九年級數(shù)學上冊·教案（華師大版） 第22章 一元二次方程

1、第22章一元二次方程221一元二次方程1知道一元二次方程的意義，能熟練地把一元二次方程整理成一般形式ax2bxc0(a0)2在分析、揭示實際問題的數(shù)量關(guān)系并把實際問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學模型(一元二次方程)的過程中，使學生感受方程是刻畫現(xiàn)實世界數(shù)量關(guān)系的工具，增加對一元二次方程的感性認識重點判定一個數(shù)是否是方程的根難點由實際問題列出的一元二次方程解出根后，還要考慮這些根是否確定是實際問題的根一、情境引入教師展示多媒體，引導學生列出方程，解決問題問題1綠苑小區(qū)住宅設計，準備在每兩幢樓房之間，開辟面積為900平方米的一塊長方形綠地，并且長比寬多10米，那么綠地的長和寬各為多少？【分析】設長方形綠地的寬為x米

2、，不難列出方程x(x10)900整理可得x210x9000.(1)問題2學校圖書館去年年底有圖書5萬冊，預計到明年年底增加到7.2萬冊，求這兩年的年平均增長率解：設這兩年的年平均增長率為x.我們知道，去年年底的圖書數(shù)是5萬冊，則今年年底的圖書數(shù)是5(1x)萬冊，同樣，明年年底的圖書數(shù)又是今年年底的(1x)倍，即5(1x)·(1x)5(1x)2萬冊，可列得方程5(1x)27.2，整理可得5x210x2.20.(2)二、探究新知教師指出問題，學生小組討論，歸納問題1和問題2分別歸結(jié)為解方程(1)和(2)顯然，這兩個方程都不是一元一次方程，那么這兩個方程與一元一次方程的區(qū)別在哪里？它們有什

3、么共同特點呢？共同特點：(1)都是整式方程；(2)只含有一個未知數(shù)；(3)未知數(shù)的最高次數(shù)是2.【歸納總結(jié)】上述兩個整式方程中都只含有一個未知數(shù)，并且未知數(shù)的最高次數(shù)是2，這樣的方程叫做一元二次方程，通?？蓪懗扇缦碌囊话阈问絘x2bxc0(a，b，c是已知數(shù)，a0)其中ax2叫做二次項，a叫做二次項系數(shù)，bx叫做一次項，b叫做一次項系數(shù)，c叫做常數(shù)項例1判斷下列方程是否為一元二次方程：1x20；2(x21)3y；2x23x10; 0；(x3)2(x3)2; 9x254x.解：是；不是；是；不是；不是；是【教學說明】(1)一元二次方程為整式方程；(2)類似這樣的方程要化簡后才能判斷例2將方程(8

4、2x)(52x)18化成一元二次方程的一般形式，并寫出其中的二次項系數(shù)、一次項系數(shù)及常數(shù)項解：2x213x110；2，13，11.三、練習鞏固1將下列方程化成一元二次方程的一般形式，并寫出其中的二次項系數(shù)、一次項系數(shù)及常數(shù)項(1)5x214x；(2)4x281；(3)4x(x2)25；(4)(3x2)(x1)8x3.解：(1)5x24x10；5，4，1；(2)4x2810；4，0，81；(3)4x28x250；4，8，25；(4)3x27x10；3，7，1.2根據(jù)下列問題，列出關(guān)于x的方程，并將其化成一元二次方程的一般形式(1)4個完全相同的正方形的面積之和是25，求正方形的邊長x；(2)一個

5、長方形的長比寬多2，面積是100，求長方形的長x；(3)把長為1的木條分成兩段，使較短一段的長與全長的積，等于較長一段的長的平方，求較短一段的長x.解：(1)4x225；4x2250；(2)x(x2)100；x22x1000；(3)x(1x)2；x23x10.3若x2是方程ax24x50的一個根，求a的值解：x2是方程ax24x50的一個根4a850，解得a.四、小結(jié)與作業(yè)小結(jié)1只含有一個未知數(shù)，并且未知數(shù)的最高次數(shù)是2的整式方程，叫做一元二次方程2一元二次方程的一般形式為ax2bxc0(a0)，一元二次方程的項及系數(shù)都是根據(jù)一般式定義的，這與多項式中的項、次數(shù)及其系數(shù)的定義是一致的3在實際問

