中考（數(shù)學(xué)）分類四 二次函數(shù)與角度有關(guān)的問(wèn)題（含答案）-歷年真題常考、重難點(diǎn)題型講練

1、數(shù)學(xué)專題 精心整理類型二二次函數(shù)與角度問(wèn)題【典例1】已知拋物線過(guò)點(diǎn)和，與x軸交于另一點(diǎn)B，頂點(diǎn)為D（1）求拋物線的解析式，并寫出D點(diǎn)的坐標(biāo)；（2）如圖1，E為線段上方的拋物線上一點(diǎn)，垂足為F，軸，垂足為M，交于點(diǎn)G當(dāng)時(shí)，求的面積；（3）如圖2，與的延長(zhǎng)線交于點(diǎn)H，在x軸上方的拋物線上是否存在點(diǎn)P，使？若存在，求出點(diǎn)P的坐標(biāo)：若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由 【答案】（1），；（2）；（3）存在，,【解析】【分析】（1）利用待定系數(shù)法求出a的值即可得到解析式，進(jìn)而得到頂點(diǎn)D坐標(biāo)；（2）先求出BC的解析式，再設(shè)直線EF的解析式為,設(shè)點(diǎn)E的坐標(biāo)為，聯(lián)立方程求出點(diǎn)F，G的坐標(biāo)，根據(jù)列出關(guān)于m的方程并求解，然后求得

2、G的坐標(biāo)，再利用三角形面積公式求解即可；（3）過(guò)點(diǎn)A作ANHB，先求得直線BD，AN的解析式，得到H，N的坐標(biāo)，進(jìn)而得到，設(shè)點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)P作PRx軸于點(diǎn)R，在x軸上作點(diǎn)S使得RS=PR，證明，根據(jù)相似三角形對(duì)應(yīng)邊成比例得到關(guān)于n的方程，求得后即可得到點(diǎn)P的坐標(biāo)【詳解】（1）把點(diǎn)A（-1，0），C（0，3）代入中，解得，當(dāng)時(shí)，y=4，（2）令或x=3設(shè)BC的解析式為將點(diǎn)代入，得，解得，設(shè)直線EF的解析式為,設(shè)點(diǎn)E的坐標(biāo)為，將點(diǎn)E坐標(biāo)代入中，得，把x=m代入即解得m=2或m=-3點(diǎn)E是BC上方拋物線上的點(diǎn)m=-3舍去點(diǎn)（3）過(guò)點(diǎn)A作ANHB，點(diǎn)點(diǎn)，點(diǎn)設(shè)，把（-1，0）代入，得b= 設(shè)點(diǎn)過(guò)點(diǎn)P作PRx軸

3、于點(diǎn)R，在x軸上作點(diǎn)S使得RS=PR且點(diǎn)S的坐標(biāo)為若在和中，或【點(diǎn)睛】本題考查的是二次函數(shù)的綜合，涉及到的知識(shí)點(diǎn)較多，運(yùn)算較復(fù)雜，第3問(wèn)的解題關(guān)鍵在于添加適當(dāng)?shù)妮o助線，利用數(shù)形結(jié)合的思想列出方程求解【典例2】在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線的頂點(diǎn)為N（1）若此拋物線過(guò)點(diǎn)，求拋物線的解析式；（2）在（1）的條件下，若拋物線與y軸交于點(diǎn)B，連接，C為拋物線上一點(diǎn)，且位于線段的上方，過(guò)C作垂直x軸于點(diǎn)D，交于點(diǎn)E，若，求點(diǎn)C坐標(biāo)；（3）已知點(diǎn)，且無(wú)論k取何值，拋物線都經(jīng)過(guò)定點(diǎn)H，當(dāng)時(shí)，求拋物線的解析式 【答案】（1）（2）C（-2,4）（3）【解析】【分析】（1）把代入即可求解；（2）根據(jù)題意作圖，求出直

