高考數(shù)學(xué)專題復(fù)習(xí)解析幾何

1、學(xué)習(xí)必備歡迎下載專題復(fù)習(xí)講座（四）- 解析幾何俗話說：“知己知彼，才能百戰(zhàn)百勝”，這一策略，同樣可以用于高考復(fù)習(xí)之中。我們不僅要不斷研究教學(xué)大綱、考試說明和教材，而且還必須研究歷年高考試題，從中尋找規(guī)律，這樣才有可能以不變應(yīng)萬變，才有可能在高考中取得優(yōu)異成績(jī)?？v觀近幾年的高考解析幾何試題，可以發(fā)現(xiàn)有這樣的規(guī)律：小題靈活，大題穩(wěn)定。一、解決解析幾何問題的幾條原則1重視“數(shù)形結(jié)合”的數(shù)學(xué)思想2注重平面幾何的知識(shí)的應(yīng)用3突出圓錐曲線定義的作用二、解析幾何中的一類重要問題直線有圓錐曲線的位置關(guān)系問題是解析幾何中的一類重要問題，它是我們解決解析幾何其他問題的基礎(chǔ)。 我們必須熟悉直線與三種圓錐曲線的位置關(guān)

2、系，熟練掌握直線和圓錐曲線相交所所產(chǎn)生的有關(guān)弦長(zhǎng)、弦的中點(diǎn)以及垂直等基本問題的基本解法。特別要重視判別式的作用，力爭(zhēng)準(zhǔn)確地解決問題。弦長(zhǎng)問題： |AB|= (1 k 2 )( x1x2 )24x1 x2 。弦的中點(diǎn)問題：中點(diǎn)坐標(biāo)公式 -注意應(yīng)用判別式。三、高考解析幾何解答題的類型與解決策略. 求曲線的方程1曲線的形狀已知這類問題一般可用待定系數(shù)法解決。例 1 ：已知直線 L 過原點(diǎn)，拋物線 C 的頂點(diǎn)在原點(diǎn)， 焦點(diǎn)在 x 軸正半軸上。 若點(diǎn) A（ -1，0）和點(diǎn) B（ 0， 8）關(guān)于 L 的對(duì)稱點(diǎn)都在 C 上，求直線 L 和拋物線 C 的方程。分析：曲線的形狀已知，可以用待定系數(shù)法。設(shè)出它們的

3、方程，L： y=kx(k 0),C:y 2=2px(p>0).設(shè) A 、B 關(guān)于 L 的對(duì)稱點(diǎn)分別為A /、 B /，則利用對(duì)稱性可求得它們的坐標(biāo)分別為：/k 212k），B/（ 16k8(k 21)/均在拋物線上，代入，消去p，A （2,k 2k 2,21）。因?yàn)?A、Bk111 k學(xué)習(xí)必備歡迎下載得： k2-k-1=0. 解得： k=15,p=2 5.2515x,拋物線245所以直線 L 的方程為： y=2C 的方程為 y =x.5例 2：在面積為 1 的 PMN 中， tanM=1M、N 為,tanN=-2, 建立適當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)系，求出以2焦點(diǎn)且過點(diǎn) P 的橢圓方程。分析：此題雖然與例

4、 1 一樣都是求形狀已知的y曲線方程問題， 但不同的是例1 是在給定的坐標(biāo)系P下求曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程，而此題需要自己建立坐標(biāo)系。為使方程簡(jiǎn)單， 應(yīng)以 MN 所在直線為 x 軸，以MODNxMN 的垂直平分線為y 軸。這樣就可設(shè)出橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，其中有兩個(gè)未知數(shù)。4 x2y215132曲線的形狀未知 - 求軌跡方程例 3:已知直角坐標(biāo)平面上點(diǎn)Q（ 2， 0）和圓 C：x2+y2=1,動(dòng)點(diǎn) M 到圓 C 的切線長(zhǎng)與 |MQ|的比等于常數(shù)M（ >0） ,求動(dòng)點(diǎn) M 的軌跡方程，并說明它是什么曲N線。分析：如圖，設(shè) MN 切圓 C 于點(diǎn) N，則動(dòng)點(diǎn) M 組OQ成的集合是：P=M|MN|=2222|M