6、題轉(zhuǎn)化為數(shù)學模型(一元二次方程)的過程中，體會學習一元二次方程的必要性和重要性布置作業(yè)從教材相應練習和“習題22.1”中選取學習本課時，可讓學生先自主探索再合作交流，小組內(nèi)，小組之間充分交流后概括所得結(jié)論，從而強化學生對一元二次方程的有關(guān)概念的認識，掌握建模思想，利用一元二次方程解決實際問題222一元二次方程的解法222.1直接開平方法和因式分解法1會用直接開平方法解形如a(xk)2b(a0，ab0)的方程2靈活應用因式分解法解一元二次方程3使學生了解轉(zhuǎn)化的思想在解方程中的應用重點利用直接開平方法和因式分解法解一元二次方程難點合理選擇直接開平方法和因式分解法較熟練地解一元二次方程一、情境引入教

7、師提出問題，讓學生說出作業(yè)中的解法，教師板書問：怎樣解方程(x1)2256?解：方法1：直接開平方，得x1±16，原方程的解是x115，x217.方法2：原方程可變形為(x1)22560，方程左邊分解因式，得(x116)(x116)0，即(x17)(x15)0，x170或x150，原方程的解是x115，x217.二、探究新知教師多媒體展示，學生板演，教師點評例1用直接開平方法解下列方程：(1)(3x1)27；(2)y22y124；(3)9n224n1611.解：(1)；(2)1±2；(3).【教學說明】運用開平方法解形如(xm)2n(n0)的方程時，最容易出現(xiàn)的錯誤是漏掉負

8、根例2用因式分解法解下列方程：(1)5x24x0；(2)3x(2x1)4x2；(3)(x5)23x15.解：(1)x10，x2；(2)x1，x2；(3)x15，x22.【教學說明】解這里的(2)(3)題時，注意整體劃歸的思想三、練習鞏固教師多媒體展示出題目，由學生自主完成，分組展示結(jié)果，教師點評1用直接開平方法解下列方程：(1)3(x1)260；(2)x24x45；(3)(x5)225；(4)x22x14.解：(1)x11，x21；(2)x12，x22；(3)x10，x210；(4)x11，x23.2用因式分解法解下列方程：(1)x2x0；(2)x22x0；(3)3x26x3; (4)4x21

9、210；(5)(x4)2(52x)2.解：(1)x10，x21；(2)x10，x22；(3)x1x21；(4)x1，x2；(5)x13，x21.3把小圓形場地的半徑增加5 m得到大圓形場地，場地面積增加了一倍，求小圓形場地的半徑解：設小圓形場地的半徑為x m.則可列方程2x2(x5)2，解得x155，x255(舍去)答：小圓形場地的半徑為(55) m.四、小結(jié)與作業(yè)小結(jié)1引導學生回憶用直接開平方法和因式分解法解一元二次方程的一般步驟2對于形如a(xk)2b(a0，ab0)的方程，只要把(xk)看作一個整體，就可轉(zhuǎn)化為x2n(n0)的形式用直接開平方法解3當方程出現(xiàn)相同因式(單項式或多項式)時，

10、切不可約去相同因式，而應用因式分解法解布置作業(yè)從教材相應練習和“習題22.2”中選取本節(jié)課教師引導學生探討直接開平方法和因式分解法解一元二次方程，讓學生小組討論，歸納總結(jié)探究，掌握基本方法和步驟，合理、恰當、熟練地運用直接開平方法和因式分解法，在整個教學過程中注意整體劃歸的思想222.2配方法1使學生掌握配方法的推導過程，熟練地用配方法解一元二次方程2在配方法的應用過程中體會“轉(zhuǎn)化”的思想，掌握一些轉(zhuǎn)化的技能重點使學生掌握用配方法解一元二次方程難點發(fā)現(xiàn)并理解配方的方法一、情境引入教師多媒體展示問題，引導學生解決問題問題要使一塊矩形場地的長比寬多6 m，并且面積為16 m2，場地的長和寬分別是多

