4020MPMi3/22/1)(3500)21201032201021(1EIEIB)(3500)322020(110211EIEIB 當(dāng)兩個(gè)圖形均當(dāng)兩個(gè)圖形均為直線圖形時(shí)為直線圖形

43、時(shí),取那取那個(gè)圖形的面積均可個(gè)圖形的面積均可.例例 6.4.4 圖乘法圖乘法 EIycip 1MPMi)(24)1322EIqlqllqllEIBAB4/2qllEIq42ql8/2qlq8/2qlB求求例例 7.4.4 圖乘法圖乘法 EIycip 例例 8. 圖示梁圖示梁EI 為常數(shù)，求為常數(shù)，求C點(diǎn)豎向位移。點(diǎn)豎向位移。iM2/ lAl/2qBCl/2MP2/2ql1C)(1285)48224328331(1322EIqllqllllqlEIEIycC8/2ql)(241221231132EIqllqllEIEIycc不是簡(jiǎn)單圖形，分解不是簡(jiǎn)單圖形，分解?分解分解

44、14.4 圖乘法圖乘法 EIycip iM2/ lAl/2qBCl/2MP2/2ql1C)(38417)2218223242212438231(14222EIqllqlllqlllqllEIEIycc8/2qlq8/2ql2/qlq8/2ql4/2ql2/ql8/2ql8/2ql分解分解24.4 圖乘法圖乘法 EIycip 32/2qliM2/ lAl/2qBCl/2MP2/2ql1C)(38417)2318221232222122132232(14222EIqllqlllqlllqllEIEIycc8/2ql2/2ql8/2qlq8/2ql2/2ql分解分解34.4 圖乘法圖乘法 Cy例例9

45、 求求C截面豎向位移截面豎向位移MPMi)(404819)16332323421163218)4/(432163323234321163218)4/3(4332(142222EIqllqllllqllqllllqlEIcy16/3l8/2ql4/3l4/ lABEIqC1P32/32qlq32/32ql4/3lq32/32qlq32/32ql4/ lq32/32ql8/) 4/3 (2lq8/) 4/(2lq4.4 圖乘法圖乘法 如圖形較復(fù)雜，可分解為簡(jiǎn)單圖形如圖形較復(fù)雜，可分解為簡(jiǎn)單圖形. EIycip 12梯梯梯梯同同側(cè)側(cè)組組合合EIxdxfxgiP)()(EIxdxfxfxg)()()(

46、21EIyy2211)/32()/32(21dcydcy4.4 圖乘法圖乘法 如圖形較復(fù)雜，可分解為簡(jiǎn)單圖形如圖形較復(fù)雜，可分解為簡(jiǎn)單圖形. EIycip 梯梯梯梯異異側(cè)側(cè)組組合合1 1y2 2yABCDabcdKM圖圖M圖圖b、 c 取負(fù)值取負(fù)值EIxdxfxgiP)()(EIyy2211)/32()/32(21dcydcy是豎標(biāo)相加是豎標(biāo)相加,不是不是圖形的簡(jiǎn)單拼合圖形的簡(jiǎn)單拼合.4.4 圖乘法圖乘法 例例10 求求B點(diǎn)水平位移。點(diǎn)水平位移。解：解：作荷載彎矩圖和單位荷載彎矩圖作荷載彎矩圖和單位荷載彎矩圖MP)(85412322113EIPlllPlEIllPlEIEIycBPlABllE

47、I4PEIEI1注意注意:各桿剛度各桿剛度可能不同可能不同iMl EIycip 4.4 圖乘法圖乘法 如圖形較復(fù)雜，可分解為簡(jiǎn)單圖形如圖形較復(fù)雜，可分解為簡(jiǎn)單圖形. EIycip 階階梯梯形形截截面面桿桿EIxdxfxgiP)()(I1I2I3）（xEIxfxgiiid)()()yyy(333222111EIEIEI4.4 圖乘法圖乘法 AlPBlPl)(310)243221(13EIPllPlllPllEIEIycABY 圖示結(jié)構(gòu)圖示結(jié)構(gòu) EI 為常數(shù)，求為常數(shù)，求AB兩點(diǎn)兩點(diǎn)(1)相對(duì)豎向位相對(duì)豎向位移移,(2)相對(duì)水平位移相對(duì)水平位移,(3)相對(duì)轉(zhuǎn)角相對(duì)轉(zhuǎn)角 。iMMP練習(xí)練習(xí)11Pll

