第五 微積分基本公式PPT課件

1、 設(shè)設(shè)函函數(shù)數(shù))(xf在在區(qū)區(qū)間間,ba上上連連續(xù)續(xù)，并并且且設(shè)設(shè)x為為,ba上上的的一一點(diǎn)點(diǎn)， xadxxf)(考察定積分考察定積分 xadttf)( 如如果果上上限限x在在區(qū)區(qū)間間,ba上上任任意意變變動(dòng)動(dòng)，則則對(duì)對(duì)于于每每一一個(gè)個(gè)取取定定的的x值值，定定積積分分有有一一個(gè)個(gè)對(duì)對(duì)應(yīng)應(yīng)值值，所所以以它它在在,ba上上定定義義了了一一個(gè)個(gè)函函數(shù)數(shù)，.)()( xadttfx記記積分上限函數(shù)積分上限函數(shù) 二、積分上限函數(shù)及其導(dǎo)數(shù)第第2頁頁/共共27頁頁第1頁/共27頁abxyo定定理理 如如果果)(xf在在,ba上上連連續(xù)續(xù)，則則積積分分上上限限的的函函數(shù)數(shù)dttfxxa )()(在在,ba上上

2、具具有有導(dǎo)導(dǎo)數(shù)數(shù)，且且它它的的導(dǎo)導(dǎo)數(shù)數(shù)是是)()()(xfdttfdxdxxa )(bxa 積分上限函數(shù)的性質(zhì)積分上限函數(shù)的性質(zhì)xx 證證dttfxxxxa )()()()(xxx dttfdttfxaxxa )()()(x x第第3頁頁/共共27頁頁第2頁/共27頁 dttfdttfdttfxaxxxxa )()()(,)( xxxdttf由積分中值定理得由積分中值定理得xf )( ,xxx xx , 0),( fx )(limlim00 fxxx ).()(xfx abxyoxx )(xx第第4頁頁/共共27頁頁第3頁/共27頁一般情況一般情況 如如果果)(tf連連續(xù)續(xù)，)(xa、)(xb

3、可可導(dǎo)導(dǎo)， 則則dttfxFxbxa )()()()(的的導(dǎo)導(dǎo)數(shù)數(shù))(xF 為為 )()()()(xbxadttfdxdxF )()()()(xaxafxbxbf 注注此定理表明連續(xù)函數(shù)取變上限定積分再對(duì)此定理表明連續(xù)函數(shù)取變上限定積分再對(duì)上限自變量上限自變量 x 求導(dǎo)，其結(jié)果就等于被積求導(dǎo)，其結(jié)果就等于被積函數(shù)在上限自變量函數(shù)在上限自變量 x 處的函數(shù)值處的函數(shù)值若上限不是若上限不是 x 而是而是 x 的函數(shù)的函數(shù) a(x)，則求導(dǎo)時(shí)必須按復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則進(jìn)行則求導(dǎo)時(shí)必須按復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則進(jìn)行 )()()()(xaaxaxafdttfdxd第第5頁頁/共共27頁頁第4頁/共27頁 dtt

4、fxFxaxb)()(0)()(0 dttfxb )(0)(,)()(0dttfxa )()()()()(xaxafxbxbfxF 例例1 1 求求.lim21cos02xdtextx 00分析分析：這是這是 型不定式，應(yīng)用洛必達(dá)法則型不定式，應(yīng)用洛必達(dá)法則.解解 1cos2xtdtedxd,cos12 xtdtedxd)(cos2cos xex,sin2cos xex 證證第第6頁頁/共共27頁頁第5頁/共27頁21cos02limxdtextx xexxx2sinlim2cos0 .21e 例例 2 2 設(shè)設(shè))(xf在在),(內(nèi)連續(xù)，且內(nèi)連續(xù)，且0)( xf.證明函數(shù)證明函數(shù) xxdttf

5、dtttfxF00)()()(在在),0(內(nèi)為單調(diào)增內(nèi)為單調(diào)增加函數(shù)加函數(shù).證證 xdtttfdxd0)()(xxf xdttfdxd0)(),(xf 第第7頁頁/共共27頁頁第6頁/共27頁 ,)()()()()(200 xxdttfdttftxxfxF)0(, 0)( xxf, 0)(0 xdttf 2000)()()()()()( xxxdttfdtttfxfdttfxxfxF,0)()( tftx, 0)()(0 xdttftx).0(0)( xxF故故)(xF在在), 0( 內(nèi)內(nèi)為為單單調(diào)調(diào)增增加加函函數(shù)數(shù).第第8頁頁/共共27頁頁第7頁/共27頁例例 3 3 設(shè)設(shè))(xf在在1 ,