11、少？解：設場地的寬為x m，則長為(x6) m，根據(jù)矩形面積為16 m2，得到方程 x(x6)16，整理得到 x26x160二、探究新知教師多媒體展示問題，用問題喚起學生的回憶，明確該問題的特點探究如何解方程x26x160?問題1通過上節(jié)課的學習，我們現(xiàn)在會解什么樣的一元二次方程？舉例說明【教學說明】用問題喚起學生的回憶，明確我們現(xiàn)在會解的一元二次方程的特點：等號左邊是一個完全平方式，右邊是一個非負常數(shù)，即(xm)2n(n0)，運用直接開平方法可求解問題2你會用直接開平方法解下列方程嗎？(1)(x3)225；(2)x26x925；(3)x26x16；(4)x26x160.教師重點講解第3小題解

12、：移項，得x26x16，兩邊都加上_9_即_()2_，使左邊配成x2bx()2的形式，得_x_26_x_916_9_，左邊寫成完全平方形式，得_(x3)225_，開平方，得_x3±5_，(降次)即_x35_或_x35_，解一次方程得x1_2_，x2_8_【歸納總結(jié)】將方程左邊配成一個含有未知數(shù)的完全平方式，右邊是一個非負常數(shù)，從而可以直接開平方求解，這種解一元二次方程的方法叫做配方法教師展示課件，讓學生自主完成以下例題，小組展示，教師點評歸納例1填空：(1)x28x_16_(x_4_)2；(2)x2x_(x_)2；(3)4x24x_1_(2x_1_)2.例2解下列方程：(1)x26x

13、50；(2)2x26x20；(3)(1x)22(1x)40.解：(1)x11，x25；(2)x1，x2；(3)x12，x22.【歸納總結(jié)】利用配方法解方程應該遵循的步驟：(1)把方程化為一般形式ax2bxc0；(2)把常數(shù)項移到方程的右邊；(3)方程兩邊同時除以二次項系數(shù)a；(4)方程兩邊同時加上一次項系數(shù)一半的平方；(5)此時方程的左邊是一個完全平方式，然后利用直接開平方法來解三、練習鞏固學生獨立解答以下練習，小組內(nèi)交流，上臺展示并講解思路1用配方法解下列方程：(1)2x24x80；(2)x24x20；(3)x2x10.2如果x24xy26y130，求(xy)z的值四、小結(jié)與作業(yè)小結(jié)1用配方

14、法解一元二次方程的步驟2用配方法解一元二次方程的注意事項布置作業(yè)從教材相應練習和“習題22.2”中選取本節(jié)課先創(chuàng)設情境導入一元二次方程的解法，引導學生將要解決的問題轉(zhuǎn)化為已學過的直接開平方法來解，從而探索出配方法的一般步驟，熟練運用配方法來解一元二次方程222.3公式法1理解一元二次方程求根公式的推導過程，了解公式法的概念2會熟練應用公式法解一元二次方程重點求根公式的推導和公式法的應用難點一元二次方程求根公式的推導一、情境引入用配方法解方程：(1)x23x20；(2)2x23x50.解：(1)x11，x22；(2)無解二、探究新知教師多媒體展示問題，引導學生利用配方法推出求根公式，學生小組展示

