典型例題與習(xí)題ppt課件

1、1數(shù)值求積公式及代數(shù)精度數(shù)值求積公式及代數(shù)精度數(shù)值求導(dǎo)方法與截斷誤差數(shù)值求導(dǎo)方法與截斷誤差一階常微分方程數(shù)值法一階常微分方程數(shù)值法數(shù)值分析典型例題典型例題 IV2插值型求積公式插值型求積公式:求積系數(shù)求積系數(shù)), 2 , 1 , 0(,)(njdxxlAbajj )()(0fRxfAdxxfnjjjba 求積余項求積余項 bannbandxxnfdxxLxffR)()!1()()()(1)1( 等距結(jié)點插值型求積公式稱為等距結(jié)點插值型求積公式稱為Newton-Cotes公式公式,偶數(shù)階偶數(shù)階Newton-Cotes公式至少有公式至少有(n+1)階代階代數(shù)精度數(shù)精度2/16求積結(jié)點求積結(jié)點bxx

2、xan 1031.梯形公式梯形公式)(12)()()(2)(3 fabbfafabdxxfba )(2)()(2)(11 njbajhafbfafhdxxf復(fù)合梯形求積公式復(fù)合梯形求積公式 令令h=(b-a)/n),(, )(12)(23bafnabfR 求積余項求積余項3/162. 辛卜生公式辛卜生公式)()2(4)(6)(bfbafafabdxxfba 4)(290)()4(55 fabfR 求積余項求積余項: 兩點高斯型數(shù)值求積公式兩點高斯型數(shù)值求積公式 )()()(313111ffdxxf)()()(2322322ababfababfabdxxfba4/16練習(xí)練習(xí): 復(fù)合辛卜生公式求

3、積余項復(fù)合辛卜生公式求積余項?5)()()()(hOhafhafaf一階向前差商一階向前差商)()()()(hOhhafafaf一階向后差商一階向后差商)()()()()(222hOhhafafhafaf 二階中心差商二階中心差商)()()()(22hOhhafhafaf一階中心差商一階中心差商5/166外推算法外推算法)()()(hxfhxfhhG214221hhxfhG )()(142411mmmmmhGhGhG)()()()()()()(12mmhOhGxf 16/4/)()2/(4221hhxfhG 3)()2/(4hGhG 4/3)(42hxf 練習(xí)：二階中心差商的外推公式？練習(xí)：二

4、階中心差商的外推公式？6/167 000)(),(yxyxxyxfy1. Euler方法方法 ), 2 , 1 , 0( , ),(),(1100nyxhfyyhxxxyynnnnnn常微分方程初值問題常微分方程初值問題),(),(2111 nnnnnnyxfyxfhyy2. 梯形公式梯形公式: 7/168),(nnnnyxhfyy1),(),(1112nnnnnnyxfyxfhyy預(yù)測預(yù)測- -校正公式校正公式局部截斷誤差局部截斷誤差設(shè)設(shè) yn= y(xn), 稱稱Rn+1=y(xn+1) - yn+1為局部截斷誤差為局部截斷誤差常表示為常表示為: O(hp+1)， p 稱為單步法的精度階數(shù)

5、稱為單步法的精度階數(shù)又稱為修正的又稱為修正的Euler公式公式 yn+1= yn+ 0.5h k1+ k2 k1=f(xn,yn), k2=f(xn+h, yn+hk1)8/169Ex1.推導(dǎo)左矩形求積公式推導(dǎo)左矩形求積公式 2)(2)()()()(abfafabdxxfba 2)(2)()()()(abfbfabdxxfba 3)(24)()2()()(abfbafabdxxfba 令令 uadxxfuF)()(F(u)= F(a) + (u-a)F(a) +0.5(u-a)2F ”( )()(),()(, 0)( fFafaFaF 2)(2)()()()(abfafabdxxfba 練習(xí)練

