數(shù)字信號(hào)處理第七章-3

1、數(shù)字信號(hào)處理數(shù)字信號(hào)處理Digital Signal Processing六、六、FIR濾波器和濾波器和IIR濾波器的比較濾波器的比較7.3 利用頻率采樣法設(shè)計(jì)利用頻率采樣法設(shè)計(jì)FIR濾波器濾波器一、基本思想一、基本思想二、設(shè)計(jì)方法二、設(shè)計(jì)方法三、實(shí)現(xiàn)線性相位三、實(shí)現(xiàn)線性相位Hd(k)滿足的約束條件滿足的約束條件四、逼近誤差四、逼近誤差五、例題五、例題作業(yè)作業(yè) 1, 3，4，13 7.3 利用頻率采樣法設(shè)計(jì)利用頻率采樣法設(shè)計(jì)FIR濾波器濾波器 工程上，常給定頻域上的技術(shù)指標(biāo)，所以采用頻域設(shè)計(jì)更工程上，常給定頻域上的技術(shù)指標(biāo)，所以采用頻域設(shè)計(jì)更直接。直接。一、基本思想一、基本思想目標(biāo)：目標(biāo)：使所

2、設(shè)計(jì)的使所設(shè)計(jì)的FIR數(shù)字濾波器的頻率特性在某些離散頻率數(shù)字濾波器的頻率特性在某些離散頻率點(diǎn)上的值準(zhǔn)確地等于所需設(shè)計(jì)濾波器在這些頻率點(diǎn)處的值，點(diǎn)上的值準(zhǔn)確地等于所需設(shè)計(jì)濾波器在這些頻率點(diǎn)處的值，在其它頻率處的特性則有較好的逼近。在其它頻率處的特性則有較好的逼近。)()()()()(IDFT2jnhNNdNkjdjdeHnhkHeHeH )(d不不同同于于點(diǎn)點(diǎn)點(diǎn)點(diǎn)頻頻率率取取樣樣確確定定內(nèi)插公式內(nèi)插公式給定理想給定理想頻率特性頻率特性實(shí)際頻率實(shí)際頻率特性特性二二. . 設(shè)計(jì)方法設(shè)計(jì)方法1, 1 , 0Nk1 1）確定）確定2 2）計(jì)算）計(jì)算3 3）計(jì)算）計(jì)算以上就是頻率采樣設(shè)計(jì)濾波器的基本原理。

3、以上就是頻率采樣設(shè)計(jì)濾波器的基本原理。)()(kkHg、)(ZH)(nh,)()()()(2kjgdNkjdekHkHeH ,)(1)(10/2NkNnkjdekHNnh1, 1 , 0Nn)3 .3 .7(,)()(10NnnznhzH三、三、 實(shí)現(xiàn)線性相位實(shí)現(xiàn)線性相位Hd(k)滿足的約束條件滿足的約束條件 為了設(shè)計(jì)線性相位的為了設(shè)計(jì)線性相位的FIR濾波器，采樣值濾波器，采樣值 Hd(k)要滿足一要滿足一定的約束條件。定的約束條件。 前已指出，具有線性相位的前已指出，具有線性相位的FIR濾波器，其單位脈沖響應(yīng)濾波器，其單位脈沖響應(yīng)h(n) )是實(shí)序列，且滿足是實(shí)序列，且滿足 ，由此得到的幅，

4、由此得到的幅頻和相頻特性，就是對(duì)頻和相頻特性，就是對(duì)Hd(k)的約束。的約束。)1()(nNhnh例如，要設(shè)計(jì)第一種線性相位例如，要設(shè)計(jì)第一種線性相位FIR濾波器，即濾波器，即N為奇數(shù)，為奇數(shù)，h(n)偶對(duì)稱，則偶對(duì)稱，則幅度函數(shù)幅度函數(shù)Hg()應(yīng)具有偶對(duì)稱性：應(yīng)具有偶對(duì)稱性：21)(NjgjdeHeH)2()(ggHH21)(N且且令令 則則 必須滿足偶對(duì)稱性必須滿足偶對(duì)稱性：而而 必須取為：必須取為： )()()(kjgdekHkH)(kNkNNkkN) 1(21)(2)()(kNHkHgg)(kHg1, 1 , 0Nk1, 1 , 0Nk 同樣，若要設(shè)計(jì)第二種線性相位同樣，若要設(shè)計(jì)第二種

