電動力學(xué)-第五章-電磁波輻射

1、電動力學(xué)電動力學(xué)第五章第五章 電磁波的輻射電磁波的輻射物理與電子工程學(xué)院物理與電子工程學(xué)院 張福恒張福恒1第五章第五章 重點(diǎn)重點(diǎn)（1）推遲勢；（2）電偶極輻射及其特點(diǎn)；（3）輻射電阻、輻射能流、輻射功率；電動力學(xué)電動力學(xué)第五章第五章 電磁波的輻射電磁波的輻射物理與電子工程學(xué)院物理與電子工程學(xué)院 張福恒張福恒2 在前面，我們研究了電磁場的傳播，在這一章，我們將研究不僅能產(chǎn)生電磁場而且能有效地產(chǎn)生輻射場的電系統(tǒng)。 由麥克斯韋方程組，我們知道，為了產(chǎn)生電磁場，我們需要時變電荷或時變電流這樣的源。這些有限大小的源在無界空間產(chǎn)生了向外傳播的波時，則它們總稱為輻射系統(tǒng)。輻射系統(tǒng)的末端設(shè)備稱為輻射天線。而天

2、線用于接收輻射能量時，則稱天線為接收天線。 有限大小的天線產(chǎn)生的電磁波是球面波，這意味著我們將采用球坐標(biāo)系來討論問題。 電動力學(xué)電動力學(xué)第五章第五章 電磁波的輻射電磁波的輻射物理與電子工程學(xué)院物理與電子工程學(xué)院 張福恒張福恒31.用勢描述電磁場用勢描述電磁場1 電磁場矢勢和標(biāo)勢電磁場矢勢和標(biāo)勢 麥克斯韋方程組微分形式為 ：0tt BEDHJDB 我們討論真空中的情況，D = 0E、B = 0H。 電動力學(xué)電動力學(xué)第五章第五章 電磁波的輻射電磁波的輻射物理與電子工程學(xué)院物理與電子工程學(xué)院 張福恒張福恒4 我們看出由于時變源的存在，求解時變電磁場的問題是相當(dāng)困難的。為簡化求解過程，我們引入標(biāo)量勢和

3、矢量勢。 令B A ，則： 將上式整理為：因標(biāo)量函數(shù)的梯度的旋度恒等于零，因此引入標(biāo)量函數(shù)，并令()tt BEA(+)0tAEtAE式中A和均為位置和時間的函數(shù)。引入的兩個輔助函數(shù)A和分別稱為電磁場的矢量勢和標(biāo)量勢。 電動力學(xué)電動力學(xué)第五章第五章 電磁波的輻射電磁波的輻射物理與電子工程學(xué)院物理與電子工程學(xué)院 張福恒張福恒52.規(guī)范變換和規(guī)范不變性規(guī)范變換和規(guī)范不變性 如果 是一任意的位置和時間的標(biāo)量函數(shù)，我們可用所謂的規(guī)范變換構(gòu)造出另一等價的勢：A和，由此給出：,t AAtt AAEAA = B 此意味著對于給定的電磁場，用于描述電磁場的矢量勢和標(biāo)量勢并不是唯一的。因此，我們可以選擇便于求解時

4、變電磁場的矢量勢和標(biāo)量勢。在電磁場理論中，我們通常選擇滿足洛倫茲規(guī)范的勢。 電動力學(xué)電動力學(xué)第五章第五章 電磁波的輻射電磁波的輻射物理與電子工程學(xué)院物理與電子工程學(xué)院 張福恒張福恒6 洛倫茲規(guī)范為：另一種規(guī)范為庫侖規(guī)范： 經(jīng)規(guī)范變換后，所有物理量和物理規(guī)律都保持不變，這種不變性稱為規(guī)范不變性。00t A0A電動力學(xué)電動力學(xué)第五章第五章 電磁波的輻射電磁波的輻射物理與電子工程學(xué)院物理與電子工程學(xué)院 張福恒張福恒73.達(dá)朗貝爾方程達(dá)朗貝爾方程 下面我們導(dǎo)出真空中勢函數(shù)波動方程。將B = A帶入麥克斯韋方程組第二式有： 即：重新整理為：000()t EAJ2000()()tt AAAJ2200000