4、線AB的解析式，再表示出E點(diǎn)坐標(biāo)，代入直線即可求解；（3）先求出定點(diǎn)H，過(guò)H點(diǎn)做HIx軸，根據(jù)題意求出MHI=30°，再根據(jù)題意分情況即可求解【詳解】（1）把代入得-9-3k-2k=1解得k=-2拋物線的解析式為；（2）設(shè)C（t, ）,則E（t, ）,設(shè)直線AB的解析式為y=kx+b，把A（-3，1），（0,4）代入得解得直線AB的解析式為y=x+4E（t, ）在直線AB上=t+4解得t=-2（舍去正值），C（-2,4）；（3）由=k（x-2）-x2,當(dāng)x-2=0即x=2時(shí)，y=-4故無(wú)論k取何值，拋物線都經(jīng)過(guò)定點(diǎn)H（2，-4）二次函數(shù)的頂點(diǎn)為N（）1°如圖，過(guò)H點(diǎn)做HIx

5、軸，若2時(shí)，則k4，H（2，-4）MI=，HI=4tanMHI= MHI=30°NHI=30°即GNH=30°由圖可知tanGNH=解得k=4+2，或k=4（舍）2°如圖，若2，則k4同理可得MHI=30°HNIH，即解得k=4不符合題意；3°若=2，N、H重合，舍去k=4+2拋物線的解析式為【典例3】已知拋物線的圖象與軸交于、兩點(diǎn)（點(diǎn)在點(diǎn)的左邊），與軸交于點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)作軸的平行線與拋物線交于點(diǎn)，拋物線的頂點(diǎn)為，直線經(jīng)過(guò)、兩點(diǎn).（1） 求此拋物線的解析式；（2）連接、，試比較和的大小，并說(shuō)明你的理由.【答案】解：（1）CDx軸且點(diǎn)C（0，

6、3），設(shè)點(diǎn)D的坐標(biāo)為(x，3) 直線y= x+5經(jīng)過(guò)D點(diǎn)，3= x+5x=2即點(diǎn)D(2，3) 根據(jù)拋物線的對(duì)稱性，設(shè)頂點(diǎn)的坐標(biāo)為M（1，y），又直線y= x+5經(jīng)過(guò)M點(diǎn)，y =1+5，y =4即M（1，4）設(shè)拋物線的解析式為點(diǎn)C（0，3）在拋物線上，a=1即拋物線的解析式為（2）作BPAC于點(diǎn)P，MNAB于點(diǎn)N由（1）中拋物線可得點(diǎn)A（3，0），B（1，0），AB=4，AO=CO=3，AC=PAB45°ABP=45°，PA=PB=PC=ACPA=在RtBPC中，tanBCP=2在RtANM中，M（-1，4），MN=4AN=2tanNAM=2BCPNAM即ACBMAB【典例4

7、】在平面直角坐標(biāo)系xOy中，拋物線經(jīng)過(guò)點(diǎn)N（2,5），過(guò)點(diǎn)N作x軸的平行線交此拋物線左側(cè)于點(diǎn)M，MN=6.（1）求此拋物線的解析式；（2）點(diǎn)P（x,y）為此拋物線上一動(dòng)點(diǎn)，連接MP交此拋物線的對(duì)稱軸于點(diǎn)D，當(dāng)DMN為直角三角形時(shí)，求點(diǎn)P的坐標(biāo)；（3）設(shè)此拋物線與y軸交于點(diǎn)C，在此拋物線上是否存在點(diǎn)Q，使QMN=CNM ？若存在，求出點(diǎn)Q的坐標(biāo)；若不存在，說(shuō)明理由.【答案】解：（1）過(guò)點(diǎn)M、N（2，5），由題意，得M（，）. 解得 此拋物線的解析式為.（2）設(shè)拋物線的對(duì)稱軸交MN于點(diǎn)G，若DMN為直角三角形，則.D1（，），（，）. 直線MD1為，直線為.將P（x，）分別代入直線MD1，的解析式

8、，得，.解得 ，（舍），（1,0）. 解得 ，（舍），（3,12）. （3）設(shè)存在點(diǎn)Q（x，），使得QMN=CNM. 若點(diǎn)Q在MN上方，過(guò)點(diǎn)Q作QHMN，交MN于點(diǎn)H，則.即.解得，（舍）.（，3）. 若點(diǎn)Q在MN下方，同理可得（6，）. 【典例5】平面直角坐標(biāo)系xOy中，拋物線與x軸交于點(diǎn)A、點(diǎn)B，與y軸的正半軸交于點(diǎn)C，點(diǎn) A的坐標(biāo)為(1, 0)，OB=OC，拋物線的頂點(diǎn)為D (1) 求此拋物線的解析式； (2) 若此拋物線的對(duì)稱軸上的點(diǎn)P滿足APB=ACB，求點(diǎn)P的坐標(biāo)； (3) Q為線段BD上一點(diǎn)，點(diǎn)A關(guān)于AQB的平分線的對(duì)稱點(diǎn)為，若，求點(diǎn)Q的坐標(biāo)和此時(shí)的面積 【答案】圖9（1） ，