5、線性相位FIR濾波器，濾波器，N為偶數(shù)，為偶數(shù)，h(n)偶對(duì)稱，由于幅度特性是奇對(duì)稱的，偶對(duì)稱，由于幅度特性是奇對(duì)稱的， )2()(ggHH21)(N且且21)(NjgjdeHeH因此，因此，Hg(k) 也必須滿足奇對(duì)稱性：也必須滿足奇對(duì)稱性： 相位關(guān)系同上，相位關(guān)系同上， 其它兩種線性相位其它兩種線性相位FIR數(shù)字濾波器的設(shè)計(jì)，同樣也要滿足數(shù)字濾波器的設(shè)計(jì)，同樣也要滿足幅度與相位的約束條件。幅度與相位的約束條件。)()(kNHkHgg1, 1 , 0,) 1()(NkNkNk1, 1 , 0Nk設(shè)有低通濾波器作為希望設(shè)計(jì)的濾波器，截止頻率為設(shè)有低通濾波器作為希望設(shè)計(jì)的濾波器，截止頻率為 ，采

6、樣點(diǎn)數(shù)采樣點(diǎn)數(shù)N， 和和 用下面的公式計(jì)算：用下面的公式計(jì)算：c)(kHg)(kN=奇數(shù)時(shí)奇數(shù)時(shí)，N=偶數(shù)時(shí)偶數(shù)時(shí)，ccgcccgcgkkkNNkkkkNHkNkkkkHkkkH, 2 , 1 , 0,1)(, 2 , 1 , 0,1)(1, 2, 1,0)(, 2 , 1 , 0,1)(ccccgcggkkkNNkkNkkkkHkkkNHkH, 2 , 1 , 0,1)(1, 2, 1,0)(, 2 , 1 , 0, 1)()()(ejH0低通22ckcN-kc-1N-1 以上公式是對(duì)于以上公式是對(duì)于h(n)=h(N-1-n)的情況推導(dǎo)的的情況推導(dǎo)的。其中，其中，kc是小于等于是小于等于 的

7、最大整數(shù)。另外，的最大整數(shù)。另外，對(duì)于高通和帶對(duì)于高通和帶阻濾波器，這里阻濾波器，這里N只能取奇數(shù)。只能取奇數(shù)。)2/(Nc22NNkcccN=奇數(shù)，奇數(shù)，Hg(k)偶對(duì)稱偶對(duì)稱四、逼近誤差四、逼近誤差a) 時(shí)域分析時(shí)域分析IDFT 設(shè)計(jì)過程得到的設(shè)計(jì)過程得到的 與與 的逼近程度，以及的逼近程度，以及 與與H(k)的關(guān)系？的關(guān)系？理想濾波器頻響為理想濾波器頻響為: :頻率采樣：頻率采樣： 因?yàn)橐驗(yàn)?理想，所以理想，所以hd(n)無限長，因此，必然產(chǎn)生時(shí)域混疊，無限長，因此，必然產(chǎn)生時(shí)域混疊， ，N越大，二者越接近。越大，二者越接近。 與與 越接近。越接近。)(jeH)(jdeH)(jeH)(j

8、deHdeeHnheHnjjddjd)(21)()(rNdnRrNnhnh)()()()(kHd)()(dnhnh)(jeH)(jdeHb) b) 頻域分析頻域分析)(jdeH)(kH)2()()(10kNkHeHNkj內(nèi)插公式內(nèi)插公式其中，其中，21)2/sin()2/sin(1)(NjeNN這是一個(gè)內(nèi)插公式。這是一個(gè)內(nèi)插公式。在采樣點(diǎn)在采樣點(diǎn) 處，處， 所以，在采樣點(diǎn)所以，在采樣點(diǎn) 。 1, 1 , 0,Nk1)2(kNkN21, 1 , 0,Nk)()(jeHkH 但在采樣點(diǎn)外，但在采樣點(diǎn)外， 由由 延伸疊加而成。延伸疊加而成。 因而有一定的逼近誤差，誤差大小與理想頻率響應(yīng)因而有一定的逼