5、2()tt AAAJ電動力學(xué)電動力學(xué)第五章第五章 電磁波的輻射電磁波的輻射物理與電子工程學(xué)院物理與電子工程學(xué)院 張福恒張福恒8由麥克斯韋方程組第三式：選擇洛倫茲規(guī)范得：以上方程為典型的波動方程形式，稱為勢函數(shù)的非齊次亥姆霍茲方程。 20tt AEA2200022200200ttt AAJA電動力學(xué)電動力學(xué)第五章第五章 電磁波的輻射電磁波的輻射物理與電子工程學(xué)院物理與電子工程學(xué)院 張福恒張福恒9例例5-1-1 求平面電磁波的勢。解：解：在無源空間，波動方程的平面波解（見上一章）為：由得：因此只要給出了A0，就可得到平面波解。 ()0itek xAA()0itek xt A00201k Ak A電

6、動力學(xué)電動力學(xué)第五章第五章 電磁波的輻射電磁波的輻射物理與電子工程學(xué)院物理與電子工程學(xué)院 張福恒張福恒102 推遲勢推遲勢 電磁場的勢實(shí)際上是四個相似的標(biāo)量方程組。因此，只要求解其中一個方程，其它方程的解也即可得到。我們首先求標(biāo)勢方程的解。標(biāo)勢方程的解可用下面的方法求得。見5-2附頁0(,/)( , )d4VtrtVrJ xA x電動力學(xué)電動力學(xué)第五章第五章 電磁波的輻射電磁波的輻射物理與電子工程學(xué)院物理與電子工程學(xué)院 張福恒張福恒111.計(jì)算輻射場的一般公式計(jì)算輻射場的一般公式3 電偶極輻射電偶極輻射 假定源以角頻率作時諧變化，則有： 式中0(/ )00(,/ )( , )d4(d4(d(

7、)4Vit rVi tikri tVtrtVreVreeVer J xA xJ xJ xA x0( )=d4ikrVeVrJ xA x上式即為計(jì)算輻射場的一般公式。電動力學(xué)電動力學(xué)第五章第五章 電磁波的輻射電磁波的輻射物理與電子工程學(xué)院物理與電子工程學(xué)院 張福恒張福恒122.矢勢的展開式矢勢的展開式 對于時變源產(chǎn)生的場，相對于源分布，我們分為三個區(qū)域考慮。（1）擬穩(wěn)區(qū)：遠(yuǎn)小于波長的區(qū)域。產(chǎn)生的場除了多一個時間因子e-it外，和靜場無差別。（2）感應(yīng)區(qū)：波長數(shù)量級區(qū)域。（3）輻射區(qū)：遠(yuǎn)大于波長的區(qū)域。此區(qū)域的的場稱為輻射場。此區(qū)域遠(yuǎn)大于源分布區(qū)域，因此又稱為遠(yuǎn)區(qū)。 下面我們主要討論輻射場。電動力

8、學(xué)電動力學(xué)第五章第五章 電磁波的輻射電磁波的輻射物理與電子工程學(xué)院物理與電子工程學(xué)院 張福恒張福恒13因?yàn)椋?因此，對原點(diǎn)展開，有： 000001!nnx xx xfxfxf xf xxxxxn00000111111=-111111xzyxyzrRx ry rz rRrRrRR xxx xxxx電動力學(xué)電動力學(xué)第五章第五章 電磁波的輻射電磁波的輻射物理與電子工程學(xué)院物理與電子工程學(xué)院 張福恒張福恒14而：（參照上式） 因此，=ikrikRikReee x00( )=d411(d4ikrVikRikRVeVreeVRR J xA xJ xxx電動力學(xué)電動力學(xué)第五章第五章 電磁波的輻射電磁波的輻射

9、物理與電子工程學(xué)院物理與電子工程學(xué)院 張福恒張福恒153.電偶極輻射電偶極輻射 展開式的第一項(xiàng)：令00( )=d4(d4ikRVikRVeVReVRJ xA xJ x(dVVpJ r對于給定時變源，它是一個與t無關(guān)的常矢量。電動力學(xué)電動力學(xué)第五章第五章 電磁波的輻射電磁波的輻射物理與電子工程學(xué)院物理與電子工程學(xué)院 張福恒張福恒16由第一章習(xí)題5：d ( )=(, d(dd(di tVVi tVi tttVeVteVe pJ xJ xJ xp 則有：0/000( , )( )(d444d/4d/ikRi ti tVit Ri t ikReteVeReeRRtRRtRA xA xJ xppp電動力

10、學(xué)電動力學(xué)第五章第五章 電磁波的輻射電磁波的輻射物理與電子工程學(xué)院物理與電子工程學(xué)院 張福恒張福恒17因此，令：t = t R/c，則上式成為：00d/( , )( , )4d/d/4d/tRttRtRtRRtR pB xA xp 000020dd( , )4d4ddddd4dd4ddd4dRtttRtR tttRtR ttR tcttRct pB xppppe電動力學(xué)電動力學(xué)第五章第五章 電磁波的輻射電磁波的輻射物理與電子工程學(xué)院物理與電子工程學(xué)院 張福恒張福恒18而，主這樣，我們得到電偶極輻射場計(jì)算式：( , )( , )( , )RicttctkE xB xB xe 20d( , )4d