5、Q| ，由平面幾何知識(shí)可知： |MN| =|MO|-|ON| =|MO| -1，將 M 點(diǎn)坐標(biāo)代入，可得： (2-1)(x 2+y 2)-42x+(1+42)=0.當(dāng) =1 時(shí)它表示一條直線；當(dāng) 1 時(shí)，它表示圓。這種方法叫做直接法。例 4 ：給出定點(diǎn) A （ a,0） (a>0)和直線 L ： x=-1 ，B 是直線 L 上的動(dòng)點(diǎn)， BOA 的角平分線交AB 于點(diǎn)BC，求點(diǎn)C 的軌跡方程，并討論方程表示的曲線類型C與 a 值的關(guān)系。OAx學(xué)習(xí)必備歡迎下載分析：設(shè) C（ x,y ） ,B(-1,b). 則直線 OB 的方程為： y=-bx. 由題意：點(diǎn)C 到 OA 、OB 的距離相等，且

6、點(diǎn)C 在線段 AB 上，所以| ybx | y |b21b( x a)222yy (1-a)x-2ax+(1+a)y=0x a0 x a若， y 0,則 (1-a)x 2 -2ax+(1+a)y 2 =0(0<x<a) ；若 y=0，則 b=0, AOB=180 o,點(diǎn) C 的坐標(biāo)為（ 0，0），也滿足上式。所以，點(diǎn)22x<a)。C 的軌跡方程為 (1-a)x -2ax+(1+a)y=0(0當(dāng) a=1 時(shí)，方程表示拋物線?。划?dāng)0<a<1 時(shí)，方程表示橢圓??；當(dāng)a>1 時(shí)，方程表示雙曲線一支的弧。一般地，如果選擇了m 個(gè)參數(shù)，則需要列出m+1 個(gè)方程。例 5：

7、已知橢圓 x2y 21和直線 L: xy1，P 是直線 L 上一點(diǎn)， 射線 OP 交橢2416128圓于點(diǎn) R，又點(diǎn) Q 在 OP 上，且滿足 |OQ| |OP|=|OR|2，當(dāng)點(diǎn) P 在 L 上移動(dòng)時(shí)，求點(diǎn)Q 的軌跡方程，并說明軌跡是什么曲線。分析：設(shè) Q(x,y),P(x P,yP),R(x R,yR), 則xPyP112824x24 yxP, yPyPy2x3 y2x3 yxPx，代入xR2yR2148x248y 2241622yRyxR2x 23y 2 , yR2x 23 y2xRxx 2y 2xP2yP2xR2yR2，得：2(x-1) 2+3(y-1) 2 =1.55注意：若將點(diǎn) P

8、、Q、R 分別投影到 x 軸上，則式子x 2y 22222xPyPxRyR可用 |x| |xP|=|xR2|代替，這樣就簡(jiǎn)單多了。. 研究圓錐曲線有關(guān)的問題1有關(guān)最值問題學(xué)習(xí)必備歡迎下載例 6 : 設(shè)橢圓中心為坐標(biāo)原點(diǎn)，長(zhǎng)軸在x 上，離心率e=3，已知點(diǎn) P（ 0， 3 ）到這22個(gè)橢圓上的點(diǎn)的最遠(yuǎn)距離是7 ，求這個(gè)橢圓方程，并求橢圓上到點(diǎn)P 的距離等于7 的點(diǎn)的坐標(biāo)。分析：最值問題，函數(shù)思想。關(guān)鍵是將點(diǎn)P 到橢圓上點(diǎn)的距離表示為某一變量是函數(shù)，然后利用函數(shù)的知識(shí)求其最大值。設(shè)橢圓方程為 x 2y21，則由 e= 3a 2b2222222得： a =4b ，所以 x =4b -4y .設(shè) Q(

9、x,y) 是橢圓上任意一點(diǎn)，則:|PQ|=x 2( y3) 2= 4b24 y 2( y3 ) 23y 23y4b29(-byb).224若 b< 1，則 - 1 <-b,當(dāng) y=-b時(shí) |PQ| max=3b23b4b 29b 23b97 .2244解得： b=7 -3>1 與 b<1 矛盾；若b1 ，則當(dāng)y=-1時(shí) |PQ| max=4237, 解22222b得:b=1,a=2.2有關(guān)范圍問題例 7 （ 2001 春季高考題）已知拋物線y2=2px(p>0) ，過 M（ a,0）且斜率為1 的直線 L 與拋物線交于不同的兩點(diǎn)A 、B， |AB| 2p。（ 1）

10、求 a 的取值范圍；（ 2）若線段 AB 的垂直平分線交 x 軸于點(diǎn) N，求 NAB 面積的最大值。分析：這是一道直線與圓錐曲線位置關(guān)系的問題，對(duì)于（1），可以設(shè)法得到關(guān)于a 的不等式，通過解不等式求出a 的范圍，即：“ 求范圍，找不等式”?；蛘邔?a 表示為另一個(gè)變量的函數(shù)，利用求函數(shù)的值域求出a 的范圍；對(duì)于（ 2）首先要把 NAB 的面積表示為一個(gè)變量的函數(shù)，然后再求它的最大值,即：“最值問題，函數(shù)思想”。2解： (1)直線 L 的方程為： y=x-a, 將 y=x-a 代入拋物線方程y =2px, 得：設(shè)直線L 與拋物學(xué)習(xí)必備歡迎下載4(ap)4a 20線兩交點(diǎn)的坐標(biāo)分別為A （ x1

