高數(shù)微分方程模擬試題及答案

1、-密-封-線- （答題不能超出密封裝訂線）班級(jí)（學(xué)生填寫(xiě)）：姓名：學(xué)號(hào)：命題： 審題：審批：第七章 常微分方程階段測(cè)驗(yàn)使用班級(jí)（教師填寫(xiě)）：題號(hào)一二三四五六七八九總分得分閱卷人一. 單項(xiàng)選擇題（每小題3分，本題共20分）1.微分方程的階數(shù)為( ) (a) 一 (b)二 (c)三 (d)五2.容易驗(yàn)證：是二階微分方程的解，試指出下列哪個(gè)函數(shù)是方程的通解。（式中為任意常數(shù)）（ ） （a） （b）（c） （d）3. 微分方程是 ( )（a）可分離變量方程； （b）齊次方程；（c）一階線性微分方程； （d）以上都不對(duì)。4.微分方程 的解為（ ）（a）； （b）；（c）； （d）以上都不對(duì)。5.設(shè)為已知

2、的連續(xù)函數(shù),則方程的解是( )（a）； （b）； （c）； （d）6.微分方程的一個(gè)特解應(yīng)有形式 ( )（a）； （b）； （c）； （d） 7.微分方程的一個(gè)特解應(yīng)具有形式 ( )（a）（b）（c）（d）8.微分方程的一個(gè)特解應(yīng)具有形式（ ）（a） （b）（c） （d）9.微分方程的通解是（ ）（a）； （b）；（c）； （c）。10.設(shè)線性無(wú)關(guān)的函數(shù)都是二階非齊次線性方程=的解，是任意常數(shù)，則該非齊次方程的通解是（ ）（a）； （b）；（c）； （d）。二.填空題(每小題3分,共15分)1.一曲線上點(diǎn)的切線自切點(diǎn)到縱坐標(biāo)軸間的切線段有定長(zhǎng)2，則曲線應(yīng)滿足的微分方程 。2.鐳的衰變速度與它的

3、現(xiàn)存量成正比（比例系數(shù)為），已知在時(shí)刻鐳的存量為，則鐳的量與時(shí)間應(yīng)滿足的微分方程初值問(wèn)題是 。3.一質(zhì)量為m的物體在空氣中由靜止開(kāi)始下落。已知空氣阻力與下落速度平方成正比（比例系數(shù)為），則物體下落的速度與時(shí)間應(yīng)滿足的微分方程初值問(wèn)題是 。4.滿足方程的解為 。5.設(shè)是定義在區(qū)間上的函數(shù)組，則線性無(wú)關(guān)的含義是 三. 求下列微分方程的解(每小題7分，共49分)1、求微分方程的通解。 2、求微分方程的通解。 3、求微分方程的通解。4、求微分方程的通解。5、求微分方程的通解 。 6、求微分方程的一條積分曲線，使其在原點(diǎn)處與直線相切。 7、求微分方程的一個(gè)特解。四設(shè)函數(shù)j(x)連續(xù), 且滿足 , 求j(

4、x). (8分)五已知某曲線經(jīng)過(guò)點(diǎn)(1, 1), 它的切線在縱軸上的截距等于切點(diǎn)的橫坐標(biāo), 求它的方程.(8分) 一.單項(xiàng)選擇題（每小題3分，本題共15分）1. ( b ) 2.（a ） 3. ( b) 4.（c） 5. ( a )6. (d ) 7. ( d ) 8（a） 9.（c） 10.（d）二.填空題(每小題3分,共15分)1. 2. 是比例系數(shù)）3. 4. 5.只有當(dāng)實(shí)數(shù)全為零，才能使等式對(duì)于所有成立。三. 求下列微分方程的解(每小題7分，共49分)1、解: 原方程化為:令，上述方程化為:; 積分得：以代入得原方程的通解:2、解：方程改變?yōu)榫€性微分方程: 故通解為: ; 即: 3、解

5、：令，則 代入方程得： 解得：；把代入得通解為：4、解：因?yàn)?，故原方程可化?jiǎn)為分離變量得：積分得通解：5、解：；6、解：方程的通解為：由已知，代入上式得：故所求積分曲線的方程為：7、解：特征方程的根為； 因?yàn)楣试O(shè)特解為：代入方程得：四解 等式兩邊對(duì)x求導(dǎo)得: , 再求導(dǎo)得微分方程: , 即 微分方程的特征方程為: 。 其根為。故對(duì)應(yīng)的齊次方程的通解為: 易知是非齊次方程的一個(gè)特解, 故非齊次方程的通解為 由所給等式知j(0)=1, j¢(0)=1, 由此得. 因此 .五解 設(shè)點(diǎn)(x, y)為曲線上任一點(diǎn), 則曲線在該點(diǎn)的切線方程為： y-y=y¢(x-x), 其在縱軸上的截距為y-xy¢, 因此由已知有： y-xy¢=x, 即. 這是一個(gè)一階線性