48、11lliM0EIycABX0EIycAB對(duì)稱彎矩圖對(duì)稱彎矩圖反對(duì)稱彎矩圖反對(duì)稱彎矩圖 對(duì)稱結(jié)構(gòu)的對(duì)稱彎矩圖與對(duì)稱結(jié)構(gòu)的對(duì)稱彎矩圖與其反對(duì)稱彎矩圖圖乘其反對(duì)稱彎矩圖圖乘,結(jié)果結(jié)果為零為零.1111iM EIycip 例例 11. 已知已知 EI 為常數(shù)，求鉸為常數(shù)，求鉸C兩側(cè)截面相對(duì)轉(zhuǎn)角兩側(cè)截面相對(duì)轉(zhuǎn)角 。CAlqBlClq4/ql4/qlMP110l /11iM)(2421832132EIqlqlEIEIycCD4/2ql4/2ql解：解：作荷載彎矩圖和單位荷載彎矩圖作荷載彎矩圖和單位荷載彎矩圖4.4 圖乘法圖乘法 EIycip 例例 12. 已知已知 EI 為常數(shù)，求為常數(shù)，求A點(diǎn)豎向位移

49、點(diǎn)豎向位移 。A)(4822)22182322324221232421(14222EIqlEIlqlllqlllqllEIEIycCD解：作荷載彎矩圖和單位荷載彎矩圖解：作荷載彎矩圖和單位荷載彎矩圖Aqlllq4/qlMP4/2ql2/11iM2/ l4.4 圖乘法圖乘法 例例13. 已知已知 EI 為常數(shù)，求剛架為常數(shù)，求剛架A點(diǎn)的豎向位點(diǎn)的豎向位移移 ，并繪出剛架的變形曲線。，并繪出剛架的變形曲線。Ay FP EIycip 4.4 圖乘法圖乘法 )(16423212213EIlFlFllEIlFllEIEIyPPPcAyM圖圖EI2EIPM圖圖FPl/2FPl/2FPl/2FPl/4FPF

50、Pl在在 圖求面積，在圖求面積，在 圖取豎標(biāo)，有：圖取豎標(biāo)，有：MPM解：作荷載彎矩圖和單位荷載彎矩圖解：作荷載彎矩圖和單位荷載彎矩圖 EIycip 4.4 圖乘法圖乘法 繪制變形圖時(shí)，應(yīng)根據(jù)彎矩圖判斷桿件的繪制變形圖時(shí)，應(yīng)根據(jù)彎矩圖判斷桿件的凹凸方向，注意反彎點(diǎn)的利用。如：凹凸方向，注意反彎點(diǎn)的利用。如：PM圖圖FPl/2FPl/2FPl/2FPl/4FPFPl/4FP4.4 圖乘法圖乘法 已知已知 EI 為常數(shù)，求為常數(shù)，求C、D兩點(diǎn)相對(duì)水平位移兩點(diǎn)相對(duì)水平位移 ,并畫出變形圖。并畫出變形圖。CD MPl11liM)(1211)832213221(14222EIqllqlllqlllqll

51、EIEIycCD解：作荷載彎矩圖和單位荷載彎矩圖解：作荷載彎矩圖和單位荷載彎矩圖AlqBlCDqlq2qlql練習(xí)練習(xí) 已知已知 EI 為常數(shù)，求為常數(shù)，求B截面轉(zhuǎn)角。截面轉(zhuǎn)角。MP解：作荷載彎矩圖和單位荷載彎矩圖解：作荷載彎矩圖和單位荷載彎矩圖ABkN/m2m4kN6m2m31124Mi)(38)21443213112421(1EIEIEIycB練習(xí)練習(xí)例例 14. 已知已知 CD、BD桿的桿的 和和AC桿的桿的 為常數(shù)，求為常數(shù)，求 。Dy 11AE22IEFPABCD11AE11AE22IEaaa2+11aFP+ FPP2FFP a解：作荷載和單位荷載的內(nèi)力圖解：作荷載和單位荷載的內(nèi)力圖