9、拋物線的對(duì)稱軸為直線 拋物線與x軸交于 點(diǎn)A、點(diǎn)B，點(diǎn)A的坐標(biāo)為， 點(diǎn)B的坐標(biāo)為，OB3可得該拋物線的解析式為 OB=OC，拋物線與y軸的正半軸交于點(diǎn)C， OC=3，點(diǎn)C的坐標(biāo)為將點(diǎn)C的坐標(biāo)代入該解析式，解得a=1 此拋物線的解析式為（如圖9） （2）作ABC的外接圓E，設(shè)拋物線的對(duì)稱軸與x軸的交點(diǎn)為點(diǎn)F，設(shè)E與拋物線的對(duì)稱軸位于x軸上方的部分的交點(diǎn)為點(diǎn)，點(diǎn)關(guān)于x軸的對(duì)稱點(diǎn)為點(diǎn)，點(diǎn)、點(diǎn)均為所求點(diǎn).（如圖10） 可知圓心E必在AB邊的垂直平分線即拋物線的對(duì)稱軸直線上 、都是弧AB所對(duì)的圓周角， ，且射線FE上的其它點(diǎn)P都不滿足由（1）可知 OBC=45°，AB=2，OF=2可得圓心E也

10、在BC邊的垂直平分線即直線上 點(diǎn)E的坐標(biāo)為 由勾股定理得 點(diǎn)的坐標(biāo)為由對(duì)稱性得點(diǎn)的坐標(biāo)為 符合題意的點(diǎn)P的坐標(biāo)為、.（3） 點(diǎn)B、D的坐標(biāo)分別為、，可得直線BD的解析式為，直線BD與x軸所夾的銳角為45° 點(diǎn)A關(guān)于AQB的平分線的對(duì)稱點(diǎn)為，（如圖11）若設(shè)與AQB的平分線的交點(diǎn)為M，則有 ，Q，B，三點(diǎn)在一條直線上 ， 作x軸于點(diǎn)N 點(diǎn)Q在線段BD上， Q，B，三點(diǎn)在一條直線上， ， 點(diǎn)的坐標(biāo)為 點(diǎn)Q在線段BD上， 設(shè)點(diǎn)Q的坐標(biāo)為，其中 ， 由勾股定理得 解得經(jīng)檢驗(yàn)，在的范圍內(nèi) 點(diǎn)Q的坐標(biāo)為 此時(shí)【典例6】已知，拋物線與x軸交于點(diǎn)A（2,0）、B（8,0），與y軸交于點(diǎn)C（0，4）。

11、直線y=x+m與拋物線交于點(diǎn)D、E（D在E的左側(cè)），與拋物線的對(duì)稱點(diǎn)交于點(diǎn)F。（1）求拋物線的解析式；（2）當(dāng)m=2時(shí)，求DCF的大??；（3）若在直線y=x+m下方的拋物線上存在點(diǎn)P，使DPF450，且滿足條件的點(diǎn)P只有兩個(gè)，則m的值為_(kāi).（第（3）問(wèn)不要求寫解答過(guò)程）【答案】解：（1）依題意，設(shè)拋物線的解析式為y=a（x+2）（x-8），拋物線與y軸交于點(diǎn)C（0，-4），-4=a（0+2）（0-8）解得a=拋物線的解析式為y=(x+2)(x-8)，即y=x2-x-4；（2）由（1）可得拋物線的對(duì)稱軸為x=3，m=2，直線的解析式為y=x+2，直線y=x+2與拋物線交于點(diǎn)D、E，與拋物線的對(duì)稱