6、習(xí):9/1610Ex3. 求復(fù)合中矩形公式求復(fù)合中矩形公式的求積誤差的求積誤差? 10)5 . 0()(njbahjafhdxxfEx2.復(fù)合左矩形求積公式的求積誤差復(fù)合左矩形求積公式的求積誤差 njjnjbafhjhafhdxxf1210)(2)()( 設(shè)被積函數(shù)在積分區(qū)間上的一階導(dǎo)數(shù)連續(xù)設(shè)被積函數(shù)在積分區(qū)間上的一階導(dǎo)數(shù)連續(xù),由連續(xù)函數(shù)介值定理由連續(xù)函數(shù)介值定理),()()(11baffnnjj ),()(2)()(2)()(2122bafnabfnabxfRnjj 10/1611Ex4.利用復(fù)合梯形公式計算積分利用復(fù)合梯形公式計算積分 10sindxxxI使其截斷誤差不超過使其截斷誤差不超

7、過 0.510-3,應(yīng)算多少次函數(shù)值？應(yīng)算多少次函數(shù)值？ 提示提示： 10)cos(sin)(dtxtxxxf練習(xí)練習(xí): : 給定積分給定積分當(dāng)要求誤差小于當(dāng)要求誤差小于10-3時用復(fù)合梯形公式和時用復(fù)合梯形公式和Simpson公式計算時公式計算時, 需要計算多少次函數(shù)值？需要計算多少次函數(shù)值？ dxxex 31sin11/1612Ex5. 驗證，復(fù)合梯形公式與復(fù)合驗證，復(fù)合梯形公式與復(fù)合Simpson 公式之間有如下關(guān)系公式之間有如下關(guān)系43122mmmTTS )(2)()(211 mjmjhafbfafhTmabh )5 . 0(2112 mjmmhjhafhTT )2(23143112

8、mjmmmhjhafhTTT )(4)(2)()(31121122 mjjmjjmxfxfbfafhmabhm22 mjjmjjmSxfxfxfh221211222)()(4)(3 12/1613Ex6. 定積分定積分 的計算問題可化為初值問題的計算問題可化為初值問題 y= f (t) , y(a)=0試證明用試證明用Euler公式計算結(jié)果為公式計算結(jié)果為其中其中, h = (b a )/N, tn= a + n h ( n = 0,1,2, N)badxxf)(10Nnnhtfby)()(Ex7. 試證明試證明4階階Range-Kutta公式解公式解a, b內(nèi)初值問題內(nèi)初值問題 y= f (

9、x) , y(a)=0結(jié)果有結(jié)果有: 其中其中, h = (b a )/N, xn= a + n h ( n = 0,1,2, N) 1012/1)()(4)(6)(Nnnnnxfxfxfhby13/1614Ex8.將線性常系數(shù)非齊次高階常微分方程初值問題將線性常系數(shù)非齊次高階常微分方程初值問題: y(n) + a1 y(n-1) + a2 y(n-2) + an y = f( x, y, , y(n-1) y(x0)=y00, y(x0)=y01, y”(x0)=y02, y(n-1)(x0)=y0,n-1轉(zhuǎn)化為一階線性常微分方程組問題轉(zhuǎn)化為一階線性常微分方程組問題,并成出矩陣形式并成出矩陣

10、形式解解: : 令令 y1(x)=y(x), y2(x)=y(x), y3(x)=y”(x), yn(x)=y(n-1)(x), ),()(1113221nnnnyyxfyayayyyyy 14/1615Ex9. 初值問題初值問題有解有解y(x)=0.5a x2 + b x 。若取若取 xn = nh，yn為歐拉方法得到的數(shù)值解，試證明為歐拉方法得到的數(shù)值解，試證明y(xn) yn = 0.5 a h xn 0)0(ybaxy若取若取 xn = nh，yn為用梯形公式計算所得的數(shù)值解，記為用梯形公式計算所得的數(shù)值解，記y(xn)為初值問題的在為初值問題的在x=xn處的解析解。處的解析解。試證明試證明: y(x