15、如果這個一元二次方程是一般形式ax2bxc0(a0)，你能否用上面配方法的步驟求出它的兩根？問題已知ax2bxc0(a0)，試推導它的兩個根x1，x2.【分析】因為前面具體數(shù)字的題目已做得很多，現(xiàn)在不妨把a，b，c也當成具體數(shù)字，根據(jù)上面的解題步驟就可以推導下去探究一元二次方程ax2bxc0(a0)的根由方程的系數(shù)a，b，c而定，因此：(1)解一元二次方程時，可以先將方程化為一般形式ax2bxc0，當b24ac0時，將a，b，c代入式子x就得到方程的根，當b24ac<0時，方程沒有實數(shù)根；(2)x叫做一元二次方程ax2bxc0(a0)的求根公式；(3)利用求根公式解一元二次方程的方法叫做

16、公式法教師板演第小題，學生可自主完成余下的題目，小組展示，教師點評例用公式法解下列方程：2x24x10；5x23x2；(x2)(3x5)0; 4x23x10.解：x11，x21；x12，x2；x12，x2；無解三、練習鞏固教師展示課件，學生自主完成，小組內(nèi)交流用公式法解下列方程：(1)x2x120；(2)x2x0；(3)x24x82x11；(4)x(x4)28x；(5)x22x0；(6)x22x100.四、小結(jié)與作業(yè)小結(jié)1求根公式的概念及其推導過程2公式法的概念3應用公式法解一元二次方程布置作業(yè)從教材相應練習和“習題22.2”中選取在學習活動中，要求學生主動參與，認真思考，比較觀察，交流與表述

17、，體驗知識獲取的過程，激發(fā)學生的學習興趣，利用師生的雙邊活動，適時調(diào)試，從而提高學習效率222.4一元二次方程根的判別式1能運用根的判別式，判斷方程根的情況和進行有關(guān)的推理論證2會運用根的判別式求一元二次方程中字母系數(shù)的取值范圍重點根的判別式的正確理解與應用難點含字母系數(shù)的一元二次方程根的判別式的應用一、情境引入教師多媒體展示，回顧已有知識用公式法解下列一元二次方程：(1)x25x60；(2)9x26x10；(3)x22x30.解：(1)x12，x23；(2)x1x2；(3)無解二、探究新知教師課件展示，提出問題，引導學生解決問題觀察解題過程，可以發(fā)現(xiàn)：在把系數(shù)代入求根公式之前，需先確定a，b

18、，c的值，然后求出b24ac的值，它能決定方程是否有解，我們把b24ac叫做一元二次方程根的判別式，通常用符號“”來表示，即b24ac.我們回顧一元二次方程求根公式的推導過程發(fā)現(xiàn)：(x)2.【歸納結(jié)論】(1)當>0時，方程有兩個不相等的實數(shù)根：x1，x2；(2)當0時，方程有兩個相等的實數(shù)根：x1x2；(3)當<0時，方程沒有實數(shù)根例1利用根的判別式判定下列方程的根的情況：(1)2x23x0；(2)16x224x90；(3)x2490; (4)3x210x2x28x.解：(1)有兩個不相等的實數(shù)根；(2)有兩個相等的實數(shù)根；(3)無實數(shù)根；(4)有兩個不相等的實數(shù)根三、練習鞏固教師

19、多媒體展示問題，引導學生靈活運用知識，學生小組內(nèi)交流1方程x24x40的根的情況是()A有兩個不相等的實數(shù)根B有兩個相等的實數(shù)根C有一個實數(shù)根D沒有實數(shù)根2已知x22xm1沒有實數(shù)根，求證：x2mx12m必有兩個不相等的實數(shù)根四、小結(jié)與作業(yè)小結(jié)1用判別式判定一元二次方程根的情況：(1)>0時，一元二次方程有兩個不相等的實數(shù)根；(2)0時，一元二次方程有兩個相等的實數(shù)根；(3)<0時，一元二次方程無實數(shù)根2運用根的判別式解決具體問題時，要注意二次項系數(shù)不為0這一隱含條件布置作業(yè)從教材相應練習和“習題22.2”中選取本課時創(chuàng)設情境，啟發(fā)引導，讓學生充分感受理解知識的產(chǎn)生和發(fā)展過程，在教