11、( , )( , )RRttRcttctpB xeE xB xe電動力學(xué)電動力學(xué)第五章第五章 電磁波的輻射電磁波的輻射物理與電子工程學(xué)院物理與電子工程學(xué)院 張福恒張福恒19例例5-3-1求一個沿軸作簡諧振動的帶電粒子的輻射場（設(shè)粒子振速遠(yuǎn)小于光速）。 例例5-3-2 求一個z軸上的電流元I l的輻射場（I = I0e-it）。 例例5-3-3 求赫茲振子的輻射場。 解：解：見5-3例電動力學(xué)電動力學(xué)第五章第五章 電磁波的輻射電磁波的輻射物理與電子工程學(xué)院物理與電子工程學(xué)院 張福恒張福恒20我們得到赫茲振子的輻射場為： 200200,sin4,sin4i kRti kRtQ lteRcQ lte

12、R B xeE xe電動力學(xué)電動力學(xué)第五章第五章 電磁波的輻射電磁波的輻射物理與電子工程學(xué)院物理與電子工程學(xué)院 張福恒張福恒21電偶極射場有以下特性：1）輻射場是沿徑向方向傳播的電磁波，EH的方向?yàn)殡姶挪▊鞑シ较颍浑妶龊痛艌鲈诳臻g各點(diǎn)同相位，且電場與磁場相互垂直；在R為半徑的球面上各點(diǎn)，電場相位相等，磁場相位也同樣相等，因此輻射場是球面TEM波。 2）輻射場強(qiáng)度與頻率平方成正比，即在其它條件不變條件下，頻率越高，輻射場強(qiáng)越大。3）輻射場振幅與R成反比，即輻射場隨著R的增加而衰減。這個衰減并不是介質(zhì)損耗引起的，而是球面波波陣面的擴(kuò)張所致。4）輻射場不僅與距離有關(guān)，還隨sin變化。在 =00或 =

13、 1800方向上，輻射場為零；在 = 900方向上，輻射場有最大值。即天線輻射具有方向性。電動力學(xué)電動力學(xué)第五章第五章 電磁波的輻射電磁波的輻射物理與電子工程學(xué)院物理與電子工程學(xué)院 張福恒張福恒22輻射場平均能流密度：輻射場平均能流密度：輻射功率：輻射功率：例如赫茲振子：1Re()2SEHradsPdSs220000220000,sinsin44,sinsin44i kRti kRti kRti kRtQ lpteeRcRcQ lpteeRR B xeeE xee電動力學(xué)電動力學(xué)第五章第五章 電磁波的輻射電磁波的輻射物理與電子工程學(xué)院物理與電子工程學(xué)院 張福恒張福恒23則輻射場平均能流密度：輻

14、射功率：4222200220042424200000230dsinsin d d3283123212radspPRR cpppccc Ss2200042200221Re()21Resinsin244sin32i kRti kRtRppeeRRcpR c SEHeee電動力學(xué)電動力學(xué)第五章第五章 電磁波的輻射電磁波的輻射物理與電子工程學(xué)院物理與電子工程學(xué)院 張福恒張福恒24輻射電阻輻射電阻我們知道電阻消耗的電功率為：由于電流元向外輻射電功率，因此輻射區(qū)(遠(yuǎn)區(qū))可用一電阻來模擬，此電阻稱為輻射電阻。因此，輻射電阻消耗的功率為：由此我們得到赫茲振子輻射電阻2012PI R2012radradPI R

15、24222 22002232300000222801212radradPpI llRIIcIc電動力學(xué)電動力學(xué)第五章第五章 電磁波的輻射電磁波的輻射物理與電子工程學(xué)院物理與電子工程學(xué)院 張福恒張福恒25 輻射電阻是天線的一個重要特性，它在等效電路中描述了天線作為一個部件的性能。輻射電阻越大，在給定電流情況下，輻射功率越大，作為發(fā)射機(jī)的天線效率越高。 電動力學(xué)電動力學(xué)第五章第五章 電磁波的輻射電磁波的輻射物理與電子工程學(xué)院物理與電子工程學(xué)院 張福恒張福恒26*4 磁偶極輻射磁偶極輻射 載有電流I的小導(dǎo)線園環(huán)稱為磁偶極子，如圖所示。我們可得輻射電阻： P(r) erIdlRarr xyz磁偶極子4