52、)(34)221()322(12)2)(2(1223P11P2P2P2211PP2211NNIEaFAEaFaaFaaFIEAEaFaFIEyAElFFcPDy FPABCD11AE11AE22IEaaa2+11aFP+ FPP2FFP a例例 15. 已知：已知： E、I、A為常數(shù)，求為常數(shù)，求 。Cy ABCFP2l2laD4.4 圖乘法圖乘法 解：作荷載內(nèi)力圖和單位荷載內(nèi)力圖解：作荷載內(nèi)力圖和單位荷載內(nèi)力圖4.4 圖乘法圖乘法 ABCFP2laD4PlFPM2PNFFP2lABC12laD4lM21NF2lEAaFEIlFaFEAllFlEIsEAFFsEIMMlaPPCy4482211

53、432)4221(2ddP3PPP00NN 若把二力桿換成彈簧若把二力桿換成彈簧,該如何計(jì)算該如何計(jì)算?4.4 圖乘法圖乘法 討論討論:如果如果B支座處為剛度支座處為剛度k的的彈簧，該如何計(jì)算？彈簧，該如何計(jì)算？4lMABCFP2lk2l顯然，按彈簧剛度定義，荷載下彈簧變形為顯然，按彈簧剛度定義，荷載下彈簧變形為kF2P 。因此，彈簧對(duì)位移的貢獻(xiàn)為。因此，彈簧對(duì)位移的貢獻(xiàn)為 。kFkFFB42PP 由此可得有彈簧支座的一般情況位移公式為由此可得有彈簧支座的一般情況位移公式為 kFFsEIMMkkPPd 4PlFPM2PPFFB 21 BFABC2lk2lFP=1若把彈簧看成一個(gè)彈性支座若把彈簧

54、看成一個(gè)彈性支座,該如何計(jì)算該如何計(jì)算?)(31123)32(21322113PPPPPEIlFlllFllllFlllFllFlEIEIycB解：作荷載彎矩圖和單位荷載彎矩圖解：作荷載彎矩圖和單位荷載彎矩圖求求B點(diǎn)豎向位移點(diǎn)豎向位移,EI=常數(shù)。常數(shù)。FPAlBllA1Bl 2MPl練習(xí)練習(xí)MPlFPlFP2解：解：作荷載內(nèi)力圖和單位荷載內(nèi)力圖作荷載內(nèi)力圖和單位荷載內(nèi)力圖)(434)2)(2(14322113EAPlEIPllPEAllPlEIEAlNNEIyPicB求求C、D兩點(diǎn)相對(duì)水平位移兩點(diǎn)相對(duì)水平位移 。CD 11iMll練習(xí)練習(xí)ABllEAEICDPFEIlPFMPlFPlFPP2

55、F2練習(xí)練習(xí)解：解：作荷載內(nèi)力圖和單位荷載內(nèi)力圖作荷載內(nèi)力圖和單位荷載內(nèi)力圖)(421212)2322212223122142(13kPEIPlkPlPlllPlllPlllPllEIEIycB求求A點(diǎn)豎向位移點(diǎn)豎向位移,EI=常數(shù)常數(shù) 。1/2iMMPPl2/Pl2/PllPlAk1k圖示一等截面圓弧曲桿圖示一等截面圓弧曲桿AB,截面為矩形，圓弧的圓心截面為矩形，圓弧的圓心角為角為 ,半徑為半徑為R。設(shè)均布豎向荷載。設(shè)均布豎向荷載 q 沿水平線作用，沿水平線作用，試求試求B點(diǎn)的豎向位移點(diǎn)的豎向位移 By虛擬狀態(tài)：虛擬狀態(tài)：在在B點(diǎn)加單位豎向荷點(diǎn)加單位豎向荷載載取O點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，任一點(diǎn)C極半徑

56、為R，圓心角計(jì)算實(shí)際狀態(tài)和單位荷載作用下的內(nèi)力 22P)sin(2121RqqxM2NPsinsinqRqxFcossincosQPqRqxFsinRxMsinNFcosQF荷載內(nèi)力式荷載內(nèi)力式單位荷載內(nèi)力式單位荷載內(nèi)力式22P)sin(2121RqqxM2NPsinsinqRqxFcossincosQPqRqxFsinRxMsinNFcosQF荷載內(nèi)力式荷載內(nèi)力式單位荷載內(nèi)力式單位荷載內(nèi)力式0PdsEIMMM034dsin2EIqR34cos31cos322EIqR0NNPNdsEAFF32cos31cos32EAqR0QQPQdsGAFFk32cos131GAkqRQNyMBddRs GA