6、 0上連續(xù)，且上連續(xù)，且1)( xf.證明證明 1)(20 dttfxx在在1 , 0上只有一個(gè)解上只有一個(gè)解.證證令, 1)(2)(0 dttfxxFx, 1)( xf, 0)(2)( xfxF)(xF在在1 , 0上上為為單單調(diào)調(diào)增增加加函函數(shù)數(shù)., 01)0( F 10)(1)1(dttfF 10)(1dttf所以所以0)( xF即原方程在即原方程在1 , 0上只有一個(gè)解上只有一個(gè)解.0 第第9頁頁/共共27頁頁第8頁/共27頁 如果如果)(xf在在,ba上連續(xù)，則積分上限的函上連續(xù)，則積分上限的函數(shù)數(shù)dttfxxa )()(就是就是)(xf在在,ba上的一個(gè)上的一個(gè)原函數(shù)原函數(shù). .定

7、理的重要意義：定理的重要意義：（1）肯定了連續(xù)函數(shù)的原函數(shù)是存在的）肯定了連續(xù)函數(shù)的原函數(shù)是存在的.（2）初步揭示了積分學(xué)中的定積分與原函數(shù)之）初步揭示了積分學(xué)中的定積分與原函數(shù)之間的聯(lián)系間的聯(lián)系. 定理定理2 2（原函數(shù)存在定理）（原函數(shù)存在定理）第第10頁頁/共共27頁頁第9頁/共27頁 前述變速直線運(yùn)動(dòng)的路程問題表明：定積分的值等于被積函數(shù)的一個(gè)原函數(shù)在時(shí)間區(qū)間上的增量，這個(gè)事實(shí)啟發(fā)我們?nèi)タ疾煲话愕那闆r，得到肯定的回答。這就是微積分基本公式。定理定理 3 3（微積分基本公式）（微積分基本公式）如如果果)(xF是是連連續(xù)續(xù)函函數(shù)數(shù))(xf在在區(qū)區(qū)間間,ba上上的的一一個(gè)個(gè)原原函函數(shù)數(shù)，則則

8、)()()(aFbFdxxfba . . 三、Newton-Leibniz公式第第11頁頁/共共27頁頁第10頁/共27頁 已知已知)(xF是是)(xf的一個(gè)原函數(shù)，的一個(gè)原函數(shù)，又又 dttfxxa )()(也也是是)(xf的的一一個(gè)個(gè)原原函函數(shù)數(shù),CxxF )()(,bax 令令ax ,)()(CaaF 0)()( dttfaaa,)(CaF ,)()(CdttfxFxa ),()()(aFxFdttfxa 令令 bx).()()(aFbFdxxfba 牛頓萊布尼茨公式 證第第12頁頁/共共27頁頁第11頁/共27頁)()()(aFbFdxxfba baxF)( 注注微積分基本公式表明：

9、(1) 一一個(gè)個(gè)連連續(xù)續(xù)函函數(shù)數(shù)在在區(qū)區(qū)間間,ba上上的的定定積積分分等等于于它它在在該該區(qū)區(qū)間間上上的的任任意意一一個(gè)個(gè)原原函函數(shù)數(shù)在在區(qū)區(qū)間間,ba上上的的增增量量. （2） N-L公式揭示了積分學(xué)兩類基本問題不定積分與定積分兩者之間的內(nèi)在聯(lián)系（3）求定積分問題轉(zhuǎn)化為求原函數(shù)的問題）求定積分問題轉(zhuǎn)化為求原函數(shù)的問題. （4） 為定積分的計(jì)算提供了一個(gè)普遍、有效而又簡(jiǎn)便的方法，使得定積分的計(jì)算大為簡(jiǎn)化。注意注意當(dāng)當(dāng)ba 時(shí)，時(shí)，)()()(aFbFdxxfba 仍成立仍成立.第第13頁頁/共共27頁頁第12頁/共27頁.)1sincos2(20 dxxx解解 原式原式 20cossin2 x

10、xx .23 例例5 5 設(shè)設(shè) , 求求 . 215102)(xxxxf 20)(dxxf解解 102120)()()(dxxfdxxfdxxf在在2 , 1 上上規(guī)規(guī)定定當(dāng)當(dāng)1 x時(shí)時(shí)，5)( xf, 102152dxxdx原式原式xyo126 例例4 4 求求 第第14頁頁/共共27頁頁第13頁/共27頁例例6 6 求求 .,max222 dxxx解解由圖形可知由圖形可知xyo2xy xy 122 ,max)(2xxxf ,21100222 xxxxxx 21210022dxxxdxdxx原原式式.211 第第15頁頁/共共27頁頁第14頁/共27頁例例7 7 求求 .112dxx 解解當(dāng)

11、當(dāng)0 x時(shí)時(shí)，x1的的一一個(gè)個(gè)原原函函數(shù)數(shù)是是|ln x,dxx 121 12|ln x. 2ln2ln1ln 例例 8 8 計(jì)算曲線計(jì)算曲線xysin 在在, 0 上與上與x軸所圍軸所圍 成的平面圖形的面積成的平面圖形的面積. 解解 面積面積 0sin xdxA 0cos x. 2 xyo 第第16頁頁/共共27頁頁第15頁/共27頁1.積分上限函數(shù) xadttfx)()(2.積分上限函數(shù)的導(dǎo)數(shù))()(xfx 3.微積分基本公式微積分基本公式)()()(aFbFdxxfba 牛頓萊布尼茨公式溝通了微分學(xué)與積分學(xué)牛頓萊布尼茨公式溝通了微分學(xué)與積分學(xué)之間的關(guān)系稱之為微積分基本公式。之間的關(guān)系稱之