9、近誤差，誤差大小與理想頻率響應(yīng) 的曲的曲線形狀有關(guān)，理想特性平滑，則誤差小；反之，誤差大。在理線形狀有關(guān)，理想特性平滑，則誤差小；反之，誤差大。在理想頻率響應(yīng)的不連續(xù)點(diǎn)附近想頻率響應(yīng)的不連續(xù)點(diǎn)附近， 會(huì)產(chǎn)生肩峰和波紋。會(huì)產(chǎn)生肩峰和波紋。 N增大，則采樣點(diǎn)變密，逼近誤差減小，但間斷點(diǎn)附近的誤增大，則采樣點(diǎn)變密，逼近誤差減小，但間斷點(diǎn)附近的誤差差仍然最大，且仍然最大，且N太大，會(huì)增加濾波器體積和成本。太大，會(huì)增加濾波器體積和成本。 改進(jìn)措施：改進(jìn)措施： 在頻響間斷點(diǎn)附近插一個(gè)或幾個(gè)過渡采樣點(diǎn)，使不連續(xù)點(diǎn)在頻響間斷點(diǎn)附近插一個(gè)或幾個(gè)過渡采樣點(diǎn)，使不連續(xù)點(diǎn)變成緩慢過渡，如課本變成緩慢過渡，如課本p21

10、3圖圖7.3.1。這樣雖然增大了過渡帶，這樣雖然增大了過渡帶，但是明顯增加了阻帶衰減。但是明顯增加了阻帶衰減。 )(jeH)2()(10kNkHNk)(jeH)(jdeH圖圖7.3.17.3.1理想理想低通濾波器低通濾波器增加過度點(diǎn)增加過度點(diǎn)小結(jié)：小結(jié)：頻率采樣設(shè)計(jì)法優(yōu)點(diǎn)：頻率采樣設(shè)計(jì)法優(yōu)點(diǎn)： 直接從頻域進(jìn)行設(shè)計(jì)，直接從頻域進(jìn)行設(shè)計(jì)，物理概念清楚，直觀方便；物理概念清楚，直觀方便； 適合于窄帶濾波器設(shè)計(jì)，適合于窄帶濾波器設(shè)計(jì)，這時(shí)頻率響應(yīng)只有少數(shù)幾個(gè)非零這時(shí)頻率響應(yīng)只有少數(shù)幾個(gè)非零值。值。 缺點(diǎn)：缺點(diǎn)：截止頻率難以控制截止頻率難以控制。 因頻率取樣點(diǎn)都局限在因頻率取樣點(diǎn)都局限在 2/N 的整數(shù)

11、倍點(diǎn)上，所以在指定的整數(shù)倍點(diǎn)上，所以在指定通帶和阻帶截止頻率時(shí)，這種方法受到限制通帶和阻帶截止頻率時(shí)，這種方法受到限制 ，比較死板。要，比較死板。要實(shí)現(xiàn)自由選取截止頻率，就要充分加大實(shí)現(xiàn)自由選取截止頻率，就要充分加大N，可以接近任何給定，可以接近任何給定的頻率，但計(jì)算量和復(fù)雜性增加。的頻率，但計(jì)算量和復(fù)雜性增加。例：用頻率采樣法設(shè)計(jì)一個(gè)例：用頻率采樣法設(shè)計(jì)一個(gè)FIR數(shù)字?jǐn)?shù)字 LP 濾波器，其理濾波器，其理想特性為想特性為 (2區(qū)間區(qū)間)采樣點(diǎn)數(shù)采樣點(diǎn)數(shù) N=33，要求線性相位。要求線性相位。解：解：能設(shè)計(jì)低通線性相位數(shù)字濾波器的只有能設(shè)計(jì)低通線性相位數(shù)字濾波器的只有1、2兩種，兩種， 因因N為

