考研數(shù)學(xué)二選擇題填空題

1、.考研數(shù)學(xué)二選擇題填空題一、選擇題:18小題，每小題4分，共32分.下列每題給出的四個選項中，只有一個選項符合題目要求的，請將所選項前的字母填在答題紙指定位置上.(1) 設(shè)，其中，則當(dāng)時，是 ( )(A) 比高階的無窮小 (B) 比低階的無窮小(C) 與同階但不等價的無窮小 (D) 與等價的無窮小【答案】(C)【解析】， 又 與同階但不等價的無窮小. 所以選（C）.(2) 設(shè)函數(shù)由方程確定，則 ( )（A）2 （B）1 （C）-1 （D）-2【答案】（A）【解析】因為即.又 兩邊對求導(dǎo)得：，將，代入上式得.選（A）.(3) 設(shè)函數(shù)，則 （ ）（A）是函數(shù)的跳躍間斷點 （B）是函數(shù)的可去間斷點

2、（C）在處連續(xù)但不可導(dǎo)（D）在x=處可導(dǎo)【答案】（C）【解析】因是在唯一的第一類間斷點，即在可積，故在連續(xù).因是的第一類間斷點，故在不可導(dǎo). 所以選（C）. (4) 設(shè)函數(shù)，若反常積分收斂，則 （ ）（A） （B） （C） （D）【答案】（D）【解析】，是瑕點，故時，瑕積分收斂.，要使其收斂，需.綜上所述選（D）.（5）設(shè)，其中函數(shù)可微，則 ( ) (A) (B) (C) (D) 【答案】（A）【解析】 選（A）.（6）設(shè)是圓域在第象限的部分，記則 （ ）(A) (B) (C) (D) 【答案】（B）【解析】第二象限中，始終 即 選（B）.(7) 設(shè)A，B，C均為n階矩陣，若，且可逆，則 （

3、）(A) 矩陣的行向量組與矩陣的行向量等價(B) 矩陣的列向量組與矩陣的列向量等價 (C) 矩陣的行向量組與矩陣的行向量等價 (D) 矩陣的列向量組與矩陣的列向量等價【答案】（B）【解析】將按列分塊， 由于，故 即 即的列向量組可由的列向量線性表示 由于可逆，故，的列向量組可由的列向量組線性表示 選（B）. (8) 矩陣與相似的充分必要條件為 （ ）(A) (B)為任意實數(shù) (C) (D)為任意實數(shù)【答案】(B)【解析】令，因為為實對稱矩陣，為對角陣，則與相似的充要條件是的特征值分別為的特征方程 =，因為是的特征值，所以所以，即.當(dāng)時，的特征值分別為所以為任意常數(shù)即可. 故選(B).文章資料由

4、經(jīng)濟(jì)學(xué)金融考研網(wǎng)整理發(fā)布。二、填空題：914小題，每小題4分，共24分.請將答案寫在答題紙指定位置上.(9) _.【答案】.【解析】 . (10) 設(shè)函數(shù)，則的反函數(shù)=在處的導(dǎo)數(shù)=_.【答案】【解析】 (11) 設(shè)封閉曲線L的極坐標(biāo)方程為=，則所圍平面圖形的面積是 .【答案】【解析】. (12) 曲線上對應(yīng)于=1的點處的法線方程為_.【答案】【解析】,.當(dāng)時 ，所以法線方程，即. (13) 已知，是某二階常系數(shù)非齊次線性微分方程的3個解，則該方程滿足條件，的解為_.【答案】【解析】故該方程組的通解為.由得.從而滿足初始條件的解為. (14) 設(shè)是3階非零矩陣，為的行列式，為的代數(shù)余子式，若，則

5、=_.【答案】-1【解析】由于故 而或；又，否則由得與題設(shè)矛盾.三、解答題：1523小題，共94分.請將解答寫在答題紙指定位置上.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.(15)(本題滿分10分)當(dāng)時，與為等價無窮小.求與的值.【答案】，【解析】，即時，上式極限存在.當(dāng)時，由題意 .(16) (本題滿分10分)設(shè)是由曲線，直線及軸所圍成的平面圖形，分別是繞軸， 軸旋轉(zhuǎn)一周所得旋轉(zhuǎn)體的體積，若，求的值.【解析】由旋轉(zhuǎn)體積公式得：，由已知條件知所以.(17) (本題滿分10分)設(shè)平面區(qū)域由直線及圍成.計算.y=3xOyxx=3yx+y=82 662(2，6)(6，2)【解析】由，故(18) (本題

6、滿分10分)設(shè)奇函數(shù)在上具有2階導(dǎo)數(shù)，且.證明：（）存在.使得 ()存在 使得.【解析】（I）由于在上為奇函數(shù)，故，則令，則在上連續(xù)，在內(nèi)可導(dǎo)，且，由羅爾定理，存在，使得即（II）由于在上為奇函數(shù)，則在上為偶函數(shù)，所以由（I）.令，則在上連續(xù)，在內(nèi)可導(dǎo)，且，由羅爾定理存在，使得即.(19) (本題滿分10分)求曲線上的點到坐標(biāo)原點的最長距離與最短距離.【解析】設(shè)建立拉格朗日函數(shù)令（i） 若，得不合題意.（ii） 若，得或，均得不合題意.若，得或，由得，代入得，即得，故距離為.又；所以最長距離為，最短距離為1.(20) (本題滿分11分)設(shè)函數(shù)（）求的最小值; ()設(shè)數(shù)列滿足證明：存在并求此極限

7、.【解析】（I）令是唯一駐點，且當(dāng)，當(dāng)所以是的極小值點，故是最小值.（II）由（I）知，又由已知可得，即，所以單調(diào)遞增.又由，可得，所以有上界由單調(diào)有界定理，存在，設(shè)為.對于兩邊取極限得，又，所以，又由（I）可知，即.(21) (本題滿分11分)設(shè)曲線的方程為 .()求的弧長；()設(shè)是由曲線，直線，及軸所圍成平面圖形，求的形心的橫坐標(biāo).【解析】設(shè)弧長為，由弧長的計算公式，得（II）由形心的計算公式，得 其中為軸以及所圍成的圖形.(22) (本題滿分11 分)設(shè)，當(dāng)為何值時，存在矩陣，使得，并求所有 矩陣.【解析】設(shè)，由于，故，即. (I)由于矩陣存在，故方程組(I)有解.對(I)的增廣矩陣進(jìn)行初等行變換：方程組有解，故，即.當(dāng)時，增廣矩陣變?yōu)闉樽杂勺兞?，令，代為相?yīng)的齊次方程組，得.令，代為相應(yīng)齊次方程組，得.故，令，得特解，方程組的通解為，所以，其中為任意常數(shù).(23) (本題滿分11 分)設(shè)二次型.記.()證明二次型對應(yīng)的矩陣為；()若正交且均為單位向量.證明在正交變換下的標(biāo)準(zhǔn)型為.