20、師適時點撥下，學生在發(fā)現(xiàn)歸納的過程中積極主動地去探索，發(fā)現(xiàn)數(shù)學規(guī)律，培養(yǎng)了學生的創(chuàng)新意識、創(chuàng)新精神及思維能力*22.2.5一元二次方程的根與系數(shù)的關(guān)系1引導學生在已有的一元二次方程解法的基礎上，探索出一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系及其關(guān)系的運用2通過觀察、實踐、討論等活動，經(jīng)歷從觀察、判斷到發(fā)現(xiàn)關(guān)系的過程重點一元二次方程根與系數(shù)之間的關(guān)系的運用難點一元二次方程根與系數(shù)之間的關(guān)系的運用一、情境引入教師課件展示，提出問題，引導學生解決問題1完成下列表格方程x1x2x1x2x1·x2x25x602356x23x10025310問題你發(fā)現(xiàn)了什么規(guī)律？用語言敘述你發(fā)現(xiàn)的規(guī)律：(兩根之和為一次項系數(shù)

21、的相反數(shù)，兩根之積為常數(shù)項)設方程x2pxq0的兩根為x1，x2，用式子表示你發(fā)現(xiàn)的規(guī)律(x1x2p，x1·x2q.)2完成下列表格方程x1x2x1x2x1·x22x23x20213x24x101問題上面發(fā)現(xiàn)的結(jié)論在這里成立嗎？(不成立)請完善規(guī)律：用語言敘述發(fā)現(xiàn)的規(guī)律：(兩根之和為一次項系數(shù)與二次項系數(shù)之比的相反數(shù)，兩根之積為常數(shù)項與二次項系數(shù)之比)設方程ax2bxc0的兩根為x1，x2，用式子表示你發(fā)現(xiàn)的規(guī)律(x1x2，x1·x2.)二、探究新知教師多媒體展示，提出問題，引導學生根據(jù)求根公式推出根與系數(shù)之間的關(guān)系通過以上活動你發(fā)現(xiàn)了什么規(guī)律？對一般的一元二次方

22、程ax2bxc0(a0)這一規(guī)律是否成立？試通過求根公式加以說明ax2bxc0的兩根x1_，x2，x1x2，x1·x2教師課件展示問題，學生可自主完成，小組內(nèi)交流，教師點評例1不解方程，求下列方程的兩根之和與兩根之積：(1)x26x150；(2)3x27x90；(3)5x14x2.解：(1)x1x26，x1·x215；(2)x1x2，x1·x23；(3)x1x2，x1·x2.例2已知方程2x2kx90的一個根是3，求另一個根及k的值解：另一個根為，k3.三、練習鞏固可由學生自主完成搶答，教師點評1不解方程，求下列方程的兩根之和與兩根之積：(1)x23x1

23、5；(2)5x214x2；(3)x23x210；(4)4x21440；(5)3x(x1)2(x1)；(6)(2x1)2(3x)2.2兩根均為負數(shù)的一元二次方程是()A7x212x50B6x213x50C4x221x50Dx215x80四、小結(jié)與作業(yè)小結(jié)1一元二次方程的根與系數(shù)的關(guān)系2一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系成立的前提條件布置作業(yè)從教材相應練習和“習題22.2”中選取本節(jié)課先由學生探究特殊一元二次方程的根與系數(shù)的關(guān)系，再猜想一般一元二次方程的根與系數(shù)的關(guān)系，并從理論上加以推導證明，加深學生對知識的理解，培養(yǎng)學生嚴密的邏輯思維能力223實踐與探索使學生利用一元二次方程的知識解決實際問題，學會將實際問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學模型來建立一元二次方程重點列一元二次方程解決實際問題難點尋找實際問題中的等量關(guān)系一、情境引入問題1學校生物小組有一塊長32 m，寬20 m的矩形試驗田，為了管理方便，準備沿平行于兩邊的方向縱、橫各開辟一條等寬的小道，要使種植面積為540 m2，小道的寬應是多少？問題2某藥品經(jīng)過兩次降價，每瓶零售價由56元降為31.5元，已知兩次降價的百分率相