11、,y1） ,B(x 2,y2)，則 x1x22(ap)x1 x2a 2,又 y1=x1 -a,y2 =x 2-a,| AB|( x1x2 ) 2( y1y2 ) 22( x1x2 ) 24x1 x2 8 p( p2a)0 | AB | 2 p,8p( p2a)0,08 p( p 2a)2 p,解得 :pap .24(2)設(shè) AB 的垂直平分線交AB 與點(diǎn) Q，令其坐標(biāo)為（ x3,y3），則由中點(diǎn)坐標(biāo)公式得：x3x1x2ap, y3y1y2( x1 a) ( x2a)p.222所以 |QM|2 =(a+p-a)2+(p-0) 2=2p 2.又 MNQ為等腰直角三角形，所以 |QM|=|QN|=

12、2P ，所以 S NAB =1|AB|QN |2 p | AB |2 p2 p2 p 2,即 NAB面積的最大值222為 2P2。例 8：已知橢圓x2y 21(ab 0) ，A,B 是橢圓上的兩點(diǎn)，線段AB 的垂直平a 2b 2分線與 x 軸相交于點(diǎn) P(x0 ,0)，證明：a 2b2a 2b2.ax0a分析：欲證x0 滿足關(guān)于參數(shù)a、 b 的不等式，須從題中找出不等關(guān)系，由橢圓的性質(zhì)可知，橢圓上的點(diǎn)的坐標(biāo)滿足如下條件：-ax a, 因此問題轉(zhuǎn)化為尋求x0 與 x 的關(guān)系。由題設(shè)知，點(diǎn)P 在線段 AB 的垂直平分線上，所以|AP|=|BP|，若設(shè) A （ x1,y1） ,B(x 2 ,y2),

13、2222,因?yàn)辄c(diǎn) A 、 B 在橢圓上，所以，則有： (x1-x0) -y1 =(x 2-x0) -y22b2b222b2b 22y1a2x1 , y2a2x2 ，從而由 -a x1 a,-a x2 a, 可得：a2b2a 2b2x0aa例 9 (2000 年高考題 )已知梯形ABCD 中， |AB|=2|CD| ，點(diǎn) E 滿足 AEEC ，雙曲線過C、D 、 E 三點(diǎn)，學(xué)習(xí)必備歡迎下載且以 A 、B 為焦點(diǎn)，當(dāng)23 時(shí)，求雙曲線離心率 e 的取值范圍。34分析：顯然，我們只要找到e 與的關(guān)系， 然后利用解不等式或求函數(shù)的值域即可求出e 的范圍。y解：如圖建立坐標(biāo)系，這時(shí)CD y 軸，因?yàn)殡p曲

14、線經(jīng)過點(diǎn)C、 D，且以 A 、B 為焦點(diǎn)，DCE由雙曲線的對(duì)稱性知C、D 關(guān)于 y 軸對(duì)稱。依題意，記A(-C,0)， C(C ,0 0AOB x2h) ， E(x ,y ), 其中1 | AB | 為雙曲線的半焦距，c=h 是梯形的高。2c由 AEEC , 即 (x0+c,y 0)=(-x0,h-y 0)2得:x 0= (2)cy01h.設(shè)雙曲線的方程為x 2y 21,則離心率 e= c 。由點(diǎn) C、E 在2(1 )a 2b2a雙曲線上,將點(diǎn) C、E的 坐 標(biāo) 和 e=c 代 入 雙 曲 線 的 方 程 得ae2h21(1)4b 2e2(2) 2() 2h 21(2)411b 2將（ 1）式代入（2）式 ,整理得 e2(4-4)=1+2,故=132.4e2依題設(shè) 23得21 -233,解得7e10 .343e24所以雙曲線的離心率的取值范圍是7e10 .例 10已知拋物線 y2=2px (p 0)上存在關(guān)于直線x+y=1 對(duì)稱的相異兩點(diǎn)， 求 p 的取值范圍。分析：解決本題的關(guān)鍵是找到關(guān)于p 的不等式。設(shè)拋物線上關(guān)于直線 x+y=1 對(duì)稱的兩點(diǎn)是 M(x 1 ,y1)、N(x 2,y2) ，設(shè)直線 MN 的方程為 y=x+b. 代入