12、奇數(shù)，所以只能選擇第一種。為奇數(shù)，所以只能選擇第一種。 即即 h(n)=h(N-1-n)， 幅頻特性關(guān)于幅頻特性關(guān)于偶對(duì)稱，也即偶對(duì)稱，也即 Hg (k)偶對(duì)稱。偶對(duì)稱。 利用利用Hg(k) 的對(duì)稱性的對(duì)稱性, ,求求2區(qū)間的頻響采樣值。區(qū)間的頻響采樣值。5 .005 .001)(jdeHh(n)偶對(duì)稱、偶對(duì)稱、N奇奇數(shù)，四種濾波器數(shù)，四種濾波器都可設(shè)計(jì)。都可設(shè)計(jì)。h(n)偶對(duì)稱、偶對(duì)稱、N偶偶數(shù)，可以設(shè)計(jì)低數(shù)，可以設(shè)計(jì)低通、帶通濾波器，通、帶通濾波器，不能設(shè)計(jì)高通和不能設(shè)計(jì)高通和帶阻。帶阻。根據(jù)指標(biāo)要求，在根據(jù)指標(biāo)要求，在02內(nèi)有內(nèi)有33個(gè)取樣點(diǎn)，所以第個(gè)取樣點(diǎn)，所以第k點(diǎn)對(duì)應(yīng)頻率點(diǎn)對(duì)應(yīng)頻率

13、為為 而截止頻率而截止頻率 0.5位于位于 之間，所以，之間，所以，k=08時(shí)，取樣值為時(shí)，取樣值為1；根據(jù)對(duì)稱性，根據(jù)對(duì)稱性，0-8對(duì)應(yīng)對(duì)應(yīng)25-33，實(shí)際濾波器，實(shí)際濾波器只到只到32點(diǎn)。點(diǎn)。故故 k=2532時(shí)，取樣值也為時(shí)，取樣值也為1，因因 k=33 為下一周期，所以為下一周期，所以0區(qū)間有區(qū)間有9個(gè)值為個(gè)值為 1的采樣點(diǎn)，的采樣點(diǎn)，2區(qū)間有區(qū)間有8個(gè)值為個(gè)值為 1 的采樣點(diǎn)的采樣點(diǎn)，因此：，因此：k33293328332和0)25()8(ggHH1)33()0(ggHH1)32()1 (ggHHHg (k)00.52 2416 17892532320333221)(24903225

14、; 801)(2kkNkkkkHkNg將將 代入內(nèi)插公式，求代入內(nèi)插公式，求H(ej)：)()()(kjgekHkH10212/2sin2/2sin)(1NkNjgjeNkNkNkHNeH163202/33/2sin33233sin)(331jkgekkkH考慮到考慮到8k25時(shí)時(shí) Hg (k)=0，而其它而其它k時(shí)時(shí)， Hg (k)= =1,令令 k=33-n，則則確定濾波器的頻率特性確定濾波器的頻率特性32252/33/2sin33233sin)(kgkkkH8133/)33(2sin33)33(233sinnnn8181332sin33233sin332sin33233sinnnnnkn

15、1681332sin33233sin332sin33233sin2sin233sin331)(jkjekkkkeH從圖從圖(b)上可以看出，上可以看出，其過渡帶寬為一個(gè)頻其過渡帶寬為一個(gè)頻率采樣間隔率采樣間隔 2/33，而最小阻帶衰減略小而最小阻帶衰減略小于于20dB。過渡帶寬增加過渡帶寬增加到二個(gè)頻率采到二個(gè)頻率采樣間隔樣間隔4/33。阻帶衰減增加阻帶衰減增加到約到約-40dB。 從圖從圖(b)上可以看出，其過渡帶寬為一個(gè)頻率采樣間隔上可以看出，其過渡帶寬為一個(gè)頻率采樣間隔 2/33，而最小阻帶衰減略小于而最小阻帶衰減略小于20dB。 對(duì)大多數(shù)應(yīng)用場合，阻帶衰減如此小的濾波器是不能令人對(duì)大多