12、軸交于點(diǎn)F，F(xiàn)、D兩點(diǎn)的坐標(biāo)分別為F（3，5），D（-2，0）設(shè)拋物線的對(duì)稱軸與x軸的交點(diǎn)為M，可得CM=FM=MD=5，F(xiàn)、D、C三點(diǎn)在以M為圓心，半徑為5的圓上DCF=DMF=45°（3）由拋物線解析式可知，拋物線頂點(diǎn)坐標(biāo)為G（3，-）設(shè)F（3，3+m），則FG=m+3+，設(shè)D關(guān)于對(duì)稱軸的對(duì)稱點(diǎn)為D1，當(dāng)四邊形DGD1F為正方形時(shí)，滿足題意，此時(shí)P點(diǎn)與頂點(diǎn)G重合，或者與D1重合，故DD1=FG，D點(diǎn)橫坐標(biāo)為：x=-（FG-3）=-，縱坐標(biāo)為-（FG-3-m）=，將D點(diǎn)坐標(biāo)拋物線解析式，解得m=-【典例7】如圖，拋物線，與軸交于點(diǎn)，且（I）求拋物線的解析式；（II）探究坐標(biāo)軸上是否

13、存在點(diǎn)，使得以點(diǎn)為頂點(diǎn)的三角形為直角三角形？若存在，求出點(diǎn)坐標(biāo)，若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由； （III）直線交軸于點(diǎn)，為拋物線頂點(diǎn)若，的值【答案】解：（I），且代入，得（II）當(dāng)可證 同理: 如圖當(dāng)當(dāng)綜上，坐標(biāo)軸上存在三個(gè)點(diǎn)，使得以點(diǎn)為頂點(diǎn)的三角形為直角三角形，分別是，（III） 又【典例8】如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，拋物線y=ax28ax16a6經(jīng)過(guò)點(diǎn)B（0，4）.求拋物線的解析式；設(shè)拋物線的頂點(diǎn)為D，過(guò)點(diǎn)D、B作直線交x軸于點(diǎn)A，點(diǎn)C在拋物線的對(duì)稱軸上，且C點(diǎn)的縱坐標(biāo)為-4，聯(lián)結(jié)BC、AC.求證：ABC是等腰直角三角形；在的條件下，將直線DB沿y軸向下平移，平移后的直線記為l ，直

14、線l 與x軸、y軸分別交于點(diǎn)A、B，是否存在直線l，使ABC是直角三角形，若存在求出l 的解析式，若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由 圖（1） 備用圖 【答案】解：由題意知： 解得： 拋物線的解析式為：證明 ：由拋物線的解析式知:頂點(diǎn)D坐標(biāo)為（4,6） 點(diǎn)C的縱坐標(biāo)為4，且在拋物線的對(duì)稱軸上C點(diǎn)坐標(biāo)為(4，4)設(shè)直線BD解析式為： 有：，BD解析式為直線BD與x軸的交點(diǎn)A的坐標(biāo)為（8,0）過(guò)點(diǎn)C作CE軸于點(diǎn)E，則CE=4，BE=8又OB=4，OA=8, CE=OB,BE=OA,CEB=BOA=90°CEBBOA(SAS)CB=AB, 1=22+3=90°，2+3=90°1+3=

15、90°，即ABC=90°ABC是等腰直角三角形存在.當(dāng)CAB=90°時(shí)，如圖1所示， ABABOAB=BAO易證:ECA=OAB圖1ECA=BAOtanBAO=tanECA=EA=2A坐標(biāo)為(2,0)直線l解析式為-當(dāng)ACB=90°時(shí)，如圖2所示，圖2過(guò)點(diǎn)C作CE軸于點(diǎn)E，易證AFCBECAF=BE由tanBAO=設(shè)B坐標(biāo)為（0，n）有B坐標(biāo)為（0，）直線l解析式為【典例9】已知：拋物線yx22xm-2交y軸于點(diǎn)A（0，2m-7）與直線yx交于點(diǎn)B、C（B在右、C在左）（1）求拋物線的解析式； （2）設(shè)拋物線的頂點(diǎn)為E，在拋物線的對(duì)稱軸上是否存在一點(diǎn)F，使得，若存在，求出點(diǎn)F的坐標(biāo)，若不存在，說(shuō)明理由；（3）射線OC上有兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)P、Q同時(shí)從原點(diǎn)出發(fā)，分別以每秒個(gè)單位長(zhǎng)