12、為微積分基本公式。注意注意 使用公式的條件使用公式的條件（1）被積函數(shù)）被積函數(shù) f(x) 連續(xù)連續(xù) （2）F（x）是）是 f(x) 在在 該區(qū)間上的任一原函數(shù)該區(qū)間上的任一原函數(shù)四、小結(jié)第第17頁頁/共共27頁頁第16頁/共27頁 設(shè)設(shè))(xf在在,ba上上連連續(xù)續(xù)，則則dttfxa )(與與duufbx )(是是x 的的函函數(shù)數(shù)還還是是 t與與 u 的的函函數(shù)數(shù)？它它們們的的導(dǎo)導(dǎo)數(shù)數(shù)存存在在嗎嗎？如如存存在在等等于于什什么么？ 思考題第第18頁頁/共共27頁頁第17頁/共27頁dttfxa )(與與duufbx )(都都是是x的的函函數(shù)數(shù))()(xfdttfdxdxa )()(xfduuf

13、dxdbx 思考題解答第第19頁頁/共共27頁頁第18頁/共27頁練練 習(xí)習(xí) 題題一一、 填填空空題題：1 1、 baxdxedxd22= =_ _ _ _ _ _ _ _ . .2 2、 xadxxfdxd)(_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ . .3 3、 223)1ln(xdtttdxd_ _ _ _ _ _ _ _ . .4 4、 20)(dxxf_ _ _ _ _，其其中中 21,210,)(2xxxxxf . .5 5、設(shè)、設(shè) ,coscos1nxdxmxI dxnxmx sinsin，第第20頁頁/共共27頁頁第19頁/共27頁（1 1） 、當(dāng)） 、當(dāng)nm 時(shí)，時(shí)， 1

14、I= =_ , ,2I= =_ _ ，（2 2） 、當(dāng)） 、當(dāng)nm 時(shí)，時(shí)，1I= =_ ,_ ,2I= =_ . . 6 6、設(shè)、設(shè),sincos nxdxmx（1 1） 、當(dāng)） 、當(dāng)nm 時(shí)，時(shí)，3I= =_ _ , ,（2 2） 、當(dāng)） 、當(dāng)nm 時(shí)，時(shí)，3I= =_ . . 7 7、 94)1(dxxx_ . . 8 8、 33121xdx_ . . 9 9、 xdttxx020coslim_ . .第第21頁頁/共共27頁頁第20頁/共27頁二、二、 求導(dǎo)數(shù)：求導(dǎo)數(shù)：1 1、 設(shè)函數(shù)設(shè)函數(shù))(xyy 由方程由方程0cos00 xyttdtdte所確所確定，求定，求dxdy ；2 2、

15、 設(shè)設(shè) 12122,ln,lnttuduuyuduux)1( t, ,求求22dxyd ；3 3、 xxdttdxdcossin2)cos( ；4 4、設(shè)、設(shè) 2031)(xxdxxg，求，求)1(g . . 第第22頁頁/共共27頁頁第21頁/共27頁三、三、 計(jì)算下列各定積分：計(jì)算下列各定積分：1 1、 2122)1(dxxx; 2; 2、 212121xdx; ;3 3、 012241133dxxxx; 4; 4、 20sindxx . .四、四、 求下列極限：求下列極限：1、 xtxtxdtedte022022)(lim; 2、2502021)cos1(limxdttxx .第第23頁

16、頁/共共27頁頁第22頁/共27頁五、五、 設(shè)設(shè))(xf為連續(xù)函數(shù)，證明為連續(xù)函數(shù)，證明: : xxtdtduufdttxtf000)()( . .六、六、 求函數(shù)求函數(shù) xdttttxf02113)(在區(qū)間在區(qū)間 1,0上的最上的最大值與最小值大值與最小值 . .七、七、 設(shè)設(shè) 時(shí)，時(shí)，或或，當(dāng)，當(dāng)時(shí)，時(shí)，當(dāng)當(dāng) xxxxxf000,sin21)( 求求 xdttfx0)()（ 在在),( 內(nèi)的表達(dá)式內(nèi)的表達(dá)式 . .第第24頁頁/共共27頁頁第23頁/共27頁八、八、 設(shè)設(shè) baxf,)(在在上連續(xù)且上連續(xù)且,0)( xf xaxbtfdtdttfxF)()()( , ,證明：證明： （1 1） 、） 、2)( xF ; ; （2 2） 、方程） 、方程0)( xF在在),(ba內(nèi)有且僅有一個(gè)根內(nèi)有且僅有一個(gè)根 . .第第25頁頁/共共27頁頁第24頁/共27頁練習(xí)題答案練習(xí)題答案一、一、1 1、0 0； 2 2、)()(afxf ； 3 3、)1ln(23 xx ； 4 4、65； 5 5、(1)(1) ,； (2)0,0 (2)0,0； 7 7