16、數(shù)應(yīng)用場合，阻帶衰減如此小的濾波器是不能令人滿意的。滿意的。增大阻帶衰減三種方法增大阻帶衰減三種方法：1）加寬過渡帶寬，加寬過渡帶寬，以犧牲過渡帶換取阻帶衰減的增加以犧牲過渡帶換取阻帶衰減的增加。 例如在本例中可在例如在本例中可在k=9和和k=24處各增加一個(gè)過渡帶采樣點(diǎn)處各增加一個(gè)過渡帶采樣點(diǎn)H9=H24=0.5，使過渡帶寬增加到二個(gè)頻率采樣間隔使過渡帶寬增加到二個(gè)頻率采樣間隔4/33，重新重新計(jì)算的計(jì)算的H(ej)見圖見圖 (c)，其阻帶衰減增加到約其阻帶衰減增加到約 -40dB?？梢姡@種可見，這種用加寬過渡帶換取阻帶衰減的方法是很有效的。用加寬過渡帶換取阻帶衰減的方法是很有效的。Hg

17、(k)00.52 2416 17892532 2 2）過渡帶的優(yōu)化設(shè)計(jì)）過渡帶的優(yōu)化設(shè)計(jì) 根據(jù)根據(jù)H(ej)的表達(dá)式，的表達(dá)式，H(ej)是是Hk的線性函數(shù)，因此還的線性函數(shù)，因此還可以利用線性最優(yōu)化的方法確定過渡帶采樣點(diǎn)的值，得到要可以利用線性最優(yōu)化的方法確定過渡帶采樣點(diǎn)的值，得到要求的濾波器的最佳逼近（而不是盲目地設(shè)定一個(gè)過渡帶值）求的濾波器的最佳逼近（而不是盲目地設(shè)定一個(gè)過渡帶值）,例如，本例中可以用簡單的梯度搜索法來選擇例如，本例中可以用簡單的梯度搜索法來選擇H9、H24,使通使通帶或阻帶內(nèi)的最大絕對(duì)誤差最小化。帶或阻帶內(nèi)的最大絕對(duì)誤差最小化。 要求使阻帶內(nèi)最大絕對(duì)誤差達(dá)到最?。ㄒ布醋?/p>

18、小衰減達(dá)要求使阻帶內(nèi)最大絕對(duì)誤差達(dá)到最?。ㄒ布醋钚∷p達(dá)到最大），可計(jì)算得到最大），可計(jì)算得H9=0.3904。對(duì)應(yīng)的對(duì)應(yīng)的 H(ej)的幅頻特性，的幅頻特性，比比H9=0.5時(shí)的阻帶衰減大大改善，衰減約時(shí)的阻帶衰減大大改善，衰減約-50dB。如果還要進(jìn)如果還要進(jìn)一步改善阻帶衰減，可以進(jìn)一步加寬過渡區(qū)，添上第二個(gè)甚一步改善阻帶衰減，可以進(jìn)一步加寬過渡區(qū)，添上第二個(gè)甚至第三個(gè)不等于至第三個(gè)不等于0的頻率取樣值，當(dāng)然也可用線性最優(yōu)化求取的頻率取樣值，當(dāng)然也可用線性最優(yōu)化求取這些取樣值。這些取樣值。 3）增大增大N 如果要進(jìn)一步增加阻帶衰減，但又不增加過渡帶寬，可增如果要進(jìn)一步增加阻帶衰減，但又不增加過渡帶寬，可增加采樣點(diǎn)數(shù)加采樣點(diǎn)數(shù)N。 例如，同樣截止頻率例如，同樣截止頻率c=0.5 ， 以以N=65采樣，并在采樣，并在k=17和和k=48插入由阻帶衰減最優(yōu)化計(jì)算得到的采樣值插入由阻帶衰減最優(yōu)化計(jì)算得到的采樣值H17=H48=0.5886，在在k=18、47處插入經(jīng)阻帶衰減最優(yōu)化計(jì)算獲得的采樣值處插入經(jīng)阻帶衰減最優(yōu)化計(jì)算獲得的采樣值H17=H48=0.1065 ，這時(shí)得到的這時(shí)得到的 H(ej)， 過渡帶為過渡帶為6/65。 小于小于33點(diǎn)采樣時(shí)插入一個(gè)過渡帶采樣點(diǎn)的過渡帶寬，而阻帶點(diǎn)采樣時(shí)插入一個(gè)過渡帶采樣點(diǎn)的過渡帶寬，而阻帶