57、qREAqREIqRMB3323224QNy討論討論：設(shè) )(10/1/90為截面高h(yuǎn)Rh6001612222NRhARIM400112222QGRkEhGARkEIM對(duì)于細(xì)長(zhǎng)受彎構(gòu)件對(duì)于細(xì)長(zhǎng)受彎構(gòu)件 梁梁/ /曲桿曲桿 ，彎曲變形對(duì)位移，彎曲變形對(duì)位移 的的影響是主要的。一般軸力和剪力所引起的位移可以影響是主要的。一般軸力和剪力所引起的位移可以忽略不計(jì)。忽略不計(jì)。 若 902 . 112/2/5/2khAIGE作業(yè)作業(yè):4-1 (a)4-24-6? Bx ABCFPt 實(shí)際位移狀態(tài)實(shí)際位移狀態(tài)ABC1虛設(shè)力狀態(tài)虛設(shè)力狀態(tài)FR3FR2FR1We =FRi ci+ FN 、 FQ、M、=Wi=

58、FN+FQ+Mds位移計(jì)算的一般公式：位移計(jì)算的一般公式：= -FRi ci+FN+FQ+MdsRiiF c 支座位移公式支座位移公式PNPQPPdFFMs 荷載位移公式荷載位移公式tNtQttdFFMs溫度位移公式溫度位移公式tNtQttdFFMs溫度位移公式溫度位移公式微段的溫度變形分析微段的溫度變形分析圖示結(jié)構(gòu)，設(shè)外側(cè)溫度升高圖示結(jié)構(gòu)，設(shè)外側(cè)溫度升高 ，內(nèi)側(cè)溫，內(nèi)側(cè)溫度升高度升高 ，求，求K點(diǎn)的豎向位移點(diǎn)的豎向位移 。tKy)( 2t1t線線膨膨脹脹系系數(shù)數(shù) tNtQttdFFMs溫度位移公式溫度位移公式微段的溫度變形分析微段的溫度變形分析微段軸向伸長(zhǎng)：微段軸向伸長(zhǎng)：hhstststut

59、1121)dd(ddstshhthtdd01221其中：其中：hththt12210若截面形心軸在截面中線：若截面形心軸在截面中線：2210ttttNtQttdFFMs溫度位移公式溫度位移公式微段的溫度變形分析微段的溫度變形分析微段截面兩端的相對(duì)轉(zhuǎn)角：微段截面兩端的相對(duì)轉(zhuǎn)角：hststtddd12hstshttdd12其中：其中：12ttt溫度變化時(shí)，桿件不引起溫度變化時(shí)，桿件不引起剪應(yīng)變剪應(yīng)變tNtQttdFFMs溫度位移公式溫度位移公式hststuttdddd0ttttMvFuFddd)(QNhstMstFdd0N等直桿情況下，等直桿情況下，h 為常量為常量若有若有 , t1, t2 沿桿

60、長(zhǎng)不變沿桿長(zhǎng)不變 sMhtsFtiitddN0MFithttN0溫度引起的位移計(jì)算公式溫度引起的位移計(jì)算公式: sMhtsFtitddN0上式中的正、負(fù)號(hào)：上式中的正、負(fù)號(hào)：t0 升高為正，降低為負(fù)升高為正，降低為負(fù) Ni 拉為正，壓為負(fù)拉為正，壓為負(fù) M 溫度變化產(chǎn)生的彎曲變形與溫度變化產(chǎn)生的彎曲變形與M產(chǎn)生的彎曲方向相產(chǎn)生的彎曲方向相同時(shí)為正，反之為負(fù)同時(shí)為正，反之為負(fù)例：例： 剛架施工時(shí)溫度為剛架施工時(shí)溫度為20 ，試求冬季外側(cè)溫度為，試求冬季外側(cè)溫度為 -10 ，內(nèi)側(cè)溫度為，內(nèi)側(cè)溫度為 0 時(shí)時(shí)A點(diǎn)的豎向位移點(diǎn)的豎向位移 。已知。已知 l=4 m, ,各桿均為矩形截面桿，高度各桿均為矩