16、583radaR電動力學(xué)電動力學(xué)第五章第五章 電磁波的輻射電磁波的輻射物理與電子工程學(xué)院物理與電子工程學(xué)院 張福恒張福恒275 天線輻射天線輻射 1、短偶極子天線輻射、短偶極子天線輻射 （P.166） 下面我們討論中心饋電短偶極子天線，它是由兩根總長為l的直導(dǎo)線構(gòu)成。長度l與波長相比很短(l /2)，如圖所示。 I0Rr P(r)l/2IIz短偶極子天線-l/2電動力學(xué)電動力學(xué)第五章第五章 電磁波的輻射電磁波的輻射物理與電子工程學(xué)院物理與電子工程學(xué)院 張福恒張福恒28因短天線長度有限長，因此準(zhǔn)確計(jì)算天線上電流分布并不容易。但因天線兩端開路，兩端點(diǎn)電流必為零。又因天線長度l /2，我們可合理地認(rèn)

17、為這種中心饋電的短天線上電流分布在其中心為最大值，逐漸均勻地減至兩端為零，如圖所示，并設(shè)電流在中心處與赫茲偶極子一樣，I = I0e-it。根據(jù)圖，天線上電流分布滿足下面方程：因此我們得到：I0Rr P(r)l/2IIz短偶極子天線-l/200(12/ )0/2( )(12/ )/20zl IzlI zzl Ilz 2220radlR電動力學(xué)電動力學(xué)第五章第五章 電磁波的輻射電磁波的輻射物理與電子工程學(xué)院物理與電子工程學(xué)院 張福恒張福恒29因短天線長度有限長，因此準(zhǔn)確計(jì)算天線上電流分布并不容易。但因天線兩端開路，兩端點(diǎn)電流必為零。又因天線長度l /2，我們可合理地認(rèn)為這種中心饋電的短天線上電流

18、分布在其中心為最大值，逐漸均勻地減至兩端為零，如圖所示，并設(shè)電流在中心處與赫茲偶極子一樣，I = I0e-it。根據(jù)圖，天線上電流分布滿足下面方程： I0Rr P(r)l/2IIz短偶極子天線-l/200(12/ )0/2( )(12/ )/20zl IzlI zzl Ilz 電動力學(xué)電動力學(xué)第五章第五章 電磁波的輻射電磁波的輻射物理與電子工程學(xué)院物理與電子工程學(xué)院 張福恒張福恒30*2、半波偶極子天線輻射、半波偶極子天線輻射 （P.173） 由上面的討論我們知道，天線的輻射電阻越大，則在給定電流情況下，輻射功率越大。而輻射電阻按l2變化，因此為輻射更大的功率，就要用較長的天線。因此，常采用半

19、波長和全波長偶極子天線，簡稱半波天線和全波天線。對于這樣的偶極子天線，除了天線兩端電流為零外，天線上其它點(diǎn)的電流分布也是很難獲知的。然而，對于中心饋電的半波和全波天線，因天線以其中心對稱，天線兩端電流為零，因此可以近似認(rèn)為天線上電流分布是正弦的。這樣的假設(shè)可以通過實(shí)驗(yàn)證實(shí)。對于細(xì)天線，這樣的假設(shè)已得到證實(shí)。下面，我們就在這個假設(shè)基礎(chǔ)上討論半波天線。 電動力學(xué)電動力學(xué)第五章第五章 電磁波的輻射電磁波的輻射物理與電子工程學(xué)院物理與電子工程學(xué)院 張福恒張福恒31對于線性半波偶極子天線，假定天線上電流分布為：式中I0是電流的最大值，如圖所示。由矢勢一般計(jì)算式 得：0cos/4/4IIkzz r P(r

20、)/4IIz半波偶極子天線-/4RI0( )=d4ikrVx eVrJA x/40/4cos()( )d4ikrzIkz ezrA re電動力學(xué)電動力學(xué)第五章第五章 電磁波的輻射電磁波的輻射物理與電子工程學(xué)院物理與電子工程學(xué)院 張福恒張福恒32對于遠(yuǎn)區(qū)的輻射場：及 又因?yàn)椋何覀兊玫剑?r P(r)/4IIz半波偶極子天線-/4RI0RrcosikrikRikzeee1cos()()2ikzikzkzee /4cos00/4002( )()d8coscos22sinikRikzikzikzzikRzI eeeezRI ekRA ree電動力學(xué)電動力學(xué)第五章第五章 電磁波的輻射電磁波的輻射物理與電子工程學(xué)院物理與電子工程學(xué)院 張福恒張福恒33因此，我們得到輻射場為：相應(yīng)的平均輻射功率密度為： r P(r)/4IIz半波偶極子天線-/4